一元二次方程综合提高练习题
中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.6．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.7．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.9．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
一元二次方程综合练习+有答案
一元二次方程一．选择题（共19小题）1．如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对2．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定3．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④+x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．54．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±25．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．26．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥27．一元二次方程x2﹣4=0的根为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=48．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9+ +38．用公式法解下列方程2x2+6=7x．39．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．40．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．41．解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．42．解方程：x2﹣3x+2=0．43．解方程：x2+2x﹣3=0．44．解方程：x2﹣x﹣12=0．45．解方程：x2﹣6x+5=0 46 x2﹣5x﹣6=0．47.3x（x﹣1）=2（x﹣1）．48．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．49．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．+，；+﹣+．；2，2；开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．36．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．【解答】解：∵2x2﹣4x﹣3=0，∴，∴，∴x﹣1=±，∴．37．用公式法解方程：x2﹣x﹣2=0．【解答】解：∵a=1、b=﹣1、c=﹣2，∴△=1﹣4×1×（﹣2）=9＞0，∴x==，即x=﹣1或x=2．38．用公式法解下列方程2x2+6=7x．【解答】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0，这里a=2，b=﹣7，c=6，∵△=49﹣48=1，∴x=，解得：x1=2，x2=．39．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．40．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．41．解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．42．解方程：x2﹣3x+2=0．【解答】解：∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=1，x2=2．43．解方程：x2+2x﹣3=0．【解答】解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．44．解方程：x2﹣x﹣12=0．【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，可得x+3=0或x﹣4=0，解得：x1=﹣3，x2=4．45．解方程：x2﹣6x+5=0．【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）=0，x﹣1=0，x﹣5=0，x1=1，x2=5．46．解方程：x2﹣5x﹣6=0．【解答】解：x2﹣5x﹣6=0，∴（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，∴x1=6，x2=﹣1．47．解方程：3x（x﹣1）=2（x﹣1）．【解答】解：移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0，x﹣1=0，3x﹣2=0，x1=1，x2=．48．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0，x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．49．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．【解答】解：由原方程，得3（x﹣3）（x﹣1）=0，所以，x﹣3=0或x﹣1=0，解得，x1=3，x2=1．第11页（共11页）。
初中数学一元二次方程综合练习题(附答案)
初中数学一元二次方程综合练习题一、单选题1.一元二次方程293x x -=-的解是( )A.3x =B.4x =-C.123,4x x ==-D.123,4x x ==2.直角三角形两条直角边长的和是7，面积是6，则斜边长是（）B.5D.73.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ）A.2-B.1C.2D.0A.2m =±B.2m =C.2m =-D.2m ≠±5.若a ，β为方程22510x x --=的两个实数根，则2235a a ββ++的值为（ ）A.13-B.12C.14D.15A.2B. 1-C.2或1-D.不存在7.已知关于x 的一元二次方程2(1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )A.1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根B.0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根C.1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根D.1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根8.关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是( )A.18a >-B.18a ≥-C. 18a >-且1a ≠D. 18a ≥-且1a ≠9.一个正方体的表面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( )A.1B.1或2C.2D.2或310.定义一种新运算：()a b a a b =-♣.例如，434(43)4=⨯-=♣.若23x =♣，则x 的值是( )A.3x =B.1x =-C.123,1x x ==D.123,1x x ==-二、解答题11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=.（1）求方程的根；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？12.阅读材料:把形如2ax bx c ++ (,,a b c 为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±.例如:222213(1)3,(2)2,(2)24x x x x x -+-+-+是224x x -+的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项.请根据阅读材料解决下列问题:(1)仿照上面的例子，写出242x x -+的三种不同形式的配方;(2)已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值.14.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方15.若关于x 的一元二次方程220mx x m ++=的两根之积为-1，则m 的值为 .16.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数223a b -+.若17.已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是12,x x ，且满足12113x x +=，则k = .参考答案1.答案：C解析：方程293x x -=-变形为(3)(3)(3)0x x x +-+-=，将方程左边因式分解得(3)(4)0x x -+=，所以123,4x x ==-.2.答案：B解析：设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边的长为7x -，由题意，得1(7)62x x -=，解得1234x x ==，5=.故选B3.答案：D解析：∵一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，∴120x x =．故选：D ．4.答案：B方程，故2m =5.答案：B解析：a β，为方程22510x x --=的两个实数根，故251251022a a ββββ+==---=，，，从而2521ββ=- 222225123523212()1211222a a a a a a ββββββ⎛⎫⎛⎫∴++=++-=+--=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6.