2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(5月份)+Word版含解析
2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为．11．已知f （x ）=的最大值和最小值分别是M 和m ，则M +m= ．12．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的取值集合是 ． 二.选择题13．直线（t 为参数）的倾角是（ ）A ．B ．arctan （﹣2）C ．D ．π﹣arctan214．“x ＞0，y ＞0”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．B ．C ．2+D ．1+16．对数列{a n }，如果∃k ∈N *及λ1，λ2，…，λk ∈R ，使a n +k =λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2+…+λk a n 成立，其中n ∈N *，则称{a n }为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{a n }是等比数列，则{a n }为1阶递归数列； ②若{a n }是等差数列，则{a n }为2阶递归数列；③若数列{a n }的通项公式为，则{a n }为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是﹣2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，可得α+β=﹣1，αβ=p．利用|α﹣β|=，即可得出．【解答】解：方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，则α+β=﹣1，αβ=p．∴|α﹣β|===3，解得p=﹣2故答案为：﹣2．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m的最小值．【解答】解：将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，可得y=sin（2x+2m+）的图象，由2kπ+≤2x+2m+≤2kπ+，可得kπ﹣m+≤x≤kπ+，故函数y=sin（2x+2m+）的减区间为[kπ﹣m+，kπ﹣m+]，k∈Z．∵得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，∴kπ﹣m+≤﹣，≤kπ﹣m+，求得m≥kπ+，且m≤kπ+，∴m的最小值为，故答案为：．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出满足条件的n值，再求常数项．【解答】解：展开式的通项公式为=•（3x2）n﹣r•=•3n﹣r••x2n﹣5r；T r+1令2n﹣5r=0，且n∈N*，r≥0，解得n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：•35﹣2•=．故答案为：．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．【考点】OX：矩阵的应用．【分析】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解．【解答】解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解∴，∴∴sinθ﹣sin3θ≠0∴sinθ≠0或sin2θ≠1∴故答案为9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=|x|+2y得y=﹣|x|+z，平移曲线y=﹣|x|+z，由图象可知当曲线y=﹣|x|+z经过点A，曲线y=﹣|x|+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（﹣4，5），代入z=|x|+2y=4+2×5=14．即目标函数z=|x|+2y最大值为14．故答案为：1410．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为﹣2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．【解答】解：∵=﹣，∴•=（+）•，=（+）•，=（+﹣）（﹣），=（+）（﹣），=（•+﹣2），=（3×3×+32﹣2×32），=﹣2，故答案为：﹣2．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=4．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】化简f（x），再设g（x）=，（﹣1≤x≤1），判断g（x）的奇偶性，可得g（x）的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，（﹣1≤x≤1），g（﹣x）==﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．综上所述，q=．故答案为：{， }．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】直线的参数方程消去参数t，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得直线的普通方程为2x +y ﹣=0，∴直线的斜率k=﹣2，∴直线的倾斜角α=π﹣arctan2． 故选：D ．14．“x ＞0，y ＞0”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x ＞0，y ＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x ＞0，y ＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x ＞0，y ＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A ．15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．B ．C ．2+D ．1+【考点】LD ：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C16．对数列{a n }，如果∃k ∈N *及λ1，λ2，…，λk ∈R ，使a n +k =λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2+…+λk a n 成立，其中n ∈N *，则称{a n }为k 阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n }是等比数列，则{a n }为1阶递归数列； ②若{a n }是等差数列，则{a n }为2阶递归数列；③若数列{a n }的通项公式为，则{a n }为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】8B ：数列的应用；2E ：复合命题的真假．【分析】利用等差数列、等比数列和数列{a n }的通项公式为的性质，根据k 阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果． 【解答】解：①∵{a n }是等比数列，∴a n =，a n +1=qa n ，∴∃k=1，λ=q ，使a n +k =qa n +k ﹣1成立， ∴{a n }为1阶递归数列，故①成立； ②∵{a n }是等差数列， ∴a n =a 1+（n ﹣1）d ，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使a n +2=λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2成立， ∴{a n }为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n }的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使a n +3=λ1a n +k ﹣1+λ2a n +k ﹣2+λ3a n +k ﹣3成立， ∴{a n }为3阶递归数列，故③成立． 故选D ． 三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调递增区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9Q：数量积的坐标表达式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I）利用函数求出向量的数量积，利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过对称中心到对称轴的最小距离为，求出函数的周期，得到ω，利用的最大值为1．求出t，得到函数的解析式．（II）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间，即可．【解答】（本小题满分12分）解：（I）由题意得====∵对称中心到对称轴的最小距离为∴f（x）的最小正周期为T=π∴，∴ω=1…∴，∴3+t，∴3+t=1，∴（II）…∴18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；（2）①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．【解答】解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于垂直面PBC的法向量．【解答】解：（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．∴=（2，2，﹣2，），=（﹣1，2，0），=（0，﹣2，2）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可取=（2，1，3）．设平面PBE的法向量为=（a，b，c），由，可取=（0，1，1），∴=由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．（2）由（1）可知面PBC的法向量为=（2，1，3），“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于；∵=（0，2，﹣2），=（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），=（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．由=2λ﹣4+6﹣6λ=0．解得λ=，所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；（2）①因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2﹣（2x0+2ky0）x+x02+y02﹣=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点M（x0，y0）在椭圆C上，证明k1k2=﹣．②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过4k1k2+1=0，推出y12y22=x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2=；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以直线OP：y=k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣=0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣=0的两个不相等的实数根，∴k1k2=，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2=1﹣，所以k1k2==﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1=0，所以+1=0，即y12y22=x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22=（1﹣）（1﹣）=x12x22，整理得x12+x22=4，所以y12+y22=1所以OP2+OQ2=5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，综上：OP2+OQ2=5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）=2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i ，r i =A i ﹣B i （i=1，2，3，…，m ﹣1）； （1）若数列{a n }的通项公式为（n=1，2，…，m ），求数列{r i }的通项公式；（2）若数列{a n }满足a 1=1，r 1=﹣2（i=1，2，…，m ﹣1），求数列{a n }的通项公式；（3）试构造项数为m 的数列{a n }，满足a n =b n +c n ，其中{b n }是公差不为零的等差数列，{c n }是等比数列，使数列{r i }是单调递增的，并说明理由． 