施密特正交化方法
施密特正交化
施密特正交化1. 简介施密特正交化是一种线性代数中常用的算法，用于将一个线性无关的向量组转换为一个正交向量组。
这个算法的基本思想是通过迭代的方式将原始向量组中每一个向量减去前面的向量在当前向量的投影，从而使得每一个新的向量与前面的向量正交。
2. 算法步骤施密特正交化算法的具体步骤如下：1.输入一个线性无关的向量组V = {v1, v2, …, vn}。
2.初始化正交向量组 Q 为空集。
3.对于每一个向量v ∈ V，执行如下操作：如果 v 与 Q 中的所有向量都正交，则将 v 加入到 Q 中。
否则，通过减去 v 在 Q 中所有向量的投影，得到一个正交于 Q 中向量的新向量，将其加入到 Q 中。
4.输出正交向量组 Q。
3. 算法示例以下是一个示例来说明施密特正交化算法的具体过程。
假设有一个线性无关的向量组 V = {v1, v2, v3}，其中 v1 = [1, 2, 3]，v2 = [4, 5, 6]，v3 = [7, 8, 9]。
首先将 v1 加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1}。
然后对于 v2，先计算其在 v1 上的投影。
投影计算公式如下：proj(v, u) = (v · u) / (u · u) * u其中 ·表示向量的点积运算。
计算投影时，需要注意点积的顺序。
在这个例子中，我们需要计算 v2 在 v1 上的投影，因此需要计算 proj(v2, v1)。
计算结果为 [9/14, 18/14, 27/14]。
接下来，我们需要减去 v2 在 v1 上的投影，得到一个与 v1 正交的新向量。
计算结果为 [-5/14, -22/14, -21/14]。
将这个新向量加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1, [-5/14, -22/14, -21/14]}。
最后，我们对于 v3 重复以上步骤。
计算 v3 在 v1 上的投影为 [42/35, 84/35, 126/35]，减去投影后得到新向量为 [-37/35, -82/35, -99/35]。
施密特正交化 (2)
施密特正交化施密特正交化是一种线性代数中常用的方法，用于将一组线性无关的向量变换为一组正交的向量组。
这种正交化方法可以用于解决一些数学和工程上的问题，如最小二乘问题、特征向量和特征值计算等。
在本文档中，我们将详细介绍施密特正交化的原理、步骤和应用。
原理介绍施密特正交化的原理基于Gram-Schmidt正交化过程。
给定线性无关的向量组{$v_1,v_2,\\dots,v_n$}，施密特正交化的目标是构造一组正交向量组{$q_1,q_2,\\dots,q_k$}，其中$k\\leq n$。
这组正交向量组满足两个条件：首先，任意两个向量q q和q q的内积为0，即$\\langle q_i, q_j \\rangle = 0$；其次，这组向量与原向量组的张成空间相同，即$span\\{v_1,v_2,\\dots,v_n\\} =span\\{q_1,q_2,\\dots,q_k\\}$。
施密特正交化的原理在一个迭代过程中实现上述目标。
假设已经得到了前q−1个正交向量组{$q_1,q_2,\\dots,q_{k-1}$}，现在需要找到第q个正交向量q q。
则q q需要满足两个条件：首先，它与前q−1个向量组成的子空间正交，即$\\langle q_k,q_1 \\rangle = \\langle q_k, q_2 \\rangle = \\dots = \\langleq_k, q_{k-1} \\rangle = 0$；其次，它需要与原向量q q正交，即$\\langle q_k, v_k \\rangle = 0$。
为了满足这两个条件，我们可以通过以下步骤来计算q q：1.根据已有的前q−1个正交向量{$q_1,q_2,\\dots,q_{k-1}$}，计算出q q在这个子空间上的投影，记为q q：$$p_k = v_k - \\langle v_k, q_1 \\rangle q_1 - \\langle v_k, q_2 \\rangle q_2 - \\dots - \\langle v_k, q_{k-1} \\rangle q_{k-1}$$2.计算出q q，使其与q q正交，即$\\langle q_k, p_k\\rangle = 0$。
利用施密特正交化方法
《线性代数》课题组
（4）将总共得到的 n个单位正交特征向量作为矩
阵 Q 的列向量，则Q为所求正交矩阵； （5）Q1AQ 为对角矩阵，其主对角线上的元素为A
的全部特征值，它的排列顺序与 Q 中正交单位 向量的排列顺序相对应.
