曲面上的测地线
什么是测地线的意思概念介绍
什么是测地线的意思概念介绍测地线的名字来自于对于地球尺寸与形状的大地测量学，那么你对测地线了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是测地线的内容，希望大家喜欢!什么是测地线定义类似地球这样的物体并非由于称为引力的力使之沿着弯曲轨道运动，而是它沿着弯曲空间中最接近于直线的称之为测地线的轨迹运动。
例如，地球的表面是一弯曲的二维空间。
地球上的测地线称为大圆，是两点之间最近的路径。
由于测地线是两个机场之间的最短程，这正是领航员叫飞行员飞行的航线。
在广义相对论中，物体总是沿着四维时空的直线走。
尽管如此，在我们的三维空间看起来它是沿着弯曲的途径(这正如同看一架在非常多山的地面上空飞行的飞机。
虽然它沿着三维空间的直线飞，在二维的地面上它的影子却是沿着一条弯曲的路径)。
短程线如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。
过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。
在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。
测地线效应光线经过一个大质量天体附近时，受其引力作用(或者说进入了该天体附近的弯曲空间)，路线会发生偏转，称为“测地线效应”。
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于C，等于C，大于C的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。
所以，如果不受到引力以外其他力的作用，物体将在类时或类光测地线上运动(因为没有物体的速度能超过光速) 例如，地球这样的物体并非收到称作引力的力的作用而沿着弯曲轨道运动;相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动，是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径称作测地线。
用专业术语来说，测地线的定义就是相邻两点之间最短(或最长) 的路径。
测地线效应概述也称作测地线进动(Geodetic Effect或Geodetic Precession)是指在广义相对论预言下引力场的时空曲率对处于其中的具有自旋角动量的测试质量的运动状态所产生的影响，这种影响造成了测试质量的自旋角动量在引力场内沿测地线的进动。
曲面上的测地线
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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引理： 若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明： 由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
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一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在 上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
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测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
而且所在平面沿 和 相切.
在一片只含有椭圆点的曲面上，由于 ，故没有渐近曲线.
在一片只含有双曲点的曲面上，由于 ，故经过每一点有两条渐进线.
在一片只含有抛物点的曲面上，由于 ，故渐进线的微分方程可写成 的形状，因此曲面上只有一簇渐近曲线.
定理2曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件：或者它是一条直线或者它在每一点的密切面与切面叠合（即它的副法线与曲面的法线重合： ）.
推理若两个曲面沿一条线 相切，则在这两个平面上， 或者都是渐进线，或者都不是.
定理3曲面 上一条异于直线的曲线 即是渐进线又是曲率线的充要条件： 为平面曲线.
注意这个定理与定理1的异同，定理3中的曲线不是直线，但条件也略去了 和平面沿 相切这一部分.事实上，由于 既是渐近曲线又是曲率线， 的方向是 的一个主方向，其对应的主曲率为0，因此由定理1， 沿 和平面相切，但定理3中的“异于直线”不能省略.例如直纹二次曲面上的母线是平面的渐近曲线，却不是曲率线.
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
.
测地曲率的几何意义：曲面 上的曲线 ，它在点 的测地线的绝对值等于 在 点切平面上的正投影曲线 的绝对曲率.
