一元二次方程期末复习(提高卷)
第二章 一元二次方程 分类提升训练(含答案) 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册
第二章 一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则 ．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．13．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为 ．15． 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。
一元二次方程提高题
九年级上辅导一一元二次方程提高题类型一、整体性思维在解题中的应用1、整体求值例、已知m 是一元二次方程x 2－2x －1=0的根,求2m 2－4m 的值。
2、整体代入例、已知x 2－5x －1=0，求x 2+－11的值.3、整体求积 例、在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC+BC=,AB=.求S ⊿ABC.4、变0代入例、当x=时，求式子(4x 3-2012x -2009)2009的值。
类型二、一元二次方程中的规律探究例、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……、（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点。
x2165220091+类型三、方程中的绝对值例、解方程：220x x --=练习：解方程2330x x ---=。
类型四 配方法求二次三项式的最值例、求代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ）练习：1、多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值12．求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．3、若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .练习：1．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是___．2．若与互为倒数，则实数为___．．3．方程的根是，则可分解为 .4．直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）5．如果一元二方程有一个根为0，则 ．6．已知，求的值．221)16x m x -++（m 12+x 12-x x 0222=--x x 31±=x 222--x x 043)222=-++-m x x m （m =)0(04322≠=-+y y xy x y x yx +-根与系数的关系1．已知α，β是方程x 2+2006x +1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）2．方程的一个根为另一个根的2倍，则 .3. 若方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____，则a a a 81622-+--的值等于________。
第一章一元二次方程复习测试(含答案)
4x ﹣ 5x+2=0B ． x ﹣ 6x+9=0C ． 5x ﹣ 4x ﹣1=0D ． 3x一、选择题（共 20 分）一元二次方程 复习测试1. 如果关于 x 的一元二次方程 xpx q 0 的两根分别为 x 1 2 ， x 2 1 ，那么 p 、 q 的值分别是（）A ． -3，2B. 3， -2C. 2，-3D. 2， 32. 在一元二次方程 ax2bx c 0 中，如果 a 和 c 异号，那么这个方程（）A ．无实数根B. 有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根 D. 不能确定25 23. 若 x 2 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 xax a 20 的 一 个 根 ， 则 a 的 值 为（）A ． 1 或 4 B. -1 或-4 C. -1 或 4 D. 1 或 44. 某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元 .设每月的平均增长率为 x ，则可列方程为（）A. 48(1 x)236B. 48(1 x)236 B. C. 36(1 x) 248D. 36(1 x)2485. 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x （） ax b 0 有 一 个 非 零 根 b ， 则 a b 的 值 为A ． 1B. -1C. 0D. -26. 已知关于 x 的一元二次方程 (k 2 22) x (2 k 1)x 1 0 有两个不相等的实数根， 则 k 的 取值范围是（） 4 4 A .k且 k2 33B . k 且 k 2 33 B. C. k且 k 24D. k且 k 247. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ． 22228. 某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 x ，下面所列的方程中正确的是（）A ．560（ 1+ x ）2=315B ． 560（ 1﹣ x ） 2=315C ． 560（ 1﹣ 2x ） 2=315D ． 560（ 1﹣ x 2）=31522 29. 设 x 1， x 2 是方程 x +5x ﹣3=0 的两个根，则x 1 +x 2 的值是（）A ． 19B ． 25C ． 31D ． 30﹣ 4x+1=02221 2 1 2 12 210.等 腰 三 角 形 三 边 长 分 别 为 a 、b 、2 ， 且 a 、b 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程x26 x n 1 0 的两根，则 n 的值为（）A ．9B. 10C. 9 或 10D. 8 或 10二、填空题（共 20 分）11 ． 方 程 ( 2x1)x( 1) 化1 成 一 般 形 式 是， 其 中 二 次 项 系 数是，一次项系数是.12. 若关于 x 的方程 x22 m x m23m 2 0 有两个实数根 x 、 x 则 x ( x x ) x 的最小值为.13. 若两个连续自然数的积为 72，则这两个数分别是 .14. 若关于 x 的一元二次方程x2(a 1)x a20 的两个根互为倒数，则 a =.15 ． 若 一 元 二 次 方 程 x2b.ax b 0 配 方 后 为 (x 4) 23 ， 则 a，16. 若三角形的每条边长都是方程x26 x 8 0 的根，则三角形的周长是.17. 若关于 x 的一元二次方程x22 x m 0 有两个实数根， 则 m 的取值范围是.18. 有一个矩形铁片，长是60cm ，宽是 40cm 中间挖去 288 cm 的矩形，剩下的铁框四周一样宽，若设宽度为， x cm ，那么挖去的矩形长是cm ，宽是cm ，根据题意可得方程.19. 一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10L ，则每次倒出的液体是 L ．20. 已知实数 m ， n 满足 3m三、解答题（共 60 分）21. 按要求解下列方程：2 +6m ﹣ 5=0， 3n 2m n +6n ﹣5=0，且 m ≠n ，则 = ．n m（1） 2 x21 3x （用配方法） ； （ 2） x23 x 1 0 （用公式法） ；（3） (3 y 1)( y 1)4 ；（4） (2 x 3)22 3(2 x 3)22. 请阅读下列材料 :问题 :已知方程， 求一个一元二次方程 x2x 1 0 ，使它的根分别是已知方程的根的2 倍.解: 设所求方程的根为 y ，则 y2x ，所以 xy .2把 xy 2代入已知方程，得 2y y 1 0 .22化简，得 y22 y 4 0 .故所求方程为 y22 y 4 0 .这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” .请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式 ).(1) 已知方程 x反数 ;x 2 0 ,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相(2) 已知关于 x 的一元二次方程 ax2bx c 0 ( a 0 )有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数.23. 已知关于 x 的一元二次方程 (a c)x22bx (a c) 0 ，其中 a 、 b 、 c 分别为△ ABC三边的长。
