通用亚像素边缘检测算法

摘 要：研究了针对不同边缘类型进行同步亚像素级检测的问题．通过详细分析３种基本边缘类
型（阶跃型边缘、脉冲型边缘、屋脊型边缘）的特点，提出了一种基于形体质心思想的通用算法，并对
其进行了严格证明．该算法能同时对这３种基本类型边缘进行亚像素级检测与定位，且不存在原理
性误差．对算法进行离散化处理，给出了便于计算机实现的离散算法．通过实验验证了此算法的有
第４１卷第６期 ２００７年６月
上海交通大学学报
ＪＯＵＲＮＡＩ。０Ｆ ＳＨＡＮＧＨＡＩ ＪＩＡＯＴＯＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
文章编号：１００６—２４６７（２００７）０６一０９１１一０５
ｖ０１．４１ Ｎｏ．６ Ｊｕｎ．２００７
通用亚像素边缘检测算法
盛遵冰， 崔贤玉， 高国安
（哈尔滨工业大学机电工程学院， 哈尔滨１５０００１）
又 ｇ（一ｚ＋△ｐ）一ｇ（ｚ一△ｐ） ｇ（一ｚ一△ｐ）＝ｇ（ｚ＋△ｐ）
故 ，７（ｚｏ＋ｚ）＋厂（ｚｏ—ｚ）一。
即／（ｚ）是关于点（ｚ。，ｏ）的奇对称函数． （２）引入变量∞，令ｚ一叫＋ｚ。，则
ｆ：三ｚ Ｉ厂（ｚ）Ｉ妇一ｚ。ｆ：二１厂（叫）１乩＋
Ｉ＋三叫ｌ，７（∞＋ｚ。）Ｉ幽
由结论（１）可知，Ｉ，７（ｃｕ＋ｚ。）Ｉ是以叫为变量关于原 点对称的偶函数，故有
效性，并分析了误差产生的原因．
关键词：亚像素边缘检测；算法；图形质心
中图分类号：ＴＮ ９１１．７３
文献标识码：Ａ
Ａ ＵｎｉＶｅｒｓａｌ ＡＩｇＯｒｉｔｈｍ ｆＯｒ Ｓｕｂｐｉｘｅｌ Ｅｄｇｅ ＤｅｔｅｃｔｉＯｎ
ＳＨＥＮＧ Ｚｋ咒一６ｉ，ｚｇ， ＣＬＨ Ｘｉｎ以一ｙ“， ＧＡ０ Ｇ“ｏ一乜，ｚ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇ．，Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔ．ｏｆ Ｔｅｃｈｎ０１０９ｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５０００１，Ｃｈｉｎａ）
弱．另外，各种基于拟合思想的亚像素边缘检测算 法心１】，由于需要拟合多项式，求解矩阵方程，计算量 也相对较大，且对不同边缘类型不具有通用性．其他 的算法，如基于变换域（如小波变换）的亚像素边缘 检测算法【５｜、基于Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的亚像素边缘检测算 法［６１等，也存在着这些问题．现有算法的缺点之一是 不能对同一幅图像中的不同边缘类型进行有效检 测，即这些算法不具有良好的通用性．
＼’
ｊｆ０
０
．ｒ
（ａ）理想阶跃型
（ｂ）理想脉冲型
（ｃ）理想屋脊型
Ｆｉｇ．１
图１ ３种基本类型边缘的微分图形
Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｂａｓｉｃ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｅｄｇｅ
为了说明算法的有效性，首先从理论上给出证
明．为此，先证明以下３个定理．
定理ｌ设“。（ｚ）为理想阶跃边缘函数，即
／
ｚ２、
＼ ｚ口。，
若“（ｚ）分别取为理想阶跃边缘“。（ｚ）、理想脉
冲边缘“。（ｚ）、理想屋脊边缘“，（ｚ），则经点扩散函 数作用后，尖锐的理想边缘被平滑成模糊边缘．点扩
散函数的平滑作用将不可微函数（理想信号）变成了 一个可微函数．上述３个可微函数的一阶导数图形
（见图１）是关于某点对称的．此对称点即为所寻求 的边缘点ｚ。．
本文提出一种基于形体质心思想的通用算法．
收稿日期：２００６一０７ １６ 作者简介：盛遵冰（１９７７一），男，山东鱼台人，博士生，从事基于机器视觉的精密检测测量技术的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｓｈｅｎｇｚｂ＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ．