2.2曲率线的微分方程
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以写成以下形式
，
微分几何§6曲面上的测地线
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和 生理机制。
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定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率 不再是常数。
微分几何§6曲面上 的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反， 测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通 信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测 地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间， 航天器通常沿着测地线轨道飞行。这 是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作 用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种 特殊曲线，其长度等于 曲面上两点之间的直线 距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可 以分为欧氏空间中的测地线和非 欧氏空间中的测地线。
测地曲率和测地线
因此 k g ≡ 0 的充分必要条件是
α β d 2 uγ γ du du + Γ = 0, αβ ds 2 ds ds
γ = 1, 2
（1 ）
这就是测地线所满足的微分方程组。 若引进新的未知函数 v ，则方程组（ 1）便降阶成为一阶常微分方程组：
因此
du 2 du 2 r1 ⋅ (n × r2 ) = − | r1 × r2 | ， ds ds du1 du 1 | r1 × r2 | ， r2 ⋅ ( n × r1 ) = ds ds
kg =| r1 × r2 | ⋅{ −
α β du1 d 2 u 2 2 du du + Γ } αβ 2 ds ds ds ds
=C 作为曲面 S 上的曲线的法曲率 kn = S 上与 C 相切的法截线 C 的法曲率 = C 作为平面π上的曲线的相对曲率， 上面的最后一个等式是由于第四章§ 2 定理 1。 现在我们要讨论测地曲率的另一个性质，它是法曲率所不具有的。 定理 ２ 证明 曲面上任意一条曲线的测地曲率在曲面作保长变换时是不变的。 由于曲线 S 上的曲线 C 的参数方程是
其中 θ 是曲线的次法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见 ， k g = 0 的条件是 k = 0 或者
~
~ π ~ ~ cos θ = 0 。若 k ≡ 0 ，则该曲线是直线，若 k ≠ 0 ，则 cosθ ≡ 0 ，于是 θ ≡ ，即曲线的 2
主法向量是曲面的法向量。 现在我们考虑测地线的微分方程。由§1 的（ 5 ）式并且参看定理 2 的证明可知
（12）
设 u-曲线、 v-曲线的单位切向量分别记为 α 1 和 α 2 ，于是
微分几何26曲面上的测地线
i
d 2u ds2
i
ri
i, j
dui ds
du j ds
rij
k
d 2uk ds2
rk
k
d 2uk ( ds2
i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2
i, j
dui ds
角为下面 给，出则一dd个rs简单一 点ruE的c形os式 。 设rGv曲s线in的 切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2
d (cos
E
d
)
d
ds
d (cos
E du
)
du ds
d (cos
E dv
)
dv ds
(
d 2u1 ds2
n)
(r1
r2
)
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)
1 g
(r12
r22
(r1
r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2
i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
kg
g [ du
d 2v
dv
微分几何中的测地线与测地曲率-教案
微分几何中的测地线与测地曲率-教案1引言1.1微分几何的起源与发展1.1.1微分几何起源于17世纪，以牛顿和莱布尼茨的微积分为基础。
1.1.219世纪，高斯、黎曼等数学家进一步发展了微分几何，引入了曲率等概念。
1.1.320世纪，微分几何与广义相对论结合，成为现代物理学的重要工具。
1.1.4微分几何在计算机图形学、学等领域也有广泛应用。
1.2测地线与测地曲率的基本概念1.2.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，类似于欧几里得空间中的直线。
1.2.2测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，它与曲面上一点的切平面和曲面的夹角有关。
1.2.3测地线与测地曲率是微分几何中的重要概念，对于理解曲面的性质和几何结构至关重要。
1.2.4测地线与测地曲率在理论物理、工程学等领域有广泛的应用。
1.3教学目标与意义1.3.1通过本课程的学习，使学生掌握测地线与测地曲率的基本概念和计算方法。
1.3.2培养学生运用微分几何知识解决实际问题的能力，提高学生的几何直观和空间想象力。
1.3.3深化学生对曲面几何性质的理解，为后续学习高级微分几何打下基础。
1.3.4培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2知识点讲解2.1测地线的定义与性质2.1.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，可以通过变分法求得。
2.1.2测地线具有一些特殊的性质，如它们在切平面内的方向是相互垂直的。
2.1.3测地线与曲率有关，曲率越大，测地线越弯曲。
2.1.4测地线在几何学中有许多应用，如描述曲面上的最短路径问题。
2.2测地曲率的计算与性质2.2.1测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，可以通过计算曲面上的曲率张量得到。
2.2.2测地曲率与曲面上的测地线有关，测地线越弯曲，测地曲率越大。
2.2.3测地曲率可以用来判断曲面的几何性质，如球面上的测地曲率恒为常数。
2.2.4测地曲率在物理学中有重要应用，如描述时空的弯曲。
2.3测地线与测地曲率的应用2.3.1测地线可以用来描述曲面上的最短路径问题，如地球表面的导航问题。
3.2 测地曲率测地线
131
Meusnier 定理后知道, τ 亦为 C 关于柱面 Σ 的法曲率向量, 但是曲线 C 又可看成柱 面上过 P 点相应于方向 α 的法截线. 因此 τ 就是 C 的曲率向量. 现在定义测地曲率. 对(2.2)式两边关于 α 求内积得到 τ · α = 0, 而 τ 又在切平面 TP 上, 故 τ 与 n 也正交, 因此 τ 记 τ = kg (n × α), 称 kg 为曲线 C 在 P 点处的 测地曲率, 于是 |kg | = |τ |, 且
j i d2 uk k du du = 0, (k = 1, 2) + Γ ij ds2 ds ds 因此, 曲面上测地线的存在性等价于微分方程组(2.9)的解的存在性.