(完整版)一元二次方程复习+培优
一元二次方程复习+培优一．概念定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式,这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；(2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可)例： 若（m+1)(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．练习：1、在4(1)(2)5x x -+=，221x y +=,25100x -=,2280x x +=0=，213x x=+，22=a ，223213x x x +=-,22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个 。
2、要使方程（a-3）x 2+（b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、关于的x 的一元二次方程方程(a —1)x 2+x+a 2—1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.4、一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ;一次项系数是；常数项是 。
二．一元二次方程的解法一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.例：用适当的方法解下列方程（1)0222=--x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3 ）10)1)(2(=-+x x （4）22)6()2(x x -=-（5）2(23)3(23)40x x +-+-= （6）0)12(22=+++-a a x a x(7)0)2(23222=-++-a b x b a x练习：1。
.方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为 。
高一数学第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试(提升)(解析版)
第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·全国·专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵24(10)m ∆--<＝ ，解得14m >， 又∵14m >，∵140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件,故选:A. 2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．()10y x x x=+≠ B ．222y x x -=+C ．()230y x x x =+≥D ．2211y x x =++【答案】D【解析】A.当0x <时，()()1122⎛⎫=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭y x x x x ，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，112y x x x x=+≥⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；故错误；B. ()2222111y x x x =-+=-+≥，故错误； C. ())223023123=+≥=+=+≥y x x x xx x ，故错误；D. 22221121211y x x x x +≥+⋅=++2211x x ++0x =时，等号成立，故正确故选：D3．（2022·安徽·合肥已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）A 322+B ．324C 322+D ．328+【答案】A【解析】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∵211212324442444444m n m n m n m n x y m n n m n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 322324422==， 当且仅当244m n n m=，即22m =21n =时，等号成立， 故选：A.4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若0x >，0y >，315x y +=，则54x y +的最小值为5C ．若0x >，0y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．若1x >，0y >，2x y +=，则12y+的最小值为322+【答案】D【解析】选项A ：1111121?13111y x x x x x x =+=-++-=---，当且仅当()211x -=时可以取等号， 但题设条件中2x >，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若0x >，0y >，315x y+=，则()1311512151219415545419192?555x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝512x y y x =时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：32230xy x y xy xy xy -=+⇒+-当且仅当x y =时取等号，()0xy t t =，2230t t +-，解得31t -，即01xy ，故xy 的最大值为1，故C 错误； 选项D ：2x y +=，()11x y -+=，()()()21211212·11232?3221111x x y y x y x y x y x y x y --⎛⎫⎡⎤+=+-+=++++=+ ⎪⎣⎦----⎝⎭ 当且仅当22y x =又因为2x y +=，故222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y+-最小值可取到322+， 故D 正确． 故选：D ．