常微分方程的差分方法
第五章 常微分方程的差分方法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的数值解法。
二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。
具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。
三、教学重点难点1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。
2. 教学难点：收敛性与稳定性。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
五、正文基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式 引 言1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:00()(,)()y x f x y y x y '=⎧⎨=⎩微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，该函数满足微分方程并且符合初值条件。
2. 例如微分方程:xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。
于是可得一阶常微分方程的初始问题24(1)3y y x y ⎧'=+⎪⎨⎪=-⎩。
显然函数y(x)=x 2-4x 满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。
3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
4． 微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进行划分得一系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。
y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。
如果计算y n 时，只利用y n-1，称这种方法为单步法；如果在计算y n 时不仅利用y n-1，而且还要利用y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种方法为r 步方法，也称多步法。
§5.1 欧拉方法§5.1.1 欧拉格式方程()(,)n n n y x f x y '=中，1()()()n n n y x y x y x h+-'≈ 1()()(,())n n n n y x y x hf x y x +≈+⇒1(,)n n n n y y hf x y +=+称为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式，也称显示欧拉公式。
欧拉公式的几何意义非常明显，因为微分方程的解在xoy 平面上表示一族积分曲线。
用欧拉公式求数值解的几何意义如图：容易验证，该折线各个顶点的纵坐标(1,2...)n y n =就是欧拉公式算得的近似值解，所以，欧拉方法又称为折线法。
算例：P98可以看出误差随着计算在积累。
Euler 法的特点和误差特点：(1)单步方法；(2) 显式格式；(3)局部截断误差为()2h ο。
局部截断误差：当()n n y y x =时，由()n y x 按照欧拉方法计算来的1+n y 的误差称为局部截断误差。
即，11)(++-n n y x y 是局部截断误差。
按泰勒展开()()()()2112n n n y x y x hy x h y ξ+'''=++欧拉法得：()1,n n n n y y hf x y +=+ 因此，局部截断误差是()2h ο。
如果局部截断误差是1()p O h +，称这种数值方法是p 阶的。
欧拉方法显然是一阶的。
一阶的含义：常微分方程的解为b ax x y +=)(时，若第n 步精确，即)(n n x y y =前提下，欧拉公式能准确求解)(1+n x y 。
)()()()())(,()(),(11'1+++=+=++=++=+=+=+=n n n n n n n n n n n n n x y b ax b h x a ah b ax x hy x y x y x hf x y y x hf y y§5.1.2 隐式欧拉格式 在对微分方程初值问题进行离散化时，如果用向后差商1()()n n y x y x h+-代替方程111()(,())n n n y x f x y x +++'=中的1()n y x +',并用近似值1n y +表示1()n y x +,n y 表示()n y x ,得： ),(111++++=n n n n y x hf y y称为隐式欧拉公式，或后退的欧拉公式，它是关于1n y +的一个函数方程，其计算远比显式公式难但稳定性好。
欧拉公式1(,)n n n n y y hf x y +=+是关于n y 的直接计算公式，称为显式的。
隐式欧拉公式的右端含未知数1n y +，是关于1n y +的方程。
)()(2))()()(()()()(2)()()()()())(,()()(3''22'''3''2'1'11111h o x y h h o x hy x y h x y h o x y h x hy x y x hy x y x y x y x hf x y x y T n n n n n n n n n n n n n n n +-=++--+++=--=--=++++++ 无论向前或向后差商，它们具有相同精度，都是一阶方法。
§5.1.3 两步欧拉格式 以中心差商11()()2n n y x y x h+--替代方程()(,)n n n y x f x y '=中导数项，得 112(,)n n n n y y hf x y +-=+显式或隐式欧拉公式都是单步法，计算1n y +只用到前一步信息n y ，上式除用到n y ，还用到1n y -，用到前面两步信息，故称两步欧拉公式。
按泰勒公式展开)(2)()())(,(2)()('11111n n n n n n n n x hy x y x y x y x hf x y x y T --=--=-+-++ )()(6)(2)()()(4'''3''2'1h o x y h x y h x hy x y x y n n n n n ++++=+ )()(6)(2)()()(4'''3''2'1h o x y h x y h x hy x y x y n n n n n +-+-=- )()(3)(2)()(4'''3'111h o x y h x hy x y x y T n n n n n +=--=-++ 两步欧拉法截断误差为3()O h ，是二阶方法。