《线性代数》课题组
2 1 1
例2
用正交矩阵将
,3
1
0
1
1
1 1 1
2
2
(2 ,1) (1,1)
1
0 1
1
2
1 0
1 2
1
2
再将1, 2 ,3
单位化
1, 2 ,3 的模各是多少？
《线性代数》课题组
再单位化，得
1
2
1
1 1
1 2
,
2
2 2
0
将 3单位化，得
1
3
3
3 3
1
3
1
3
1
6
A
1
2
1
对角化.
1 1 2
解 矩阵 A的特征值为
1 2 1, 3 4
对应的特征向量为
1 1
1
1
1
,2
0
,
0
1
3 1
1
如何求A的 特征值与 特征向量
《线性代数》课题组
利用施密特正交化方法将 1 与2 正交化，得
1
1
1
1
,
0
1 1 1
1
1
,2
0
1
1 3
1
3
2
1T
3
3
(3, 1) (1, 1)
矩阵施密特正交化
矩阵施密特正交化矩阵施密特正交化是一种线性代数中常用的方法，用于将一个线性无关的向量组转化为一个标准正交基。
本文将从以下几个方面对矩阵施密特正交化进行详细介绍。
一、矩阵施密特正交化的定义矩阵施密特正交化是指将一个线性无关的向量组转化为一个标准正交基的过程。
具体来说，就是对于给定的向量组V={v1,v2,...,vn}，通过一系列变换得到另一个向量组Q={q1,q2,...,qn}，使得Q是一个标准正交基，即满足以下两个条件：1. 向量组Q中的所有向量都互相垂直（即内积为0）；2. 向量组Q中的所有向量都具有单位长度（即模长为1）。
二、矩阵施密特正交化的步骤矩阵施密特正交化一般分为两个步骤：Gram-Schmidt过程和单位化过程。
1. Gram-Schmidt过程Gram-Schmidt过程是指对于给定的向量组V={v1,v2,...,vn}，通过以下公式计算出新的向量组Q={q1,q2,...,qn}：q1 = v1 / ||v1||q2 = (v2 - projq1(v2)) / ||(v2 - projq1(v2))||q3 = (v3 - projq1(v3) - projq2(v3)) / ||(v3 - projq1(v3) -projq2(v3))||...qn = (vn - projq1(vn) - ... - projqn-1(vn)) / ||(vn - projq1(vn) - ... - projqn-1(vn))||其中，projqi表示向量vi在向量qi上的投影，即：projqi(vi) = (vi·qi) / (qi·qi) * qi这个公式的意义是，对于每一个新的向量qi，先将它与前面的所有向量做内积并投影到它们所张成的空间中，然后将这个投影出来的部分从原始向量中减去，得到一个新的向量。
这个新的向量就是当前向量组中与前面所有向量都垂直的一个单位向量。
Schmidt标准正交化方法的推广
Schmidt标准正交化方法的推广Schmidt标准正交化方法是一种常用的数学工具，在数值计算和信号处理等领域都有广泛的应用。
它是一种通过正交变换将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法，可大大简化向量组的运算和分析，因此受到了广泛的推广和应用。
Schmidt标准正交化方法的提出人是德国数学家乔治·施密特（G. Schmidt），他于1907年首次提出了这一方法。
施密特标准正交化方法的基本思想是通过逐步变换，将一组线性无关的向量转化为一组正交的基向量。
这里的基向量是指一组线性无关的向量组成的向量空间的基，而正交基则是指基向量两两之间的内积为0的向量组。
通过施密特正交化方法，可以保持向量组的线性无关性质，并得到一组正交基向量，从而简化向量组的运算和分析。
施密特标准正交化方法的描述如下：对于给定的线性无关向量组{a1, a2, ..., an}，首先取其中的第一个向量a1作为基向量，然后依次将后面的向量a2, a3, ..., an投影到a1所在的直线上，并对每个向量进行正规化处理，得到一组正交的基向量{b1, b2, ..., bn}。
而且，这组基向量构成的向量空间和原来的空间是同构的。
在数学和工程领域，Schmidt标准正交化方法已经成为了处理线性代数问题的重要工具。
Schmidt标准正交化方法在信号处理、矩阵求解、特征分解等领域都有着重要的应用。
在信号处理中，正交化处理可以减小信号中的冗余信息，并且更好地反映信号的特征。
在矩阵求解和特征分解中，Schmidt标准正交化方法可以大大简化计算复杂度，并且准确地获取矩阵的基本特征。
Schmidt标准正交化方法还被广泛应用于人工智能领域的深度学习和神经网络中。
在深度学习模型中，特征的正交性可以保证模型的稳定性和泛化能力，同时减小特征之间的相关性，提高模型的表达能力和拟合能力。
Schmidt标准正交化方法在人工智能领域也发挥着重要的作用。
