O-4.1 布洛赫定理和波- 4.2 平面波法-48
合集下载
§42布洛赫(bloch)定理
其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1a1+n2理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波.
即（以一维为例）
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
（k ,x＋na）≠ （k ,x） ∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
讨论：波函数的物理意义
二．Bloch 定理的证明
1． 由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适 当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级 数展开：
V ( x)＝ Vn e
n
2 i nx a
1 Vn＝ a
因此波函数
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
应当可写成 (k , x)＝ C (k Gn )ei ( k G )x
n
Gn
＝e
iK x
C(K G )e
n Gn
iGn x
与Bloch定理比较 （k ,x）＝u（k，x）eikx 需证明
Gn
u（K，x)＝ C( K Gn )e
' n ' n Gn
' i ( K Gn Gn ) x
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝ C ( K G )e
'' n G ''n
'' i ( K Gn ) x
(k , x )
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
ˆ 由薛定谔方程 H
' n
《布洛赫定理》PPT课件 (2)教学提纲
黄昆（1919年9月2日－2005年7月6日）。
国际著名的中国物理学家、教育家、中国固体物理学先驱、中国半
导体技术奠基人。
黄昆1919年9月出生学理科研究所，获硕士学位，1947年在英国布
里斯托大学获得博士学位。
黄昆获得博士学位后曾在英国爱丁堡大学物理系、利物浦大学理论
(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论 1907: 独立振子的量子理论(Einstein) 1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye) 1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman)
(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计 1897: 电子的发现(Thomson) 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude) 1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)
凝聚态物理的重要性 (1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科
学提供了量子力学基础. (2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,
固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通 信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技 术也产生了深刻的影响.
波矢空间的基本单元: Brillouin区
焦点: Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量-波矢 色散关系
晶格动力学+固体能带理论
3. 范式的定量表述
标量波
波
矢量波
张量波
(电子) (电磁波） (晶格波）
(1)标量波 在绝热近似，单电子近似下, 电子在周期场中的运动
(de Broglie波)方程:
5 Dielectrics and Ferroelectrics
简述布洛赫定理的内容
简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理，它描述了晶体中电子的行为。
该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。
一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。
晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。
周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。
二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时，它会受到一个平稳而有规律的力，这个力会使电子做简谐振动。
在这种情况下，电子行为类似于弹簧振动器。
三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。
它指出，在一个周期性势场中，电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。
这个函数被称为布洛赫函数。
通过布洛赫函数，我们可以推导出能带结构。
能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。
在能带结构中，能量被分成了不同的
区域，每个区域被称为一个能带。
在一个能带内，电子具有相似的能
量和动量。
四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。
在半导体领域，布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。
总之，布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。
它描述了晶
格对电子运动的影响，并推导出了能带结构。
通过这个定理，我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性，并将其应用于实际设备设计中。
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
a
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