答案：A解析：由题意得0m ≠，2(2)44404m m m m ⎡⎤∆=-+-=+>⎣⎦，解得1m >-且0m ≠. 121212211414m x x m m x x x x +++=== 解得1221m m ==-，（舍去），所以m 的值为2.7.答案：D解析：关于x 的一元二次方程2(1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，2210(2)4(1)0a b a +≠⎧∴⎨∆=-+=⎩ 1b a ∴=+或(1)b a =-+.当1b a =+时，有10a b -+=，此时1-是方程20x bx a ++=的根；当(1)b a =-+时，有10a b ++=，此时1是方程20x bx a ++=的根.10a +≠，1(1)a a ∴+≠-+1∴和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根.当0a =时，0是关于x 的方程20x bx a ++=的根.综上，D 正确.8.答案：D解析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到1a ≠且234(1)(2)0a ∆=--⋅-≥，然后求出两个不等式解集的公共部分即可. 9.答案：C解析：正方体的平面展开图共有六个面，其中面“2x ”与面“32x -”相对，面“★”与面“1x +”相对.因为相对两个面上的数值相同，所以232x x =-，解得1x =或2x =.又因为不相对两个面上的数值不相同，当2x =时，2324x x +=-=，所以x 只能为1，即12x =+=★.10.答案：D解析：23,(2)3x x x =∴-=♣整理，得2230x x --=，因式分解，得(3)(1)0x x -+=，30x ∴-=或10x +=，123,1x x ∴==-.故选D.11.答案：（1）解：根据题意，得1m ≠1,2,1a m b m c m =-=-=+224(2)4(1)(1)4b ac m m m ∴∆=-=---+=(2)12(1)1m m x m m --±∴==--则121,11m x x m +==- （2）由（1），知112111m x m m +==+--. 方程的两个根都为正整数，21m ∴-是正整数， 11m ∴-=或12m -=，解得2m =或3.即m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
一元二次方程的解法综合练习题及答案
一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法 ①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A ∙B=0，那么A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法 )0(2≥=a a x3、配方法 ①移项：左边只留二次项与一次项，右边为常数项 〔移项要变号．．．．．〕 ②同除：方程两边同除二次项系〔每项都要除．．．．．〕 ③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号与正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法① 将方程化为一般式② 写出a 、b 、c③ 求出ac b 42-，④ 假设b 2-4ac ＜0，那么原方程无实数解⑤ 假设b 2-4ac ＞0，那么原方程有两个不相等的实数根，代入公式x= ⑥ 假设b 2-4ac ＝0，那么原方程有两个相等的实数根，代a x a x -==21入公式2b x a=-求解。
例1、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+ x 2()()0165852=+---x x例2、利用开平方法解以下方程51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x例3、利用配方法解以下方程7x=4x 2+2 01072=+-x x 例4、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0课后练习1、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的选项是 ( )A 、 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D 、以上都不对2、用__________________法解方程(x-2)2=4比拟简便。
3、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 那么a=______________.4、解方程〔x+a 〕2=b 得〔 〕A 、x=-a B 、x=±039922=--x xC 、当b ≥0时，x=-aD 、当a ≥0时，x=a5、关于x 的方程〔a 2-1〕x 2+〔1-a 〕x+a-2=0，以下结论正确的选项是〔 〕A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
人教版九年级上册数学第21章 《一元二次方程实际应用》能力提升练习题(含答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
一元二次方程提高题
一元二次方程提高题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=32．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或33．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或05．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣26．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.57．方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣8．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定9．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．201810．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．12．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于．13．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是．14．关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为．15．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为．三．解答题（共11小题）16．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．17．解一元二次方程：x2﹣3x=1．18．解方程：（2x+1）2=2x+1．19．4x2﹣3=12x（用公式法解）20．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）21．已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．23．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．24．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格单价40元不超过30件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得，解得a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．3．（2017•齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．5．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．7．（2017•雨城区校级自主招生）方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．【解答】解：①当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜，∴x2=﹣1（舍去）∴x=3；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故选：D．【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（2017•凉山州一模）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，m2+1=2，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1=2，即m≠1且m=±1，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．9．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2017•市中区三模）三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于9．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．13．（2017•北仑区模拟）已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是2．