山东省潍坊市2020届高考数学二模考试试题
山东省潍坊市2020届高考数学二模考试试题2020．5本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U U A B A C B ===⋂=，则 A. {}1,4B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C. 1-D. 2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为 A. ()2214x y -+=B. ()2214x y ++=C. ()2214x y ++=D. ()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos xf x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.24B.12C.6D.48.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A. 3D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b a b->-B. 11a b b a-<-C. ()ln 0b a ->D. c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A. ()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数 B. ()x fθ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C. ()()102f g πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为3312.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是A.若AB//CD ，则//MN lB.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r，，则物体的重力大小为_________N.14.已知50sin tan 24ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值.18.（2分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知函数()()1ln,xe f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，.21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dxy a bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”. 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）. （i ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,,,l l PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列。
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试数学试题含答案
16.已知函数
f
x
ln x,
2
x3
3x
2
A.甲是律师，乙是医生，丙是记者
B.甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.甲是医生，乙是律师，丙是记者
D.甲是记者，乙是医生，丙是律师
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为
A. x 12 y2 4
B. x 2 y 12 4
C. x 12 y2 4
潍坊市高考模拟考试
数学
2020．5 本试卷共 6 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效．
0, 0 的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂
直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线 C 的渐近
线上，且 BF/OA，若 AB OB 0 ，则双曲线 C 的离心率为
23
A.
3
B. 2
C. 3
D.2
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.
D. x2 y 12 4
1
5. 设 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f x ex cos x ， 则 不 等 式 f 2x 1 f x 2 0 的解集为
A. ,1
2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2≤x≤3}，函数f（x）=ln（1-x）的定义域为集合B，则A∩B=（）A. [-2，1]B. [-2，1）C. [1，3]D. （1，3]2.若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，则=（）A. iB. -iC. 1D. -13.已知等差数列{a n}的前5项和为15，a6=6，则a2019=（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 20204.已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p是（）A. ∀x∈R，x2≤0B. ∃x∈R，x2＞0C. ∃x∈R，x2＜0D. ∃x∈R，x2≤05.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了．国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A. B. C. D.7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A. y=2x-x2-1B. y=2x sinxC. D.8.函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x-cos2x的图象（）A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B. 向右平穆个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到9.在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且．BP=2PA，则=（）A. B. C. D. 110.一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（）A. 6πB. 12πC. 32πD. 48π11.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=2x-1，g（x）=（a∈R），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A. （-∞，）B. （，+∞）C. （-∞，）∪[1，2]D. （1，]∪[，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为______．14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为______．15.设数列{a n}满足a1•2a2•3a3•…•na n=2n，则a n=______．16.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y=f（x），则f（2019）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，．（1）求cos∠BAC；（2）若∠D=45o，∠BAD=90°，求CD．18.如图，四棱锥M—ABCD中，MB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB＝MB，E、F分别为MA、MC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面MAD；(2)若求三棱锥E－ABF的体积．19.某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如表：质量指标检测分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，IOO]甲班组生产的产品件71840296数乙班组生产的产品件81240328数（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；（2）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？甲班组乙班组合计合格品次品合计（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线：y=kx+b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，|AF|+|BF|=4，M（0，3）．（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为k'，证明k⋅k'为定值；（2）求△ABM面积的最大值．21.已知函数f（x）=xe x-a ln x（无理数e=2.718…）．（1）若f（x）在（0，1）单调递减，求实数a的取值范围：（2）当a=-1时，设g（x）=x（f（x）-xe x）-x3+x2-b，若函数g（x）存在零点，求实数b的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．23.已知函数f（x）=|ax-2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）-tx≤2成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|x＜1}；∴A∩B=[-2，1）．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，∴z2=-1+i，∴==．故选：B．3.答案：C解析：解：等差数列{a n}的前5项和为15，即15===5a3，所以a3=3，又因为a6=6，所以a6-a3=3d=3，所以d=1，所以a2019=a3+（2019-3）×d=3+2016=2019．故选：C．由前5项和为15，可以得到a3=3，又知道a6=6，故可求a1和d，进而得到a2019．本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选：D．欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5.答案：C解析：解：阴影部分对应的图形为6平行四边形，设正方形的边长为4，则平行四边形的底面长为2，平行四边形的高为1，则阴影部分的面积S=2×1=2，则大正方形的面积S=4×4=16，则阴影部分的概率P==，故选：C．根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为1正方形，斜高为1四棱锥，且四棱锥的高为=的正四棱锥．∴它的体积为V=×12×=．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．7.答案：D解析：解：根据函数定义域为R，可知C不符合，根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合，当x→∞时，函数值趋向于-∞，故A不符合，对于D：y=（x2-2x）e x，当y=0时，解得x=0或x=2，当x→+∞时，y→+∞，当x→-∞时，y→0，故D符合．故选：D．根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可选择．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8.答案：D解析：解：把函数y=sin2x-cos2x=2sin（2x-）的图象向左平移个单位，可得y=2sin （2x+）的图象；再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：D．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.