布洛赫定理及它的指导意义
布洛赫定理及它的指导意义ψ(r)=u(r)×φ(k·r)其中，ψ(r)是电子的波函数，u(r)是周期函数，φ(k·r)是平面波，k是电子的波矢。
布洛赫定理还明确规定了周期函数的形式，即u(r+R)=u(r)。
这里的R是晶格向量，表示晶体中原子的周期排列。
首先，布洛赫定理揭示了晶体结构对电子行为的影响。
晶体表现出周期性的结构，这种周期性使得晶格势场具有良好的周期性，从而可以用周期函数来描述。
布洛赫定理将平面波与周期函数相结合，使我们可以更好地理解电子在晶体中的行为，并解释晶体的许多性质，例如导电性和光学性质等。
其次，布洛赫定理为理解能带结构提供了重要的理论基础。
根据布洛赫定理，电子波函数中的平面波部分可以通过电子的波矢k来描述。
在固体中，不同的k值对应不同的能量，从而形成了能带结构。
通过分析能带结构，我们可以理解为什么在固体中存在能带间隙，为什么有些材料是导体而有些则是绝缘体。
再次，布洛赫定理解释了电子在晶体中的运动方式。
布洛赫定理表明电子在晶格周期性势场作用下并不是自由电子那样均匀分布，而是呈现出波动性。
电子的波函数可以看作是在晶格周期函数的引导下，在晶体中“穿梭”传播。
这种波动性决定了晶体中电子的散射行为、能量输运等重要性质。
最后，布洛赫定理为研究半导体和奇异材料提供了重要的数学工具。
布洛赫定理要求序理提供了很好地描述固体中电子行为的方法，为研究新型半导体、磁性材料和拓扑绝缘体等提供了重要的数学工具。
利用布洛赫定理，我们可以通过调控晶格结构和外加电场等手段来实现对固体材料性质的调控和优化。
综上所述，布洛赫定理是固体物理学中的重要定理，它对于理解晶体中电子行为具有重要的指导意义。
布洛赫定理揭示了晶体结构对电子行为的影响，为解释能带结构和电子的运动方式提供了理论基础。
布洛赫定理为研究新材料和调控材料性质提供了重要的数学工具。
通过对布洛赫定理的研究和应用，我们可以更好地理解和利用材料的电子性质，推动材料科学的发展。
布洛赫定理讲解
K'K '
e dx＝L i(K’Gn K )x L
K‘ Gn ,K
得到（4）式
K'
2 K '2 2m
E
C
(
K
'
)
L
K,K
＋
'
n0
VnC(K ' )
K'
L K’Gn ,K ＝0
利用δ函数的性质，得（4）式
2K 2
2m
EC（K )
VnC(K Gn )＝0
n0
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
E
说明：
V0＝
1 a
a
V (x)dx＝V (x)
0
cons
0
∴
V ( x)＝
i 2 nx
Vne a
n0
＝ VneiGn x
(1)
n0
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态
――平面波eik•x展开
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x
(2)
K'
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(k Gn' , x) 与 (k, x) 等价
^
^
H (k, r)＝H (k Gh, r)＝E(k Gh ) (k, r)
∴ E（k）=E(k+Gn) 可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。
2. 布洛赫定理的另一种表示。
证明:
∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx
u（k，x）＝u（k ,x+na）
平面波展开法
xi
u e l
i(k+G4 )ir
k +G4
⎞ ⎟ ⎠
−
∑ ∑( ) ( ) ∑( ) ( ) μ G6
eiG6 ir
G6
⎛ ⎜ ⎝
G5
k + G5 l
k + G5
u e i
i(k+G5 )ir
l k +G5
+
G4
k + G4 xi
k + G4
l
u e l
i(k+G4 )ir
k +G4
⎞ ⎟ ⎠
∑∑( ) ( ) = −
li
bi Ni
在k
上叠加一个倒格矢 G
：k′
=
k
+ G ，求和结果不变，即不同的波矢具有相
同的本征态,一个原胞中允许的 k 的数目为实空间中晶体的总原胞数。
1
（4）弹性波动方程： ∂2ui ∂t 2
=
1 ρ
⎧⎪ ∂
⎨ ⎪⎩
∂xi
⎛ ⎜
λ
⎝
∂ul ∂xl
⎞ ⎟ ⎠
+
∂ ∂xl
⎡ ⎢ ⎣
μ
⎛ ⎜ ⎝
∂ui ∂xl
⎪ ⎪ ⎪⎭
∑ ∑ ∑∑ ω2
u k
+G
=
G
G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⎧
⎪
⎪
⎪⎪ ⎨
G′
⎪
G′′
ρ −1 G −G′′
⎡⎛ ⎢⎢⎜⎝ ⎢⎢⎣⎛⎜⎝
k k
+ +
G′ G′
⎞ ⎟⎠l
⎛ ⎜⎝
k
+
布洛赫定理
h
k 态和 k K h 态是同一电子态，而同一电子态对应同一
个能量， 故 E ( k ) E ( k K h )。
为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征
值 E (k )一一对应起来，必须把波矢
原胞区间内，通常取：
k 的值限制在一个倒格子
Ni Ni bi bi li , ( i 1,2,3) k i , ( i 1,2,3) 2 2 2 2 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数
2
(1)
结论：
禁带宽度为 2 Vn ；
T 1 2 n Tn Vn
2 (2)
(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，
(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向 上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线； (3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。
O
n a
k
由于 是小量，(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而
(2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。
在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物 线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。
E Tn Vn E Tn Vn
T 1 2 n Tn Vn
2. 布洛赫定理 当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
