二阶非线性抛物方程解的定性性质
两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析
STUDY ON TWO CLASSES OF NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH N ONLOCAL TERMS
ABSTRACT
Many problems in applied sciences can be described by partial differential equations. In order to explain some nonlinear phenomenon， and to provide some useful tools for practical fields，one needs to study the existence，uniqueness and stability of solutions to problems of partial differential equations.
保密□，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于
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学位论文作者签名：刘桂兰 日期： 2008 年 3 月 2 日
指导教师签名：王亚光 日期： 2008 年 3 月 2 日
绪论
第一章 绪论
1.1 问题背景
非线性抛物方程是一类重要的偏微分方程，来源于自然界中广泛存在的非线 性现象．相变理论，渗透理论，图像处理，生物化学理论等领域中的许多问题都 可以用这种方程来描述．如相变理论中的 Allen-Cahn 方程，流体力学中的 Cahn-Hilliard 方程等，这些方程不仅有明确的物理背景，而且还有广泛的应用价 值，因而，对这些方程的数学理论进行研究是有意义的，也是十分必要的．
4
绪论
第一项：F (g) ，Gσ (g) 同问题 (1.3) 中给出的，这儿 Gσ 的引进是为了对图像进
一类反应扩散方程组的解
一类反应扩散方程组的解陈莉敏【摘要】讨论了一类非线性抛物方程组解的性质,利用微分方程上、下解方法证明初值适当大时,解在有限时间上爆破.推广了相关文献的结果.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】3页(P24-26)【关键词】非线性;反应扩散方程;上、下解;爆破【作者】陈莉敏【作者单位】常州工程职业技术学院基础部,江苏常州213164【正文语种】中文【中图分类】O182.1文献[1]在研究传染病在2种生物之间的相互影响时，建立了一类反应扩散方程组（其中符号的含义见文献[1]），但仅仅考虑了方程组（1）的数值解．文献[2-3]从理论上研究了解的整体存在性与非整体存在性．本文运用微分方程上、下解方法研究解的整体存在性与非整体存在性．考虑特征值问题，该方程组的最小特征值0λ非负，且对应的特征函数ϕ(x)在Ω内大于零．如果β(x)＞0，则λ0＞0；当α(x)＞0时，ϕ(x)在上大于零．记则0＜ϕm≤ϕ(x)≤1．记Q=Ω×(0,∞),表示在Ω中关于x有n阶连续导数且关于t有m阶连续导数的所有函数组成的空间；表示在中关于x有n阶连续导数且关于t有m阶连续导数的所有函数组成的空间；C表示在中连续的所有函数组成的空间．初值函数u0(x),v0(x)∈C．函数称为初边值问题（1）的下解，若它们满足不等式：若不等式均反向，则称为初边值问题的上解．引理[4] 设是方程（1）的上、下解，且，则在上、下解之间存在方程组的唯一解(u, v)，且满足定理1 设δ0＞0,m＞1,ρ，α1为常数，为一实数，且，则存在T0为一有限时间，方程组（1）的下解在上存在，且或至少有一式成立．这里，证明考虑常微分方程初值问题，不难求得此问题的解是显然式（2）也满足因为所以成立．因为所以成立．即所因为g(u)≥δ0u m，所以成立．因此成立．令其中p(t)是正的可微函数，且p(0)=ρ，则由式（7）可知，是方程（1）的下解，因为所以即存在T0为一有限时间，方程组（1）的下解在上存在，且当证明至少有一式成立．用反证法，假设结论不成立，则在上存在M0，使得边值问题的解，选取，使得在上均大于M0+1，但小于某一正数M*，定义函数考虑修改的边值问题由文献[5]可知，问题（8）有唯一解且，所以存在T2≤T1，使得在是原方程（1）的解，且或且(x′,t ′)∈Ω×[0,T2]，这与u(x,t)≤M0,v(x,t)≤M0的事实矛盾，因此(u(x,t),v(x, t ))至少有一分量在QT*上无界，即或至少有一式成立．证毕．【相关文献】[1] Pao C V．On nonlinear reaction-diffusion systems[J]．J Math Anal Appl，1982（87）：165-198[2] CAPASSO V，PAVERI S L，FONTANA．