布洛赫定理证明
布洛赫定理
布洛赫定理
波斯拉-布洛赫定理（英语：Borsuk-Ulam theorem），是数学中一个有趣的不可分性
定理，它被提出和发现是由波斯拉（Karol Borsuk）在1933年发表在波兰语论文《关于
不可分性及对抗性的定理》中。
此定理声称：任何平面内的拓扑定向闭环就是一个非可分的，即任何圆内的拓扑结构都不可能将整个平面分成两个等价的，完全等价的，分割区域。
它也被称为拓扑实例和拓扑反范例的定理，重点是强调了闭环不可分性的概念，它可
以说明一般圆集，尤其是高维的几何空间，存在不可分的性质的共性。
例如，在多维几何
空间中，给定一个闭环，它是不可能将整个空间分割成两个等价的，完全等价的，分割区
域的。
布洛赫定理也是一种抽象代数中的应用。
它被用来证明了抽象代数中的唯一性定理，
这是用来确保给定空间中的任何一个线性映射都有一种唯一的矩阵表示。
此外，由于它最早的发表，布洛赫定理还被用于图论中。
它可以用来证明许多图论有
关的定理，它可以确保在同构的图论结构中，存在特定的属性。
尽管布洛赫定理的原理很要素，但是它也用于研究和应用程序，如维基解释，精确测量，数据可视化，图像处理，机器学习和计算机视觉等。
它可以用来证明不可分性的特点，而这一特性又可用于多种数学计算和解决实际问题的场景。
同时，由于布洛赫定理的具体应用非常普遍，科学家和数学家也常常用它来作为研究
和可视化技术的一部分，这对把复杂的理论模型和理论研究的结果都可视化的有很高的效率。
综上所述，布洛赫定理是数学中一个重要的定理，它在抽象代数和图论中有重要的应用，也被用于证明抽象代数中的唯一性定理，同时它也可以用于实际应用和可视化技术。
布洛赫定理证明
对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此等效势场)(r V也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程在坐标表象中为：)()()(2)(2r E r r V m i ψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-，)()(n R r V r V += 这里n R 为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。
布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形式：)()(r eR r n R k i n ψψ⋅=+，)()(r u e r r k i ⋅=ψ，)()(r u R r u n =+ 即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。
具有该形式是函数又称为布洛赫函数。
布洛赫定理的证明如果用)(ˆn R T 代表使位矢r 平移到n R r +的平移操作算符（nR 为格矢），则单电子的在周期性势场中的势能具有：)()()(ˆn n R r V r V R T +=在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：)()()(2)(ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 其中：)(2ˆ22r V mH +∇-=为体系哈密顿量。
对于任意函数)(r f在平移算符的作用下有：)()(2)](ˆ)[(ˆ22n n R r n R r f R r V m r f H R T n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++∇-=+ )()(ˆˆ)(ˆ)()(222r f R T H R r f H R r f r V m n n n =+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即0)(ˆˆˆ)(ˆ=-n n R T H H R T根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态)(r ψ为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有：)()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(111111111r r a T a T a T r a N T a N r r Nψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(222222222r r a T a T a T r a N T a N r r Nψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(333333333r r a T a T a T r a N T a N r r N ψλψψψψ===+= 这里321,,λλλ分别为)(ˆ),(ˆ),(ˆ321a T a T a T 在本征态)(rψ的本征值；321,,a a a 分别为正格子空间的基矢。
固体物理学：4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
布洛赫定理
布洛赫定理（一） Bloch 定理：势场()U r →具有晶格周期性时，即()U r →=()n U r R →→+ （1） 电子的波函数满足薛定谔方程的解具有以下性质：()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→（2）根据()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→，电子的波函数()r ψ→满足：()r ψ→=ni k R e→→·()u r →其中，()u r →为与势能同周期的周期性函数，()u r →=()n u r R →→+n R →为势场的周期（二）Bloch 定理的证明： （1） 证明H ∧具有周期性。
（2） 引入平移对称算符()n T R ∧→，证明平移对称算符与哈密顿算符H ∧对易，两者具有相同的本证函数。
（3） 由平移对称的本征值方程导出··ni k R n r R e r ψψ→→→→→⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据证明（2）知r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭也是哈密顿算符H ∧的本征函数，综合上述要点便可证明Bloch 定理的第一条性质。
证明：（1）H r ∧→⎛⎫ ⎪⎝⎭=—22()2r m →∇ +()U r → 在直角坐标系中：2()r →∇=222222x y z ∂∂∂++∂∂∂=222222112233()()()x n a y n a z n a →→→∂∂∂++∂+∂+∂+ =2()n r R →→∇+其中112233n R n a n a n a →→→→=++为势能的一个周期或者若干个周期。
∴()n H r R ∧→→+=—22()2n r R m →→∇+ +()n U r R →→+=—22()2r m→∇ +()U r → ∴()n H r R ∧→→+=()H r ∧→引入平移对称算符（简称平移算符）()n T R ∧→：()n T R ∧→·()f r →=()n f r R →→+()f r →为任意函数2()n T R ∧→·()f r →=()n T R ∧→·()n f r R →→+=(2)n f r R →→+ ()ln T R ∧→·()f r →=()n f r l R →→+=()n T lR ∧→·()f r →由上式知：()ln T R ∧→=()n T lR ∧→将平移算符作用到定态薛定谔方程中：()n T R ∧→·()H r ∧→·()r ψ→=()n H r R ∧→→+·()n r R ψ→→+=()H r ∧→·()n T R ∧→·()r ψ→∴()n T R ∧→·()H r ∧→=()H r ∧→·()n T R ∧→∴平移算符与哈密顿算符是对易的。
