抛物型方程的差分方程1
抛物型方程的差分格式
a umn 1 umn 1 2h
a
umn 1
2umn h2
umn 1
抛物型方程的古典显格式
整理得方程(2.38)的显式格式(2.39)
U n1 m
(1
2ra)U
n m
r
(a
1 2
ha)U
n m1
r
(a
1 2
ha)U
n m1
截断误差为 O(k h2 ).
tn x
抛物型方程的古典显格式
三、算子
Dx
x
为 x 方向偏导数算子
Tx为 x 方向位移算子
Txumn umn 1, Tx1umn umn 1
μ x 为 x 方向平均算子
xu
n m
1 2
un
m
1 2
un
m
1 2
抛物型方程的古典显格式
x 方向差分算子
边界条件为 u(0,t) 1(t) 0, 0 t 0.20 u(1,t) 2(t) 0, 0 t 0.20
取步长⊿x = h = 0.2 , ⊿t = k = 0.02 。
抛物型方程的古典显格式
解 r = k / h2 = 0.02 / 0.22 = 0.5, 古典显式格式为
n m
umn
h
h 2!
2u x2
n
m
h2 3!
3u x3
n
m
微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式[9页].doc
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目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题， 即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。
常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。
常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1） 的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。
步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
抛物型方程差分法
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保证 。接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。
0
O
A
O
0
r 1 2r r
r 1 2r
于是，由定理可得 m 1阶矩阵A的特征值为
li12r2r1cosim (1im 1 ) 即 li12r(1cosim )14rsin 22 i m
于是，向前欧拉格式稳定 l i 1 , 即，
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
u u(xi,tk)u(xi,tk1)
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布 第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u tx20, 0x1, 0t1
u (x ,0 )ex, 0x 1 u ( 0 ,t) e t, u ( 1 ,t) e 1 t, 0 t 1 原方程的真解为 u(x,t)ext.
抛物型方程的有限差分法
证明 因谱半径不超过任何一 种范数
k (C )
Ck
K ,0
k
T
,0
0.
K 0k [T ]
(C )
K
1 k
K
( T )
log K
e (T )
1 0( )
命 题 2.2（ 充 分 条C(件 )是 ）正 若规 矩(2阵 .13)，
(1.8)1
令
L(h3)ukj
ukj 1 ukj
a 2
[
uk1 j1
2ukj 1 h2
uk1 j1
ukj1
2ukj h2
ukj1 ]
将截断误差
Rkj (u) L(h3)u( xj , tk ) [Lu]kj
于(
x
j
,
t
k
1
)(t
k
1
2
2
(k
1) )展
2
开
，
则
得
Rkj (u) 0( 2 h2 ). (1.9)
(四) Richar格 dso式n， 即
ukj1ukj1
2
aukj12hu2kj
ukj1
fj
(1.10)
或ukj1 2r(ukj12ukj ukj1)ukj12fj.(1.10)
衡 量 一 个 差 分 格经式济是实否用 ， 由 多因方数面 的 决 定 ， 主 要 : 有 (1)计 算 简 单 （2） 收 敛 性 和 收 敛 速 度 。 （3） 稳 定 性 。
k1
k
u u a[u 2u u u 2u u f j
j
k1 j1
k1
k1
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
抛物方程的有限差分法
图1
,我们需要求解这1/h +1()×T/τ+1()个点对应的函数值实上由已知的初边值条件蓝色标记附近的点可直接得到,所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可,可记为u []
k j
=u (x j ,t k )。
建立差分格式
j =1, (1)
-1;k =0,1,…,T τ-1,用向前差分代替关于时间的
一阶偏导数,用二阶中心差分代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显格式:
-u k j =u k j+1-2u k j +u k
j-1
h
2
变形有:
(上接第50页)极大值理论,检测初始行波、故障点反射波和对端母线反射波到达测量端的时间,测量故障点距离,从测试结果看,该方案有效弥补传统行波测距的不足之处,提高了故障测距的精确度。
【参考文献】
[1]陈靖.行波法故障测距的理论研究及其实现方案[D].武汉:武汉大学,2004.数值解的剖分图如图2:
图2
真解与数值解的误差剖分图如图3:
图3
3数值实验及结果分析
我们对所求解的初边值问题(1)进行算法精度的数值实验,当
u 0
(x )sin πx 时,边界值仍然为u (0,t )=u (1,t )=0,其精确解为:u (x ,t )
从表中我们可以看出。
. All Rights Reserved.。
抛物型方程的差分方法
2) 逆风差分格式
1 un un j j
a
n un j u j 1
§5 抛物型方程的差分方法
本章內容: 1． 常系数抛物型方程的初值问题 2．初边值问题 3．对流扩散方程 4．Richardson外推法 ^^数值实验4（网格比的重要性） ^^数值实验5 (Richardson 外推的精度) 5．变系数方程 6．二维抛物型方程问题的计算
1． 常系数抛物型方程初值问题
1 2
返回本节
c. 三层显式关系 Richardson格式 n n 1 1 un un un j j j 1 2u j u j 1 a 0 h2 2 Du Fort－Frankel格式
1 1 un un j j
2
a
n 1 1 n un un j 1 (u j j ) u j 1
目标点：Jh 1, x j jh, N T , ( x j , t n )
1 n n un un un j j j 1 2u j u j 1 内部点的离散： a 0 h2
边值点的离散： u0 ( n ), u J (n )
n n
初值点的离散： u j f (x j ) f j
1 4(1 )a sin 2 1 4a sin 2 kh 2
kh 2
3
G ( , k ) 1 1 G ( , k ) 1 4a (1 2 )sin 2 2a (1 2 ) 1 kh 2 2 0 1 2
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h u h u h u 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
2 2 3 3
n
n
n
h h2 2 I Dx Dx 2! 1!