目前，Schmidt标准正交化方法已经得到了广泛的推广和应用，并且在数值计算、信号处理、人工智能等领域都发挥了重要作用。
施密特正交化GramSchmidt
施密特正交化GramSchmidt施密特正交化 GramSchmidt施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个⼈⼀起发明的，但是后来因为施密特名⽓更⼤，所以该⽅法被简记为施密特正交化。
借⽤《线性代数》P117-例2 的例⼦来运⾏代码。
a1=(1,2,−1)T a2=(−1,3,1)T a3=(4,−1,0)T正交化后：a1=(1,2,−1)T a2=53(−1,1,1)T a3=2(1,0,1)T单位化后：a1=1√6(1,2,−1)T a2=1√3(−1,3,1)T a3=1√2(4,−1,0)T代码实现python3 的 sympy 包实现了 GramSchmidt ⽅法。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l)计算结果如下：[Matrix([[ 1],[ 2],[-1]]),Matrix([[-5/3],[ 5/3],[ 5/3]]),Matrix([[2],[0],[2]])]单位化也就是在调⽤函数的时候传⼊参数。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)计算结果如下：[Matrix([[ sqrt(6)/6],[ sqrt(6)/3],[-sqrt(6)/6]]),Matrix([[-sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3]]),Matrix([[sqrt(2)/2],[ 0],[sqrt(2)/2]])]sympy.Matrix 与 Numpy 的互操作Matrix 转 Numpy.arrayimport numpy as npfrom sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)m = np.array(o)内积计算(m[0] * m[1]).sum() References Processing math: 100%。
虚数向量施密特正交化
虚数向量施密特正交化
虚数向量施密特正交化的过程如下：
1. 假设给定n个虚数向量v1,v2,...,vn，其中vi表示第i个虚数向量。
2. 初始化一个正交向量集Q={q1,q2,...,qm}，其中qi表示第i 个正交向量，初始大小为m=0。
3. 对于第一个虚数向量v1，将其归一化得到单位向量u1，即u1 = v1 / |v1|，其中|v1|表示v1的模。
4. 将u1加入正交向量集Q，即Q = Q ∪ {u1}，即将u1作为正交向量的第一个元素。
5. 对于第i个虚数向量vi，通过施密特正交化的方法找到与前面的正交向量集Q中的向量正交的部分，即找到与vi垂直的向量，表示为p_i = vi - proj_Q(vi)，其中proj_Q(vi)表示vi在Q上的投影。
6. 如果p_i不为零向量，则将p_i归一化得到单位向量u_i，即u_i = p_i / |p_i|。
7. 将u_i加入正交向量集Q，即Q = Q ∪ {u_i}，即将u_i作为正交向量的第i个元素。
8. 重复步骤5-7，直到处理完所有的虚数向量。
9. 最终得到的正交向量集Q就是施密特正交化后的结果。
需要注意的是，对于虚数向量，它们的模是复数的绝对值，即|v| = |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)。
施密特正交化的过程可以通过基于复数的数学运算来进行，其中向量的加法和乘法可以直接应用于复数的加法和乘法运算。
Schmidt标准正交化方法的推广
Schmidt标准正交化方法的推广Schmidt标准正交化方法，又称为施密特正交化方法，在数学分析、线性代数中是一种重要的算法。
该方法可以将一组线性无关的向量转化为一组标准正交向量组，而同时保持向量空间的维数不变。
这种方法的应用十分广泛，包括在信号处理、图像处理等领域中经常被使用。
1. 对于不同的向量空间，如欧氏空间、内积空间、希尔伯特空间，Schmidt标准正交化方法都可以推广应用。
对于这些不同的向量空间，推广的方法也各有不同。
例如，在欧氏空间中，该方法可以通过Gram-Schmidt正交化来推导。
在内积空间中，该方法可以通过Schmidt正交化来推导。
在希尔伯特空间中，推广方式多样，例如可以利用迭代方法、逐步逼近法等来实现。
2. 将Schmidt标准正交化方法应用于特殊的向量组，如阿贝尔群中的正交向量组、Hermitian向量空间中的正交向量组等。
通过推广Schmidt方法，可以得到这些向量组的特殊性质，并且可以在实际问题中得到广泛的应用。
