固体物理：4_1 布洛赫定理
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什么是电子的布洛赫定理和能带结构
什么是电子的布洛赫定理和能带结构？电子的布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的两个重要概念。
下面我将详细解释布洛赫定理和能带结构，并介绍它们的物理背景和应用。
1. 布洛赫定理：布洛赫定理是指在周期性势场中，电子的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积。
这意味着电子的波函数在周期性势场中是周期性的，具有特定的周期性结构。
布洛赫定理是基于周期性势场的周期性性质而提出的。
在周期性势场中，电子受到周期性的势能影响，因此它们的波函数应该具有相应的周期性特征。
布洛赫定理的提出使得我们能够更好地理解和描述电子在晶体中的行为。
2. 能带结构：能带结构是指固体中电子能量的分布情况。
在固体中，电子的能量是量子化的，只能存在于特定的能级。
能带结构描述了这些能级在动量空间中的分布情况，即电子能量与动量之间的关系。
能带结构的形成是由于布洛赫定理的存在。
根据布洛赫定理，电子的波函数具有周期性，因此它们在动量空间中的分布也是周期性的。
这种周期性分布导致了能级的整体分布，形成了一系列相互重叠的能带。
能带结构可以分为导带和禁带两种。
导带是指电子能量较高的能带，其中存在大量的可移动电子。
禁带是指电子能量较低的能带，其中几乎没有电子存在。
在固体中，导带和禁带之间的能量差异被称为禁带宽度。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响。
导带中存在大量可移动电子，因此固体具有较好的导电性。
禁带中几乎没有电子存在，因此固体具有绝缘性或半导体性质。
禁带宽度的大小决定了导电性和光学性质的特性。
总结起来，布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的重要概念。
布洛赫定理描述了电子波函数的周期性特征，能带结构描述了电子能量在动量空间中的分布情况。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响，它们在材料科学和电子学等领域具有广泛的应用。
固体物理学：4-1 布洛赫定理
§4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
正格基矢
倒格基矢
a1、a 2、a 3 ,
b 1、b 2、b 3
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a 2π
b2 j a
例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的
扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 a，b。
解: a1 ai
a2 bj
2π (i j)
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分 布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N2 N3 N N Ω VC
一个波矢代表点对应的体积为： (2π)3 VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2 π) 3
下面我们证明
(r
Rn
)
eikRn
(r)
k(r
2 Rn )
k(r) 2
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
黄昆 固体物理 讲义 第四章
KK
KK
KK K K K K T1ψ ( r ) = ψ ( r + a1 ) = eik ⋅a1ψ ( r )
ψ ( r ) 和ψ ( r + a1 ) 分别是相邻两个原胞中电子的波函数 —— 两者只相差一个位相因子 λ1 = eik ⋅a
K
K
K
K
KK
1
，不同的简 2）平移算符本征值量子数： k 称为简约波矢（与电子波函数的波矢有区别，也有联系） 约波矢，原胞之间的位相差不同。 3）如果简约波矢改变一个倒格子矢量： Gn = n1b1 + n 2 b2 + n3b3 ， n1 , n 2 , n3 为整数。
-3-
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固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
由于存在对易关系，根据量子力学可以选取 H 的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数。
有：
Hψ = Eψ T1ψ = λψ ψ = λ2ψ , T3ψ = λ3ψ 1 , T2
本征值的确定： λ1 , λ2 , λ3
KK ik ⋅a1
则平移算符 T1 , T2 , T3 的本征值可以表示为： λ1 = e
, λ2 = e ik ⋅a2 , λ3 = e ik ⋅a3
KK
KK
将 T ( Rm ) = T1 1 ( a1 )T2 2 ( a 2 )T3 3 ( a 3 ) 作用于电子的波函数ψ ( r )
m m m
K K K
K
K
K
( 2π ) 3 Ω
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
第四章 能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础． 在二十世纪二十年代末和三十年代初期， 在量子力学运动规律确立以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的．最 初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。 —— 说明了固体为什么会有导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距……等 —— 能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导体技术的发展 —— 大型高速计算机的发展， 使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结 构的计算 能带理论是一个近似的理论．在固体中存在大量的电子。它们的运动是相互关联着的，每个电子的 运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的．能带理论是单电子近 似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动．在大多数情况下，人们 最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子 的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实．这样价电子的等效势场，包 括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用．单电子 近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里（Hartree）－福克（ΦOK）自洽场方法。 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电 子．在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响 看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场 V(r)也应具有周 期性．晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