ik Rn ( r Rn ) e ( r ),
其中 k 为电子波矢，
Rn n1 a1 n2 a2 n3 a3 是格矢。
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
k 态和 k K h 态是同一电子态，而同一电子态对应同一
个能量， 故 E ( k ) E ( k K h )。
为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征
值 E (k )一一对应起来，必须把波矢
原胞区间内，通常取：
k 的值限制在一个倒格子
Ni Ni bi bi li , ( i 1,2,3) k i , ( i 1,2,3) 2 2 2 2 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数
2
(1)
结论：
禁带宽度为 2 Vn ；
T 1 2 n Tn Vn
2 (2)
(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，
(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向 上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线； (3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。
O
n a
k
由于 是小量，(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而
(2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。
在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物 线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。
E Tn Vn E Tn Vn
T 1 2 n Tn Vn
2. 布洛赫定理 当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
ik Rn ( r Rn ) e ( r ),
其中 k 为电子波矢，
Rn n1 a1 n2 a2 n3 a3 是格矢。
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 海森堡模型（磁学） 2. 金属的电导问题
薛定谔
海森堡
德拜
布洛赫
研究的历史发展：
1900年，Drude和Lorrentz — 金属的经典电子气理 论 —— 麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计 1928年，Sommerfeld — 索末菲自由电子理论 — 费米 — 狄拉克统计 量子自由电子理论
之后至30年代初，
晶体中电子： 自由电子： 孤立原子：
k (r ) eikr uk (r )
k (r ) Aeikr
(r ) Cu (r )
可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是
.； 两者的组合。如果晶体中电子的运动完全自由，则 uk (r ) A const
认 识： 固体中存在大量的电子，其运动是互相关联的； 每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连； 解这个多电子系统是不可能的！ 能带理论（单电子近似理论） 把每个电子看成是独立的在一个等效势场中的运动！
多粒子体系
多电子体系
单电子近似
能带理论 是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础！
4.1 布洛赫定理和布洛赫波
Bloch和Brilliouin，周期场中运动电子的特征 Wilson用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满
量子自由电子理论可作为一种零级近似纳入能带理论！
金属的经典电子气理论
Drude–Lorrentz 电子气
起 因：
金属的一般性质
高电导率 高热导率
① 价电子 → 自由电子（组成电子气），离子实保 持原子在自由状态时的构型； ② 自由电子之间的相互作用忽略不记； ③ 电子气遵从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计(M-B )
助于一种周期性调制就可以获得。
—— F Bloch
Bloch 函数或Bloch 波示意图
Bloch 定理：周期势场中的电子波函数应该是按晶格周 期函数调幅的平面波。
Bloch函数的性质 Bloch函数 k (r ) eikr uk (r ) 平面波因子 e ik r 表明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原 子周围，而是可以在整个晶体中运动，这种电子称为共有化电子。它 的运动具有类似行进平面波的形式。周期函数 uk (r ) 的作用则是对这 个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡， 但这并不影响态函数具有行进波的特性。
若电子完全被束缚在某个原子周围，则 eikr C const.
ik r
。但实际上晶
体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此， k (r ) e uk (r ) 其波函数就具有 反映了电子与晶格相互作用的强弱。 的形式。周期函数的性质 u k ( r ) 就
假定在体积V=L3 中有N 个带正电荷Ze 的离子实，相应地有NZ 个价电子， 那么该系统的哈密顿量为:
2 2 2 N 1 1 e 2 ˆ H i ' 2 n 2 i , j 4 0 ri rj n 1 2m i 1 2m NZ NZ N 1 1 Ze 1 Ze 2 ' 2 m,n 4 0 Rn Rm i 1 n 1 4 0 ri Rn ˆ ˆ Te U ee ri , rj Tn U nm Rn , Rm U en ri , Rn 2
5 、 费米 — 狄拉克（ Fermi-Driac ）分布 -其中每一个电子所具有的状态就是一定深度势阱中运动的粒子 6、 电子热容量
所具有的能态 —— 单电子的本征态 -电子气服从量子的费米 — 狄拉克(Fermi-Dirac)统计和泡利
(Pauli)不相容原理
*计算出电子气体的比热容
模 型 边长为L 立方体金属，N 个价电子在其中自由运 动，但不能跑出表面 — 脱出功电子的势能为：