答案：C解析：解：在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP=2PA，可得=，所以=（）=×1×1×cos60°=．故选：C．利用向量关系，求出，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的应用，平面向量的基本定理以及平行四边形法则的应用，是基本知识的考查．10.答案：B解析：解：如图，四面体ABCD中，∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠ACD=90°，AB=BC=CD=2，可得BD=2，AD=2，AD中点O即为外接球球心，故球O半径为，其表面积为12π，故选：B．作出图形，易知最大斜边即为外接球直径，容易求解．此题考查了四面体外接球，难度不大．11.答案：A解析：解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，由|NF1|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF2|=4b，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即3b=4a，则=．则C的渐近线方程为：．故选：A．设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．12.答案：C解析：解：对任意x∈[1，+∞），则f（x）=2x-1≥20=1，即函数f（x1）的值域为[1，+∞），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），设函数g（x）的值域为A，则满足[1，+∞）⊆A，即可，当x＜0时，函数g（x）=x2+2a为减函数，则此时g（x）＞2a，当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-|a|，2+|a|]，①当2a＜1时，（红色曲线），即a＜时，满足条件[1，+∞）⊆A，②当a≥时，此时2a≥1，要使[1，+∞）⊆A成立，则此时当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-a，2+a]，此时满足（蓝色曲线），即，得1≤a≤2，综上a＜或1≤a≤2，故选：C．求出两个函数的值域，结合对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），等价为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．13.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，属于基础题．利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．【解答】解：由题可设椭圆方程，c为椭圆的半焦距，焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于，可得b=8，，即1-，解得a=10，故所求的椭圆方程为：．故答案为．14.答案：10解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图：由可得A（2，-4）．化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x-．由图可知，当直线y=x-过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=2-2×（-4）=10．故答案为：10．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：∵a1•2a2•3a3•…•na n=2n，①，∴n≥2时，a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1②∴①÷②可得na n=2，∴a n=（n≥2）又a1=1也满足上式，∴数列{a n}的通项为a n=；故答案为：．根据题意，可得a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1，两者相除，可得数列{a n}的通项公式．本题考查数列递推式，求解数列的通项公式，是基本知识的考查．16.答案：0解析：解：∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线AC=，则由正方形的滚动轨迹得到x=0时，C位于（0，1）点，即f（0）=1，当x=1时，C位于（1，）点，即f（1）=，当x=2时，C位于（2，1）点，即f（2）=1，当x=3时，C位于（3，0）点，即f（3）=0，当x=4时，C位于（4，1）点，即f（4）=1，则f（x+4）=f（x），即f（x）具备周期性，周期为4，则f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=0，故答案为：0根据正方形的运动关系，分布求出当x=0，1，2，3，4时对应的函数值f（x），得到f （x）具备周期性，周期为4，利用周期性进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC===…5分（2）因为∠DAC=90°-∠BAC，所以sin∠DAC=cos∠BAC=，…7分所以在△ACD中，由正弦定理可得：，…9分可得：，解得：CD=5…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理即可计算得解cos∠BAC的值．（2）由已知可求sin∠DAC=cos∠BAC=，在△ACD中，由正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：∵MB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴MB⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又AB⊂平面MAB，MB⊂平面MAB，AB∩MB=B，∴AD⊥平面MAB，又BE⊂平面MAB，∴AD⊥BE．∵AB=MB，E是MA的中点，∴BE⊥MA，又AD⊂平面MAD，MA⊂平面MAD，AD∩MA=A，∴BE⊥平面MAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面MAD．（2）由（1）知AD⊥平面MAB，又AD∥BC，∴BC⊥平面MAB，∵F是MC的中点，∴F到平面MAB的距离d=BC=，∵E是MA的中点，∴S△ABE===，∴V E-ABF=V F-ABE===．解析：（1）证明AD⊥平面MAB得出AD⊥BE，由AB=BM得出BE⊥MA，故BE⊥平面MAD，于是平面BEF⊥平面MAD；（2）根据V E-ABF=V F-ABE计算棱锥的体积．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（1）根据表中数据，计算甲班组生产该产品的不合格率为=25%，乙班组生产该种产品的不合格率为=20%；（2）根据题意填写2×2列联表如下，甲班组乙班组合计合格品7580155次品252045合计100100200计算K2=≈0.717＜3.841，所以没有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关；（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，其中甲、乙班组抽取的产品中均含有1件次品，设甲的这4件产品分别为a、b、c、D，其中a、b、c为合格品，D为次品，从中任取2件，则所有可能的情况为ab、ac、aD、bc、bD、cd共6种，事件A包含3种，所以P（A）==；设5件乙班组产品分别为e、f、g、h、M，其中e、f、g、h为合格品，M为次品，从中随机抽取2件，基本事件为ef、eg、eh、eM、fg、fh、fM、gh、gM、hM共10种不同取法，事件B包含4种，所以P（B）==．由P（A）＞P（B）知，事件A发生的可能性大些．解析：（1）根据表中数据，分别计算甲、乙班组生产该种产品的不合格率；（2）根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据分层抽样原理，利用列举法分别求出事件A、事件B的概率，比较即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率应用问题，是中档题．20.答案：（1）证明：由抛物线C：x2=4y与直线：y=kx+b的方程组成方程组，消去y得，x2-4kx-4b=0，则△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系知，x1+x2=4k，x1x2=-4b，由|AF|+|BF|=4，根据抛物线的定义知，（y1+1）+（y2+1）=4，即y1+y2=2，所以AB的中点坐标为T（2k，1），又M（0，3），所以直线MT的斜率为k'==-，所以k⋅k'=-1为定值；（2）解：由（1）知=-4x1x2=16（k2+b），|AB|=|x1-x2|=4，设点M到直线l的距离为d，则d=，由（1）知y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=4k2+2b=2，即2k2+b=1，即b=1-2k2，由△=16k2+16b＞0，得0＜k2＜1；所以S△ABM=×|AB|×d=×4×=4，令t=k2，0＜t＜1，f（t）=（1+t）2（1-t）=1+t-t2-t3，0＜t＜1，f′（t）=1-2t-3t2=（t+1）（-3t+1），0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）为增函数；＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）为减函数；所以当t=时，f（t）取得最大值为f（x）max=f（）=，所以△ABM面积的最大值为4=．解析：（1）由抛物线与直线方程组成方程组，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义，求出AB的中点坐标T以及直线MT的斜率，计算k⋅k'的值；（2）利用弦长公式计算|AB|的值，求出点M到直线l的距离d，计算△ABM的面积，求出最大值即可．本题考查了直线与抛物线方程的综合应用问题，也考查了弦长公式与三角形面积的计算问题，是难题．21.答案：解：（1）f′（x）=（x+1）e x-=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，则h′（x）=（x2+3x+1）e x．当x∈（0，1）时，x2+3x+1＞0．h′（x）＞0在x∈（0，1）单调递增．∴h（x）＜h（1）=2e．故a≥2e．（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．u′（x）=-1=．可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．因此ln x≤x-1，∴b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．当x=1时取等号．∴实数b的最大值为0．解析：（1）f′（x）=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，利用倒导数研究其单调性即可得出．（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．利用研究其单调性即可证明结论．可得b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即ρsinθ-ρcosθ+4=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0．将曲线C的参数方程为（α为参数）消去参数α，得曲线C的普通方程为；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），则P（，），∴点P到直线l的距离d==．∴当时，点M到直线l的距离的最大值为．解析：（1）由直线l的极坐标方程为，得ρsinθ-ρcosθ+4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线l的直角坐标方程．直接将曲线C的参数方程消去参数α，可得曲线C的普通方程；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），化点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），利用中点坐标公式求得P（，），再由点到直线的距离公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：（1）由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4，即-2≤ax≤6，当a＞0时，-≤x≤，所以，解得a=1；当a＜0时，≤x≤-，所以，无解，所以实数a的值为1（2）由已知g（x）=f（x）+f（x+3）=|x+1|+|x-2|=，不等式g（x）-tx≤2，即g（x）≤tx+2，由题意知y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出对应图象：由图可知，当t＜0时，t≤k EM；当t＞0时，t≥k FM，又因为k EM=-1，k FM=，所以t≤-1，或t，即t∈（-∞，-1]∪[，+∞）．解析：（1）解f（x）≤4得解集与已知解集相等可列方程解得；（2）问题转化为y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出图象，根据斜率可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020届山东省潍坊市高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精品)