【考点】8H ：数列递推式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由于单调递增，可得A i =2i ，B i =2i +1，即可得出r i =A i ﹣B i ，1≤i ≤m ﹣1．（2）根据题意可知，a i ≤A i ，B i ≤a i +1，因为r i =A i ﹣B i =﹣2＜0，可得A i ＜B i ，可得a i ≤A i ＜B i ≤a i +1，即a i ＜a i +1，根据单调性即可得出A i =a i ，B i =a i +1，可得r i =a i ﹣a i +1=﹣2．利用等差数列的通项公式即可得出．（3）构造a n =n ﹣，其中b n =n ，c n =﹣，根据单调性可得：A i =a i =i ﹣，B i =a i +1=i +1﹣，r i =a i ﹣a i +1=﹣1﹣，1≤i ≤m ﹣1，通过作差证明数列{a n }满足题意即可得出．【解答】解：（1）∵单调递增，∴A i =2i ，B i =2i +1，∴r i =A i ﹣B i =2i ﹣2i +1=﹣2i ，1≤i ≤m ﹣1．（2）根据题意可知，a i ≤A i ，B i ≤a i +1， 因为r i =A i ﹣B i =﹣2＜0，所以A i ＜B i ， 可得a i ≤A i ＜B i ≤a i +1，即a i ＜a i +1，又因为i=1，2，3，…，m ﹣1，所以{a n }单调递增，则A i =a i ，B i =a i +1，所以r i =a i ﹣a i +1=﹣2，即a i +1﹣a i =2，1≤i ≤m ﹣1， 所以{a n }是公差为2的等差数列，a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，1≤i ≤m ﹣1；（3）构造a n =n ﹣，其中b n =n ，c n =﹣，下证数列{a n }满足题意．证明：因为a n =n ﹣，所以数列{a n }单调递增，所以A i =a i =i ﹣，B i =a i +1=i +1﹣，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，﹣r i=[﹣1﹣]﹣[﹣1﹣]=＞0，因为r i+1所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）2017年7月23日。
【详解】2017年上海市青浦区高考数学一模试卷 Word版含答案
2017年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则．2．已知集合，则A∩B=．3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为．（精确到0.01）10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=．11．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；与a n之间的关系；（2）试求a n+1（3）证明：．21．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．2017年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则=3﹣4i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z代入z2，然后展开，再求出得答案．【解答】解：由z=2+i，得z2=（2+i）2=3+4i，则=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．2．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是4320．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．=•6r•x6﹣2r，【解答】解：二项式（x+）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为=4320，故答案为：4320．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=﹣2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，得到，即可求出a．【解答】解：∵由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，∴，∴a=﹣2．故答案为﹣2．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=log319．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n ＞3，退出循环，可得：S=log 319，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=1不满足条件n ＞3，执行循环体，n=3， 不满足条件n ＞3，执行循环体，n=19， 满足条件n ＞3，退出循环，可得：S=log 319． 故答案为：log 319．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为 16π ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【解答】解：∵设圆锥的母线长是l ，底面半径为r ，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π， ∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】数列的函数特性．＞a n，化简整理，再利用【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，＞a n，∴∀n∈N*，a n+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为 3.62．（精确到0.01）【考点】斜二测法画直观图．【分析】由题意，正三角形ABC的高为5，利用余弦定理求出△A′B′C′中最短边的边长．【解答】解：由题意，正三角形ABC的高为5，∴△A′B′C′中最短边的边长为≈3.62．故答案为3.62．10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=4．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，即可求•=||||cos45°．【解答】解：由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则•=||||cos45°=2×=4．故答案为：411．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f （x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或b（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．+3=k（a n+3），再对a1=﹣3与a1≠﹣3讨论，特别是【分析】依题意，可得a n+1a1≠﹣3时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+3k﹣3，【解答】解：∵a n+1∴a n+3=k（a n+3），+1∴①若a1=﹣3，则a1+1+3=k（a1+3）=0，a2=﹣3，同理可得，a3=a4=a5=﹣3，即a1=﹣3复合题意；②若a1≠﹣3，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+3}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，a n+3可以取﹣675，﹣75，25，225，∵﹣75=25×（﹣3），225=﹣75×（﹣3），﹣675=225×（﹣3），∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+3=22+3=﹣3（a1+3）得：a1=﹣﹣3=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+3=﹣675=﹣（a1+3）得：a1=2025﹣3=2022；综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣3，﹣，2022．∴a1所有可能值的和为：﹣3﹣+2022=．．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种【考点】三角函数的化简求值．【分析】对于s值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（s）•f（t）=0的个数．【解答】解：已知函数f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}，现从A中任取两个不同的元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0，s=3时f（s）=cos=0，满足f（s）•f（t）=0的个数为s=3时8个t=3时8个，重复1个，共有15个．故选D．14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面；②，n与α不一定垂直；③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α；④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β．【解答】解：已知空间两条直线m，n两个平面α，β对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故正确；对于②，n与α不一定垂直，显然错误；对于③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错；对于④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β，故正确．故选：A．15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求矩形ABCD面积的表达式，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=，分段画出函数图形可得其形状与C接近故选：B．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解答】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，据幂函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=}是“垂直对点集”．②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．故选：C三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，求出三棱锥A1﹣ABC的体积为，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∴∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=A1C=，AO=，AD=，∴cos∠AOD==∴∠AOD=；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，，，，∴．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换的应用可化简f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，由A＜B，且f（A）=f（B）=，可求得A=，B=，再利用正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分14分）第（1）小题满分，第（2）小题满分．解：f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣=•+﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）由于0≤x≤，因此﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值，最大值为1；（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）=f（B）=，可得：2A﹣=，2B﹣=，解得A=，B=，所以C=π﹣A﹣B=，得==．