布洛赫定理
2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
简述布洛赫定理的内容
简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理，它描述了晶体中电子的行为。
该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。
一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。
晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。
周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。
二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时，它会受到一个平稳而有规律的力，这个力会使电子做简谐振动。
在这种情况下，电子行为类似于弹簧振动器。
三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。
它指出，在一个周期性势场中，电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。
这个函数被称为布洛赫函数。
通过布洛赫函数，我们可以推导出能带结构。
能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。
在能带结构中，能量被分成了不同的
区域，每个区域被称为一个能带。
在一个能带内，电子具有相似的能
量和动量。
四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。
在半导体领域，布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。
总之，布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。
它描述了晶
格对电子运动的影响，并推导出了能带结构。
通过这个定理，我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性，并将其应用于实际设备设计中。
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§4-1
第四章 能带理论
布洛赫定理
——1928 年布洛赫提出
在周期场中运动的单电子有什么特点呢？布
洛赫(Bloch)发现，不管周期势场的具体函数如
何，在周期场中运动的单电子的波函 (r数) 不
再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再是
常数，而是随晶格周期性变化，即：
(r )
eikr
u(r )
此形式的波函数叫布洛赫函数或布洛赫波
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
第四章 晶体中电子的能带理论
前面我们介绍了绝热近似，是将电子运动与离 子运动分开来考虑：
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置 变化，不考虑其影响——即晶格振动问题，描 述原子或离子围绕平衡位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位 置上，晶格具有严格周期性，而晶格振动对电 子影响当作微扰来处理——即能带理论，研究 固体中的电子状态。
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
• 为了了解固体的各种物理性质与物理效应，必须研 究电子在晶格中的运动。
• 根据绝热近似，我们学习了晶格振动的知识——声 子的色散关系，知道这是与晶体内部的周期性结构 密切相关的。
• 对晶体的电子而言，周期性结构导致电子处于周期 性排列的离子和其它所有电子所产生的势场中运 动——这个场不是常数，而是一个周期性势场。
• 20世纪30年代，布洛赫（Bloch）和布里渊 （Brillouin）等人解决了金属的电导问题，研究了 在周期场中运动的电子性质，于1928年创立了固体 的能带理论。
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
小结：
(1)能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础
(2)能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的
u(r ) u(r R)
or
k (r R) eik R k (r ) 用这种波函数描述的电子叫布洛赫电子
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4 – 1 布洛赫定理
布洛赫定理
第四章 能带理论
晶格具有平移对称性的单电子哈密顿
H
2
2
V
(r )
的本征函数
(r)可表2m示为
(r )
e
ikr
u(r )
其中
u(r )
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论是一种近似方法
晶体中电子有两类
外层价电子 能量高； 晶体势场较弱； 电子行为类似于自由电子；
故晶体势场对电子运动的影 响看作微扰处理。
内层电子
能量低；
晶体势场较强；
电子基本上围绕原子核 运动；故相邻原子的影
响看作是微扰处理。
近自由电子近似
能带近似计算方法
迄今为止，我们还未得到 E k 的具体形式。
要求能量本征值，必须解薛定谔方程：
2
2m
晶体势场
V2r 也V 必r须 n具k r体 给E出n k，这nk 是r 非常困
难 的的 晶事 体情势。V 常r常，以再简利化用的量模子型力势学来中代微替扰真理实论
来解决。
如何简化?
