相交线与平行线培优题

第十二讲 相交线与平行线

板块一 相交线、对顶角、邻补角、垂直

相交直线：如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交。 相交线的性质：两直线相交只有一个交点。

对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角。

对顶角的一个重要性质是：对顶角相等。

邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角。

如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角。 注意：互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂

足。

如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ” 注意：

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短。

【例1】已知：如图1，直线AB 、CD 交于点O ，且120AOD BOC ∠+∠=°，求AOC ∠的度数。

图1

O

B

D

A

C

1

234

a

b

O

C B

D A

O

1234

a

b O

【例2】如图2，AB 、CD 、EF 交于点O ，25AOE ∠=°，45DOF ∠=°，求AOD ∠的对顶角和邻补角的

度数。

图2O

F E

B

D A

C

【例3】如图3，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，30BOC BOD ∠=∠-°，求COE ∠的度数。

图3

O E

B

D A C

【例4】如图1，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；

线段DB 的长为点 到直线 的距离。

【例5】如图2，在直角三角形ABC 中，90C ∠=°，AB c =，AC b =，BC a =，则

||||||AC AB AB BC AC BC AB -+-++-= 。

【例6】如图3，直线AB 与CD 相交于O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥， 65DOF ∠=°，求AOC ∠和BOE ∠ 的

度数。

图1D C B

A c

b a

C B

A 图2

图2O

F

E

D

C B

A 图3

【例7】（北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试）如图4，已知直线AB 和CD 相交于点O ，

COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠。若35COF ∠=°，求BOD ∠的度数。

板块二 “三线八角”

同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第

三条直线的同旁）叫做同位角。

如图所示，1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠都是同位角。

内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错（即分别在第三条直线的

两旁），这样的一对角叫做内错角。

如图中，3∠与5∠，4∠与6∠都是内错角。

同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一

对角叫做同旁内角，如图中，3∠与6∠，4∠与5∠都是同旁内角。

【例8】（北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试）下列图形中1∠和2∠是同位角的

是（ ）

2

1

2

1

1

2

2

1

A ．

B ．

C ．

D ．

图4 F E O D

C

B

A F E D

C

B A 8765

432

1

F E

D

C

B A 8

765

4

321

【例9】（2008年清华附中统练）如图1，

①1∠与3∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。

②3∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。 ③2∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。

④5∠与6∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。

【例10】用数码标出图中与1∠是同位角的所有角。

板块三 平行线的判定及性质

平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行线之间的距离处处相等。

平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。

平行线的判定方法：⑴平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线）；

⑵平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行； ⑶垂直于同一条直线的两条直线平行；

⑷同位角相等，两条直线平行； ⑸内错角相等，两条直线平行； ⑹同旁内角互补，两直线平行。

平行线的性质：

⑴平行线不相交（根据定义） ⑵两条直线平行，同位角相等 ⑶两条直线平行，内错角相等

⑷两条直线平行，同旁内角互补

【例11】（北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试）如图，AB CD ∥，B D ∠=∠，请

说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整。 解：∵AB CD ∥， ∴180BAD D ∠+∠=°（ ）。 ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）。

∴ （同旁内角互补，两直线平行）。 ∴12∠=∠（ ）。

图1l 3

l

2l 16

543217b

a

65

4

3

21l 3

l 2l 1

2

1

D C

B

A