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意焦距求得c，由对称性结合|F1A|+|F1B|=4可得2a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），分别写出PA、PB所在直线方程，求出M、N的坐标，进一步求出MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，结合A、B在椭圆上可得k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵焦距，∴2c=2，得c=，由椭圆的对称性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，|F1B|+|F2B|=4，因此2a=4，a=2，于是b=，因此椭圆方程为；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），直线PA的方程为，令x=0，得，故M（0，）；直线PB的方程为，令x=0，得，故N（0，）；∴，，因此．∵A，B在椭圆C上，∴，∴．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；与a n之间的关系；（2）试求a n+1（3）证明：．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）取立，能求出曲线C1和曲线C2的交点坐标．（2）设P n（），，由已知，能求出．（3）由，，得与异号，由．此能证明a2n﹣1【解答】解：（1）∵曲线及曲线，取立，得x=，y=，∴曲线C1和曲线C2的交点坐标是（）．（2）设P n（），，由已知，又，===，．证明：（3）a n＞0，由，，得与异号，∵0＜a1，，，，．∴a2n﹣121．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）a=2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M （a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0，分类讨论，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，即M（a）=a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，即M（a）=a+；综上，M（a）=．（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0．①若t=0，则a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，a=﹣2不合题意，舍去当f（2）=4﹣4a=﹣4时，a=2，②若t+2=2a，则a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，若a=2，t=2，符合题意；若a=﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去当f（2a﹣2）=﹣4时，a=2，t=2综上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合题意．2017年1月13日。
2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(5月份)(解析版)
2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则•的值为．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+16．对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17 ．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，可得α+β=﹣1，αβ=p．利用|α﹣β|=，即可得出．【解答】解：方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，则α+β=﹣1，αβ=p．∴|α﹣β|===3，解得p=﹣2故答案为：﹣2．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m的最小值．【解答】解：将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，可得y=sin（2x+2m+）的图象，由2kπ+≤2x+2m+≤2kπ+，可得kπ﹣m+≤x≤kπ+，故函数y=sin（2x+2m+）的减区间为[kπ﹣m+，kπ﹣m+]，k∈Z．∵得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，∴kπ﹣m+≤﹣，≤kπ﹣m+，求得 m≥kπ+，且m≤kπ+，∴m的最小值为，故答案为：．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出满足条件的n值，再求常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=•（3x2）n﹣r•=•3n﹣r••x2n﹣5r；令2n﹣5r=0，且n∈N*，r≥0，解得n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：•35﹣2•=．故答案为：．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．【考点】OX：矩阵的应用．【分析】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解．【解答】解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解∴，∴∴sinθ﹣sin3θ≠0∴sinθ≠0或sin2θ≠1∴故答案为9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是14 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=|x|+2y得y=﹣|x|+z，平移曲线y=﹣|x|+z，由图象可知当曲线y=﹣|x|+z经过点A，曲线y=﹣|x|+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（﹣4，5），代入z=|x|+2y=4+2×5=14．即目标函数z=|x|+2y最大值为14．故答案为：1410．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则•的值为﹣2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．【解答】解：∵ =﹣，∴•=（+）•，=（+）•，=（+﹣）（﹣），=（+）（﹣），=（•+﹣2），=（3×3×+32﹣2×32），=﹣2，故答案为：﹣2．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= 4 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】化简f（x），再设g（x）=，（﹣1≤x≤1），判断g（x）的奇偶性，可得g（x）的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，（﹣1≤x≤1），g（﹣x）==﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得 q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得 q=．综上所述，q=．故答案为：{， }．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】直线的参数方程消去参数t，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得直线的普通方程为2x+y﹣=0，∴直线的斜率k=﹣2，∴直线的倾斜角α=π﹣arctan2．故选：D．14．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C16．对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】8B：数列的应用；2E：复合命题的真假．【分析】利用等差数列、等比数列和数列{a n}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．【解答】解：①∵{a n}是等比数列，∴a n=，a n+1=qa n，∴∃k=1，λ=q，使a n+k=qa n+k﹣1成立，∴{a n}为1阶递归数列，故①成立；②∵{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使a n+2=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2成立，∴{a n}为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n}的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使a n+3=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+λ3a n+k﹣3成立，∴{a n}为3阶递归数列，故③成立．故选D．三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9Q：数量积的坐标表达式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I）利用函数求出向量的数量积，利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过对称中心到对称轴的最小距离为，求出函数的周期，得到ω，利用的最大值为1．求出t，得到函数的解析式．（II）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间，即可．【解答】（本小题满分12分）解：（I）由题意得====∵对称中心到对称轴的最小距离为∴f（x）的最小正周期为T=π∴，∴ω=1…∴，∴3+t，∴3+t=1，∴（II）…∴18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；（2）①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．【解答】解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC 的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于垂直面PBC的法向量．【解答】解：（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．∴=（2，2，﹣2，）， =（﹣1，2，0），=（0，﹣2，2）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可取=（2，1，3）．设平面PBE的法向量为=（a，b，c），由，可取=（0，1，1），∴=由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．（2）由（1）可知面PBC的法向量为=（2，1，3），“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于；∵=（0，2，﹣2），=（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），=（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．由=2λ﹣4+6﹣6λ=0．解得λ=，所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；（2）①因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2﹣（2x0+2ky0）x+x02+y02﹣=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点M（x0，y0）在椭圆C上，证明k1k2=﹣．