5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q+==，3300010Q Q =+ ，3300022306010Q Q ≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞，则下列结论错误的是（ ）A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为322+【答案】C【解析】由题意，不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，可得230a m +>，且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12，所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩，所以232a m +=，31b m -=-，所以21a b +=，所以A 正确；因为0a >，0b >，所以2122a b ab +=≥18ab ≤，当且仅当122a b ==时取等号，所以ab 的最大值为18，所以B 正确； 由121244()(2)44448b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅+=， 当且仅当4b a a b =时，即122a b ==时取等号，所以12a b+的最小值为8，所以C 错误； 由()111122233232b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=时，即2b a 时，等号成立， 所以11a b+的最小值为322+D 正确． 故选：C ．7．（2022·广东深圳·高一期末）设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【解析】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∵1a a b a >=，1b b b a =>，即b aa b<，故B 错误； ∵由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a -<-，即11a b a<-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（ ） A ．0a > B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|2727}x x < C ．0a b c ++< D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,2727x x x --<∴<+所以选项B正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误； 不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误. 故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。
2022-2023学年九年级数学上学期期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练
期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（）A．B．C．D．3．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（）A．-1 B．3 C．-1或3 D．-34．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤5．下列关于一元二次方程的根的情况判断正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．7或C．或D．7．若实数、满足，则一元二次方程根的情况是（）．A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根C．无实数根D．两个实数根8．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n-m+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：-3☆2=(-3)2×2-(-3)+2=23．根据以上知识请判断方程：x☆2=0的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．只有一个实数根9．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015 B．2013 C．﹣2015 D．403010．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A ． B ． C ．2- D ．11．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x ，根据题意可列方程是（ ）A ．25(1+ x %)2=49B ．25(1+x)2=49C ．25(1+ x 2) =49D ．25(1- x)2=4912．某医院内科病房有护士人，每人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是天，则（ ） A ． B ． C ． D ．13．某商场销售一种新文具，进价为20元/件，市场调查发现，每件售价35元，每天可销售此文具250件，在此基础上，若销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件，针对这种文具的销售情况，若销售单价定为元时，每天可获得4000元的销售利润，则应满足的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．14．下列关系式中,属于二次函数的是( )A ．B ．C ．D ．15．若函数是二次函数，则m 的值为（ ） A ．3 B ． C ． D ．916．下列二次函数中，图像的开口向上的是（ ）A ．216y x x =--B ．281y x x =-++C ．()()15y x x =-+D ．()225y x =-- 17．抛物线的顶点坐标为（ ）A ．(1,4)--B ．C ．D ． 18．抛物线()21+5y x =--与轴的交点坐标是（ ）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0） 19．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是C ．当时，随的增大而增大D ．图象与轴有唯一交点20．已知关于x 的二次函数21(3)(2)4y m x m x m =+-++ 的图像与x 轴总有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣4且m≠﹣3B ．m≥﹣4且m≠﹣3C ．m ＞﹣4D ．m≥﹣4 21．在平面直角坐标系中，将抛物线22y x = 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )A ．22(3)4y x =--B ．C ．D ．22．若（，）， （，）， （，）为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．23．已知二次函数，关于该函数在31x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（ ）． A ．有最大值6，有最小值-3B ．有最大值5，有最小值-3C ．有最大值6，有最小值5D ．有最大值6，有最小值-1 24．函数23y ax bx =++．当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（ ） A ．－3 B ． C ． D ．325．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（ ）A ．125cm2B ．225cm2C ．200cm2D ．250cm226．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．b2-4ac>027．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，说法：①；②；③；④若、是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．428．