山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A．B．M=N C．M∪∁R N=R D．M∩∁R N=M3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，324．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x﹣b）的图象是（）A． B． C． D．5．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．510．已知函数f（x）=，g（x）=kx﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A．（1，6）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为．12．在平行四边形中，AC与BD交于点O，=，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．13．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=．14．（x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为．15．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．18．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．19．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛﹣场已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：A1A2A3B1B2B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜．则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序．使得取胜的概率最大？（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）20．已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣bln（x+1）（a＞0），g（x）=e x﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线．（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若∀x≥0，g（x）≥f（x）+x2，求a的取值范围．山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵==，∴复数的虚部为．故选：A．2．设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A．B．M=N C．M∪∁R N=R D．M∩∁R N=M【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|lnx≤1}=（0，e]，利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}=（0，e]，则上述结论正确的是M∩∁R N=M．故选：D．3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x﹣b）的图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据f（x）的图象可以求出a，b的范围，根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，∴﹣1＜b＜0，a＞1，∴g（x）=log a（x﹣b）为增函数，∵x﹣b＞0，∴g（x）=log a（x﹣b）由y=log a x的图象向左平移|b|的单位得到的，故选：B．5．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查．【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任意的x，都有e x＞0，故错误；C若a＞b，c＞d，根据同向可加性只能得出a+c＞b+d，故错误；Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确．故选D．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的化简求值．【分析】根据平面向量垂直时数量积为0求出tanα，再利用两角和的正切公式求值即可．【解答】解：∵=（x，y），向量=（3，4），且⊥，∴3x+4y=0，则=﹣，∴tanα=﹣，∴tan（α+）===．故选：D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，∴该几何体的体积为V=（）﹣=．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【考点】扇形面积公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B 的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A．10．已知函数f（x）=，g（x）=kx﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A．（1，6）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象有四个不同的交点，从而作图，结合图象求导，利用导数的几何意义求解．【解答】解：∵函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点，∴函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象有四个不同的交点，作函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象如下，，易知直线y=kx﹣1恒过点（0，﹣1）；设A（x，x2+4x），y′=2x+4；故2x+4=，故x=﹣1；故k=﹣2+4=2；设B（x，xlnx），y′=lnx+1，则lnx+1=，解得，x=1，故k=ln1+1=1，结合图象可知，实数k的取值范围为（1，2），故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为．【考点】程序框图．【分析】由|x|+|x﹣1|≤2α，可解得：x∈[﹣，]，即当x∈[﹣，]时满足框图的条件，能输出x的值，结合x∈[﹣2，2]，利用几何概型即可计算得解．【解答】解：∵|x|+|x﹣1|≤2α，∴，或，或，∴解得：﹣≤x＜0，或0≤x＜1，或1≤x≤，即x∈[﹣，]时满足框图的条件，能输出x的值．∵x∈[﹣2，2]，∴能输出x的概率为：=．故答案为：．12．在平行四边形中，AC与BD交于点O，=，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=﹣．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用三角形的相似关系，求得=，再根据向量的加法的三角形法则，求得λ和μ的值．【解答】解：∵△FED∽△CEB，DF：CD=DE：EA=1：3，过点F作FG∥BD交AC于G，FG：DO=2：3，AG：AO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+，=，λ+μ=﹣．故答案为：﹣．13．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=﹣1．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，进而求出结果．【解答】解：奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，∴f（0）=0，f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，∴f（x）=f（x+6），函数为周期函数，∴f=f（5）+f（0）=f（5）=f（﹣1）+f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．故答案为﹣1．14．（x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为14．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（x﹣y）7的展开式的通项公式T r+1=，令r=5，满足7﹣r=2，此时T6=﹣，令r=4，7﹣r=3，此时T5=，∴x3y5的系数为+=14．故答案为：14．15．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（，2）可得φ值，可得解析式，再由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得；（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=﹣=，解得T=π，∴ω===2，故f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），故2sin（2×+φ）=2，故sin（+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），由x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴2sin（2x+）∈[0，2]，故函数的值域为[0，2]；（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，∴f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，由余弦定理可得BC2=32+22﹣2×3×2×，BC=，∴cosB==，故sinB==，∴sin2B=2sinBcosB=2××=17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明平面OBE∥平面PAD，即可证明BE∥平面PAD；（2）建立空间坐标系，根据二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】（1）证明：∵，∠DAC=∠AOB∴AD∥OB，∵E是PC的中点，O是AC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，∵PA∩AD=A，平面OBE∥平面PAD，∵BE⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD；（2）∵AC是圆O的一条直径，∴AC⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，则CD⊥平面PAD，则CD⊥PD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，则tan∠PDA==2，即AD=1，建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（，，0），P（1，0，2），=（，﹣，2）D（0，0，0），C（0，，0），则=（0，，0），=（1，0，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=﹣2，y=0，即=（﹣2，0，1），则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sin＜，＞=|cos＜，＞|=||=18．