34基本不等式的实际应用课时4学案（无答案）-人教A版高二数学必修5
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式的应用教学设计
教学设计3.4基本不等式的应用（学案）学习目标：灵活掌握基本不等式以及变形，能通过构造和或积为定值求函数的最值一、知识回顾：1.重要不等式成立条件： 变形： 2.基本不等式 成立条件： 变形：二、课前小练：1.的最小值是，则满足若实数b a b a b a +=⋅>>20,02. 的最大值是，则满足若实数b a b a b a ⋅=+>>20,03.的最小值求函数)0(1)(2>+=x xx x f 三、合作探究1：（利用积为定值求最值）例1：最小值。
）求（已知)14(,0,0yx y x y x ++>>变式练习：最小值。
，求且若yx y x y x 110,0,14+>>=+收获：的值。
取得最小值时的最小值，并求出函数求函数、例x x x x x f )1(11)(.2>-+=变式练习：的值。
取得最小值时的最小值，并求出函数时，求函数当x x x x f x 128)(21-+=>收获：，这道题该如何解？改成思考：若将上题中的21合作探究2：（利用和为定值求最值）例3、最大值。
求函数已知)1()(,10x x x f x -=<<变式练习：最大值。
求函数已知)21()(,210x x x f x -=<<收获：课堂小结：课后作业：1、巩固基础：活页1.3.6.7.9.2、能力提高：最大值。
求函数)0(4)().1(2>+=x x xx f 的最小值。
求函数45)().2(22++=x x x f最小值。
，求且若yx y x y x 110,0,24).3(+>>=+那这道题该如何解？的条件改为思考：若将例,013≤≤-x。
高中数学 34基本不等式教案 新人教A版必修5 教案
章节标题第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）计划学时 2高考要求掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
三维目标1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点教学难点及 解决措施重点：从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。
难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；教学流程一、 创设情景，提出问题；如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示， 让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
[问] 你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？ 【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
三、理解升华：1、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
高中数学 人教A版必修五 3.4 基本不等式、实际应用 课件、教学设计
ba·ab＝4.
(4)1＋1a1＋1b＝a1b＋1a＋1b＋1≥9.
【变式与拓展】 4．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在
直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则m1 ＋1n的最小值为____4____． 解析：图象恒过定点 A(1,1)，有 m＋n＝1， m1 ＋1n＝m＋m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥4.
≥(
－
3)×(
－
4)
及
－3＋－4 2
≥
－3－4都成立吗？说明了什么？
答案：前者成立，后者不成立，说明了a2＋2 b2≥ab 与a＋2 b ≥ ab成立的条件不同．
2．(1)当两个正数 a，b，它们的和 a＋b 为定值时，ab 有 最小值还是最大值，它是多少？
(2)当两个正数 a，b，它们的乘积 ab 为定值时，a＋b 最小 值还是最大值，它是多少？
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
D. 1 2
1．对于任意实数 a，b，都要 ab≤a＋2 b成立吗？
答案：不一定，当 a，b 都为正数时，不等式才成立． 2．对于任意实数 a，b，这两个数的算术平均数一定存在 吗？那几何平均数呢？ 答案：任意两个数 a，b 的算术平均数一定存在，算术平均 数为a＋2 b. 几何平均数不一定．
2．已知 x>3，求x－4 3＋x 的最小值．
解：∵x>3，∴x－3>0. ∴x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3≥2 x－4 3·x－3＋3＝7， 当且仅当x－4 3＝x－3，即当 x＝5 时，取等号．
题型 2 基本不等式反用 ab≤a＋2 b 例 2：(1)函数 f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的值域为____________； (2)函数 f(x)＝x(1－2x)0<x<12的值域为____________．
人教新课标版数学高二A必修5学案 3.4 基本不等式(二)
明目标、知重点 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．1．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．[情境导学]前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把a ＋b2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 基本不等式与最值思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由基本不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由基本不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.探究点二 基本不等式在实际问题中的应用例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40. 等号当且仅当x ＝y 时成立，此时x ＝y ＝10.因此，这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m ；(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得 y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x )＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥240 000＋720×2x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.答 水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元．反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2 400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时等号成立，此时t ＝8小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2 答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C. 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________． 答案 2－25解析 当0<x <1时，log 2x <0， 所以f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 2x )＋5－log 2x ≤2－2 5. 当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，亦即x ＝2－5时，等号成立．[呈重点、现规律] 1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、基础过关1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2， 即x ＝y ＝100时取等号．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立．