kg = 0 ⇐⇒
方程组(2.9)是以 u1 (s), u2 (s) 为因变量, 以 s 为自变量的二阶常微分方程组, 由常 微分方程的理论知道, 如果我们给定初始条件 ui (s0 ) = ui 0, dui (s0 ) = ds dui ds , i = 1, 2
§3.2 测地曲率 测地线
3.2.1 测地 曲率向 量 测地曲率
设曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ), C 是 S 上过 P (u1 , u2 ) 的一条曲线, 参数方程是 ui = ui (s) , 其中 s 是弧长参数. 曲线 C 的切向量为 α= dr dui = ri , ds ds
有唯一解 v = v (u), 它确定了曲面上唯一一条测地线. 【例 2】 试确定球面上的测地线. 【解】 kn =
1 ±R ,
θ = θ(u),
设 C 是半径为 R 的球面上的大圆(弧), 则熟知 C 的曲率 k =
1 R,
法曲率
于是 C 的测地曲率
微分几何中的测地线-教案
教案微分几何中的测地线-教案1引言1.1微分几何的基本概念1.1.1微分几何的定义：研究曲线、曲面和更高维流形的性质和结构的数学分支。
1.1.2微分几何的历史：起源于17世纪，牛顿和莱布尼茨的微积分为微分几何的发展奠定了基础。
1.1.3微分几何的应用：在理论物理、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
1.2测地线的概念1.2.1测地线的定义：在曲面上，连接两点的最短路径。
1.2.2测地线的重要性：在几何学和物理学中，测地线扮演着关键角色，如广义相对论中的自由落体路径。
1.2.3测地线的应用：在导航、地球物理学和天体物理学等领域有实际应用。
1.3教案的目的和结构1.3.1教案目的：深入理解微分几何中测地线的概念、性质和应用。
1.3.2教案结构：本教案分为十个章节，包括引言、知识点讲解、教学内容等。
1.3.3教案的使用：适用于大学数学系微分几何课程的教学和学习。
2知识点讲解2.1曲率和测地线2.1.1曲率的定义：描述曲线或曲面弯曲程度的量。
2.1.2测地线与曲率的关系：在曲率非零的曲面上，测地线是曲率最小的路径。
2.1.3曲率的计算：使用微分几何中的公式和方法计算特定曲线或曲面的曲率。
2.2测地线的性质2.2.1测地线的局部性质：在曲面上任一点附近，测地线是直线。
2.2.2测地线的全局性质：在闭合曲面上的测地线可能形成闭合回路。
2.2.3测地线的唯一性：在给定起始点和方向的情况下，测地线是唯一的。
2.3测地线的应用2.3.1在地球物理学中的应用：用于测量地球表面的距离和导航。
2.3.2在天体物理学中的应用：用于描述天体运动的路径。
2.3.3在理论物理中的应用：在广义相对论中，测地线描述了物体在重力场中的运动。
3教学内容3.1微分几何基础3.1.1曲线和曲面的基本概念：介绍曲线和曲面的定义、性质和分类。
3.1.2微分形式和积分：讲解微分形式的概念，以及其在曲线和曲面上的积分方法。
3.1.3曲率和挠率：详细讲解曲率和挠率的定义、计算和应用。
微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线
两 曲 面 沿 这 条 曲 线 有 公共 的 切 平 面 ，
因 而 沿 这 条 曲 线它，们 的 法 线 重 合 ，
而 曲 线 在 一 点 的 主 法 线只 有 一 条 ，
所 以 当 这 条 曲 线 的 主 法线 与 两 曲 面 之 一 的 法 线重 合 时 ，
同 时 必 与 另 一 曲 面 的 法线 重 合 ，由 命 题3知 ， 这 条 曲 线 也 是 另 一 个 曲面 的 测 地 线.