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，给出以下结论：①abc<0；②当x=-1时，函数有最大值；③方程ax²+bx+c=0的解是x=1，x=-3；④4a+2b+c>0，⑤2a-b=0，其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．30．如图，已知中，2,30,AB AC B P ︒==∠=是边上一个动点，过点作，交其他边于点．若设为，的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题 1．（2021·山东安丘·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．2．（2021·广东郁南·九年级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．3．（2021·河北卢龙·九年级期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？4．（2021·山东郓城·九年级期末）已知关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k 的值．5．（2021·河北曲阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,A B C 三点中的两点．()1判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；()2求,a b 的值；()3平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．6．（2021·海南海口·九年级期末）如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．（1）求这个二次函数的解析式；的面积．（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC7．（2021·山东禹城·九年级期末）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．8．（2021·广西玉林·九年级期末）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．D 符合一元二次方程定义的是21023x x --=， 故选：D.2．A∵29190x x -+=，∴2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A.3．B由题意，得2230k k --=且10k +≠，∴()()310k k -+=且10k +≠，∴30k -=．解得3k =．故选：B ．4．C∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根， ∴ ()214131m ∆=-⨯⨯-+≥0， 解得：m≥14， 故选：C ．5．C解：∵△=22-4×1×3=-8＜0， ∴方程23210x x ++=没有实数根．故选：C ．6．C解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选C ．7．A ∵21203ax x b +-= ∴∆=4-4a×13b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=4+43ab ， ∵0b a>， ∴ab>0，∴∆=4+43ab >0， ∴一元二次方程21203ax x b +-=有两个不相等的实数根． 故选A ．8．C解：∵x ☆2=0，∴2x2-x+2=0，∵a=2，b=-1,，c=2，∴△=b²-4ac=1-16=-15<0，∴无实数根， 故选C ．9．B解：∵α是方程x2+2x ﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B ．10．A∵1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴1x +2x =2，1x 2x =-1， ∴12112121x x +-- 21122121(21)(21)x x x x -+-=-- 1212122()242()1x x x x x x +-=-++ 2224(1)221⨯-=⨯--⨯+ =27-， 故选：A.11．B解：依题意得七月份的利润为25（1+x ）2，∴25（1+x ）2=49．故选：B ．12．C解：由已知护士x 人，每2人一班，轮流值班，可得共有()12x x -种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：()12x x -÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C ．13．C由题意知：销售单价定为x 元，∵进价为20元/件，每件售价35元，每天可销售此文具250件，∴销售利润=（35-20）×250=3750＜4000 ∴销售利润为4000时，x ＞35，又∵销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件∴可得方程为(20)[25010(35)]4000x x ---=．故选C ．14．A根据二次函数的定义：2(0)y ax bx c a =++≠，可判断出只有A 符合二次函数的定义，故选：A ．15．C 由题意得：272320m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =±，故选：C ．16．B解：A. 261y x x =--+，开口方向向下；B. 281y x x =-+，开口方向向上；C. ()()215=45y x x x x =-+--+，开口方向向下；D. ()22251023y x x x =--=-+-，开口方向向下．故答案为B ．17．D 解：2223(1)4y x x x∴顶点坐标为(1,4)-．故选：D ．18．A把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∴抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ．19．C解：2224(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,5)，抛物线的对称轴为直线1x =，当 1x <时，y 随x 的增大而增大，令0y =，则2240x x -++=，解方程解得 11x =21x =，∴△44(1)4200=-⨯-⨯=>，∴抛物线与x 轴有两个交点．故选：C ．20．B解：∵关于x 的二次函数21(3)(2)4y m x m x m =+-++的图像与x 轴总有交点， ∴△=()()212434m m m ---+⋅=22443m m m m ++--=4m +≥0解得：m≥﹣4又∵m+3≠0∴m≠-3∴实数m 的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3．故选B ．21．D解：∵抛物线22y x = 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为22(3)4y x =+-，故选：D ．22．B解：∵245y x x =--∴该函数图像开口方向向上，对称轴为x=422-=- ∵|134--2|=5.25，|54--2|=3.25，|14-2|=1.75， ∴1.75＜3.25＜5.25∴y3＜y2＜y1．故答案为B ．23．A∵242y x x =--+∴二次函数图像的对称轴为：()()422x -=-=-- ∵31x -≤≤，且10-< ∴当2x =-时，函数取最大值()()224226y =----+=又∵242y x x =--+在2x =-右侧，y 随着x 的增大而减小；在2x =-左侧，y 随着x 的增大而增大∴当3x =-时，()()234325y =----+=当1x =时，1423y =--+=-∵35-<∴31x -≤≤，二次函数取最小值-3故选：A ．