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m﹣1，再利用整体代入的方法得到原式=2017m﹣1﹣2018m++3，然后合并即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴m2﹣2017m+1=0，∴m2=2017m﹣1，∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3=﹣1﹣m+m+3=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2017•威海一模）关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为14．【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得m=4，则方程化为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2=6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长．【解答】解：把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得4﹣4m+3m=0，解得m=4，所以方程化为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以△ABC的周长为14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2017•曹县模拟）若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为3．【分析】设t=a+b，则原方程转化为关于t的方程t（t﹣6）+9=0，由此求得t的值即可．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：t（t﹣6）+9=0，整理，得（t﹣3）2=0，解得t=3．即a+b=3．故答案是：3．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．三．解答题（共11小题）16．（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．（2017•埇桥区模拟）解一元二次方程：x2﹣3x=1．【分析】配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017•广元模拟）解方程：（2x+1）2=2x+1．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2017•江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，则x==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2017•江汉区校级模拟）解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．21．（2017•萧山区模拟）已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用求差法得到M﹣N=（x﹣1）（x﹣3），然后根据x的取值范围确定积的符合，从而得到M与N的关系关系．【解答】解：（1）根据题意得5x2+3=4x2+4x，整理得x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=3；（2）M﹣N=5x2+3﹣（x2+4x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∵1＜x＜，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，∴M﹣N=（x﹣1）（x﹣3）＜0，∴M＜N．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．注意因式分解的应用．22．（2017•绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．23．（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：4k﹣11=5，解得：k=4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2017•皇姑区一模）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30单价40元件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．25．（2017•三门峡一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．26．（1999•重庆）关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．【解答】解：（1）令=y，①则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，∴x1=x2=﹣1．（17分）经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．。
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一元二次方程提高练习题
1.若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ） A.-1或-2 B.-1或2 C.1或-2 D.1或2 2、若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A 、2005
B 、2003
C 、-2005
D 、4010
3、关于x 的方程kx 2
+3x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A 、k ≤-49
B 、k ≥-49
且k ≠0 C 、k ≥-49 D 、k ＞-49
且k ≠0
4、关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）
A 、 x 2+3x-2=0
B 、x 2-3x+2=0
C 、x 2-2x+3=0
D 、x 2+3x+2=0
5、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（ ） A 、300（1+x ）=363 B 、300（1+x ）2=363 C 、300（1+2x ）=363 D 、363（1-x ）2=300
6、用配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)2x -= B ．2(2)2x += C ．2
(2)2x -=-
D ．2
(2)6x -=
7、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）
A ．0p >且q >0
B ．0p >且q <0
C ．0p <且q >0
D ．0p <且q <0
8、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝0
9、已知关于x 的一元二次方程2
2x m x -= 有两个不相等的实数
根，则m 的取值范围是( )
A ． m ＞－1
B ． m ＜－2
C ．m ≥0
D ．m ＜0 10、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A.9 B.3 C. D.5
（A ）－1或34 （B ）－1 （C ）3
4 （D ）不存在
二、填空题
11、方程
()412
=-x 的解为 。
12、若关于x 的方程2x 2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是 . 13、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为 .
14、关于x 的方程
03)3(1
2
=+---x x m m 是一元二次方程，则=m ；
15、已知、732
=-x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
16、方程x 2+3x+1=0的两个根为α、β，则βα+αβ
的值为 .
17.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程0
1272
=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积为 18.已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 83
19．已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 则=+m
n
n m
三、简答题
20：解方程：（1）(x+1)2+9=0 （2）x 2+5x+3=0
21.已知:△ABC 的两边AB,AC 是关于x 的一元二次方程
x 2-(2k+3)x+k 2
+3k+2=0的两个实数根,第三边BC 的长为5,(1)k 为何
值时, △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形;
(2) k 为何值时, △ABC 是等腰三角形,并求出此时△ABC 的周长.
22.一元二次方程(m+1)x 2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,并且
这两个根又不互为相反数,(1)求m 的取值范围;
(2)当m 在取值范围内取得最小偶数时,方程的两根为x 1,x 2,求
(3x 12
)(1-4x 2)的值.
23.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错 常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 24.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件 （1）要使每天获得利润700元，请问售价应定为多少。
（2）要使每天所获利润最大，请问售价应定为多少。