例如，在量子力学中，Hermitian矩阵是非常重要的，推广Schmidt方法可以帮助解决Hermitian矩阵的相关问题。
在工程学中，阿贝尔群和正交向量组的相关问题也经常出现。
3. 推广Schmidt标准正交化方法还可以使该方法更加高效和灵活。
例如，在图像识别中，Schmidt方法可以用于处理训练数据集中的向量组，从而增强图像识别的精度。
但是，在实际应用中，数据集往往非常庞大，直接应用Schmidt方法的效率会非常低下。
推广Schmidt方法，可以改进算法，使之更加高效，例如，在处理大规模数据集时可以使用分布式计算、并行计算等方法。
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一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。
常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。
对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。
22
)()1()(x n n
x n n e dx d e x H -⋅-= )()(x n n n
x
n e x dx d e x L -⋅⋅= n n n
n n x dx
d x P )1(!21)(2-⋅=
Tn(x)=cos(narccosx)
施密特正交化方法：
已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。
01=∑=n i i i b
c
解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。
[]
[]
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b 令b 1=U 1
则U 2应有如下表达式：
1111222U U U U b b U T T
-=
此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下：
0),(11111
2121212=-==T T T
T T U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下：
222231111333U U U U b U U U U b b U T T T T
--=
∑-
=-=1
13i i i
T i
i T
i
i i U U U U b b U
通过以上步骤就依次构造了系列正交矢量U 1,---,Ui.
已知下式应变量被一组非正交基矢量进行展开，请将下列非正交基矢量修正成正交基矢量，并重新写出应变量在正交基矢量下的表达式。
(12) 0
∑=='n
k k k x a y
解：设第一个基矢量的k 为1，系数也为a k = 1
(13) 11x U =
(13)
41 432
22111
22
11112221x x x x dx x x dx x x x U dx U U dx
U x x U =-≠-=-=⎰⎰⎰⎰
证明(注意，以上积分有积分区间(而非不定积分)，积分后为一常数而非一变量(不定积分后任然为一变量)。
即如不等号后边所示)：
(13) 0)(1
111
22121=-=⎰⎰⎰⎰dx x dx x x dx
x x x x dx U U
因此，二者正交，证毕！
(13)
-)())(()( -)())(()(- 1
1
11
3111221112211122111
22331
1
11
3111221112211122111
22331
1
113
22223
331111
1111
x dx
x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx
x dx x x dx x x x x x x
dx
x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x x U dx U U dx
U x U dx U U dx
U x x U ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----=-----=-=
那么，如何证明U3与U2正交呢？
)- (2
1111
3222223232111132222232321111322223323=--=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx
U U dx
U U dx U x U dx U U dx
U x x dx U U
上式积分均为有积分上下限的定积分，否则会出问题！。