数值分析 - 第5章 快速傅里叶变换
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
快速傅里叶变换浅析
快速傅里叶变换浅析快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号在时域和频域之间转换的高效算法。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理以及其他各种领域。
本文将简要介绍FFT的原理、应用及其优缺点。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种快速算法。
FT是将一个信号分解成不同频率的正弦波组成的频谱。
而FFT则通过将信号分解成更小的子问题并利用许多对称性质来大大减少计算量。
在FFT中，信号被表示为一组复数形式的采样点。
通过对这些采样点进行分解和重组，可得到信号的频谱。
FFT算法的核心思想是将信号分解成大小相等的子问题，并通过迭代的方式快速计算出频谱。
不同大小的子问题需要使用不同的算法，其中最常用的是基2快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）。
二、快速傅里叶变换的应用1. 信号处理领域FFT在信号处理领域得到了广泛应用，例如音频和图像处理。
在音频处理中，FFT可以将时域的音频信号转换为频域，从而实现音频的分析、滤波、压缩等操作。
在图像处理中，FFT可以将图像转换为频域表达，从而实现图像增强、滤波、纹理分析等操作。
2. 通信领域FFT在通信领域也有着重要的应用。
例如，在调制解调器中，FFT被用于将时域的信号转换为频域，以进行调制解调操作。
另外，FFT还可以用于信号的编码、解码和信道估计等方面，提高通信系统的性能。
3. 数值计算领域FFT在数值计算领域也扮演着重要的角色。
例如，在大规模线性方程组的求解中，FFT被用于加速计算过程。
FFT还可以应用于信号滤波、噪声消除、信号重建和频谱分析等方面。
三、快速傅里叶变换的优缺点1. 优点（1）高效性：相比于传统的傅里叶变换算法，FFT具有更高的计算效率，能够在较短的时间内完成复杂的频谱计算。
（2）节省空间：FFT所需的内存空间较少，可以适用于有限的计算资源。
快速傅里叶变换解析课件PPT学习
(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2
2
复加次数: N ( N 1)
2
(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: N
复加次数:
2 2
N
2
N
总共运算量:
复乘: 复加:
N2 N
N(N
1)/ 2 N 2
22
2
N(N
1) N
N2
2
2
*N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1);与分解后相比可知,
X (k) X1(k) WNk X 2 (k) , k 0,1,
, N 1 2
（4-11）
X
k
N 2
X1
k
N 2
W
k
N 2
N
X 2
k
N 2
X1(k) WNk X 2 (k), k 0,1,, N 1 （4-12） 2
13
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这样，就可将X(k)表达为前后两部分：
n0
n0
N 1
{Re[x(n)]Re[WNnk ] Im[x(n)]Im[WNnk ]
n0
j(Re[x(n)]Im[WNnk ] Im[x(n)]Re[WNnk ])}
（4-3）
由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法； 一次复数加法需二次实数加法。 因而每运算一个X(k)需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。 所以，整个DFT运算 总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。
2
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N 1
正变换： X (k ) x(n)WNnk
n0
反变换：
x(n)
数值分析 - 第5章 快速傅里叶变换
图 5－7 例 13 已知一周期连续频谱如图 5－8 所示，求其相应的序列 。
结论
从以上三个例子 可以总结出，离散时间非周期实信号 的频谱是连续 的周期性频谱，具有埃尔米特 例 12 求 有限长序列 x (n ) 的频谱并作图 ，已知 x(n)=1( —M≤n≤M ),M=2,其余为 0 (Hermitian symmetry) 对称性质， 即幅度对频率 具有偶对称，相位具有奇对称，表示为
F (ω ) =
1 α 2 +ω2 ω α
ϕ (ω ) = −arctg (
ω
4．解： X (ω ) = 1 2π
∫
∞
−∞
exp( −iω t ) x (t ) dt =
1 2π
∫
T1
−T1
exp( −iω t ) dt =
sin ωT1 πω
为使谱分辨率 提高一倍，F=5Hz，要求
5.4 习题解答或提示 1 略。 2 求对称指数函数 f(t)的傅立叶变换 f (t ) = e
n
图 5 －4 例 8 比较序列 x(t)=cos(80 π t)分别经过 fft 和 ifft 变换后的序列 解： MATLAB 命令窗口输 入如下 n=0:127;N=128 t=0:0.01:pi; %时域数据点 q=n*2*pi/N; %频域 数据点数 X=cos(80*pi*t); Y=real(ifft(fft(X))); subplot(2,1,1); plot(t,X) title(' 原信号') subplot(2,1,2); plot(t,Y) title('两次 变换后恢复的 信号') 如图 5－5 所示