n exp(hDx )um
以差分方程逼近微分方程，先研究用差，定义um u ( xm , tn )，且设u u ( x, t )具有需要的偏
导数。由Taylor展开有
h u h u h u u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
n n u u u n Em m1 m h x m n
(2.8)
h 2u 则E 2 2 x x
n m
( xm x xm1 )
,t n
o(h)
截断误差
2 向后差商的截断误差阶也为O(h) ，而中心差商的截断误差阶为O(h )
介绍一些线性算子：
Dx 为x方向的偏导算子 x
n n n n Tx为x方向位移算子，Txum um ，Tx1um um 1 1
h n 1 n n u u x , tn x为x方向平均算子， u um 1/ 2 um 1/ 2 ，其中 m1/ 2 m 2 2
n
(2.6)
u n n u ( x , t ) u ( x , t ) /(2 h ) u u m 1 n m 1 n m 1 m 1 /(2h) x m
n
(2.7)
分别称为u( x, t )在点( xm , tn )处的关于x的向前差商、向后差商、 中心差商。当然用差商近似导数存在误差，令
(2)混合问题(初、边值问题)
在 {( x, t ) | 0 x 1,0 t T }上求u( x, t )，使满足
方程(2.1) u( x,0) ( x) u(0, t ) 1 (t )，u(1, t ) 2 (t )
( x, t )
t
T T
t
k
h k
h
0
x
0
1
x
在t=0上的结点为边界结点，属于Ω 内的结点为内部结点。 对于混合问题： t nk，n 0,1,, N；N T n
k xm m h，m 0,1,, M；Mh 1
也有边界结点：在 t 0，x 0，x 1上；内部结点：在 内部
2 2 3 3 n n n
h u h 2 2u h 3 3u u ( xm 1 , t n ) u ( xm , t n ) 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
n n 由um T u 1 x m Tx exp(hDx )
n um
I 恒等算子
(2.12)
(2.13)
或 hDx ln Tx
x Tx I Tx x I
u u u (a( x, t ) ) b( x, t ) c( x, t )u t x x x
(2.1)
其中 ( x, t )，a( x, t ) 0，c( x, t ) 0， ( x, t ) ，为xt平面上的某一区域。
通常考虑的定解问题，有：
(1)初值问题(Cauchy问题)
0 x 1
0t T
(2.3) (2.4)
(2.4) 边值条件
§2.1 差分格式建立的基础
差分方法又叫网格法。首先将Ω 用二组平行于x 轴、t轴的直线构成的网格覆盖，x方向上步长为h， t方向上步长为k，网格线的交点称为结点。对初值 问题，网格是：
T tn nk，n 0,1,, N，N ； k xm m h，m 0，m 1,2
第二章 抛物型方程的差分方法
偏微分方程（数理方程）分为三类：①抛 ②椭 ③双。 数值解法分为差分方法和有限元素法。本书主要介绍差分 方法，最后看有时间有可能再介绍一下有限元。差分的思 想就是将连续问题离散化，以差分逼近微分，求出一些离 散点上的数值解。
一维线性抛物型方程的一般形式：
( x, t )
n x m
n n n 前差算子： x，xum um 1 um
n n n 后差算子：x，xum um um 1
(2.9) (2.10) (2.11)
n n n 中心差分算子： x， xum um u 1/ 2 m1/ 2
差分算子与导数算子的关系，由Taylor展式，得：
在 {( x, t ) | x ,0 t T }上求函数u( x, t )，使满足：
• • • 方程 ( 2.1) • u ( x ,0 ) ( x )
( x, t ) x
(2.2)
(2.2) 初始条件， ( x) 初始函数
n
n
n
则u在( xm , tn )处对x的一阶偏导数的三个近 似表达式为：
u n n u ( xm1 , tn ) u ( xm , tn ) / h um1 um / h x m
n
(2.5)
u n n u ( x , t ) u ( x , t ) / h u u m n m 1 n m m 1 / h x m