§5.2 改进的欧拉方法§5.2.1 梯形格式对方程(,)y f x y '=两端从n x 到1n x +求积分，得11()()(,())n n x n n x y x y x f x y x ++=+⎰(1) 用矩形公式计算1(,())n n x x f x y x +⎰即得欧拉公式，欧拉公式精度低，改用梯形方法计算积分得： 111(,())[(,())(,())]2n n x n n n n x h f x y x f x y x f x y x +++≈+⎰ 代入（1）式得111()()[(,())(,())2n n n n n n h y x y x f x y x f x y x +++≈++ 将()n y x 用n y 、1()n y x +用1n y +代替得离散化公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ 称为梯形公式。
实际上就是显示、隐式欧拉公式得算术平均。
梯形公式代数精度：)()(12)]()([2)()())](,())(,([2)()(4'''31''11111h o x y h x y x y h x y x y x y x f x y x f h x y x y T n n n n n n n n n n n n +-=+--=+--=++++++ §5.2.2 改进的欧拉公式显示欧拉公式计算量小，但精度低，梯形方法提高了精度，但它是一种隐式算法，当(,)f x y 是线性函数时，通过简单变换就能进行显式计算。
但(,)f x y 是非线性函数时，需要利用迭代法计算，计算量很大。
通常，采用预测—校正技术，即先用显式方法计算，预测一个值1n y +，为隐式公式提供一个好的迭代初值，然后用梯形公式迭代一次，可得1n y +。
1(,)n n n n y y hf x y +=+111[(,)(,)]2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++ 称为改进的欧拉公式，是一种一步显式公式。
可用如下嵌套形式))],(,(),([211n n n n n n n n y x hf y x f y x f h y y +++=++ 为了编程方便，常将改进的欧拉公式改写为1(,)n n n T y hf x y =+，211(,)n n T y hf x T +=+，1212n T T y ++= 算例：P101初值问题⎩⎨⎧=>+=0)0(0,'y x b ax y 的解为bx ax x y n +=2)(2，试证明改进的Euler 公式能准确求解上述问题。
初值问题c x y y x f y ==)(),,(0'有如下计算公式2/)3(11-+-+=n n n n f f h y y ，式中),(),,(111---==n n n n n n y x f f y x f f ，试说明此公式是几阶方法。
小结本节课我们主要了解了改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。
收敛性与稳定性需要大家熟练掌握。
作业：课后习题1-3.。
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程的差分的方法
对于二阶常微分方程 $y'' = f(t, y, y')$，可以采用隐式差分法或显式差 分法进行求解。
VS
隐式差分法需要解方程组，计算量大， 但精度高；显式差分法精度低但计算 量小。
复杂微分方程组的求解实例
对于多个一阶或二阶常微分方程组成的复杂微分方程组，可以采用耦合差分法或龙格-库塔法进行求 解。
差分方法的基本概念和原理
基本概念
差分方法的基本概念是将时间或空间离散化，将连续的微分方程转化为离散的差 分方程。在时间离散化中，我们使用向前、向后或中心差分近似微分项；在空间 离散化中，我们使用有限差分近似微分项。
原理
差分方法的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代或递 推的方式求解该差分方程。在每一步迭代或递推中，我们使用已知的函数值和差 分近似来计算新的函数值，直到达到所需的精度或收敛条件。
耦合差分法是将多个微分方程转化为耦合的差分方程组进行求解；龙格-库塔法是一种迭代算法，通过 已知的$y_n$和$y'_n$来求解$y_{n+1}$。
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REPORTING
https://
改进的龙格-库塔方法
引入预估校正步骤
为了提高数值解的精度和稳定性，可以在龙 格-库塔方法中引入预估校正步骤。通过预 估和校正两个步骤的结合，可以减小数值误 差并提高方法的收敛速度。
考虑非线性项的处理
在求解二阶常微分方程时，非线性项的处理 对于数值解的精度和稳定性具有重要影响。 通过改进非线性项的处理方式，可以进一步 提高改进的龙格-库塔方法的性能。
有限差分法
有限差分法的原理
有限差分法是一种基于离散化的数值方法， 通过将微分方程转化为差分方程来求解。该 方法的关键在于选择合适的差分格式和离散 化方案，以保证数值解的精度和稳定性。
常微分方程与差分方程
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
第4页
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
2 yx 2( x2 ) (2x 1)
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4
yx zx
zxyx yxzx zx zx1
zx1yx yx1zx zx zx1
可参照导数的四则运算法则学习
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17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第18页
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx f x 2
f x 0
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17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第24页
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
第十章 常微分方程与差分方程
第9页
证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
常微分方程的差分方法
(i 0,1,2,...n,1) (2.9)
21
不管是显式欧拉格式〔2.2〕，还是隐式欧拉格式 〔2.6〕，它们都是单步格式或称为一步格式。因 为它们在计算yi+1时只用到前一步所得结果yi一个 信息；而格式〔2.8〕那么除了yi外，还需用到更 前一步所得信息yi-1，即需调用前两步的信息，因 此〔2.8〕称为两步欧拉格式，或称为中点欧拉格 式。