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．【考点】数列的求和．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，可得首项为2，公比为4，可得a n=22n ﹣1，由对数的运算性质可得b n=2n﹣1，运用等差数列的求和公式即可得到S n；（Ⅱ）求得c n==n，原不等式即为++…+＜（n+1）2．运用数学归纳法证明．结合分析法，注意运用假设，化简整理，即可得证．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），可得a1（1+q）•q n﹣1=10•4n﹣1，即有q=4，a1（1+q）=10，解得a1=2，则a n=2•4n﹣1=22n﹣1，b n=log2a n=log222n﹣1=2n﹣1，S n=（1+2n﹣1）n=n2；（Ⅱ）证明：c n==n，不等式++…+＜S n+1，即为++…+＜（n+1）2．运用数学归纳法证明．当n=1时，左边=，右边=×4=2，不等式成立；假设n=k时，不等式++…+＜（k+1）2．当n=k+1时，++…++＜（k+1）2+，要证（k+1）2+＜（k+2）2．即证＜（k+2）2﹣（k+1）2=（2k+3），平方可得k2+3k+2＜k2+3k+，即有2＜成立．可得n=k+1时，不等式也成立．综上可得，++…+＜S n+1（n∈N*）．19．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛﹣场已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：A1A2A3B1B2B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜．则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序．使得取胜的概率最大？（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛甲俱乐部计划以3：0取胜的概率，再求出A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率．由此能求出甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p1=．设A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p2==．∵p1＞p2，∴甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+=，P（X=5）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，∴X的分布列为：X 3 4 5P∴EX==．20．已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，设直线l方程为y=kx﹣，代入，得=0．由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部．（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q（0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为=1．证明：（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，﹣）在椭圆C2内部．当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx﹣，代入，并整理，得=0．∴=﹣，∴G（，﹣），∵+==＜1恒成立，∴点G恒在椭圆C2内部．解：（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，由，得，由此可知若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），下面证明Q（0，1）适合题意．由（i）知：，，∴=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）==（1+k2）x1x2﹣=（1+k2）﹣+==0，∴，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上．综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．21．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣bln（x+1）（a＞0），g（x）=e x﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线．（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若∀x≥0，g（x）≥f（x）+x2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f′（x）=a﹣x﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1．由曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，可得f′（0）=g′（0），b=a．因此f′（x）=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（2）由g′（x）=e x﹣1，x＞0时，g′（x）＞0，可得e x≥x+1，从而x≥ln（x+1）．设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣x2=e x+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，F′（x）=e x+﹣（a+1），对a分类讨论a=1，0＜a＜1，a＞1，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=a﹣x﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1．∵曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，∴f′（0）=g′（0），∴a﹣b=0．∴b=a．∴f′（x）=a﹣x﹣=，a=1时，f′（x）=≤0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，舍去．a＞1时，x=0为f（x）的极小值点，舍去．0＜a＜1时，﹣1＜a﹣1＜0，当x∈（﹣1，a﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（a﹣1，0），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴x=0时，x=0为f（x）的极大值点．因此可得：当x∈（﹣1，a﹣1）时，函数f（x）单调递减；x∈（a﹣1，0），函数f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，函数f（x）单调递减．（2）∵g′（x）=e x﹣1，x＞0时，g′（x）＞0，故x=0时，g（x）取得最小值0，∴g（x）≥0，即e x≥x+1，从而x≥ln（x+1）．设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣x2=e x+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，F′（x）=e x+﹣（a+1），①a=1时，∵x≥0，∴F′（x）≥x+1+﹣（a+1）=x+1+﹣2≥0，∴F（x）在[0，+∞）递增，从而F（x）≥F（0）=0，即e x+ln（x+1）=2x﹣1＞0，∴g（x）≥f（x）+x2．②0＜a＜1时，由①得：e x+ln（x+1）﹣2x﹣1＞0，∴g（x）=e x﹣x﹣1≥x﹣ln（x+1）≥a（x﹣ln（x+1）），故F（x）≥0即g（x）≥f（x）+x2，③a＞1时，令h（x）=e x+﹣（a+1），则h′（x）=e x﹣，显然h′（x）在[0，+∞）递增，又h′（0）=1﹣a＜0，h′（﹣1）=﹣1＞0，∴h′（x）在（0，﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）递减，x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即g（x）＜f（x）+x2，不合题意，综上，a∈（0，1]．。
山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)考试数学试卷
数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U UA B A C B ===⋂=，则A.{}1,4B.{}1,4,5C.{}4,5D.{}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C.1-D.2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E xy =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为A.()2214x y -+=B.()2214x y ++= C.()2214x y ++=D.()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x=-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A.(),1-∞B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.224B.212C.26D.248.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A.233B.2C.3D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A.11a b a b->-B.11a b b a-<-C.()ln0b a ->D.c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O xy +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A.()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B.()x f θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C.()()102fg πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22tf g θθ=+的最大值为33212.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是 A.若AB//CD ，则//MN l B.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r ，，则物体的重力大小为_________N. 14.已知50sin tan 245ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值. 18.（2分） 已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12分）已知函数()()1ln ,x e f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，. 21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dx ya bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两。
山东省潍坊市2020届高三数学二模试题(附解析)
【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除 B 和 D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从
而乙是律师，甲是医生．
故选：C.