24．D解：∵当x=1与x=2018时，函数值相等，故该函数为二次函数，∴对称轴为：x=12018201922+-=- ∴x=2019与x=0的函数值相等，∵当x=0时，y=3，∴当x=2019时，y=3，故选：D ．25．B解：设矩形的长为xcm ，则宽为602x 2-cm ， ∴矩形的面积S ＝(602x 2-)x ＝−x2＋30x ． ∵a ＝−1＜0， ∴S 最大＝24ac 4b a-＝9004--＝225（cm2）． 故矩形的最大面积是225cm2．故选：B ．26．D解：由函数图象，可得：函数开口向下，则a ＜0，对称轴在y 轴左侧，则b ＜0，图象与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，抛物线与x 轴有两个交点，则b2−4ac ＞0，故错误的结论是A 、B 、C ，正确的结论是D ．故选：D ．27．C解：∵抛物线开口向上，∴0a >， ∵抛物线对称轴是直线12b x a=-=-， ∴20b a =>，则20a b -=，故②正确，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴0c <，∴0abc <，故①正确，∵当3x =-时，0y =，且图象关于直线1x =-对称，∴当1x =时，0y a b c =++=，即a c b +=-，∵0b >，∴0a c +<，故③正确，∵点()15,y -离对称轴要比点25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭离对称轴远， ∴12y y >，故④错误．故选：C ．28．C∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=-1， ∴b=2a<0，2a-b=0，故⑤正确，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c>0，∴abc>0，所以①错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，函数有最大值，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，而对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−3，0)，∴当x=1或x=-3时，函数y 的值都等于0，∴方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=-3，所以③正确；∵x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，所以④错误，综上，正确的有②③⑤故选：C ．29．D解：解法一：逐项分析；A 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，即函数222y mx x =-++开口方向朝上，与图象不符，故A 选项错误；B 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，二次函数的对称轴为21022b x a m m=-=-=<，则对称轴应在y 轴左侧，与图象不符，故B 选项错误；C 、由函数y mx m =+的图象可知0m >，即函数222y mx x =-++开口方向朝下，与图象不符，故C 选项错误；D 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，即函数222y mx x =-++开口方向朝上，对称轴为 21022b x a m m=-=-=<，则对称轴应在y 轴左侧，与图象相符，故D 选项正确； 解法二：系统分析当二次函数开口向下时，0m -<，0m >，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，0m ->，0m <， 对称轴2102x m m==<， 这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D ．30．C解：（1）当03BP<时，在ABC ∆中，2AB AC ==，30B ∠=︒，PD BC ⊥，BP ∴=；21(03)2y BP DP x ∴=⨯<，2>， ∴函数图象开口向上；（2BP <<BP ==；11)22y BP DP x ∴=⨯=，22y x =-+； 302-<， ∴函数图象开口向下；综上，答案C 的图象大致符合．故选：C ．二：解答题1解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]2﹣4×1×（﹣m ）=m2﹣2m+9=（m ﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）2﹣3×（﹣m ）=7，解得，m1=1，m2=2，即m 的值是1或2．2解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）.答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为x ，由题意可得： ()26117.34x +=，解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．3解析：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品应降价x 元，由题意得（360－x －280）（5x ＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x ＝60.即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元. 4：（1）∵关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴△=（2k ﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k 的取值范围为k≤． （2）∵关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=1﹣2k ，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，∴（1﹣2k ）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k ﹣12=0，解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k 的值为﹣2．5【详解】（1）点B 在直线y x m =+上，理由如下：将A （1，2）代入y x m =+得21m =+，解得m=1，∴直线解析式为1y x ， 将B （2，3）代入1y x ，式子成立，∴点B 在直线y x m =+上；（2）∵抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A ，C 两点，将A ，C 两点坐标代入21y ax bx =++得124211a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，∵顶点在直线1y x 上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-12）2+54， ∴当h=12时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值54．6（1）把()2,0A ，()0,6B -代入212y x bx c =-++得 2206b c c -++=⎧⎨=-⎩， 解得46b c =⎧⎨=-⎩. ∴这个二次函数解析式为21462y x x =-+-.（2）∵抛物线对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴C 的坐标为()4,0， ∴422AC OC OA =-=-=， ∴1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=. 