A mathematical model for the 1973 choler epidemic in the European Mediterranean region[J]．Rev Epidem et Sante Publ，1979（27）：121-132[3] CAPASSO V．Asymptotic stability for an Integrodifferential Reaction-DiffusionSystem[J]．Math Anl Appl，1984（103）：575-588[4] Galeone L，Mastroserio C，Montrone M．Asymptotic stability of the numerical solution for integrodifferential reaction-diffusion system[J]．Numerical methods for partial differential equation，1989（5）：79-86[5] Pao C V．Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations[M]．New York：Plenum Press，1992：695-713。
一类2m阶抛物方程的弱解存在性与正则性
Ｏ 引 言
近年来 ，人们对二阶抛物方程 的弱解的存在 性与正则性有 了很多研究 ，但是鉴于问题的复杂 度， 对高阶的抛物方程研究不够深入。 这篇文章我
们考虑了下述方程的弱解存在性与正则性 ：
算子Ａ ：（ ｎ ｐ Ｑ） Ｈ Ｑ） ： Ｑ） （ （ （ ｎ ｐ Ｈ Ｌ Ｌ
（ ） Ｑ ）按如 下 给出 ，
Ｉ ＝ｌ Ｉ “Ｉ １ ＝ ３
Ｖ专 。 ∈
（） ２
范数 ． 记 （ｏ ∞）ｘ） （， ， ）
＝
这 ａ ； 。 里考 考… ＝
ｇｘｚ满足如下约束条件 ： （ ，） ｇｘ ｚｚ － ２Ｉｐ１ ， （ ，）￣ Ｏ（ ｌ ） ＜ ｚ－
ｆ ｔ∈ ∈Ｌ（０Ｔ ， ， ＞ ． （） Ｘｌ ｐ ，）Ｘ）ＶＴ Ｏ） （
一
］ ｉ ｎ
＋
』（ 。））仁， ∈（） 。 ） Ｉｏ Ｑ． Ｔ ，（ Ｖ （ ＶＱｄ
，＞ｔ ｄ ＝ Ｖ∈
Ｉ
Ｈ ９ ＋０
≤ ０ ：０ Ｈｅ Ｖ ． 一５ Ｉ ６ ｌ ７ ｖ ＩＩ ｌｌ ， ｅ Ｉ 一 ｌ２ ＋ Ｘ
则有
性 质 ２ Ｖ ＜Ｉ ＜ ， ｅＸ， ∈Ｃ（ ， ， ， ０ ｈＩ １１ ， Ｉ［ ∞】Ｘ） ０ ０ ＜ 。则 有 ≤￡Ｔ
唐 适 宜
（ 四川大学 数 学学院， 四川 成都 ６ ０６ ） １０４
摘
要： 文章研究了一类 ２ ｍ阶非线性抛物方程的弱解存在性与正则性。作者先利用 Ｇ ｌｋ 方法结合非线性算 子在性 ， 通 然后进一步对解 的正则性进行 了提升 ， 得出的结论适 用于任何低 阶 线性与非线性抛物方程。 关键词 ： 全局弱解 ； 弱连续 ； 非线性算子 ； 等度连续 中图分类号 ： １ ５ ６ ０７。 ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ９ ８ ６ （０ １ １— ０ ５ ０ １０ — ６ ６ ２ １ ）２ ００ — ４
二阶非线性微分方程的解法
二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。
本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。
1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。
如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。
但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。
对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。
设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。
代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。
2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。
但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。
一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。
将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。
非线性二阶偏微分方程
非线性二阶偏微分方程
