布洛赫定理
§42布洛赫(bloch)定理
其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1a1+n2理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波.
即（以一维为例）
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
（k ,x＋na）≠ （k ,x） ∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
讨论：波函数的物理意义
二．Bloch 定理的证明
1． 由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适 当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级 数展开：
V ( x)＝ Vn e
n
2 i nx a
1 Vn＝ a
因此波函数
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
应当可写成 (k , x)＝ C (k Gn )ei ( k G )x
n
Gn
＝e
iK x
C(K G )e
n Gn
iGn x
与Bloch定理比较 （k ,x）＝u（k，x）eikx 需证明
Gn
u（K，x)＝ C( K Gn )e
' n ' n Gn
' i ( K Gn Gn ) x
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝ C ( K G )e
'' n G ''n
'' i ( K Gn ) x
(k , x )
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
ˆ 由薛定谔方程 H
' n
布洛赫定理
布洛赫定理
波斯拉-布洛赫定理（英语：Borsuk-Ulam theorem），是数学中一个有趣的不可分性
定理，它被提出和发现是由波斯拉（Karol Borsuk）在1933年发表在波兰语论文《关于
不可分性及对抗性的定理》中。
此定理声称：任何平面内的拓扑定向闭环就是一个非可分的，即任何圆内的拓扑结构都不可能将整个平面分成两个等价的，完全等价的，分割区域。
它也被称为拓扑实例和拓扑反范例的定理，重点是强调了闭环不可分性的概念，它可
以说明一般圆集，尤其是高维的几何空间，存在不可分的性质的共性。
例如，在多维几何
空间中，给定一个闭环，它是不可能将整个空间分割成两个等价的，完全等价的，分割区
域的。
布洛赫定理也是一种抽象代数中的应用。
它被用来证明了抽象代数中的唯一性定理，
这是用来确保给定空间中的任何一个线性映射都有一种唯一的矩阵表示。
此外，由于它最早的发表，布洛赫定理还被用于图论中。
它可以用来证明许多图论有
关的定理，它可以确保在同构的图论结构中，存在特定的属性。
尽管布洛赫定理的原理很要素，但是它也用于研究和应用程序，如维基解释，精确测量，数据可视化，图像处理，机器学习和计算机视觉等。
它可以用来证明不可分性的特点，而这一特性又可用于多种数学计算和解决实际问题的场景。
同时，由于布洛赫定理的具体应用非常普遍，科学家和数学家也常常用它来作为研究
和可视化技术的一部分，这对把复杂的理论模型和理论研究的结果都可视化的有很高的效率。
综上所述，布洛赫定理是数学中一个重要的定理，它在抽象代数和图论中有重要的应用，也被用于证明抽象代数中的唯一性定理，同时它也可以用于实际应用和可视化技术。
固体物理学：4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ (2) [T , H ] 0
即平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易
2 2 ˆ H V (r ) 2m
V (r ) V (r Rn ),
微分算符与坐标原点的平移无关，比如在直角坐标系中：
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
i (k G )r ikr iG r k (r ) a(k Gh )e h e a(k Gh )e h h h iG r 设uk (r ) a(k Gh )e h
k (r ) k (r Ni ai ) e
e
ik Ni ai ik r
uk (r )
e
uk (r )
可用相应的倒格子基矢 bi 表示，即：
前面我们已知，波矢 k 空间为倒格子空间，因而，波矢 k
ik r (r ) e (r ) k uk
n
可以看出平面波
e
ik r能满足上式：
ik ( r Rn ) ik Rn ik r ik Rn (r Rn ) e e e e (r )
l1b1 l2b2 l3b3 因此矢量 k 具有波矢的意义。 k N1 N2 N3 当波矢增加一个倒格矢 Gh，平面波 ei (k Gh )r 也满足上式。
波矢 k ：
l1b1 l2b2 l3b3 k N1 N2 N3
' i
l1 , l2 , l3 为整数
' 当ki k 整数时， 相当于波矢 k 换成 k k Gh , Gh 是倒格矢。
布洛赫定理、一维近自由电子近似
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
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这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
高二物理竞赛课件：布洛赫定理
个相因子
eik Rn
在一维情况下被称为Floquet定理， 因为Floquet首先证明了一维情况。
布洛赫定理
一、Bloch 定理（证明）
H
(r)
(r )
E
(r )
H (r Rn ) (r Rn ) E (r Rn )
V (r ) V (r Rn )
H (r ) H (r Rn )
H (r ) (r Rn ) E (r Rn )
(r
Rn
)
Rn
(r
)
布洛赫定理
一、Bloch 定理（证明）
2
由归一性： 1 Rn
exp i
Rn
Rn
• 根据关系：
Rn Rm
Rn
Rm
选取线性关系：
(r
Rn Rn )
K Rn
eik Rn
(r )
布洛赫定理
布洛赫定理
Next:怎样求解周期场中的Schordinger 方程
布洛赫定理
一、Bloch 定理（1）
• 在周期性势场中运动的电子的波 函数可写成布洛赫波的形式：
(r )
eik r
u(r )
u是晶格的周期函数：
u(r
Rn
)
u(r )
布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅 受周期性调制的平面波。
(
x)
~
k
0
0 k
(
x)*
~
k 0
正交归一性
左矢 右矢
Na
0
0 k'
(
x)
*
0 k
(
x)dx
~
k' k
0 kk'
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