7解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣3 ∴P1（0，，P2（0，3﹣；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．8（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t2+2t+6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t ﹣6=﹣12t2+3t ， ∴S △PAB=S △PAN+S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t2+3t ）×6 =﹣32t2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，P(3,152),△PAB 的面积有最大值； （3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE=PD ，点P （m ，-12m2+2m+6），函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE=|2m-4|，m2+2m+6+m-6=|2m-4|，即-12解得：m=4或-2或或-2和故点P的坐标为：（4，6）或（）．。
专题2.6一元二次方程与实际应用(能力提升)(原卷版)
专题2.6 一元二次方程与实际应用（能力提升）（原卷版）一、选择题。
1．（2021秋•监利市期末）两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（）A．11B．12C．13D．142．（2021秋•南岗区期末）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了39cm2，这个正方形的边长为（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 3．（2021秋•三水区期末）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 4．（2022•雁峰区校级模拟）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2B．10（x+3）+x＝x2C．10x+（x+3）＝（x+3）2D．10（x+3）+x＝（x+3）25．（2021秋•孟津县期末）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（）A．50（1+x）2＝175B．50+50（1+x）2＝175C．50（1+x）+50（1+x）2＝175D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝1756．（2021•福田区二模）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（）A．4（1+R0）＝64B．4（1+R0）＝400C．4（1+R0）2＝64D．4（1+R0）2＝4007．（2021秋•大连期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（）A．2+2x+2x2＝18B．2（1+x）2＝18C．（1+x）2＝18D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 8．（2021•防城区模拟）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（）A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500 9．（2021春•全椒县期中）在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（）A．12人B．18人C．9人D．10人10．（2021秋•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q 的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s二、填空题。
一元二次方程数学测试题提高卷
九年级数学第二十二章一元二次方程测试题时间：60分钟 分数：100分 姓名:一、选择题(每小题3分，共30分)1.若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则( ）A ．2±=mB ．m=2C ．m= —2D ．2±≠m2.已知233x x +＝－x 3+x ,则( ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤03。
如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1,那么这个一元二次方程是（ ）A 。
x 2+3x+4=0B 。
x 2+4x —3=0C 。
x 2-4x+3=0D 。
x 2+3x -4=04．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A 。
6- B. 1 C. 2 D. 6-或15．对于任意实数x ，多项式x 2－5x+8的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定6．若方程8x 2+2kx+k-1=0的两个实数根是x 1， x 2且满足x 21+x 22=1，则k 的值为（ ）.A.—2或6B.—2 C 。
6 D 。
47．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–错误!B ．a ≥–错误!C ．a ≥–错误!且a ≠0D ．a ＞–错误!且a ≠08．若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）A.△=MB. △>M C 。
△<M D. 大小关系不能确定9．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是( ）A ．0B ．1C ．2D ．310．三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是( ）A ．24B ．24或58C ．48D ．58二、填空题(每小题3分，共24分）11．16的平方根是12．当m 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程;当m ______时，此方程是一元一次方程.13若关于x 的代数式x 2-2（k+1）x+2k+5是一个完全平方式，则k=___________。