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
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WNk
-
6
4.3 按时间抽取的基2-FFT算法
算法原理
DIT-FFT(Decimation-In-Time)
按时间抽取基-2FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较
按时间抽取的FFT算法的特点
按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
-
7
4.3.1 算法原理
设N＝2M，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很大时，计算
量非常大，所需时间会很长,实时处理难以实现。 1965年，图基和库利发表了《机器计算快速傅立叶级
数的一种算法》论文后，很快形成了快速计算DFT的计 算机算法FFT。（Fast Fourier Transform) FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是DFT的一种快速 计算的算法。
2
28
观察原位运算规律
-
29
序列的逆序排列
序列的逆序排列
由于 x(n) 被反复地按奇、偶分组，所以流图输入端的 排列不再是顺序的，但仍有规律可循：
因为 N=2M ，对于任意 n（0≤n ≤N-1)，可以用M个 二进制码表示为：
n (D)E C (n M 1 n M 2 n 2 n 1 n 0)(B)IN 0
nM1,nM2,,n2,n1,n0 1
n 反复按奇、偶分解时，即按二进制码的“0” “1” 分解。
-
30
倒位序的树状图（N=8）
-
31
码位的倒位序(N=8)
自然顺序 n 二进制数 倒位序二进制数 倒位序顺序nˆ 数
0
000
000
0
1
001
100
4
2
010
010
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
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图 5－3 例 7 令 x(n)=(-0.9) , n=[-5:5],讨论其离散时间傅立叶变换的 共轭对称性。 解：n=[-5:5]; x=(-0.9).^n; k=-200:200; w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magx=abs(X); angx=angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magx); grid; title('幅度 部分') subplot(2,1,2); plot(w/pi,angx/pi); grid; title('相角部分') 如图 5－4 所示
=
N=16 时
1− e
π − j 28 4k πk − j 28
1− e
=e
πk − j 38
sin(πk / 2) sin(πk / 8)
2πkn −j 16
X (k ) = ∑ x (n)WNnk = ∑ R4 (n)e
n =0 n =0
N −1
15
= ∑e
n=0
3
π kn − j2 16
=
1− e
5．3 习题课 例题 1 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解：先求出 f (t) 的傅立叶变换
F (ω ) =
↔ F (ω ) = F[ f (t )] =
h sin ωT πω
根据偶函数对称原理得
2 sin ω ω
∫ 2π
1
∞
−∞
exp( − iω
t ) f ( t ) dt
图 5－5 例 9 已知模拟信号 x (t )
图 5－6 例 10 已知一连续时间 周期信号 x ( t )=2 cos 6πt + 4 sin 10πt ,现以不同的取样率 (a) fs1 =16 样点 /周期 (b ) f s2=8 样点/周期， 对它进行取样。 试分别求出取样后周期序列的频 谱并于原始信号的频谱作一 比较。 解:(a) 按 fs1=16,Ts1=1/16 所以
F (ω ) =
1 α 2 +ω2 ω α
ϕ (ω ) = −arctg (
ω
4．解： X (ω ) = 1 2π
∫
∞
−∞
exp( −iω t ) x (t ) dt =
1 2π
∫
T1
−T1
exp( −iω t ) dt =
sin ωT1 πω
为使谱分辨率 提高一倍，F=5Hz，要求
5.4 习题解答或提示 1 略。 2 求对称指数函数 f(t)的傅立叶变换 f (t ) = e
F[
3 − j 28π kn
sin t π ω < 1 ]= t 0 ω > 1
X (k ) = ∑ x(n)WNnk = ∑ R4 (n)e
n =0 n =0
N −1
7
−j
2 πkn 8
= ∑e
n =0
= π [u (ω + 1) − u (ω − 1)
例 4 将 [0,π ] 分为 501 个等间隔的点，计算 x(n)=(0.5)nu(n) 的离散傅立叶变换 X ( e jϖ ) ，并画出其模、相角 、实部、虚部的 曲线。 解：MATLAB 程序如下：
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
−∞
∞
பைடு நூலகம்=∫
ωτ 2 ωτ 2
sin t − jωt e dt −∞ t
∞