②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过4k1k2+1=0，推出y12y22=x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2=；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以直线OP：y=k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣=0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣=0的两个不相等的实数根，∴k1k2=，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2=1﹣，所以k1k2==﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1=0，所以+1=0，即y12y22=x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22=（1﹣）（1﹣）=x12x22，整理得x12+x22=4，所以y12+y22=1所以OP2+OQ2=5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，综上：OP2+OQ2=5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）=2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．【考点】8H：数列递推式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由于单调递增，可得A i=2i，B i=2i+1，即可得出r i=A i﹣B i，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，可得A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，根据单调性即可得出A i=a i，B i=a i+1，可得r i=a i ﹣a i+1=﹣2．利用等差数列的通项公式即可得出．（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，根据单调性可得：A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，通过作差证明数列{a n}满足题意即可得出．【解答】解：（1）∵单调递增，∴A i=2i，B i=2i+1，∴r i=A i﹣B i=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i=a i，B i=a i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣2，即a i+1﹣a i=2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n=n﹣，所以数列{a n}单调递增，所以A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i=[﹣1﹣]﹣[﹣1﹣]=＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）。
上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析
上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学试题1. 不等式的解为________【答案】【解析】∵，∴或，∴不等式的解为.2. 已知集合，，则________ 【答案】【解析】∵ ，，∴ .3. 已知奇函数，当时，，则时，________【答案】【解析】令，则，∴，又是奇函数，所以，故填.4. 函数，的值域为________【答案】...............5. 若，则的最小值为________【答案】【解析】由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.6. 若是关于的一元二次方程的一个虚根，且，则实数的值为________【答案】【解析】设是方程的一个根，则是方程的另一个根，所以，又，所以，故填.7. 设集合，，若，则最大值是________ 【答案】【解析】由得：，则x=1时，时，，当时，当时，.故答案为.8. 若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是________【答案】【解析】展开式的通项为，令，解得，所以时，取时有最小值，故填.9. 已知方程有两个虚根，则的取值范围是________ 【答案】【解析】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.10. 从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则________【答案】【解析】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k-1）个．比k的大的数有（10-k）个，故有，所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，解得k=7，故答案为：711. 已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________【答案】【解析】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集，故且等号不同时成立，解得或.故填或12. 已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是________ 【答案】【解析】若，不等式组可化为不满足条件，若，则若不等式组，时，满足条件，解得：若，则若不等式组，时，满足条件，解得：，故填.点睛：本题主要考查二次不等式组有唯一解的问题，属于中档题.解决此类问题只需要将问题转化为研究二次函数的最大值与最小值问题即可，不等式有唯一解最大值，不等式有唯一解最小值. 13. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出和的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则________【答案】【解析】类比图象法解不等式，在同一坐标系中，画出和的图象，。
2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。
2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)+Word版含解析
2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为．2．5051﹣1被7除后的余数为．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（结果用小数表示）5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是．8．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是．10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．14．设M={a|a=x2﹣y2，x，y∈Z}，则对任意的整数n，形如4n，4n+1，4n+2，4n+3的数中，不是集合M中的元素是（）A．4n B．4n+1 C．4n+2 D．4n+315．直线l在平面α内，直线m平行于平面α，且与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为[﹣2，0] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】判断出cosx∈[﹣1，1]，从而求出f（cosx）的值域即可．【解答】解：∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．2．5051﹣1被7除后的余数为0．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据5051﹣1=（49+1）51﹣1，按照二项式定理展开，可得它除以7的余数．【解答】解：5051﹣1=（49+1）51﹣1=•4951+•4950+•4949+…+•49+﹣1，显然，除了最后两项外，其余的各项都能被7整除，故它除以7的余数为﹣1=0，故答案为：0．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是3x﹣4y+5=0．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】利用参数方程与普通方程的互化，消去参数求解即可．【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），可得，可得3x﹣4y+5=0．故答案为：3x﹣4y+5=0．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为0.388（结果用小数表示）【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，由此利用对立事件概率计算公式能求出一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率．【解答】解：一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率：p=1﹣0.9×0.8×0.85=0.388．故答案为：0.388．5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【解答】解：由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为R，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L=R=R，则A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB=，则A、B两地之间的距离是．故答案为：．6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】直接利用复数的几何意义，直接求解即可．【解答】解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是8．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=﹣f（4﹣x），∴﹣f（x）=f（4﹣x），∴f（a）+f（b）≥0可化为f（a）≥﹣f（b）=f（4﹣b），又∵f（x）在R上单调递增，∴a≥4﹣b，即a+b﹣4≥0，a2+b2表示点（0，0）到点（a，b）的距离平方，∴a2+b2的最小值是点（0，0）到直线a+b﹣4＞0的距离平方．故答案为：88．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A1（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．=（﹣x，﹣y，1），=（1﹣x，1﹣y，1），∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．当x=，y=时，f（x，y）取得最小值．当点P取（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．∴f（x，y）∈．故答案为：．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是8a．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的右焦点为M，则△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=8a 即可．【解答】解：如图，设椭圆的右焦点为M，由椭圆的方程得椭圆的长轴为2×2a=4a，△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，故答案为：8a10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．【考点】2H：全称命题．【分析】求出x2∈[0，2]时f（x2）的值域，x1∈[0，2]时g（x1）的值域；根据题意得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：函数=﹣4+，（a＞0），x2∈[0，2]，x2+1∈[1，3]，∴∈[3，9]，∴﹣4+∈[﹣1，5]，即f（x2）∈[﹣1，5]；又x1∈[0，2]，x1∈[0，]，sin（x1）∈[0，1]，∴g（x）=asin（x1）+2a∈[a，3a]；对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，等价于，解得﹣1≤a≤；又a＞0，∴实数a的取值范围是0＜a≤．故答案为：（0，]．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．【考点】IR：两点间的距离公式；7F：基本不等式．【分析】设M（x，y），由题意可得y=，代入距离公式可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，消掉y可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，进而可得其△≤0，解此不等式可得t的范围，进而可得最小值．