能带理论建立基础
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论建立基础
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
周期场近似：由于晶格的周期性结构，可以合理的假设
所有点子及离子产生的场均具有晶格周期性。
V r V r Rn
Rn n1a1 n2a2 n3a3
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紧束缚近似
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
本章主要内容
§4-1布洛赫定理 §4-2一维周期场中电子运动的近自由电子近似 §4-3三维周期场中电子运动的近自由电子近似 §4-5紧束缚近似——原子轨道线性组合法 §4-7能态密度和费米面
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4 – 1 布洛赫定理
是一个具有晶格周期性的函数：
u(r )
u(r
R)
，k
为简约波矢。
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4 – 1 布洛赫定理
也可理解为:
第四章 能带理论
晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的 平面波，即电子的波函数具有如下形式：
(r ) eikruk (r )
uk (r ) uk (r Rn )
这里 k 为电子的波矢，Rn 是晶格平移矢量.
再（束1晶）缚体电于中子个电别子的波的共函原有数子化，运而动是2m在：2 整认2 个为V 固固r 体体 内中r 运的 E动电 。子r 不
（2）微扰处理：在讨论V 共r 有 V化r电 子Rn 运动状态时，
假与定自原由子电实子论处不在同其在平于衡，位在能置带，理而论把中原V子(r )实不偏是恒离定平的， 衡而位是置具有的与影晶响格同看周成期微的函扰数。。
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
简约波矢的说明
关于简约波矢 k
k 标志着电子状态的量子数，不同的 k 表示
不同状态，具有不同的能量，其物理意义是表示原
胞之间电子波函 数之间的位相差。
自由电子： k 代表动量本征值，其波矢 k 取
值无限制；
布洛赫电子： k 代表准动量，其波矢 k 取值在
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
单电子所处周期性势场图示
V(r )
a
r
能带理论是一种绝热近似下的单电子近似理论。
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
晶体系统多电子问题就简化为周期场中的单电子问题。 晶体电子态就可以用单电子在不同的周期场中运动的状 态来描述.
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论建立基础
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
它电子作用比较接近于平均作用，故用“平均势场”来替代 电子的真实相互作用，即每个电子都在一个相同的有效势场 中运动。这种方法称为单电子近似，对于晶格，单电子有效 势由两部分组成，即晶格离子势和电子间平均作用势。
特点，对固体中电子的状态进行了较为精确的物理描述。
—— 说明了导体、非导体的区别。
定性的
计算机技术的发展
普遍性规律
具体材料 复杂能带结构
的计算
半导体 技术的
发展
微电子工业 高度发展
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
第四章 能带理论
布洛赫定理
——1928 年布洛赫提出
在周期场中运动的单电子有什么特点呢？布
洛赫(Bloch)发现，不管周期势场的具体函数如
何，在周期场中运动的单电子的波函 (r数) 不
再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再是
常数，而是随晶格周期性变化，即：
(r )
eikr
u(r )
此形式的波函数叫布洛赫函数或布洛赫波
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
第四章 晶体中电子的能带理论
前面我们介绍了绝热近似，是将电子运动与离 子运动分开来考虑：
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置 变化，不考虑其影响——即晶格振动问题，描 述原子或离子围绕平衡位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位 置上，晶格具有严格周期性，而晶格振动对电 子影响当作微扰来处理——即能带理论，研究 固体中的电子状态。
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
• 为了了解固体的各种物理性质与物理效应，必须研 究电子在晶格中的运动。
• 根据绝热近似，我们学习了晶格振动的知识——声 子的色散关系，知道这是与晶体内部的周期性结构 密切相关的。
• 对晶体的电子而言，周期性结构导致电子处于周期 性排列的离子和其它所有电子所产生的势场中运 动——这个场不是常数，而是一个周期性势场。
• 20世纪30年代，布洛赫（Bloch）和布里渊 （Brillouin）等人解决了金属的电导问题，研究了 在周期场中运动的电子性质，于1928年创立了固体 的能带理论。