如果一个偏微分方程中，未知函数及其所有各阶偏导数以线性形式出现，则将这个偏微分方程称为线性偏微分方程（linear partial differential equation），反之，则称为非线性偏微分方程（nonlinear partial differential equation）。
若一个非线性偏微分方程中，未知函数的所有最高阶偏导数以线性形式出现，而其系数含有该未知函数或其较低阶的偏导数，则称这样的非线性偏微分方程为拟线性偏微分方程（quasilinear partial differential equation）。
又若一个非线性略偏微分方程中，未明函数的所有最低阶偏导数以线性形式发生，且最低的阶偏导数的系数也不不含未明函数与其较低阶的偏导数，这样的非线性略偏微分方程称作半线性略偏微分方程（semilinear partial differential equation）。
偏微分方程研究各类偏微分方程的求解与解的性质。
在18世纪初，微积分理论形成后不久，人们就开始结合物理问题研究偏微分方程，并逐渐形成一个独立的数学分支。
最早研究的几个偏微分方程是弘振动方程、热传导方程和调和方程。
随着力学、物理学的发展，连续介质力学、电磁场论、量子力学、引力理论、规范场论等方面的基本规律都被写成偏微分方程的形式。
数学领域中分析学、几何学中很多基本问题也可归结为一些偏微分方程的求解。
近年来，在各门自然科学、工程技术以致金融、经济、社会学等学科中又不断归结出一些新的偏微分方程，它们的研究对于相应学科的发展是十分重要的。
含参数的非线性抛物方程解的稳定性
运行 ， 受 到干扰 之 后 ， 能 否 保 持 预定 的运 行 或着科 学技 术 的进 步 ， 人 们对 各种 问题 的理解 和 刻 画有 了更高 的要 求 ， 现实 中的很 多 问题 都是 通
状态 而不 至 于失 控 至关 重要 ， 所 以研 究 方程解 的稳
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｊ ｉ ａ ｙ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ，Ｍ ｅ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ ５ １ ４ ０ １ ５ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｐ ａ ｒ ａ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗｉ ｔ ｈ ｐ ａ ｒ ａ ｍ－ ｅ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｙ ｒ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｉ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ ａ ｐ ｐ ｌ ｙ ｉ ｎ ｇ Ｌ ｙ ａ －
第３ １卷 第 １期
２ ０ １ ３年 ２月
贵州师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
半抛物量子阱中二阶非线性光学性质的研究
半抛物量子阱中二阶非线性光学性质的研究李俊生;张志海;孙东升;杨亮亮【摘要】Studies aimed at understanding the nonlinear optical properties of GaAs/AlGaAs semiparabolic quantum well under applied electric have focused on optical rectification and second harmonic generation.These studies have taken two complimentary approaches:(1) the compact-density-matrix approach and iterative method have been used to obtain the expressions of optical rectification and second harmonic generation;(2) the finite difference techniques have been used to obtain the energy eigenvalues and their corresponding oeigenfunctions of the semiparabolic quantum well under applied electric field.The energy eigenvalues,the shape of the confined potential,optical rectification and second harmonic generation are modulated by the confined potential