【解答】解：设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得，整理可得y=，由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y ﹣1）2]，整理可得3x2+3y2﹣4y≥0，代入y=化简可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，∵3t2+12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t）2﹣4（3t2+12）•4t2≤0，整理可得3t4﹣4t2≥0，即，解得t≥，或t≤（因为t＞0，故舍去）故正实数t的最小值是：故答案为：12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是{2}∪[3，+∞）．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】运用三角函数的有界性，结合三角函数的周期性，分析得到答案．【解答】解：要cosωa+cosωb=2，则有cosωa=cosωb=1；余弦函数y=cosx图象如下：可知，当x=2kπ时，cosx=1，∵cosωa+cosωb=2，π≤a＜b≤2π），∴必有ωa=2kπ，ωb=2kπ+nπ，（k，n∈N+∴），得到k+1≤ω≤2k（k∈N+①k=1时，ω=2，②k=2时，3≤ω≤4，③k=3时，4≤ω≤6，④k=4时，5≤ω≤8，…可得ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），且，可得+i=﹣i，因此=，=﹣，解出即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），且，则+i=﹣i，∴=，=﹣，联立解得a=，b=﹣．∴z=﹣i ， 故选：B ．14．设M={a |a=x 2﹣y 2，x ，y ∈Z }，则对任意的整数n ，形如4n ，4n +1，4n +2，4n +3的数中，不是集合M 中的元素是（ ） A ．4n B ．4n +1C ．4n +2D ．4n +3【考点】12：元素与集合关系的判断． 【分析】根据平方差公式凑数判断．【解答】解：∵4n=（n +1）2﹣（n ﹣1）2，∴4n ∈M ， ∵4n +1=（2n +1）2﹣（2n ）2，∴4n +1∈M ， ∵4n +3=（2n +2）2﹣（2n +1）2，∴4n +3∈M ， 若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2=4n +2， ∴4n +2=（x +y ）（x ﹣y ）， ∵x +y 和x ﹣y 的奇偶性相同，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除，∴4n +2∉M ． 故选C ．15．直线l 在平面α内，直线m 平行于平面α，且与直线l 异面，动点P 在平面α上，且到直线l 、m 距离相等，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】作出直线m 在平面α内的射影直线n ，假设l 与n 垂直，建立坐标系，求出P 点轨迹即可得出答案．【解答】解：设直线m 在平面α的射影为直线n ，则l 与n 相交， 不妨设l 与n 垂直，设直线m 与平面α的距离为d ， 在平面α内，以l ，n 为x 轴，y 轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，∴P到直线m的距离为，∴|y|=，即y2﹣x2=d2，∴P点轨迹为双曲线．故选：D．16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]【考点】3T：函数的值；12：元素与集合关系的判断．【分析】利用当x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）连结AC，A1C1，证明BD⊥平面ACC1A1得出BD⊥A1E；（2）设AA1=a，求出△A1OE的边长，利用勾股定理列方程解出a．【解答】解：（1）证明：连结AC，A1C1，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E．（2）∵AB=2，∴AO=CO=，A1C1=2，设AA1=a，则C1E=a﹣，∴OE2=2，A1O2=a2+2，A1E2=（a﹣）2+8=a2﹣2a+10，∵OE⊥A1E，∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=2+a2﹣2a+10，解得a=．∴AA1=．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数定义表示出EG和FE的长度，利用勾股定理可得长度FG．三边之和可得污水管道的长度l．（2）根据（1）中的关系式利用三角函数公式化简，利用三角函数的有界限可得l的最大值，即污水净化效果最好．【解答】解：（1）由题意，∠GEB=θ．∠GEF=90°．则∠AEF=90°﹣θ，E是AB的中点，AB=20m，，∴EG=，EF==．FG==则定义域：；（2）由（1）可知则，；化简可得l=，令t=sinθ+cosθ=sin（）．∵；∴∈[，]，可得sin（）∈[，1]则：t∈[，]可得：sinθcosθ=，且t≠1．那么：l===．当t=时，长度l取得最大值为；此时：t=sin（）=，即=或∴或，故得或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为；19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．【考点】57：函数与方程的综合运用；3T：函数的值．【分析】（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，（2）函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f （x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）函数，由f（x1）f（x2）=1，得=1，即x12x22=1，对应的x1、x2不唯一，所以，x﹣2不是“依赖函数”；对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得2=1，得x1+x2=0，所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．（2）当时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，则函数的最大值为a+1，最小值为a﹣1，则由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，得a2=2，得a=．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的通径公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程方程；（2）根据直线的斜率公式，求得k1+k2=﹣，k3+k4=，由与共线，则=，即可求得k1+k2+k3+k4=0；（3）EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2），则=，（y2＞且y≠±2），根据函数单调性即可求得的取值范围．【解答】解：（1）由题意a=2c，椭圆的通径丨AB丨==3，a2=b2+c2，则a=2，b=，c=1，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x1，y1），则，则x12﹣4=﹣，k1+k2=+===﹣，设Q（x2，y2），则，则x12﹣4=，则k3+k4=+===，又与共线，∴x1=λx2，y1=λy2，∴=，k1+k2+k3+k4=（﹣+）=0；（3）设E（，y），由，解得：，由E在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上一点，则y2＞，则EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2）则=×==，（y2＞且y≠±2）则=，（y2＞且y≠±2）令t=y2，（t＞且t≠4，）设f（t）==﹣，（t＞且t≠4，），求导f′（t）=+＞0∴f（t）在（，4），（4，+∞）上单调递增，∴f（t）的取值范围（﹣，0）∪（0，+∞）∴的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）利用作商法求a n；（2）利用等差数列的定义证明数列{}为等差数列，并求得{a n}的通项公式；（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T4，T5，则a5=即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1，即得符合条件的数列共有299个．【解答】解：（1）当n=1时，a1=T1=1；当n≥2时，a n==，∴a n=…（2）当n=1时，a1=T1=（1﹣a1），所以a1=，当n≥2时，2T n=1﹣a n=1﹣，所以﹣=2，数列{}为等差数列…=3+2（n﹣1）=2n+1，T n=，a n=1﹣2T n=…（3）（Ⅰ）由a1•a2…•a100=2，a1•a2…•a4+a5•a6…a100=6；可得T4=3±，由a1•a2…•a100=2，a1•a2…a5+a6•a7…a100=7，可得T5=，所以a5==或a5=．…（Ⅱ）a1+a2…•a100=3，所以a1=1或2T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1所以符合条件的数列共有299个．…2017年6月18日。
2017年复旦附中自招数学题 配答案
44、若关于 x 的方程 x 2 b a 有四个实数解，则化简 a b a b a b 的结果 ab ab a b
是 A、-2
B、0
C、2
D、4
45、如果方程 x 1 x2 2x m 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m
的取值范围是
A、 0 m 1
B、 m 3 4
A、 1 5 2
B、 1 5 2
C、 1 5 2
D、以上答案都不正确
40、已知 a,b,c 是不完全相等的任意实数，若 x a 2b c, y a b 2c, z 2a b c ，
则关于 x, y, z 的值，下列说法正确的是
A、小于 0
D、至多有一个大于 0
A、1
B、-3
C、-1
D、2
53、甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。在比赛结果揭晓之前，四个人做
了如下猜测
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中
乙：我没有获奖，丙获奖了
丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖
丁：乙说的对
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为
A、甲 丁
B、乙 丙
C、乙 丁
截得线段的长度为 l ，则 l 的取值范围为 A、 0 l 1 B、1 l 2 C、 2 l 3 D、 3 l 4
50、已知实数 x, y 满足： x y 3 0, 2y3 y 6 0 ，则 x y2 的值为 y
A、0
B、 1 2
C、1
D、 3 2
51、已知二次函数 y x2 2ax 2 ，当自变量 x 的取值范围为 1 x 1时，y 的取值既有
正值，又有负值，则实数 a 的取值范围为
A、 a 1 2
2016-2017年上海市复旦附中高三上第一次月考
一. 填空题
1. 不等式 1 1 的解为 x3
2. 已知集合 A {y | y x2 1, x R} ， B {x | y lg(1 x)} ，则 A B
3. 已知奇函数 g(x) ，当 x 0 时， g(x) x2 x ，则 x 0 时， g(x) 4. 函数 y x3 4 ， x [1, 4] 的值域为
18. 已知函数 f (x) a x x （ a 为常数，且 a N * ），对于定义域内的任意两个实数
x1 、 x2 ，恒有 | f (x1) f (x2 ) | 1 成立，则正整数 a 可以取的值有（ ）个
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
三. 解答题
19. 设复数 z a bi (a, b R) ，若 z 是纯虚数，求| z 2 | 的取值范围； z 1
3x
9. 已知方程 x2 px 4 0 ( p R) 有两个虚根,，则2 2 的取值范围是
10. 从集合{1,2,3,4,5,6, 7,8, 9,10} 中任取两个数，要使取到的一个数大于 k ，另一个数小 2
于 k （其中 k {5, 6, 7,8,9} ）的概率是 ，则 k 5
11. 已知命题 p : x 1或 x 3 ，命题 q : x 3m 1 或 x m 2 ，若 p 是 q 的充分非必要 条件，则实数 m 的取值范围是
的子数组，求C( A, S ) 的最大值；