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一元二次方程期末复习（提高卷）1．关于x 的一元二次方程22(1)2540m x x m m -++-+=常数项为0，则m 值等于2．如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为3．m 是方程210x x +-=的根，则式子2222017m m ++的值为4．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有 个 5．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程2(3)10x --=的根，则此三角形的周长为6．已知边长为a 的正方形的面积为8，则下列说法中错误的是①a 是无理数 ②a 是方程230x -=的解 ③a 是8的算术平方根 ④2＜a ＜47．若两个不等实数,m n 满足条件：2210m m --=，2210n n --=，则22m n += ．8．已知实数x 满足222()()6x x x x +-+=，则2x x += ． 9．对于实数,a b 定义运算a ﹡b=．若12,x x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x *= ．10．已知实数,m n 满足21m n -=，则代数式22241m n m ++-的最小值等于 ．11．如果方程2(1)(2)04k x x x --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是 ．12．已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程2380x k x -+=，则△ABC 的周长是 ．13．已知：ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么ABCD 的周长是多少？14．已知关于x 的方程22(1)3(31)180m x m x ---+=有两个正整数根，且m 是正整数，求m 的值.15．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，,,a b c 是Rt △ABC 和Rt △BED 边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若1x =-是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC 面积．16．等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（3）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．一元二次方程期末复习（提高卷）参考答案与试题解析1．（2017•河北模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．4 C．1或4 D．0【考点】A2：一元二次方程的一般形式．【解答】解：由题意，得m2﹣5m+4=0，且m﹣1≠0，解得m=4，故选：B．2．（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；6E：零指数幂．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．3．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【考点】A3：一元二次方程的解．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．4．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】A3：一元二次方程的解；6E：零指数幂．【解答】解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选：A．5．（2017•历城区模拟）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数B．a是方程x2﹣3=0的解C．a是8的算术平方根D．2＜a＜4【考点】A3：一元二次方程的解；26：无理数．【解答】解：∵边长为a的正方形的面积为8，∴a==2，∴A，C，D都正确，故选B．6．（2017•河北模拟）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．12或14【考点】A3：一元二次方程的解；K6：三角形三边关系．【解答】解：（x﹣3）2﹣1=0，x﹣3=±1，解得x1=4，x2=2．若x=4，则三角形的三边分别为4，4，6，其周长为4+4+6=14；若x=2时，6﹣4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是14．故选：C．7．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．二．填空题（共6小题）8．（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是6．【考点】AB：根与系数的关系．【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．故答案是：6．9．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则= 3．【考点】A9：换元法解一元二次方程．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，∵△=b2﹣4ac＜0∴此方程无解，当y2=3时，=3，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．10．（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或﹣3．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．11．（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．故答案为：4．12．（2012•德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k≤4．【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式；K6：三角形三边关系．【解答】解：由题意，得：x﹣1=0，x2﹣2x+=0；设x2﹣2x+=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n=2，mn=；m﹣n==；根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．13．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．【解答】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．三．解答题（共5小题）14．（2014•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】AD：一元二次方程的应用．【解答】解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣0.7m+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．15．（2011•淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．16．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【考点】AB：根与系数的关系；A1：一元二次方程的定义；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2=．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．17．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．【考点】AD：一元二次方程的应用；KR：勾股定理的证明．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC18．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ =S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【考点】AD：一元二次方程的应用；KE：全等三角形的应用．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ =S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。