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
小结：
(1)能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础
(2)能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的
u(r ) u(r R)
or
k (r R) eik R k (r ) 用这种波函数描述的电子叫布洛赫电子
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4 – 1 布洛赫定理
布洛赫定理
第四章 能带理论
晶格具有平移对称性的单电子哈密顿
H
2
2
V
(r )
的本征函数
(r)可表2m示为
(r )
e
ikr
u(r )
其中
u(r )
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论是一种近似方法
晶体中电子有两类
外层价电子 能量高； 晶体势场较弱； 电子行为类似于自由电子；
故晶体势场对电子运动的影 响看作微扰处理。
内层电子
能量低；
晶体势场较强；
电子基本上围绕原子核 运动；故相邻原子的影
响看作是微扰处理。
近自由电子近似
能带近似计算方法
迄今为止，我们还未得到 E k 的具体形式。
要求能量本征值，必须解薛定谔方程：
2
2m
晶体势场
V2r 也V 必r须 n具k r体 给E出n k，这nk 是r 非常困
难 的的 晶事 体情势。V 常r常，以再简利化用的量模子型力势学来中代微替扰真理实论
来解决。
如何简化?
能带理论建立基础
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论建立基础
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
周期场近似：由于晶格的周期性结构，可以合理的假设
所有点子及离子产生的场均具有晶格周期性。
V r V r Rn
Rn n1a1 n2a2 n3a3
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紧束缚近似
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
本章主要内容
§4-1布洛赫定理 §4-2一维周期场中电子运动的近自由电子近似 §4-3三维周期场中电子运动的近自由电子近似 §4-5紧束缚近似——原子轨道线性组合法 §4-7能态密度和费米面
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4 – 1 布洛赫定理
是一个具有晶格周期性的函数：
u(r )
u(r
R)
，k
为简约波矢。
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4 – 1 布洛赫定理
也可理解为:
第四章 能带理论
晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的 平面波，即电子的波函数具有如下形式：
(r ) eikruk (r )
uk (r ) uk (r Rn )
这里 k 为电子的波矢，Rn 是晶格平移矢量.
再（束1晶）缚体电于中子个电别子的波的共函原有数子化，运而动是2m在：2 整认2 个为V 固固r 体体 内中r 运的 E动电 。子r 不
（2）微扰处理：在讨论V 共r 有 V化r电 子Rn 运动状态时，
假与定自原由子电实子论处不在同其在平于衡，位在能置带，理而论把中原V子(r )实不偏是恒离定平的， 衡而位是置具有的与影晶响格同看周成期微的函扰数。。
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
简约波矢的说明
关于简约波矢 k
k 标志着电子状态的量子数，不同的 k 表示
不同状态，具有不同的能量，其物理意义是表示原
胞之间电子波函 数之间的位相差。
自由电子： k 代表动量本征值，其波矢 k 取
值无限制；
布洛赫电子： k 代表准动量，其波矢 k 取值在
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
单电子所处周期性势场图示
V(r )
a
r
能带理论是一种绝热近似下的单电子近似理论。
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
晶体系统多电子问题就简化为周期场中的单电子问题。 晶体电子态就可以用单电子在不同的周期场中运动的状 态来描述.
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论建立基础
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
它电子作用比较接近于平均作用，故用“平均势场”来替代 电子的真实相互作用，即每个电子都在一个相同的有效势场 中运动。这种方法称为单电子近似，对于晶格，单电子有效 势由两部分组成，即晶格离子势和电子间平均作用势。
特点，对固体中电子的状态进行了较为精确的物理描述。
—— 说明了导体、非导体的区别。
定性的
计算机技术的发展
普遍性规律
具体材料 复杂能带结构
的计算
半导体 技术的
发展
微电子工业 高度发展
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4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
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第四章 能带理论