3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 答案 B解析 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2 (x －1)·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______． 答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨． 答案 20解析 总运费与总存储费用之和 f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20吨时，f (x )最小．7．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值． 解 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0， ∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知， 得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 二、能力提升9．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 10．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 11．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥ 2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝” 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．三、探究与拓展13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y≥6×2 16y ·y ＝48.当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《3.4 基本不等式 》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
高二数学 教·学案
【学习目标】
12
a b
+≤
；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，2
a b
+≤
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【学习重点2
a b
+≤
，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
【学习难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【授课类型】 新授课 【学习方法】 诱思探究。
[精品]新人教A版必修五高二数学3.4基本不等式5优质课教案
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3.4.1 基本不等式一、教材分析“基本不等式”是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
二、学情分析学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步了解，学会运用不等式。
但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍，特别是在基本不等式的几何意义理解上会存在困难。
三、教学目标1、知识与技能：（1）学会推导基本不等式；（2）理解基本不等式的几何意义；（3）掌握基本不等式成立、取等条件。
2、过程与方法：（1）探索了解基本不等式的证明过程。
（2）体会基本不等式的证明方法。
3、情感态度价值观：（1）通过探索基本不等式的证明过程，培养学生的探索、研究精神。
（2）通过对基本不等式成立条件的分析，培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
四、教学重难点教学重点：从不同角度证明基本不等式；教学难点：从数形结合的思想理解不等式的含义，挖掘基本不等式的内涵及几何意义。
五、教学过程（一）认识基本不等式师：在前面我们已经对不等式进行了多方面的学习，昨天老师交给了部分同学一些任务，让他们从这几个图中找出其中存在的不等关系，下面我们来请他们上来汇报一下探究成果。
学生1：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标颜色的明暗使它看上去像一个风车。
实际上，它是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计而成的。
大家可以对比欣赏一下。
那么，这个会标与我们今天所要学习的基本不等式有何关系呢？ 首先把这个会标抽象成一个数学图形，观察这个图形，:这四个直角三角形的面积相等，为全等三角形；大正方的面积大于四个直角三角形面积之和。
2021年高中数学《 3.4 基本不等式 》教案3 新人教A版必修5
2021年高中数学《 3.4 基本不等式》教案3 新人教A版必修5
【学习目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【学习重点】掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【学习难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【授课类型】新授课
【学习方法】诱思探究
[证明]
4443(3)32(3)32437333
a a a a a +=+-+≥-+=+=--- 当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值; (2)若x<0,求的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解
1) 因为 x>0 由基本不等式得
99
()42423612f x x x x x
=+
≥+==,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
999
()(4)(4)()2(4)()23612f x x x x x x x
-=-+=-+-≥-⋅-==,
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
课后反思：。
人教版高中数学高二必修5学案 3.4基本不等式
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2材拓展1．一个常用的基本不等式链 设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．基本不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用基本不等式求最值的法则基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x (k >0)的单调性加以解决．利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如右图所示． 例如：求函数f (x )＝sin 2x ＋5sin 2x，x ∈(0，π)的最小值． 解 令t ＝sin 2x ，x ∈(0，π)，g (t )＝t ＋5t. t ∈(0,1]，易知g (t )在(0,1]上为单调递减函数，所以当t ＝1时，g (t )min ＝6.即sin x ＝1，x ＝π2时，f (x )min ＝6.法突破一、利用基本不等式求最值方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．例1 求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值． 解 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t ＝24. 当且仅当2t ＝1t， 即t ＝22时等号成立． 即当x ＝－32时，y max ＝24. 二、利用基本不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a >f (x )恒成立⇔a >[f (x )]max ，a <f (x )恒成立⇔a <[f (x )]min .例2 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ， 而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.