固体物理学：4-1 布洛赫定理

§4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数 —— 简约波矢 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
—— 布洛赫定理 3) 简约波矢改变一个倒格子矢量
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应 取值限制第一布里渊区
简约波矢
第一布里渊区体积
简约波矢 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点 每个代表点的体积
—— 布洛赫函数
二 . 周期性边界条件
实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件：
1. 一维情况
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,
则布洛赫波函数 k ( x)应满足如下条件
k ( x) k ( x Na)
(3)
此式称为周期性边界条件。
a
采用周期性边界条件以
a
后，具有 N 个晶格点的
晶体就相当于首尾衔接
起来的圆环：
周期性边界条件对波 函数中的波数是有影 响的。
图 2 周期性边界条件示意图
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近 实际情况的波函数。
2、三维情况的布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 具有晶格周期性时 电子的波函数满足薛定谔方程
—— 方程的解具有以下性质 —— 布洛赫定理
— 布洛赫定理 为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子
电子的波函数 晶格周期性函数
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 k ( x) ei k xuk ( x)
右边为
k
(
x
Na )
eik(
u x Na ) k
(
x
Na )
e i kNae i kxuk ( x)
所以
ei kNa k ( x)
ei kNa 1
kNa 2n (n 0,1,2,)
即周期性边界条件使 k 只能取分立值：
状态密度
简约布里渊区的波矢数目
波函数为：一个自由电子波函数 ei k x 与一个具有
晶体结构周期性的函数 uk ( x)的乘积。
它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只有在 uk ( x) 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。
。
2
L
2
。
3
L
2
2
1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
123
L
kx
图 3 二维 k空间
示意图
1、 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易， 两者具有相
同的本征函数。
2、利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值，给出电子波函数的形式
布洛赫定理的证明
一：引入平移算符
势场的周期性反映了晶格的平移对称性
k n 2 n 2
Na L
(n 0,1,2,)
k n 2 n 2
Na L
(n 0,1,2,)
k 是代表电子状态的角波数,
n 是代表电子状态的量子数。
2. 三维情况 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。 它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
一个 k 对应电子的一个状态。
晶格平移任意矢量
势场不变
在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
二：平移算符 的性质 1：作用于任意函数
——
任意函数如：如势能，哈密顿等 例：平移算符作用于周期性势场
2：各平移算符之间对易性 对于任意函数
3 平移算符和哈密顿量对易性 对于任意函数
和
微分结果一样
T和H存在对易关系，具有共同本征函数 —— 平移算符的本征值
布洛赫定理：
满足（1）式的定态波函数必定具有如下的
特殊形式 k ( x) eik xuk ( x)
(2)
式中 uk ( x) 也是以a为周期的周期函数，
即 uk ( x) uk ( x na)*
具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
三. k 空间
我们以 kx、 ky、 kz 为三个直角坐标轴，建立 一个 假想的空间。这个空间称为波矢空间、 在kk空空间间，中或，动电量子空的间每*个。状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
ky
2
L
ny
(ny 0,1,2,)
kz
2
L
nz
(nz 0,1,2,)