可以认为，Bloch函数中，行进波因子 e ik r 描述晶体中电子的共有 化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子 uk (r ) 则 描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。
从能量的角度看，如果电子只有原子内运动（孤立原子情况）， 电子的能量取分立的能级；若电子只有共有化运动（自由电子情 况），电子的能量连续取值。由于晶体中电子的运动介于自由电子 与孤立原子之间，既有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的 能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带结构。
x, y , z 0 V 00 x, y, z L x, y , z L
相当于电子束缚在方盒子内 —在金属表面为界的势井中独立运动
每个单电子的状态可用波函数ψ (r)描述 ——波函数ψ (r)满足定态薛定谔方程
我从来不明白，即使是一种近似，像自由电 子运动那样的事会是真的。毕竟一根充满密 集离子的金属丝完全不同于“空管”。
模型的成功
可定性解释金属的电导、霍尔（Hall）效应和热传 导等问题！
例如： 证明了金属热导率 除以电导率与绝对温度的积 T 是一个与温度无关的普适常数（Lorentz常数）
2 kB / T 1.11108 w / K 2 3 e
2
与Weidemann-franz实验定律相符
所以，能带论是单电子近似的理论。尽管能带论经常处理的是多电子问题，
但是，多电子是填充在由单电子处理得到的能带上。可以这样做的原因就在于
单电子近似，即每个电子可以单独处理。用这种方法求出的电子能量状态将不 再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分（允带）和禁止填充的部分
（禁带）相间组成的能带，所以这种理论称为能带论。
NZ
电子体系简化为一个单电子问题。因此平均场近似也称为单电子近似。
2 2 U r i i (r ) Ei (r ) 2 m
单电子所受的势场为：
1 Ze 2 U r ue r 4 Rn 0 ri Rn
哈密顿量中有5 部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子之间的库仑相互
作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑相互作用能,第五项为电子与离子
实之间的相互作用能。
体系的薛定谔方程
ˆ H (r , R) (r , R)
但这是一个 1023cm-3 量级的非常复杂多体问题. 不做简化处理根本不可能求解。 1）首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高 于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可 以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问
NZ 1 NZ 1 e2 U ee ri , rj u r e i 2 i , j 4 0 ri rj i 1
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
2 2 N 1 Ze 2 ˆ H i ue ri i 1 2m n 1 4 0 ri Rn 由分离变量法，可得到所有电子都满足同样的薛定谔方程，从而使一个多
模型的失败 电子气体的比热：
Drude模型是把金属电子看成经典气体 → 它们遵循 M-B 统计规律：
※ 每个电子有 3 个自由度 1 k BT ※ 每个自由度对应平均能量为
2
金属中N 个自由电子对热容的贡献为：
3 3 Nk 几百倍实验值 低温） CV C (( 低温） V Nk B B 几百倍实验值 2 2
平移算符
平移算符
平移算符
本征值及其量子数
本征值及其量子数
波矢k 的意义及取值：
Bloch函数中的实矢量k 起着标志电子状态量子数的作用，称作波矢，波函 数和能量本征值都和k 值有关，不同的k值表示电子不同的状态。 在自由电子情形，波矢k 有明确的物理意义，k 是自由电子的动量本征值。 但Bloch 波函数不是动量本征函数，而只是晶体周期势场中电子能量的本征函数， 所以， k 不是Bloch电子的真实动量，但它具有动量量纲，在考虑电子在外场中 的运动以及电子同声子、光子的相互作用时，会发现 k 起着动量的作用，被 称作电子的“准动量”或“晶体动量”。
题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为：
ˆ ˆ H Te U ee ri , rj U en ri , Rn
2）多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在一起，这样的系统
仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其余电子对一个电子的相互作用等价
为一个不随时间变化的平均场，即平均场近似：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在晶格周期势场中的电子究竟有多少可能的本征态，即k可能取那些值，是
我们需要知道的。晶格周期性和周期性边界条件确定了k 只能在第一Brillouin 区 内取N (晶体原胞数目）个值，所以每个能带中只能容纳2N 个电子。
玻恩 - 冯卡门边界条件
布洛赫定理
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是解释电子将如何 “偷偷地潜行”于金属中的所有离子之间。……. 经过简明而直观的傅 立叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有 平移对称性（周期场近似）： U r Rn U r
平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。
通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，
单电子薛定谔方程为：
2 2 U r (r ) E (r ) 2 m
布洛赫能谱
布洛赫能谱
布洛赫能谱
• 能谱成带结构 • 既然En(k)是k的周期函数，必然有上、 下界，即，对于每一个确定的n，不同k的 所有能级En(k)在一个能量范围内，是一个 k连续的函数 *这样的函数或者说E~k关系称为能带 能 带结构（band structure），也称色散关系 (dispersion) • 由此得到E的另一个重要性质 多值函数： 对一个k，多个En(k)能量值，需用n来区分 * 对一个确定k，有一系列分裂的能级 En(k)，n=1, 2, 3, …，多条能带