【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化
思想，是基础题.
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ）
对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为 0.48 吨/人，故 D 正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．
10.若 a b 1 ， c 0 则下列不等式中一定成立的是（ ）
a1 b1
A. a
b
C. ln(b a) 0
【详解】根据题意可知，这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大
者为 m，m∈[90,100]， 则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，
【答案】BD 【解析】 【分析】
a1 b1
B. b
a
D.
a b
c
b a
c
对于
A：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
(,
1)
上的单调性进行比较；
对于
B：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷
2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(U A B =I ð ) A ．{1，4} B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}2．（5分）若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．0C ．1-D ．2-3．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师4．（5分）以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为( ) A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=5．（5分）设函数()f x 为奇函数，且当0x …时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x -+->的解集为( )A ．(,1)-∞B ．1(,)3-∞C ．1(3，)+∞D ．(1,)+∞6．（5分）《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90100)-，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．987．（5分）在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．2 B ．2 C ．2 D ．2 8．（5分）已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且//BF OA ，若0AB OB =u u u r u u u rg ，则双曲线C 的离心率为( )A ．23B ．2C ．3D ．2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤-比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中20102019-年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在20102019-年中( )A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年2019-年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10．（5分）若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是( ) A ．11a b a b->- B ．11a b b a-<- C ．()0ln b a ->D ．()()c c a bb a>11．（5分）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是( )A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()x f θ=在[,]22ππ-为增函数，()y g θ=在[,]22ππ-为减函数C ．()()1f g θθ+…对于[0,]2πθ∈恒成立D ．函数2()(2)t f g θθ=+的最大值为32212．（5分）如图，平面α⋂平面l β=，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是( )A ．若//AB CD ，则//MN l B ．若M ，N 重合，则//AC lC ．若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45︒，12||||102F F N ==u u u r u u r，则物体的重力大小为 ．14．（5分）已知5(0,),sin()24ππαα∈-=tan α= ．15．（5分）植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 （用数字作答）．16．（5分）已知函数32,1()231,1lnx x f x x x x ⎧=⎨-+<⎩…则[1x ∈-，]e 时，()f x 的最小值为 ；设2()[()]()g x f x f x a =-+若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23,3a A π==，（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =，数列{}n b 满足23b =，1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-．（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得//AF 平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F AC D --的余弦值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，20．（12分）已知函数1(),()xe f x alnx g x x x =+=，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：1a =时，2()()(1)ef xg x lnx e x +-+>． 21．（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号 1 2 3 4 5 企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据111174.691,312.761,10.980,40.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑（其中)z lny =．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n 的最小二乘法估计公式为121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ （1）根据表中数据判断，y a bx =+与dx y ce =（其中 2.71828e =⋯，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”， 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P ，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF =-u u u r u u u u rg （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）．()i 当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；()ii 求证：||||||||PA MB PB MA =，并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(U A B =I ð ) A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}【解答】解：集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2B =，3，6，7}， 所以{1U B =ð，4，5}， 又{2A =，3，4，5}， 所以{4U A B =I ð，5}． 故选：C ． 2．（5分）若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．0C ．1-D ．2-【解答】解：Q ()(1)111(1)(1)22a i a i i a a z i i i i +++-+===+--+在复平面内对应的点在第二象限内， ∴102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，得11a -<<．∴实数a 的值可以是0．故选：B ．3．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生． 故选：C ．4．（5分）以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为( ) A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=【解答】解：抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，可得圆心坐标(0,1)， 圆与抛物线E 的准线相切，所以圆的半径为：2， 圆的方程为：22(1)4x y +-=． 故选：D ．5．（5分）设函数()f x 为奇函数，且当0x …时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x -+->的解集为( )A ．(,1)-∞B ．1(,)3-∞C ．1(3，)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：根据题意，当0x …时，()cos x f x e x =-，此时有()sin 0x f x e x '=+>，则()f x 在[0，)+∞上为增函数，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间(-∞，0]上也为增函数， 故()f x 在R 上为增函数；(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212f x f x f x f x f x f x x x -+->⇒->--⇒->-⇒->-，解可得1x >，即不等式的解集为(1,)+∞； 故选：D ．6．（5分）《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90100)-，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．