w1=[0:1:500]; w=(pi/500)*w1; x=exp(i*w)./(exp(i* w)-0.5*ones(1,501)) magx=abs(x); angx=angle(x); realx=real(x); imagx=imag(x); subplot(2,2,1);plot(w/pi,magx); xlabel('以 pi 为单位的频率 ');title('幅度部分 ');ylabel('幅度 ') subplot(2,2,3);plot(w/pi,angx); xlabel('以 pi 为单位的频率 ');title('相角部分 ');ylabel('弧度 ') subplot(2,2,2);plot(w/pi,realx); xlabel('以 pi 为单位的频率 ');title('实部 ');ylabel('实部') subplot(2,2,4);plot(w/pi,imagx); xlabel('以 pi 为单位的频率 ');title('虚 ');ylabel('虚部') 如图 5-1 所示
解:
如图 5－7 所示
亦即
|X(Ω)|= |X(－Ω)|，φ (Ω)= －φ( －Ω)
所以描述实信号频谱分布时 只要考虑
半 个周期数字频率范围
例 14 利用 DFT 的矩阵表达式求 4 点序列 x (n ) = c o s ( 2π n/ N )的离散傅立叶变换
解:由 N=4,得
于是
3．解：
F (ω ) = ∫
π 4k − j2 16 π − j2 k 16
1− e
=e
πk − j3 16
sin(πk / 4) sin(πk / 16)
（k=0,1,2 ….15）
由该例可知：频率采样点数不同， DFT 的长度不同，DFT 的结果也不同。 例 3 试求函数 sin( t ) 的傅立叶变换 t
解：若直接利用公式
（a） ；在命令窗口 中运行 x=[1 1 -1 -1],dft(x,4); 结果如下： 0 2.0000 - 2.0000i 0 2.0000 + 2.0000i （b） ：在命令窗口中运 行 y=[1 2 3 4 ]; dft(y,4); 结果如下： 10.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i 6．提示：参 考例 6 的解答 7．提示：参 考例 10 的解答 8．提示：参考例 10 的解答 9．解 在命令窗口 中输入 x=[1 2 3 4 0 1 2 3] 结果如下： Columns 1 through 4 16.0000 1.0000 - 2.4142i -4.0000 + 4.0000i 1.0000 - 0.4142i
n
图 5 －4 例 8 比较序列 x(t)=cos(80 π t)分别经过 fft 和 ifft 变换后的序列 解： MATLAB 命令窗口输 入如下 n=0:127;N=128 t=0:0.01:pi; %时域数据点 q=n*2*pi/N; %频域 数据点数 X=cos(80*pi*t); Y=real(ifft(fft(X))); subplot(2,1,1); plot(t,X) title(' 原信号') subplot(2,1,2); plot(t,Y) title('两次 变换后恢复的 信号') 如图 5－5 所示
=
1 2π
∫
T
−T
exp(−iω t )hdt =
代入傅立叶积分公式，得
F[ F (t )] = F [
f (t ) = ∫
∞
−∞
h sin ω T exp(iω t ) dω πω
2π ω < 1 2 sin t ] = 2πf (ω ) = t 0 ω >1
例 2 已知 x(4)=R4(n), 分别求 N=8 和 N=16 时的 X(k) 解： N＝ 8 时
n
图 5－7 例 13 已知一周期连续频谱如图 5－8 所示，求其相应的序列 。
结论
从以上三个例子 可以总结出，离散时间非周期实信号 的频谱是连续 的周期性频谱，具有埃尔米特 例 12 求 有限长序列 x (n ) 的频谱并作图 ，已知 x(n)=1( —M≤n≤M ),M=2,其余为 0 (Hermitian symmetry) 对称性质， 即幅度对频率 具有偶对称，相位具有奇对称，表示为
每一周期取样点数 N=T0 / T
s1
=16，则
(b) 同理可求得当 fs=8 样点/周期时
小结 : （ 1）离散时间周期信号的频谱 X ( kΩ0 ) 是具有谐波性的 周期序列，而连续时间周期信号的频谱 X(k ω0)是 具有谐波性的 非周期序列。X( kΩ0 ) 可以 看作 X(kω0)的 近似式，近似 程度与取样间隔 T 值 的选取 有关 。 （ 2）在满足 取样定理的条 件下，从一个 连续时间频带有限的周期信号得到的周期序列，其频谱在 | Ω|<π 或 | f | < (f s / 2 ) 范围内等于原始信号的离散频谱。因此可以利用数值计算的 方 法，通 过计算机，方便的截取一个 周期的样点 x(n) ，准确的求出连续信号 的各谐波分量 X（k ω0）。 （3）在不满足 取样定理条件 下，由于 X ( kΩ0 ) 出现频谱 混叠，存 在混叠误差。当误差比较小时 ，X ( k Ω0 ) 在 0< f < ( f s / 2 )范围内可作为 X（kω 0） 的近似；当误差较大， 则无法从 X ( kΩ0 )求 得 X（kω 0） 。为此，必须减小取样间隔， 增加取样率， 尽量使 X ( kΩ 0 )逼近 X（kω0 ） 。 例 11 求 非周期序列 x (n )= a ε(n )，a=0.8 的傅立叶变换。 解： 解: 幅度频谱与相 位频谱分别为
∞
−∞
f (t )e − jω t dt =
1 α + jω
(α > 0)
幅频 相频 例 15 对 实信号进行谱 分析 ，要 求 谱分 辨率 F≤ 10Hz， 信号 最高 频率 fc=2.5KHz,试确定 最小纪录时间 Tpmin，最大的采样间隔 Tmax，最少 的采样点数 Nmin。如 果 fc 不变，要 求谱分辨率增加一 倍，最少的 采样点数和最小的纪录时间是多少？ 解: 因此， Tpmin=0.1s 。因为要求 fs ≥2fc， 所以