（3）若数组 A (a , a , a ) 中的“元”满足 a 2 a 2 a 2 1，设数组 B (m N *) 含有
123
1
2
3
m
四个“元” b ,b ,b ,b ，且b 2 b 2 b 2 b 2 m ，求 A 与 B 的所有含有三个“元”
2017年上海中学高考数学模拟试卷(1)+Word版含解析
2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．2．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于．3．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．4．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是．10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+316．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上17．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=0．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：02．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于0．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵===，∵实部和虚部互为相反数，∴，∴，∴b=0，故答案为：03．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5．【考点】DC：二项式定理的应用．=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系【分析】由题意可得T r+1数，从而可求=C n r（2x）r=2r C n r x r【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：54．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a，可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF1F2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，令内切圆圆心为O则=++=（|PF1|r+|PF2|r+|F1F2|r）=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•1=8又∵=|F1F2|•y P=3y P．所以3y p=8，y p=．故答案为7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．【考点】8E：数列的求和；6F：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n项和记为S n，再求它们的极限．【解答】解：当n=2k时，当n=2k+1时，∴S n=故答案为8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH 共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0} ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设y1=，y2=﹣kx+2，画出函数y1=图象，结合图象，即可得到k的取值范围．【解答】解：根据题意设y1=，y2=﹣kx+2，当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当﹣k＞1或﹣k＜﹣1时，直线y=﹣kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0}10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6=×6×6×6=72∴V四棱锥P﹣ABCD∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于8.4（精确到0.1）．【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a x）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），∵函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，∴|AB|=，⇒点A到直线y=x的距离为，∴⇒a x﹣x=2，①又A（x，a x）在函数y=的图象上，⇒a x=，②由①②得：﹣x=2⇒x=，∴a﹣（﹣1）=2，⇒a=（）≈8.4故答案为：8.4．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）【考点】F3：类比推理；LL：空间图形的公理．【分析】由题意可得：•=0，即与垂直，设D为BC的中点，则=，可得=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：•=﹣||+||=0∴与垂直设D为BC的中点，则=，所以，所以=，因为与垂直所以，又∵点D为BC的中点，∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．故答案为：．二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性．【分析】可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．【解答】解：y=cos2x在区间上是减函数，y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．在区间上也是减函数，故选D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+3【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．16．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．17．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，则的值为（ ） A ．5032B ．5044C ．5048D ．5050【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，①；a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，②；①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，① a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，② ①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，∴， 同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a 1=，a 2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B ．三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作图即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣=1﹣sin．由于它的最小正周期为π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：如图：19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得=+（）∈R即=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则∵|2z+15|=|+10|∴|（2a+15）+2bi|=|（a+10）﹣bi|∴=∴a2+b2=75∴∴|z|=（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R则有=+（）∈R∴=0∵b≠0∴a=由（1）知=5∴a=±520．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B1C与C1A垂直，可在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，证明B1C⊥平面ABC1，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B 1C ⊥AB ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥C 1A ．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积为221．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p 的最小值． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）y=10n（1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%，得p%≥，令a n =，由此能求出p 的最小值．【解答】解：（1）y=10n （1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%， 得p%≥， 令a n =，由，得1≤n≤2，∴p%≥a1=a2=，∴p≥．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将b=2，m=﹣4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；（2）将c=﹣3，m=﹣2代入函数解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，然后转化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0．【解答】解：（1）即ax2﹣2ax0x+ax02=0∴△=4a2x02﹣4a2x02=0∴l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0∴by02+ax02＞1∴N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0同理得关于λ2的方程，类似．即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根∴λ1+λ2=0．2017年7月7日。
上海市复旦大学附中浦东分校2017届高三上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷一.填空题1．函数f（x）=的定义域为．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=．3．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解，则实数m的值为．5．已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=．6．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则的最小值是．7．若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．8．等比数列{a n}前n项和，n∈N*，则=．9．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．10．已知函数f（x）=，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．11．已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为．12．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是．二.选择题13．设全集U=R，已知A={x|＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣2]C．（2，3]D．[2，3）14．已知a、b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要15．下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A．0 B．1 C．2 D．316．已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是（）A．