3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ (2) [T , H ] 0
即平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易
2 2 ˆ H V (r ) 2m
V (r ) V (r Rn ),
微分算符与坐标原点的平移无关，比如在直角坐标系中：
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
i (k G )r ikr iG r k (r ) a(k Gh )e h e a(k Gh )e h h h iG r 设uk (r ) a(k Gh )e h
k (r ) k (r Ni ai ) e
e
ik Ni ai ik r
uk (r )
e
uk (r )
可用相应的倒格子基矢 bi 表示，即：
前面我们已知，波矢 k 空间为倒格子空间，因而，波矢 k
ik r (r ) e (r ) k uk
n
可以看出平面波
e
ik r能满足上式：
ik ( r Rn ) ik Rn ik r ik Rn (r Rn ) e e e e (r )
l1b1 l2b2 l3b3 因此矢量 k 具有波矢的意义。 k N1 N2 N3 当波矢增加一个倒格矢 Gh，平面波 ei (k Gh )r 也满足上式。
波矢 k ：
l1b1 l2b2 l3b3 k N1 N2 N3
' i
l1 , l2 , l3 为整数
' 当ki k 整数时， 相当于波矢 k 换成 k k Gh , Gh 是倒格矢。
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
布洛赫定理
得到：λ
1
=e
2πi
l1 N1
, λ2 = e
2πi
l2 N2
, λ3 = e
2πi
l3 N3
− − − l1 , l2 , l3
v l1 v l3 v l2 v b1 + b3 + b3 引入： k = N1 N2 N3
v v v b1 , b2 , b3
5 则平移算符的本征值可以表示为：
λ1 = e
vv ik ⋅a1
, λ2 = e
v v ik2 ⋅a2
, λ3 = e
v v ik3 ⋅a3
v v v v T ( Rm )ψ (r ) = ψ (r + Rm ) v m3 v m1 v m2 v = T1 (a1 )T2 (a2 )T3 (a3 )ψ (r ) v v v ik ⋅ Rm m1 m2 m3 = λ1 λ2 λ3 = e ψ (r )
6 则可以推导出：
7 从而得到：
v v r v v ik • Rn ψ r + Rn = e ψ (r )
(结
论
1布洛赫定理是一个普遍适用的结论。 2它在周期性势场的数学求解中可以使问题简化。 3在量子力学，激光物理中具有广泛的应用。 4在晶体物理学中具有非常直观的应用。
平移算符性质：
Tα Tβ = Tβ Tα
——各平移算符对易。
2 平移算符和哈密顿量对易
h2 v v v v 2 Tα Hf ( r ) = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m v v v = Hf ( r + aα ) = HTα f ( r )
Tα H − HTα = 0
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对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此等效势场)(r V
也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程在坐标表象中为：
)()()(2)(2r E r r V m i ψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-，)()(n R r V r V += 这里n R 为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。
布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形
式：)()(r e
R r n R k i n ψψ⋅=+，)()(r u e r r k i ⋅=ψ，)()(r u R r u n =+ 即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。
具有该形式是函数又称为布洛赫函数。
布洛赫定理的证明
如果用)(ˆn R T 代表使位矢r 平移到n R r +的平移操作算符（n
R 为格矢），则单电子的在周期性势场中的势能具有：
)()()(ˆn n R r V r V R T +=
在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：
)()()(2)(ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 其中：)(2ˆ22r V m
H +∇-=为体系哈密顿量。
对于任意函数)(r f
在平移算符的作用下有：
)()(2)](ˆ)[(ˆ22n n R r n R r f R r V m r f H R T n +⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++∇-=+ )()(ˆˆ)(ˆ)()(222r f R T H R r f H R r f r V m n n n =+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即
0)(ˆˆˆ)(ˆ=-n n R T H H R T
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态)(r ψ为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有：
)()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(111111111r r a T a T a T r a N T a N r r N
ψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(22
2222222r r a T a T a T r a N T a N r r N
ψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(333333333r r a T a T a T r a N T a N r r N ψλψψψψ===+= 这里321,,λλλ分别为)(ˆ),(ˆ),(ˆ321a T a T a T 在本征态)(r
ψ的本征值；321,,a a a 分别为正格子空间的基矢。
由上式可以得到：j j
N l i j e πλ2=，j l 取j N 2,1,0的整数，3,2,1=j ，引入倒矢量：33
3222111b N l b N l b N l k ++=，则有：j a k i j e ⋅=λ 于是：
)()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)(3
32211r a n T a n T a n T r R T R r n n ψψψ==+
)()()(321332211321r e r a n a n a n k i n n n ψψλλλ++⋅== =)(r e n R k i ψ⋅
这里k 为简约波矢，可将其限制在简约布里渊区内取值，其在倒格子空间的取值点是均匀分布的，其在每一个布里渊区取值的个数等于晶格元胞数，在倒空间的密度为3)2(πV。
如果取：)()(r u e r r k i ⋅=ψ，代入上式有： )()()()(r u e R r u e n n R r k i n R r k i +⋅+⋅=+
则：)()(r u R r u n =+
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。