答案 B三、利用基本不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3 已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.证明 因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1. 所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1.四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4 某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m 2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m 2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m 2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m 2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)解 设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)， 当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n＋…＋[445＋30(n －2)]·A n ＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．区突破1．忽略应用基本不等式的前提条件而致错例1 求f (x )＝2＋log 2 x ＋5log 2 x(0<x <1)的最值． [错解] f (x )＝2＋log 2 x ＋5log 2 x≥2＋2log 2 x ·5log 2 x＝2＋2 5.∴f (x )min ＝2＋2 5.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来．[点拨] ∵0<x <1，∴log 2 x <0，5log 2 x<0，不能直接运用公式． [正解] ∵0<x <1，∴(－log 2 x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0. ∴(－log 2 x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2 (－log 2 x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2 x ＋5log 2 x≤2－2 5. 当且仅当log 2 x ＝5log 2 x时，即x ＝2－5时取等号．∴f (x )max ＝2－2 5.2．忽略等号成立的条件而致错例2 已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．[错解] ∵mx ≤m 2＋x 22，ny ≤n 2＋y 22， ∴mx ＋ny ≤m 2＋x 22＋n 2＋y 22＝m 2＋n 2＋x 2＋y 22＝a ＋b 2. 当且仅当m ＝x ，n ＝y 时取“＝”．[点拨] 如果m ＝x ，n ＝y ，则会有m 2＋n 2＝x 2＋y 2＝a ＝b ，这与条件“a ≠b ”矛盾，如果m ＝x ，n ＝y 中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用基本不等式的条件．[正解] 利用三角代换可避免上述问题．∵m 2＋n 2＝a ，∴设{ m ＝a cos αn ＝a sin α (α∈[0,2π))，∵x 2＋y 2＝b ，∴设{x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π))∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．3．两次利用基本不等式而致错例3 已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [错解] 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋2y ) ≥21x ·1y×22xy ＝4 2. 所以1x ＋1y的最小值为4 2. [点拨] 上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式解题忽视了等号成立的一致性．[正解] 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2.当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1， 即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 温馨点评 在多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同.题多解例 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.解 方法一 把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1.∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1， 即a ＝3，b ＝3时，取“＝”．方法二 利用基本不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围． ∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三 把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有：其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9 ＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1.∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9. 又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a ＝b ＝3时取“＝”．题赏析1．(2011·重庆)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 答案 C2．(2009·天津)设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 B赏析 本题考查了等比中项的概念、基本不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到．。
高中数学新人教A版必修5学案 3.4 基本不等式(第1课时)
3.4 基本不等式:(第1课时)学习目标1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式.2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法.3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路.合作学习一、设计问题,创设情境第24届国际数学家大会于2002年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过吗?在此图中有哪些几何图形?你能发现图形中隐含的不等关系吗?若我们设图中直角三角形的直角边分别为x,y,你能用x,y表示四个直角三角形的面积和吗?你能用x,y表示大正方形的面积吗?根据图形,比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式.二、信息交流,揭示规律问题1:当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化? x,y有什么关系?问题2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的.同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明?问题3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数a,b分别代替x2,y2,那么,以上结论我们可以写成什么形式?问题4:对这个结论,我们能否进行证明?问题5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我们能不能找到结论(2)的几何解释呢?同学们来看这个问题:如图AB是圆O的直径,点C是线段AB(除A、B外)上任意一点,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.试以a,b表示CD,OD的长度并比较两者的大小.问题6:什么时候等号成立?做出怎样的解释呢?问题7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。