高国安（联系人），男，教授，博士生导师，电话（Ｔｅｌ．）：０４５１—８６４１６７７８；Ｅ‘ｍａｉｌ：ｇｕｏａｎ＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ ａｌｌ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｅｄｇｅ ｗｉｔｈ ａ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｔ ｓｕｂｐｉｘｅｌ ｌｅｖｅｌ ｗａｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ． Ａ ｎｏｖｅｌｔｙ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｕｂｐｉｘｅｌ ｅｄｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｉｇｕｒｅ ｃｅｎｔｒｏｉｄ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ ａｎａｌｙ— ｚｉｎｇ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｂａｓｉｃ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｅｄｇｅ（ｓｔｅｐ ｅｄｇｅ，ｐｕｌｓｅ ｅｄｇｅ，ｒｏｏｆ ｅｄｇｅ）． Ｉｔ ｃａｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａ１１ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｅｄｇｅ ａｔ ｏｎｅ ｔｉｍｅ． Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ，ａｎｄ ｉｔ ｗａｓ ｉｌｌｕｍｉｎａｔｅｄ ｎｏ ｅｒｒｏｒ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａＵｙ． Ａｆｔｅｒｗａｒｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｄｅｄｕｃｅｄ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｏｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ． Ｆｉｎａｌｌｙ，ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｔｅｓｔｉｆｉｅｄ ｂｙ ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎ ｎｏｉｓｅ ａｎｄ ｎｏ ｎｏｉｓｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｏｆ ｍａｋ— ｉｎｇ ｅｒｒｏｒ ｗａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｕｂｐｉｘｅｌ ｅｄｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ；ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｆｉｇｕｒｅ ｃｅｎｔｒｏｉｄ
因为ｇ 万（ｚ方）是数偶据函数，所以
ｆ：，‘ｇ（ｐ）即一一ｆ＿址ｇ（卢）ｄＪ９ ｆ：＿厶ｇ（ｐ）即一一ｆ＿。ｇ（卢）即
将上式代入式（４），得 厂（ｚ。＋ｚ）＋，７（ｚ。一ｚ）一。
故，７（ｚ）是关于点（ｚ。，Ｏ）的奇对称函数． （２）引入变量叫，令ｚ—ｃＵ＋ｚ。，则
卜：ｚ ｌ厂，（ｚ）ｌ ｄｚ＝
Ｉ：：（ｃｕ＋ｚ。）Ｉ厂（叫＋ｚ。）ｌ幽＝
ｚ。）ｌ ｄ叫一ｚ。ｌ：二Ｉ厂７（叫）Ｉ ｄｃｕ
所以