frequencies and electric field.So the results of a number of numerical experiments indicate that the nonlinear optical rectification and second harmonic generation strongly depends on the confined potential frequencies and applied electric field.This gives a new degree of freedom in various device applications based on the intersubband transitions of electrons.%本文对外加电场作用下GaAs/AlGaAs半抛物量子阱非线性光整流和二次谐波极化率进行了研究.首先,本文运用密度矩阵和迭代的方法获得外加电场作用半抛物量子阱系统光整流和二次谐波极化率的表达式.同时,采用有限差分法求得多外加电场作用下该系统的能级和波函数,避免了精确求解过程中的多重不恰当近似.结果表明:1)有限差分法计算结果相当精确;2)外加电场和受限势频率与系统能级、受限势形状、以及光整流和二次谐波极化率有着密切的关系,同时,可以通过外加电场和受限势频率实现对该系统光整流和二次谐波极化率的有效调控.将为基于子带跃迁的光电子器件的制备提供理论基础.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(054)006【总页数】6页(P1263-1268)【关键词】量子阱;有限差分法;光整流;二次谐波;非线性光学【作者】李俊生;张志海;孙东升;杨亮亮【作者单位】盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002【正文语种】中文【中图分类】O437在过去的几年里，半导体量子阱光学性质已得到深入研究.这是因为非线性效应在量子阱上可以得到显著地增强.对于块体材料，因为晶体结构的对称性，非线性效应不是非常强.同样，对于具有对称结构纳米半导体材料，偶数阶非线性光学效应通常在理论上消失.因此，对称量子阱非线性光学系数一般为零.但随着对称性的破缺，量子阱非线性光学系数将不再为零.为了在量子阱中获得更强的二阶非线性光学系数，可通过外部施加的电场移除对称性的途径实现[1].近年来，电场作用下二阶非线性光学特性得到了广泛关注.在2003年，Li Zhang和Xie Hong-Jing[2-3]讨论了电场下半抛物量子阱的非线性光学特性.2005年郑允宝对电场下非对称量子阱中的非线性光学性质进行了研究.另外，Ibrahim Karabulut和Haluk S-afak[4]在2005年还对电场下半抛物量子阱光整流效应进行了详尽地讨论.2014～2016年，Yuan Jian-Hui[5-10]讨论了电场下对称与非对称高斯(半抛物)量子阱的非线性光学特性.但是为了能够精确求得到系统的能级和波函数，采用了一系列的近似.本文对有限差分法应用于量子力学求解量子阱能级和波函数可行性的分析，我们将通过有限差分的方法对电场下半抛物量子阱的光学性质进行深入地研究.在有效质量近似条件中，系统的哈密顿可以写为：H=-(++)+V(z)+qηFz利用有限差分法，方程(1)可以离散化-+Viφi+qFziφi=Eφi,i=1,2,…N[H][φ]=E[φ]利用有限差分法，可以得到系统的能级和对应的波函数.下一步，我们将使用紧凑密度矩阵法和迭代过程来推导半抛物子阱的SHG系数，在外电磁场F(t)=E0cosωt激发下，定义ρ作为单电子密度矩阵.可以得到密度矩阵的运动方程为：p(n)=Tr(ρ(n)qz)在有限差分方法在对电场诱导半抛物量子阱二经过计算，抛物与半抛物量子阱几个低能激发态能级如表1和图1所示，从表中可以看出有限差分结果和精确求解结果符合非常好.对于半抛物量子阱情况，有限差分结果与精确解对比，相对误差小于0.4%.因此，利用有限差分方法进行求解是合理的.有限差分法、量子力学中的本征值问题和Matlab计算工具有机地结合起来,将量子力学求解本征值和波函数就转化为求解矩阵的本征值和本征矢,在一定精度要求范围内，可以反映出实际系统的能级和波函数.从表1与图1中可以看出，随着电场强度的增加，半抛物量子阱的几个最低能级都是在增加的.主要原因在于电场的存在，使得受限量子阱有效半径减小，从而引起能级增加，电场越大，有效半径越小，因此各能级随电场增加是增大的.图2(a)为η=+1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下SHG极化率与光子能量ћω的关系,(b)与(c)分别为电场F下的能级差ΔE(eV)与矩阵元素M12M23M31.