3πB．2πC．πD．18．已知O是正三角形△ABC内部的一点， +2+3=，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A．B．C．2 D．1三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，4S n=（a n+1）2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+（∈N*），试求（b1+b2+…+b n﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．23．已知函数f（x）=log2（x+a）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜，当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g （x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=的定义域为[﹣2，0）∪（0，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得：﹣2≤x≤2且x≠0．∴函数f（x）=的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]．故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．【解答】解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i3．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．【解答】解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解，则实数m的值为﹣2．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】根据二元一次方程组的增广矩阵是（），该方程组无解，可得且，从而可求实数m的值．【解答】解：∵二元一次方程组的增广矩阵是（），该方程组无解，∴且，∴m2﹣4=0且4m﹣m（m+2）≠0，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．5．已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=﹣2．【考点】反函数．【分析】由题意可得y=g（x）是y=f（x）的反函数，得到函数y=g（x）的图象关于（0，﹣1）点中心对称图形，结合x1+x2=0，可得g（x1）+g（x2）的值．【解答】解：∵定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且y=g（x）是y=f（x）的反函数，∴函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称，故函数y=g（x）的图象关于（0，﹣1）点中心对称图形，∴点（x1，g（x1））和点（x2，g（x2））是关于点（0，﹣1）中心对称，∴，，∵x1+x2=0，∴g（x1）+g（x2）=﹣2．故答案为：﹣2．6．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则的最小值是25．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+，且4x+y=1，则=（4x+y）=13++≥13+2=25．故答案为：25．7．若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．【考点】二项式定理的应用．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，求出r=0，2，4，6时，为有理项，即可求出概率．【解答】解：因为二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，所以n=6．=所以其通项为T r+1所以r=0，2，4，6时，为有理项，所以所求概率为，故答案为：．8．等比数列{a n}前n项和，n∈N*，则=﹣．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列{a n}的前n项和推知a1和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n=a+（﹣）n，n∈N*，∴a n=S n﹣S n﹣1=a+（﹣）n﹣a+（﹣）n﹣1=﹣•（﹣）n﹣1，∴a1=﹣，q=﹣，为首项﹣，公比为的等比数列，∴a1，a3，a5，…，a2n﹣1==﹣（1﹣），∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1∴=（﹣（1﹣）=﹣故答案为：9．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆9.6公斤．【考点】球的体积和表面积．【分析】设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，根据体积相等建立等式关系，然后求出64个小球球面的总面积，从而求出所求．【解答】解：设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，依题意得知：面积为4πR2需要要用油漆2.4kg．由=64×，可得r=R64个小球球面的总面积为：64×4πr2=4×（4πR2）∴4×2.4=9.6（kg）故答案为：9.6．10．已知函数f（x）=，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．【考点】数列的函数特性．【分析】要使函数f（x）=x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t，解得t；要使函数f（x）=在x＞3单调递减，则必须满足t ﹣13＜0，解得t；又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＞f（4），解得t．联立解得即可．【解答】解：要使函数f（x）=x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t；要使函数f（x）=在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t ＜13．又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）=27﹣9t＞f（4）=（t﹣13）•，解得t＜4．故t的取值范围是．故答案为：．11．已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为或．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由f（x）≥f（），可知f（）是函数f（x）的最小值，利用辅助角公式求出a，b的关系，然后利用三角函数的图象和性质进求解即可．【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）其中tan，由f（x）≥f（），则f（）是函数f（x）的最小值，即f（）=，∴f（）=，即，平方得，，即，∴，解得b=﹣，∵tan=，不妨设，则f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x﹣），由f（x）=sin（2x﹣）=0，解得2x﹣=kπ，即x=，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，x=，当k=1时，x=，故x=或=．故答案为：或．12．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是②④．【考点】函数的值域．【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时，令F（x）=f（x）﹣g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）﹣g （x）→0，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=f（x）﹣g（x）==，因为当x＞1且x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以存在分渐近线；对于③f（x）=，g（x）=，f（x）﹣g（x）==当x＞1且x→∞时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x→∞时f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→∞时，f（x）﹣g（x）===→0，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故答案为②④．二.选择题13．设全集U=R，已知A={x|＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣2]C．（2，3]D．[2，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+3）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣或x＞2，即A=（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），∴∁U A=[﹣，2]，由B中不等式变形得：﹣2＜x﹣1＜2，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∴（∁U A）∩B=（﹣1，2]，故选：B．14．已知a、b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的性质与解法分别化简命题甲、乙，即可判断出关系．【解答】解：由命题乙：，可得：a＜b＜0．命题甲：ab＞b2，化为：b（a﹣b）＞0，∴，或，解得a＞b＞0，或a＜b＜0．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可判断出正误；（2）利用异面直线的性质与线面平行的判定定理即可断出正误；（3）利用直四棱柱与直平行六面体的定义，即可判断出正误；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．【解答】解：（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面不一定平行，因此不正确；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个，正确；（3）直四棱柱不是直平行六面体，因此不正确；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．综上正确的有1个．故选：B．16．已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是（）A．3πB．2πC．πD．【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得•=π，求得ω 的值，可得f（x）的最小正周期是的值．【解答】解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且•=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．18．已知O是正三角形△ABC内部的一点， +2+3=，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A．B．C．2 D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式．【分析】对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究即可，【解答】解： +2+3=，变为，设D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知，2，故，由于正三角形ABC，=S△ADC=××S△ABC=S△ABC，故S△AOC又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半，=×S△ABC所以S△AOB∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为．故选：B三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【分析】（1）证明AB⊥BCC1B1，说明A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高，然后求解四棱锥A1﹣BCC1B1的体积．（2）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出=（1，1，0）是平面A1C1C 的一个法向量．