ｔ丁而一下丁而一。 ｆ：：ｚ Ｉ厂７（ｚ）ｌ ｄｚ ｚ。ｆ：三Ｉ厂（∞）Ｉ ｄ叫
至此结论（２）获证．
证毕
由于点扩散函数近似为高斯函数，满足定理中
ｇ（ｚ）应为偶函数的要求，故上述结论可用于在图像
中提取边缘的亚像素级位置．而且在３个定理中，结
论（２）的表达形式是一致的．这一点保证了以结论
其中：△，ｉ一厂件，一＾；Ｗ：一厂。一厂ｆ一，．则
∑ｚ；Ｉ川 ∑ｚ。Ｉ厂计，一，卜。Ｉ
一上｝” ——————一（５、 ）
∑Ｉ∥Ｉ ∑ｌ＾。一厂，，Ｉ
｛＝ｌ
ｌ＝１
此算法的具体过程如下：
（１）计算差分矩阵．使用行差分模板［一１，ｏ，１］
与图像矩阵做卷积运算，然后将其结果取绝对值，得
到矩阵Ｄ。．使用列差分模板［一１，ｏ，１］Ｔ与图像矩
ｌ＋：叫Ｉ，，（∞＋ｚ。）Ｉ如＋
ｚ。Ｉ：：ｌ厂７（∞＋ｚ。）Ｉ幽
由结论（１）知，，，（ｚ）是关于点（ｚ。，ｏ）的奇对称 函数，故ｌ厂（叫＋ｚ。）Ｉ是∞关于原点（ｏ，ｏ）偶对称函 数．因为函数叫Ｉ，７（ｃＵ＋ｚ。）Ｉ是变量∞关于原点（ｏ， Ｏ）的奇对称函数，所以
Ｉ：叫Ｉ，７（叫＋ｚ。）１如＝ｏ
又因为
Ｅｚ ｌ厂７（ｚ）ｌ ｄｚ—ｚ。ｆ：三Ｉ厂（叫＋
厂（ｚ）一“７。（ｚ）＊ｇ（ｚ）＝（Ｂ—Ａ）× ［ｇ（ｚ—ｚｏ＋△，）一ｇ（ｚ—ｚｏ一△ｐ）］
第６期
盛遵冰，等：通用亚像素边缘检测算法
（１）证明厂（ｚ）是关于点（ｚ。，ｏ）的奇对称函 数，
厂（ｚ。＋ｚ）＋厂（ｚ。一ｚ）一 （Ｂ—Ａ）［ｇ（ｚ＋△，）一ｇ（ｚ一△，）］＋ （Ｂ—Ａ）［ｇ（一ｚ＋△，）一ｇ（一ｚ一△，）］
随着机器视觉技术在检测和测量中广泛深入的 应用，人们期望能从现有图像信息中获取物体更为 精确的尺寸和位置信息．为此，针对不同应用人们提 出了许多亚像素级边缘检测算法．基于矩保持的亚 像素边缘检测算法是Ｔａｂａｔａｂａｉ等［１ ３于１９８４年提 出的一种具有代表性的算法，它的基本思想是保持 理想图像和实际图像的多阶矩相等，以此来计算边 缘的亚像素级位置．由于需要计算多阶矩，涉及到多 次方运算，运算量较大，并且对噪声的抑制能力较
（２）引入变量ｃＵ，令ｚ一叫＋ｚ。，则
卜三ｚ ｌ厂７（ｚ）ｌ如一 ｆ二（叫＋ｚ。）Ｉ厂‰＋ｚ。）Ｉ幽＝ Ｂ—Ａ ｚ。ｌ二二ｌ ｇ（叫）Ｉ ｄ叫＋
Ｂ—Ａ ｊ。。∞Ｉ ｇ（∞）Ｉ ｄ∞
因为ｇ（ｚ）为偶函数，所以
ｆ：三叫ｌ ｇ（叫）ｌ ｄ叫一ｏ
ｆ＇＋：ｚ ｌ厂７（ｚ）ｌ如 『＇＋三Ｉ，７（ｚ）ｌ如
可ｉ可；面一。 ｚ。Ｉ Ｂ—Ａ Ｉ：三ｌ ｇ（叫）ｌ ｄ叫
（２）为基础的算法对３种基本边缘类型均是有效的．
ｚ。一（￡三ｚｌ厂（ｚ）Ｉ ｄｚ）／（￡薹Ｉ厂７（ｚ）Ｉ ｄｚ）中，
积分区域为整个实数域，采用数值运算时是无法实
现的．但注意到，求取ｚ。的信息取自，（ｚ）的一阶导
数．在无噪声干扰的情况下，只有在边缘过渡区内
Ｉ厂（ｚ）ｌ值才较大，在远离边缘过渡区Ｉ厂７（ｚ）Ｉ迅速
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１算法的理论基础及证明
理论上，一般认为图像是原始理想信息在点扩 散函数的卷积作用下形成的．在不考虑噪声影响的
情况下，其一维数学模型简单表示为
厂（ｚ）一“（ｚ）＊ｇ（ｚ） 其中：“（ｚ）为原始理想信号；，（ｚ）为一维图像信息；
ｇ（ｚ）为点扩散函数，一般近似为高斯函数，
烈列一瓦钗ｐＩ一万Ｊ ，
、
１ ￣／２兀ｄ
衰减至非常小的值，几乎近于零．故在实际计算时，
只需取某一个边缘过渡区间即可．
２算法的离散化
为便于在计算机上实现此算法，对定理中的结
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上 海 交通 大 学 学报
第４１卷
论（２）进行离散化处理． 设＾为，（ｚ）在ｚ；处的采样值，ｚｉ处的微分值
利用此处的前向差分和后向差分的均值代替，记为
Ｊ ｃｉＩ一一＆｛ｔ２ 七飞ｌ—ｔ—ｌｎ２一｛＾
阵做卷积运算，然后将其结果取绝对值，得到矩阵
Ｄ２．
（２）根据图像矩阵的统计特性选取差分阈值 Ｔ．一般取Ｔ—Ｋ口，仃为噪声信号的标准差，Ｋ为系 数，在无噪声的情况下Ｋ—ｏ．