同学们观察基本不等式两边,你想到了原来学过的哪些知识?三、运用规律,解决问题【例1】下列各式错误的是( )A.(a>0,b>0)B.x+≥2(x>0)C.+sinx≥4(0<x<π)D.(0<x<1)【例2】已知x,y都是正数,求证≥2.四、变式训练,深化提高变式训练:已知实数a,b>0,试比较的大小关系,并给出证明.五、反思小结,观点提炼1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?2.本节课你能感受到哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境见过.这是赵爽弦图.在初中曾用它证明过勾股定理.直角三角形和正方形.三边的不等关系. x2+y2≥2xy或x2+y2>2xy.问题1:有可能相等;四个直角三角形的直角顶点会重合;此时x=y.结论(1):重要不等式:对任意实数x,y,我们有x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立.问题2:证明:(作差法)因为x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,所以x2+y2≥2xy.当且仅当x=y时,等号成立.问题3:当x=y时,并且只有x=y时,等号成立.结论(2):基本不等式:若a>0,b>0,可得a+b≥2,通常记为,当且仅当a=b时,等号成立.问题4:能.问题5:CD=,OD=,由图可得:CD=≤OD=.问题6: a=b时,等号成立;圆内半弦不超过半径.问题7:有的同学会回答平均数;有的同学可能会回答等比中项、等差中项.是我们平时求平均数的方法,我们称之为算数平均数;我们称为几何平均数.基本不等式我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数,这是它的代数解释.三、运用规律,解决问题【例1】C【例2】证明:因为x,y都是正数,所以≥2=2.当且仅当,即x=y时,等号成立.四、变式训练,深化提高变式训练:解:显然成立.因为a2+b2≥2ab,所以≥ab,故.因为≤0,所以.综上可知,当且仅当a=b时,等号成立.五、反思小结,观点提炼1.重要不等式、基本不等式;作差法证明不等式.2.化归思想、数形结合思想.。
高中数学必修五教案-3.4 基本不等式(4)-人教A版
3.4基本不等式(第2课时)教学设计三维目标1.理解并掌握基本不等式（均值不等式）及其变形2.会用基本不等式求最值3.体会转化与化归，数形结合思想及换元法在解题中的应用复习提问:请同学们回忆上一节所学的内容1.重要不等式：2.基本不等式：3.常用变形： 新课讲解：两个不等式的几何解释与代数证明几个注意点1）.有关两个不等式（1） 不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b 时，等号成立。
2）.有关基本不等式（均值不等式）成立的要素：（1）看是否均为正数（2）看和或积是否为定值（ 3）看等号是否能取到简言之：一正二定三相等4.一般结论 D H F G E22R 2("")a b a b aba b ∈+≥==如果，，那么当且仅当时，取号002("")a b a b ab a b +>>≥==如果，，那么当且仅当时，取号()22()()2a b a b ab a b R ab a b R +++≥∈≤∈、，、ABF S 4S Rt ∆≥⇒≥大正方形半径不小于半弦.一般可得，当x ﹥0,y ﹥0时，则预习自测合作探究例2、(1)、已知1x >，求函数11y x x =+-的最小值 （2）、当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。
1、08,(8)x y x x <<=-则函数的最大值为_________,（1）如果xy 是定值P , 那么当 时，x +y 有最小值 ； （2如果x +y 是定值S ,那么当 时，xy 有最大值 .x y p ==2p 2S x y ==24420=x y x x x >=+、，函数最小值为，此时min 2max 111,11111(1)131********,(82)2(82)212(82)[]8228228x y x x x x x x x x y x x y x x x x x x x x x y >∴=+=-++--≥-⋅=--===-<<∴=-=-+-≤==-==解（：1）当且仅当 ，即时， （2）当且仅当 2，即时，4800=160031501600120(2323)240000720()24000720x m y m xy z x y x y xy==⨯+⨯+⨯=++≥+⨯解（：1）设底面的长为，宽为，则池底面积， 故水池总造价例3、某工厂要建造一长方形无盖储水池，其容积为4800m 若池底每平方米造价为 150元，池壁每平方米的造价为120计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？总结提升1.均值不等式应用的条件：一正，二定，三相等2.当x>0,y>0时，则有“和定积最大，积定和最小’’3.在应用均值不等式时要注意凑项及等号成立的条件4.数学思想方法技巧（1）数形结合 2max 218)301122252()2222215225=1518,S 230221522522x m y m y x y x y S xy x y x y y x x y m m m ≤+=+==⋅⋅≤⋅==⎧≤==⎨+=⎩解：设矩形的宽为，长为（，则有2。
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1.对一切实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
2.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调 研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小，最小为____万元.
3.要制 作一个容积为 ,高为 1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_____元.
4.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度 (假设车辆以相同速度乙行驶，单位：米/秒）、平均车长1(单位：米） 的值有关，其公式为
跟踪训练1已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的最小值为.
知识点二基本不等式的实际应用
[例2]某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产 千件，需另投入成本为 ,当年产量不足80千件时， (万元）.当年产量不小于80千件时， (万元）.每件商品售价为0. 05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
怀仁市大地学校高二年级文数学案
周次：编号：13班级：姓名：
基本不等式的实际应用
学习目标
1.熟练掌握不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的求最大（小）值的问题.
3.能够运用ห้องสมุดไป่ตู้本不等式解决生活中的应用问题.
课堂互动
知识点一基本不等式与恒成立 问题
[例1]已知 ＞ ， ＞ ，且 ，若 ＞ 恒成立，则实数 的取值范围是.
（1）求 的解 析式，并写出其定义域；
（ 2）当 等于多少时， 取得最小值？
（1）写出年利润 (万元）关于年产量 (千件）的函数解析式；.
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
跟踪训练2某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产 件，则平均仓储 时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品______件.
（1）如果不限定车型， ，则最大车流量为辆/小时；
（2）如果限定 车型， ,则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时.
5.某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置 或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有 人，他们加工完甲型装置所需时间为 小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为 小时.设 .