平面A1B1C的一个法向量利用向量的数量积求解二面角B1﹣A1C ﹣C1的大小．【解答】（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题，第（2）小题．解：（1）因为AB⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB⊥BCC1B1，从而A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高．…四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V=×2×2×2=…（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），…设AC的中点为M，∵BM⊥AC，NM⊥CC1，∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是=（x，y，z），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0）…∴=﹣2x=0，，令z=1，解得x=0，y=1.=（0，1，1），…设法向量与的夹角为β，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosβ|=，∴θ=．二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为…20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则，∴曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q （x 0，y 0）在双曲线上，所以，∵，∴，∴0＜b ≤2，由双曲线C 2的焦距为2，故双曲线C 2的焦距的取值范围∈（2，2]．22．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1，4S n =（a n +1）2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =+（∈N *），试求（b 1+b 2+…+b n ﹣2n ）的值；（3）是否存在大于2的正整数m 、k ，使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =300？若存在，求出所有符合条件的m 、k ；若不存在，请说明理由． 【考点】数列的极限；数列的求和．【分析】（1）通过4a n +1=4S n +1﹣4S n 得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）=0，进而可得结论；（2）通过分离b n 的分母可得b n =2+2（﹣），累加后取极限即可；（3）假设存在大于2的正整数m 、k 使得a m +a m +1+…+a m +k =300，通过（1）可得300=（2m +k ﹣1）（k +1），利用2m +k ﹣1＞k +1≥4，且2m +k ﹣1与k +1的奇偶性相同，即得结论．【解答】解：（1）∵4S n =（a n +1）2，∴4S n +1=（a n +1+1）2，两式相减，得4a n +1=4S n +1﹣4S n =（a n +1）2﹣（a n +1+1）2=﹣+2a n +1﹣2a n ，化简得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）=0， 又∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n +1﹣a n =2 （n ∈N *），∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =2n ﹣1 （n ∈N *）．（2）因为b n =+=+=2+2（﹣），故b 1+b 2+…+b n =2n +2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n +2（1﹣），于是（b 1+b 2+…+b n ﹣2n ）=[2（1﹣）]=2；（3）结论：存在大于2的正整数m 、k 使得a m +a m +1+…+a m +k =300． 理由如下：假设存在大于2的正整数m 、k 使得a m +a m +1+…+a m +k =300， 由（1），可得a m +a m +1+…+a m +k =（2m +k ﹣1）（k +1）， 从而（2m +k ﹣1）（k +1）=300，由于正整数m 、k 均大于2，知2m +k ﹣1＞k +1≥4，且2m +k ﹣1与k +1的奇偶性相同，故由300=22×3×52，得或，解得或，因此，存在大于2的正整数m 、k ：或，使得a m +a m +1+…+a m +k =300．23．已知函数f （x ）=log 2（x +a ）．（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜，当a=1时，求x 的取值范围；（2）若定义在R 上奇函数g （x ）满足g （x +2）=﹣g （x ），且当0≤x ≤1时，g （x ）=f （x ），求g （x ）在[﹣3，﹣1]上的反函数h （x ）；（3）对于（2）中的g （x ），若关于x 的不等式g （）≥1﹣log 23在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数恒成立问题．【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式化为1＜，且2﹣2x ＞0且x +1＞0，解不等式组可得x 的取值范围；（2）函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），表示函数的周期为4，结合函数g（x）为奇函数，可求出x∈[﹣3，﹣1]时，函数g（x）的解析式，进而得到其反函数；（3）关于x的不等式关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，等价于g（）≥g（﹣）在R上恒成立，即u==﹣，∈[﹣，]，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取值范围．【解答】解：（1）原不等式可化为，∴1＜，且2﹣2x＞0，且x+1＞0，得3﹣2．（2）∵g（x）是奇函数，∴g（0）=0，得a=1，当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x﹣2∈[0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=g（﹣x﹣2）=log2（﹣x﹣1），此时g（x）∈[0，1]，x=﹣2g（x）﹣1，h（x）=﹣2x﹣1（x∈[0，1]）．当x∈（﹣2，﹣1]时，﹣x﹣2∈[﹣1，0），x+2∈（0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3），此时，﹣g（x）∈[﹣1，0），x=2﹣g（x）﹣3，h（x）=2﹣x﹣3．（x∈[﹣1，0））．∴．（3）∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴记u==﹣，∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴g（）≥=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣）=（﹣），∴（﹣，）∈[﹣，]，解得t∈[﹣1，20]．当t+1＜0时，u∈（﹣，﹣）=（），由g（）≥=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，得，解得t∈[﹣4，﹣1）．综上所述，实数t的取值范围是[﹣4，20]．2017年3月25日。
2017年上海市青浦区高考数学一模试卷(含答案)(推荐文档)
上海市青浦区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =2. 已知集合1{|216}2x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A B = 3. 在二项式62()x x +的展开式中，常数项是4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB = 则该双曲线的实轴长等于5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y的二元一次方程组无解，则实数a = 6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =，则输出S =7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成 角为4arccos5，则该圆锥的体积为 8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取 值范围是9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''， 则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01）10. 已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足 ||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥ 恒成立，则实数b 的取值范围是12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值 的和为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知()sin 3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ） A. 12种 B. 13种 C. 14种 D. 15种14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥αn ⇒∥α；④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥；其中正确的序号是（ ）A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两坡的距离分别是4m 和 am （012a <<），不考虑树的粗细，现用16m 长的篱笆，借助坡角围成一个矩形花圃 ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a = （单位2m ）的图像大致是（ ）A. B. C. D.16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①21{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+； 其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；18. 已知函数22()cos ()4f x x x π=+-（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值；（2）在ABC ∆中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB 的值；19. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为， 动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=；（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、 N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；20. 如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x =（0x >），1C 上的点1P 的 横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；（2）试求1n a +与n a 之间的关系；（3）证明：21212n n a a -<；21. 已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；参考答案一. 填空题1. 34i -2. [1,3)-3. 1604. 45. 2-6. 3log 197. 16π8. 3b >-9. 3.62 10. 411. )+∞ 12. 220103二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）（2）23π； 18.（1）1；（2；19.（1）22142x y +=；（2）121k k =； 20.（1）12(,)23；（2）116n n n a a a ++=；（3）略； 21.（1）(1,1)(3,5)-；（2）0t =或2，2a =； （3）当0a <≤()M a a =a >()M a a =。