98【解答】解：根据题意可知这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[90m ∈，100]则有(1)(2)(18)191711520n n n n m n m +++++⋯+++=++=， 则有191349n m +=，则134919m n =- 所以90134919100n -剟， 解得14565661919n 剟 因为年龄为整数，所以66n =， 则1349196695m =-⨯= 故选：B ．7．（5分）在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．2B ．2 C ．2 D ．2 【解答】解：在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形， 四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，1AB AC BC BD CD ∴=====，90ABD ACD ∠=∠=︒，2OB OC OD ===，BO AD ⊥，BO BC ⊥， BO ∴⊥平面ACD ，∴四面体ABCD 的体积为：1112222332B ACD ACD V S BO -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ．8．（5分）已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且//BF OA ，若0AB OB =u u u r u u u r g ，则双曲线C 的离心率为( )A ．23B ．2 C．3 D ．2【解答】解：如右图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：by x a=±，则点(,0)F c ，(,)bcA c a ，设点0(B x ，0)bx a-，//BF OA Q ， OABF K K ∴=，即00bx b a a x c -=-，解得：02c x =，Q 3(,)22c bc AB a -=-u u u r ，(,)22c bcOB a=-u u u r又Q 0AB OB =u u u r u u u r g ，22223044c b c a∴-+=，即223a b =．222c a b =+Q ，2223()a c a ∴=- 即2234c a =，所以离心率23c e a ==． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤-比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中20102019-年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在20102019-年中( )A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年2019-年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰【解答】解：由中国国家统计局网站中20102019-年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确； 对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，故D 正确． 故选：BCD ．10．（5分）若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是( ) A ．11a b a b->- B ．11a b b a-<- C ．()0ln b a ->D ．()()c c a bb a>【解答】解：由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x=+在在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故()ln b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1,01a b b a ><<，而0c >，则()1()0c c a bb a>>>，故选项D 正确． 故选：BD ．11．（5分）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是( )A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()x f θ=在[,]22ππ-为增函数，()y g θ=在[,]22ππ-为减函数 C ．()()1f g θθ+…对于[0,]2πθ∈恒成立D ．函数2()(2)t f g θθ=+ 【解答】解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=+=+，Q[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈，)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0θ∈，2]π，则22sin 2cos 22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在1(1,)2-上单调递增，在1(,1)2上单调递减，当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，为1222+⨯D 错误． 故选：AC ．12．（5分）如图，平面α⋂平面l β=，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是( )A ．若//AB CD ，则//MN l B ．若M ，N 重合，则//AC lC ．若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行【解答】解：若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当AB CD <时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ， 平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂Q ，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂Q ，MN α⊂/，//MN α∴，又MN MG M =I ，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α⋂平面l β=矛盾．∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确．故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45︒，12||||102F F N ==u u u r u u r，则物体的重力大小为 20 ．【解答】解：如图，Q 12||||102F F N ==u u r u u r，∴12||2220F F N N +==u u r u u r，∴物体的重力大小为20．故答案为：20．14．（5分）已知5(0,),sin()24ππαα∈-=tan α= 3 ．【解答】解：Q5sin()4πα-=，且(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sin ππαα-=--=， ∴2235310sin sin[()])cos()]4444ππππαααα=-+-+-==， Q (0,)2πα∈，∴210cos 1sin αα=-，∴sin tan 3cos ααα==．故答案为：3．15．（5分）植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 36 （用数字作答）．【解答】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，必有一种树苗重复有13C 种方法；在四个位置上种植由442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36．16．（5分）已知函数32,1()231,1lnx x f x x x x ⎧=⎨-+<⎩…则[1x ∈-，]e 时，()f x 的最小值为 4- ；设2()[()]()g x f x f x a =-+若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：当[1x ∈，]e 时，()f x lnx =，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为f （1）10ln ==，当[1x ∈-，1)时，32()231f x x x =-+，则2()660f x x x '=-=时，1x =（舍)或0， 且有()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减， 因为(1)2314f f -=--+=-<（1）， 故函数()f x 在[1-，]e 上的最小值为4-； 令()t f x =，()0g x =即2t t a -=-， 作出函数()y f x =的图象，如图所示：直线y t =与函数()y f x =的图象最多只有三个交点，所以01t <<， 即说明方程2t t a -=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t =-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点， 因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<，即实数a 的取值范围为104a <<． 故答案为：4-；1(0,)4．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23,3a A π==，（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）Q 4B π=，23,3a A π==， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得23sin 222sin 3a Bb A ===g ．（2）Q 23,3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=…，212bc a ∴=„，当且仅当b c =取“=”；ABC ∴∆面积的最大值为113sin 123322bc A =⨯= 18．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =，数列{}n b 满足23b =，1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-．（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（1）由题意，当1n =时，1113(213)21a b =+⨯-⨯=， 11a =Q ，11b ∴=，当2n =时，211223(223)27a b a b +=+⨯-⨯=， 111a b =Q ，23b =，2137a ∴+=，解得22a =，设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则 21221a q a ===， 11122n n n a --∴==g ，*n N ∈．（2）依题意，当2n …时，由1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-，可得 1112233113(25)2n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-，两式相减，可得：113(23)2[3(25)2](21)2n n n n n a b n n n --=+--+-=-，Q 由（1）知，12n n a -=， 21(2)n b n n ∴=-…，Q 当1n =时，11b =也满足上式， 21n b n ∴=-，*n N ∈．