ikj
rk
Lij n]
i
d 2ui ds2 ri
ikj
i, j,k
dui ds
du j ds
rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
k
d 2uk ds2 rk
d 2uk
k [ ds2
i, j
kg (r, r, n)
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
证：(1) 对u 曲线而言， (s) 0,
由已知， ln E(u) 0, v
代入柳维尔公式得：
k gu
d
ds
1 2G
ln E v
cos
2
1 E
lnG sin
u
0.
u 曲线是测地线.
(2) 对v 曲线而言， (s) ,
2 由已知， ln E(u) 0,
v 代入柳维尔公式得：
k gv
1,2)
r
k
d 2uk [ ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
Lij
dui ds
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i j du2 d 2u1 du du 1 ( ( 2 ij )](r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j
i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
r1 r2 1 2 2 2 (r1 , r2 , n ) (r1 r2 ) (r1 r2 (r1 r2 ) ) g g 1 ( EG F 2 ) g g i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
在曲线上一点 P 有：
r n n cos n 令 n ，则 n, , 是两两正交的单位向量且成右手系， n, , , 都在 P 点的法面上。
定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 r k 在 上的投影（即在 S上P点的切平面上的投影） k g r k
由于 n k cos ，其中k为（ C）在P点的曲率， 为（C）的主 法向量和柱面在P点的法向量 之间的角，即
n k cos k k g .
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。 习题3。
d 2u k dui du j k dui du j ( 2 ij )rk Lij n ds ds ds k i , j ds ds i, j dui d 2u k dui du j k dui du j k g ( ri , ( 2 ij )rk Lij n, n ) ds ds ds ds i k i , j ds ds i, j
第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。 6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义
1 2 r r (u , u ), （c）是曲面上的一曲线：u u (s) 给定曲面S：
称为曲线在 P 点的测地曲率。
二、性质
2 2 命题1：k 2 k g kn
证明： k k k (n ) k ( , n, ) k ( , , n ) g k ( ) n k n k g k cos(900 ) k sin
2 2 kn kg k 2 cos2 k 2 sin 2 k 2
于是
注意： n, , , 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c* ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 * * ( c ) ( c 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 ) 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 (c ) 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又 P 在切平面上，所以柱面在 P * 的法向量 应在切平面上，而（ C ）点的切 ( c ) 向量 也在切平面上，所以柱面在 P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面， * 法截面与柱面的交线就是法截线 (c ) ，因此柱面在 方向的法 曲率 kn k * , kn k * (k *为(c* )在P点的曲率),
三、测地曲率的计算公式
k g k ( , , n) ( , k , n) (r , r , n)
k (rij ij rk Lij n)
k
1 2 i i du dv du du du du r ru rv r1 r2 ri ri ds ds ds ds ds ds i i i j 2 i i j 2 k du du d u du du d u r rij 2 ri rij 2 rk ds j ds ds ds i i i , j ds ds k