y(3)(i)
y(xi1)2hf(xi,y(xi))
(i 0,1,2,...n,1)
20
y(x)y ,(x)和 y(x)分别用其近似值代入，则得
i1
i
i1
yi1 yi1 2hf(xi,yi) (2.8) (i0,1,2,...n,1)
显然，其局部截断误差为
h3 R
y ( (3) )
i3
i
O(h3)
第章常微分方程的差 分方法
1
§1 引 言 在工程和科学技术的实际问题中，常需要解常微分方程。但常微分方程组中往往只有少数较简单和典型
的常微分方程〔例如线性常系数常微分方程等〕可求出其解析解。对于变系数常微分方程的解析求解就比 较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说了。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这 种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类那么是数值解法，它 给出方程在一些离散点上的近似解。
在具体求解微分方程时，需要具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解 条
2
件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为 初始条件，相应的定解问题称为初值问题 ；另一种是 给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件 ，相应 的定解问题那么称为边值问题。
第三章常微分方程的差分方法15
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误 差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯 形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利 用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值 问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1） （2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求 解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn
yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉 格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远 比显式格式困难得多。
第三章常微分方程的差分方法(17-18)
四阶经典龙格解：四阶经典龙格-库塔公式
h y n +1 = y n + ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6 K1 = f ( xn , y n ) h K 2 = f ( xn+ 1 , y n + K1 ) 2 2 h K 3 = f ( x 1 , y n + K 2 ) n+ 2 2 K = f ( x , y + hK ) n +1 n 3 4
y ( x n +1 ) − y ( x n ) = y ′(ξ ) h
所以
y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hy ′(ξ )
即
y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hf (ξ , y (ξ )
（11）
K ∗ = f (ξ , y (ξ ) ) 为区间 [ xn , xn +1 ] 上的平均 我们称 斜率，这样只要对平均斜率 K ∗提供一种算法，相应地我
（16）
值得注意的是，龙格－库塔法的推导基于泰勒展 开法，因而它要求解具有较好的光滑性。如果解的光 滑性差，则该方法得到的解反而不好。
运用四阶经典龙格例：运用四阶经典龙格-库塔方法计算
3x y'= y − y y (0) = 1
的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。 的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。 x=0.4处的近似值 h=0.2
x n + p = x n + ph,
0 < p ≤1
x n + q ∈ [ x n , x n +1 ]
常微分方程有限差分
常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。
而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。
将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。
在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。
这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。
常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。
通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。
总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。
通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。
第三章 常微分方程的差分方法
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自 动 化 工 程 学 院
School of Automation Engineering
第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。
常微分方程与差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
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第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。
近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。
本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。