从图2(a)可以知道：(1)随着电场强度的增加，峰值所对应的光子能量随之增加，也就是说电场能够诱导光谱蓝移；(2)随着电场强度的增加，光谱发生劈裂，并且谱线宽度也在增加；(3)随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值逐渐减小.为了解释上述现象，我们分别讨论了能级差ΔE(eV) (图2(b))与矩阵元素M12M23M31((图2(c))随电场强度的变化情况.从图2(b)中，我们可以看出，随着电场强度的增加，E21和E31/2能级都在增加，并且两者之间的能级差值不断的增大.由方程(10)我们可以知道峰值对应的光子能量约在E21或者E31/2附近，因此很容易解释电场诱导的光谱蓝移.在图(a)中F=0和2时，我们可以看到一个峰值的波峰，主要原因在于E21和E31/2能级相近，满足近似双光子共振条件.随着电场的增加(如F=5)，E21和E21-E31/2两者之间的差值不断增大，从而导致近似的双光子共振条件不能得到满足，这时单峰将会劈裂成为两个不同的双峰，由此便可解释随着电场强度增加，光谱发生劈裂的原因.当双光子共振条件不能满足时，此时两个最大峰值主要源自两个单光子共振，随着电场的增加，两个共振能量也随之增大，并且两者之间的差值也在变大，因此可以解释谱线宽度随着电场的增加而增大.图2(a)和(b)可以看出谱线最大峰值所对应的光子共振能在E31/2附近，因此最大峰值约为|M12M23M31|/(E21-E31/2).由图2(c)可知，几何因子|M12M23M31|随着电场强度的增加而减小，而由图2(b)可以看出E21-E31/2两者之间的差值不断增大，因此随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值不断减小. 图3(a)为η=-1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下SHG极化率与光子能量ћω的关系,(b)与(c)分别为电场F下的能级差ΔE(eV)与矩阵元素M12M23M31.从图3(a)可以知道：(1)随着电场强度的增加，峰值所对应的光子能量在减小，也就是说电场能够诱导光谱红移；(2)随着电场强度增加，光谱发生劈裂，并且谱线宽度也在增加；(3)随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值逐渐减小.为了解释上述现象，我们分别讨论了能级差ΔE(eV) (图3(b))与矩阵元素M12M23M31((图3(c))随电场强度的变化情况.从图3(b)中，可以看出，随着电场强度的增加，E21和E31/2能级都在减小，并且随着电场的增加，两者之间的能级差值不断的增大，因此很容易解释电场诱导的光谱红移.和图2(a)中相同，随着电场强度的增加，近似的双光子共振条件向着单光子共振条件转变，这个时候单峰将会劈裂成为两个不同的双峰，光谱发生劈裂，同时，由于两个单光子光子共振能之间的差值随着电场强度增加而增大，从而谱线宽度逐渐增大.由图2(a)和(b)可知谱线最大峰值所对应的光子共振能在E21附近，因此最大峰值约为|M12M23M31|/(E31/2-E21).图2(c)中可以看出几何因子|M12M23M31|随着电场强度的增加而增大，从图(b)可知E21与E31/2间的差值也在不断增大，但E31/2-E21随电场的变化较|M12M23M31|大，因此，随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值随之不断减小.图4(a)为η=+1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下光整流系数与光子能量ћω的关系,从图4(a)中可以看出：(1)随着电场强度的增加，峰值谱线发生蓝移，主要原因在于随着电场强度的增加，E21能级在增加(见图4(b));(2)随着电场强度的增加，谱线峰值在减小.从方程(10)可以知道，谱线峰值约在E21附近,换句话说，当光子能量满足条件EP≡E21时，单光子共振条件得到满足，此时光整流系数将会出现一个峰值.由方程(10)可以知道，谱线峰值正比于几何因子δ,从图(c)中可以看到几何因子δ随着电场强度的增加而减小，由此可以解释谱线峰值随着电场强度的增加而减小.图5(a)为η=-1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下的光整流系数与光子能量ћω的关系，和图4(a)不同的是：(1)随着电场强度的增加，谱线发生红移，原因在于随着电场强度的增加，E21能级逐渐减小(见图5(b)).(2)随着电场强度的增加，谱线峰值也随之增加，原因在于几何因子δ随着电场强度的增加而增大.文中主要研究了外加恒定电场对半抛物量子阱中二次谐波和光整流产生的影响.所运用的研究方法主要是用有限差分的方法，研究在非对称抛物量子阱中的二阶光学非线性，并通过Matlab画出波形图.研究结果表明，电场对半抛物量子阱中二次谐波和光整流产生的影响是比较明显的.数值结果表明，当电场的方向是沿量子阱的生长方向时，二次谐波极化率和非线性光整流总是随着电场强度增强而减弱.