布洛赫定理
得到：λ
1
=e
2πi
l1 N1
, λ2 = e
2πi
l2 N2
, λ3 = e
2πi
l3 N3
− − − l1 , l2 , l3
v l1 v l3 v l2 v b1 + b3 + b3 引入： k = N1 N2 N3
v v v b1 , b2 , b3
5 则平移算符的本征值可以表示为：
λ1 = e
vv ik ⋅a1
, λ2 = e
v v ik2 ⋅a2
, λ3 = e
v v ik3 ⋅a3
v v v v T ( Rm )ψ (r ) = ψ (r + Rm ) v m3 v m1 v m2 v = T1 (a1 )T2 (a2 )T3 (a3 )ψ (r ) v v v ik ⋅ Rm m1 m2 m3 = λ1 λ2 λ3 = e ψ (r )
6 则可以推导出：
7 从而得到：
v v r v v ik • Rn ψ r + Rn = e ψ (r )
(结
论
1布洛赫定理是一个普遍适用的结论。 2它在周期性势场的数学求解中可以使问题简化。 3在量子力学，激光物理中具有广泛的应用。 4在晶体物理学中具有非常直观的应用。
平移算符性质：
Tα Tβ = Tβ Tα
——各平移算符对易。
2 平移算符和哈密顿量对易
h2 v v v v 2 Tα Hf ( r ) = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m v v v = Hf ( r + aα ) = HTα f ( r )
Tα H − HTα = 0
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§布洛赫定理
今天我们这一节课要讲的内容是布洛赫定理。
经过前面的学习，我们知道，晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子系统，但晶体的许多电子过程仅与外层的价电子有关，而内层电子和原子核组成的原子实在一些近似条件下是保持稳定的，因此，为了了解晶体的性质必须首先了解晶体中电子的运动状态，而晶体中电子的运动状态可由薛定谔方程
()()H E ψψ=r r
(1) 的解来描述。
式中H 是电子的哈密顿算符，()ψr 是电子的波函数，E 是能量本征值。
这里H 可以表示为电子的动能与电子所受到的等效势场之和
()
2
22H V m
=-∇+r r (2) 其中第一部分表示电子的动能，第二部分表示电子所受到的等效势场。
对于理想晶体，原子排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场()V r 也具有周期性，
()()
n V V =+r r R
(3) 这里()n 112233,1,2,3m m m m ααα=++==R a a a a 为晶格周期矢量，它是原胞的三个基失1a ，2a 和3a 的线性组合。
这个式子表明将位置矢量从r 移到n +r R 处，等效势场具有相同的值。
从这里可以看出，晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，那么，一个在周期场中运动的电子，它的波函数应该具有什么样的特征呢？布洛赫定理就回答了这么一个问题。
布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，晶体中电子的波函数具有这样的特征 ()()n n i e ψψ⋅+=k R r R r (4) 其中k 为一矢量，我们称之为波失。
从这个式子我们可以看到，位置矢量为n +r R 处的波函数与位置矢量为r 处的波函数只相差一个位相因子n i e ⋅k R ，因为位相因子不影响波函数的模的大小，所以，在不同原胞的对应点上找到电子的几率是相同的，这也说明晶体中的电子是公有化的，它不再束缚于某一单个的原子，而是在整个晶体中运动。
根据布洛赫定理，我们还可以把晶体中电子的波函数写成
()()i e
u ψ⋅=k r r r (5)
其中()u r 具有与晶格相同的周期性，即 ()()n u u =+r r R .
我们把(5)式表达的波函数称之为布洛赫波函数，或者说布洛赫波，它描述的电子叫布洛赫电子。
我们看到，布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，其中i e ⋅k r 表明它是一个平面波，()u r 为平面波的振幅，它不是一个常数，而与位置有关，并且具有晶格周期性。
换句话说，在周期场中运动的电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波。
下面我们来证明布洛赫定理。
由于晶体具有平称对称性，因此我们引入平移算符αT ，当αT 作用于任意函数()f r 上时将使函数的自变量发生一个平移，从r 平移到α+r a ，
()()f f αα=+T r r a ，
显然如果αT 作用两次，就有
()()()
()()22m f f m ααααααααψψψ==+=+T T r r a r a T r T r
下面我们来看平移算符αT 与电子的哈密顿算符H 是否对易，我们知道如果我们能够证明0H H αα-=T T ，那么这两个算符就是对易的，我们首先把H αT 作用在一个任意函数()f r 上，即
()()()()()()()()222222222Hf V f m V f m V f H f m ααααααα+⎡⎤=-∇+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-∇+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-∇+=⎢⎥⎣⎦
r r a r T r T r r r a r a r T r T r
由于()f r 是一个任意函数，所以0H H αα-=T T ，即平移算符与晶体中电子的哈密顿算符是互相对易的。
根据量子力学可知，互相对易的算符必有共同的本征函数。
可见，哈密顿算符的本征函数()ψr 也是平移算符αT 的本征函数，即
()()()()()
H E αααψψψψλψ=⎧⎪⎨=+=⎪⎩T r a r r r r 其中αλ是平移算符αT 的本征值。
现在我们来求平移算符的本征值，我们首先引入周期性边界条件。
设沿基矢αa 方向的晶体原胞数目为αN ，根据周期性边界条件有()()ααψψ+=r N a r ，而
()()()()ααααααψψλψψ+===N N r N a T r r r ，得21i l e ααπαλ==N ，0,1,2,l α=±±，所
以2l i N e ααπαλ=，引入矢量l N β
ββ=k b ，这里1,2,3β=，1b ，2b 和3b 为倒格子基失并且满
足()()
220αβαβπαβπδαβ=⎧⎪⋅==⎨≠⎪⎩a b ，所以2l N αααπ⋅=k a ，于是有i e ααλ⋅=k a . 这样布洛赫定理的左边为 ()()()
()()()
n n m m i m i m T e e ααααααααψψψλψψψ⋅⋅+=+====k a k R r R r a r r r r
证毕.。