∴111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 12231111n n n T b b b b b b +∴=++⋯+11111111(1)()()2323522121n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)23352121n n =-+-+⋯+--+ 11(1)221n =-+21nn =+． 19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得//AF 平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F AC D --的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，【解答】解：（1）在线段AB 上存在中点G ，使得//AF 平面PCG ． 证明如下：设PC 的中点为H ，连结FH ，由题意得AGHF 为平行四边形， 则//AF GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊂/平面PGC ，//AF ∴平面PGC ．（2）选择①:AB BC ⊥PA ⊥Q 平面ABCD ，PA BC ∴⊥，由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==Q ，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)， ∴(0AF =u u u r ，1，1)，(2CF =-u u u r，1-，1)，设平面FAC 的法向量(x μ=r，y ，)z ，∴020AF y z CF x y z μμ⎧=+=⎪⎨=--+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取1y =，得(1μ=-r ，1，1)-， 平面ACD 的法向量(0v =r，0，1)，设二面角F AC D --的平面角为θ，则||cos ||||v v μθμ==r r g r r g ，∴二面角F AC D --． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为:6πPA ⊥Q 平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ，则//FM PA ，且1FM =，FM ∴⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为FCM ∠，∴6FCM π∠=，在Rt FCM ∆中，CM =又CM AE =，222AE BE AB ∴+=，BC AE ∴⊥，AE ∴，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==Q ，(A ∴ 0，0，0)，(B 1-，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，E 0，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)，∴(0AF =u u u r ，1，1)，(CF =u u u r0，1)，设平面EAC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则00m AF y z m CF z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取x =m =r 3-，3)， 平面ACD 的法向量(0n =r，0，1)，设二面角F AC D --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ==r r g r r g∴二面角F AC D --的余弦值为21． 选择③:3ABC π∠=PA ⊥Q 平面ABCD ，PA BC ∴⊥，取BC 中点E ，连结AE ，Q 底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆是正三角形，E Q 是BC 的中点，BC AE ∴⊥， AE ∴，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==Q ，(A ∴ 0，0，0)，(B 3，1-，0)，(3C ，1，0)，(0D ，2，0)，(3E ，0，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)，∴(0AF =u u u r ，1，1)，(3CF =-u u u r，0，1)，设平面EAC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则030m AF y z m CF x z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取3x =，得(3m =r ，3-，3)， 平面ACD 的法向量(0n =r，0，1)，设二面角F AC D --的平面角为θ，则||21cos ||||7m n m n θ==r r g r r g ．∴二面角F AC D --的余弦值为21．20．（12分）已知函数1(),()xe f x alnx g x x x =+=，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：1a =时，2()()(1)ef xg x lnx e x +-+>． 【解答】（1）解：1()f x alnx x=+，((0,))x ∈+∞． 2211()a ax f x x x x-'=-+=． 0a …时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0a >时，21()()a x a f x x -'=．可得函数()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(a，)+∞上单调递增． （2）证明：1a =时，2()()(1)ef xg x lnx e x+-+>． 即：2101x x e e elnx lnx e e ex x x x x+-->⇔-+>．(0,)x ∈+∞．令()1x F x e ex =-+，()x F x e e '=-，(0,1)x ∈时，()x F x e e '=-，(0,1)x ∈时，()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，此时函数()F x 单调递增． 可得1x =时，函数()F x 取得极小值即最小值，F （1）1=． 令()elnx G x x =，2(1)()e lnx G x x -'=，可得x e =时，函数()G x 取得最大值，G （e ）1=． 1与e 不同时取得，因此()()F x G x >，即1x elnxe ex x-+>．(0,)x ∈+∞． 故原不等式成立．21．（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表注：参考数据111174.691,312.761,10.980,40.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑（其中)z lny =．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n 的最小二乘法估计公式为121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ （1）根据表中数据判断，y a bx =+与dx y ce =（其中 2.71828e =⋯，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”， 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 【解答】解：（1）选择回归方程dx y ce =，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量； （2）对dx y ce =两边取自然对数，得lny lnc dx =+， 令z lny =，a lnc =，b d =，得z a bx =+．由于5115i i x ==∑，51135i i x x ===∑，511 2.1965i i z z ===∑，Q 5152221540.45753 2.196ˆ0.75255535i i i ii x zx zbxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑g ，ˆˆ 2.1960.75230.060az bx =-=-⨯=-． z ∴关于x 的回归方程为ˆ0.7520.060zx =-， 则y 关于x 的回归方程为0.7520.060ˆx ye -=； （3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛．由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，则甲公司获胜的概率分别是：P （A ）131311113113(1)(1)(1)353523325345=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯=； P （B ）31311331139(1)(1)(1)535325523525=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯=； P （C ）1311131(1)2532355=-⨯⨯+⨯⨯=．由于913125455>>，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P ，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF =-u u u r u u u u rg （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）．()i 当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；()ii 求证：||||||||PA MB PB MA =，并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？【解答】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，所以12(2PF PF c =--u u u r u u u u rg ，1)(2c --，221)415c c -=-+=-，由题意可得251c -=-，所以26c =， 由于椭圆过点(2,1)，所以22411a b+=，2226c a b =-=，解得：22b =，28a =， 所以椭圆的方程为：22182x y +=；（2）()i 设过P 的切线方程为：(2)1y k x =-+，与椭圆联立可得222(14)8(12)4(12)80k x k k x k ++-+--=，由题意可得△222264(12)4(14)[4(12)8]0k k k k =--+--=，解得12k =-，12OP k =由题意直线2l 的方程，12y x t =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线2l 与椭圆的方程，整理可得2224480x tx t ++-=， △221642(48)0t t =-->g g ，即24t <， 122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长2212121||1()45424AB x x x x t =++-- P 到直线AB 的距离为：1514d ==+，所以22221||(42)2(1)222PAB S AB d t t t ∆==-=--+g …， 当且仅当21t =取等号，M 介于A 、B 之间可得1t = 这时直线2l 的方程为112y x =+； ()ii 由()i 可得2112x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得(2,2)M ， 122112121212121211(1)(2)(1)(2)11(2)()4(1)2222(2)(2)(2)(2)PA PBx t x x t x y y x x t x x t k k x x x x x x +--++----+-+--+=+==------，将122x x t +=-，21224x x t =-，代入可得0PA PB k k +=，所以直线PA ，PB 关于直线2x =对称，即PM 为APB ∠的角平分线， 由角平分线的性质可得||||||||PA AM PB BM =， 即证得：||||||||PA MB PB MA =．由()0PA PB i k k +=，因为1l ，2l 的斜率互为相反数，直线PA ，PB 的斜率互为相反数， 所以存在1l ，2l ，PA ，PB 的斜率的顺序1l PA ，2l ，PB 的斜率成等比数列，公比为2k -，或PA ，1l ，PB ，2l 的斜率成等比数列，且公比为12k-．。