然而，当电场方向与量子阱的生长方向相反时，随着电场强度增强，二谐波极化率仍被削弱，而非线性光整流得到加强.沿着或逆着量子阱生长方向施加电场增强时能够引起二次谐波和光整流谱线发生蓝移或红移效应，可以通过量子阱能级结构进行合理的解释.【相关文献】[1] Zhang Z H,Zou L L,Guo K X,et al.The effect of hydrostatic pressure,temperature and magnetic field on the nonlinear optical properties of asymmetrical Gaussian potential quantum wells [J].Phys E,2016,77:90.[2] Zhang L,Xie H J.Electric field effect on the second-order nonlinear optical properties of parabolic and semiparabolic quantum wells [J].Phys Rev B,2003,68:235315.[3] Zhang L,Xie H J.Electro-optic effect in a semi-parabolic quantum well with an applied electric field [J].Mod Phys Lett B,2003,9:347.[4] Ibrahim K,Haluk S.Nonlinear optical rectification in semiparabolic quantum wells withan applied electric field [J].Phys B,2005,368:82.[5] Yuan J H,Chen N,Mo H,et al.The second harmonic generation in symmetrical and asymmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field [J].Supperlatt Microstruct,2015,88:389.[6] Yuan J H,Zhang Z ment on “linear and nonlinear optical absorption coefficients and refractive index changes in asymmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field” [J].Supperlatt Microstruct,2015,88:1.[7] Yuan J H,Zhang Y,Mo H,et al.The second-harmonic generation susceptibility in semiparabolic quantum wells with applied electric field [J].Opt Commun,2015,356:405. [8] Yuan J H,Chen N,Zhang Z H,et al.Energy spectra and the third-order nonlinear optical properties in GaAs/AlGaAs core/shell quantum dots with a hydrogenic impurity[J].Supperlatt Microstruct,2016,100:957.[9] Yuan J H,Chen N,Zhang Y,et al.Electric field effect on the second-order nonlinear optical properties in semiparabolic quantum wells [J].Phys E,2016,77:102.[10] Zhang Z H,Zou L L,Guo K X,et al.The nonlinear optical rectification in asymmetrical and symmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field [J].Opt Commun,2016,359:316.。
非局部扩散的非自治抛物方程动力学行为
非局部扩散的非自治抛物方程动力学行为常伟伟;李晓军【摘要】考虑带非局部扩散的非自治抛物方程解的长时间行为，当时间符号项于L2loc （瓗；H －1（Ω））和 L2loc （瓗；L2（Ω））中平移有界时，证明该系统所对应的过程在 L2（Ω）与 H10（Ω）中存在一致吸引子。