山东省潍坊市2020届高三二模数学试题(wd无答案)
山东省潍坊市2020届高三二模数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}， A＝{2，3，4，5}， B＝{2，3，6，7}，则A∩∁U B ＝（）A．{1，4}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{6，7}(★★) 2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 a的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2(★★) 3. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师(★★★) 4. 以抛物线的焦点为圆心，且与 E的准线相切的圆的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 设函数 f（ x）为奇函数，且当 x≥0时， f（ x）＝ e x﹣ cosx，则不等式 f（2 x﹣1）+ f（ x﹣2）＞0的解集为( )A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（1，+∞）(★★★) 6. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )A．94B．95C．96D．98(★★★) 7. 在四面体 ABCD中，△ ABC和△ BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且 AD是该球的直径，则四面体 ABCD的体积为( )A．B．C．D．(★★) 8. 已知 O为坐标原点，双曲线 C：的右焦点为 F，过点 F且与 x轴垂直的直线与双曲线 C的一条渐近线交于点 A（点 A在第一象限），点 B在双曲线 C的渐近线上，且BF∥ OA，若，则双曲线 C的离心率为（）A．B．C．D．2二、多选题(★★) 9. 我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）A．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰(★★) 10. 若，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 在单位圆 O： x 2+ y 2＝1上任取一点 P（ x， y），圆 O与 x轴正向的交点是 A，设将 OA绕原点 O旋转到 OP所成的角为θ，记 x， y关于θ的表达式分别为 x＝ f（θ）， y＝g（θ），则下列说法正确的是（）A．x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数B．x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数C．f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立D．函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为(★★★) 12. 如图，平面α∩平面β＝ l， A， C是α内不同的两点， B， D是β内不同的两点，且 A， B， C， D∉直线 l， M， N分别是线段 AB， CD的中点．下列判断正确的是（）A．若AB CD，则MN lB．若M，N重合，则AC lC．若AB与CD相交，且AC l，则BD可以与l相交D．若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行三、填空题(★★) 13. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是 F 1， F 2，且 F 1， F 2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．(★★) 14. 已知，则tanα＝_____．(★★★) 15. 植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的 ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中 A、 B、 C分别与 E、 F、 G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．四、双空题(★★★★) 16. 已知函数则x∈[﹣1， e]时， f（ x）的最小值为_____；设 g（ x）＝[ f（ x）] 2﹣ f（ x）+ a若函数 g（ x）有6个零点，则实数 a的取值范围是_____．五、解答题(★★) 17. 在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知，（1）若，求 b；（2）求△ ABC面积的最大值．(★★★) 18. 已知数列为正项等比数列，；数列满足.（1）求；（2）求的前项和.(★★★) 19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．① AB⊥ BC，② FC与平面 ABCD所成的角为，③∠ ABC ．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA⊥平面 ABCD ，且 PA ＝ AB ＝2，， PD 的中点为 F ．（1）在线段 AB 上是否存在一点 G ，使得 AF 平面 PCG ？若存在，指出 G 在 AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角 F ﹣ AC ﹣ D 的余弦值．(★★★) 20. 已知函数 f （ x ），（1）讨论函数 f （ x ）的单调性；（2）证明： a ＝1时， f （ x ）+ g （ x ）﹣（1） lnx ＞ e ．(★★★) 21. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表年份20152016201720182019编号12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据（其中 z ＝ lny ）．附：样本（ x i ， y i ）（ i ＝1，2，…， n ）的最小二乘法估计公式为（1）根据表中数据判断， y ＝ a+ bx 与 y ＝ ce dx（其中 e ＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？(★★★★) 22. 已知椭圆：过点，、分别为椭圆 C的左、右焦点且（1）求椭圆 C的方程；（2）直线平行于 OP（ O为原点），且与椭圆 C交于两点 A、 B，与直线 x＝2交于点 M（ M介于 A、 B两点之间）．（ I）当△ PAB面积最大时，求的方程；（ II）求证：.。
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试(数学)
潍坊市高考模拟考试数 学2020．5本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U U A B A C B ===⋂=，则 A. {}1,4B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C. 1-D. 2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为 A. ()2214x y -+=B. ()2214x y ++=C. ()2214x y ++=D. ()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.24B.12C.6D.48.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A. 3B.C.D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b a b->-B. 11a b b a-<-C. ()ln 0b a ->D. c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A. ()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数 B. ()x fθ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C. ()()102f g πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为3312.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是A.若AB//CD ，则//MN lB.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r，，则物体的重力大小为_________N.14.已知50sin tan 24ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值.18.（2分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知函数()()1ln ,xe f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，.21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dxy a bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”. 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）.（i ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,,,l l PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列。