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)005【总页数】6页(P77-82)【关键词】一致吸引子;非局部扩散;非自治抛物方程【作者】常伟伟;李晓军【作者单位】河海大学理学院，江苏南京 210098;河海大学理学院，江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O175由于非局部问题在物理学、生物学和自动控制等诸多领域的广泛应用,其研究日益受到人们重视。
在半导体方程中，非局部形式a=a(l(u))的出现，可以用来描述依赖非局部数量的热力学扩散速率[1-2]。
在生物方程中，如一个密闭容器细菌种群数量的迁移速率=a▽u，取决于某个指定区域细菌的数量密度u[3]。
关于非局部问题有许多数学方面的研究[4-6]，非局部抛物方程解的渐近行为研究也备受关注。
文献[7]研究了解的适定性，并用能量方法详细论述了拉回吸引子的存在性。
另外，在弱外力假设下，关于非自治系统渐近动力学行为，近期也有较多的研究[7-10]。
然而，非局部抛物方程在L2(Ω)和(Ω)一致吸引子的研究相对较少。
一致吸引子用来描述其动力学行为时，比较常用的是斜积流法，该方法牵涉到符号空间，且一般要求外力符号在符号空间作紧性平移[11]。
本文仅在时间符号平移有界，不要求平移紧的条件下,研究下列非局部非线性抛物方程一致吸引子的存在性：其中：Ω⊂N为有界开集；a∈C(,+)为局部Lipschitz连续函数，满足其中：m,M为正常数。
l∈(L2(Ω))′,f∈C()且存在常数η>0,cf≥0满足假设(;H-1(Ω))或(;L2(Ω))。
用和(,.,)分别表示L2(Ω)中的范数及对应的内积；和((. , .))分别表示(Ω)中的范数及对应的内积；〈. , .〉表示H-1(Ω)与间的对偶积；表示H-1(Ω)范数。
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定理 １假设 Ｏ ｂ≤６ ，）０ （ ￡ ≤咖。对 于 ｚ Ｏ ‘（） ｚ ，（） ＜ 。 （ ￡ ， ≤口 ，） ＞ ， ｚ ）ｇ ｚ 均是 连续 的正 函数且 函数 ‘ ｚ ， ｐ Ｐ ） （
（） 是递 增 的。又假 定存 在一个 单位 向量 ＾∈Ｒ 和一 个正 常数 Ａ， 得 ： ｙ 使
数 （ ，） ，）Ｃ ｔ， （ ，） 加 某些 条 件 以及 构 造 某个 比较 函数 ， ｔ， （ ｔ ， （ ，）ｄ ｘ ￡施 已经得 到 该 方程 爆 破 的充 分 条 件 。本 文 中笔者将借 鉴 ＬＥＰ ｙ ｅ２， Ｗａｔ ［］Ｊ ｓｅ［］ ．．ａｎ ［］Ｗ： ｌ ｒ ，． ｈｒ 等的研究 方法 ， ｅ３ Ｅ ４ 即构 造方程 的上 、 下解 ， 由比较 原理 ， 探讨方 程 的正解 Ｕ满足 怎样 的条件 ｓ使得 它整体存 在 以及该 方程在 特殊情 形下 有 限时刻爆 破 的充 ，
∑ａｘｔ ≤Ａ ￡ ， ｆ ， ， ∈ （，） ｄ ，ｘ ， （， － ｃ ， （ ￡ ｎ （ ∞ 。 ） ， ∑ ） Ａ （ ） ）Ｉ ０ ＞ ×
ｉ＝ ｊｌ ｌ ＝１
让８ 够 得：∑ 足 小使 ｓ
＜。 ∈ ６ Ｐ ， 。
令 （）￡ １ｇ（）￡（）ｖ ｖ／ ｖ＝ （） ＋ｇｖ＋＋ Ｊ ｖ ）Ａ。如果对于 ｖ Ｏ 函数 ‘（）（）（ １＋ ） ＞， ｐ ＶｇＶ／ （）１是递减的 ， ，
第 ２ ３卷 第 ４期
２１ ０ ０年 ７月
浙 江 万里 学 院学报
Ｊ ｕ ｌ ｏ ｈ ｉ ｎ ｎ ｉＵｎｖ ｒｉ ｏ ｍａ ｆＺ ｅｉ ｚ Ｗａ ｌ ａ ｉｅｓ
Ｖｏ１２３ Ｎｏ． ．பைடு நூலகம் ４
Ｊｌ ０ ０ ｕ ２ １
二 阶非 线性 抛 物 方 程解 的定 性 性 质
何 文 平 ， 周 杰 荣
证明： 构造函 （，： （ ， ￡ ￡ 数 ￡ 仅下 下 （一∑ ，（ 是下 程的 仪（．（（） （） 。 ） ）： ） 仅Ｔ 列方 解： １ｇｄ￡ ， ０＝ 其中ｃ ） ，） ）ｄ ｃ 。
－
５８ ・
何文平， 周杰荣： 非线 抛物方 解的定 性质 二阶 性 程 性
２ 定 理及 其 证 明
文献［］ １已经证 明 了该 方程 的比较原 理成 立 ， ： 即 比较原 理 设 Ｍ ∈Ｃ（ ［ ， ｎＣ （ ） 足下 列不 等式 ： ， １ ０ 刀） 满
＝
Ｌ ＋（ ｕ ａ
）（ ） Ｔ ＇ ∈Ｄ
（．） １１
（ ．） １ ２
＋ （ ） ） ， ） Ｔ ６ ＝ｏ （ ∈ｒ ｕ ｘ ０ ＝ （） ＥＱ （，） ，
其中．
（ ．） １ ３
Ｌ
啬＋
＝ ｏ ｃ ｓ （
等＋ ｄｔ ｃ （） （ ｘ， ，
等，
ｉ＝ ｊｌ
同时 ａｘ ｔ １０ （ ｔ ∈ ； （ ，） ０ （ ｔ ∈Ｆ ； ＞ ， （ ， ＞ ， ） ＤＴ６ ｔｔ ， ） ， ＞ ，） Ｔ‰（ ）０ ∈ｎ， 且满足 相性条 件 ： ＋ （ ， ） （ｏ ＝０ ｘ １ ６ Ｏ ｇ ｕ） ， ∈０２ 对于 ｓ ０ ‘ ｓ ＞ ｓ ＞ ，（ ）０ 且均 为递增 函数 。在 有关 文章 中 ， Ｔ ｅｄ ｒ Ｂ ｎ 在［ｌ 对 系 ＞ ， （ ）０ ｐ ）０ ｇ ｓ ＞ ， 如 ｈ ｏｏｅＫ— ｏ ｉ １ｑ ￣
是 ａ 上 的单位 外法 向量 ， Ｔ ｎ Ｄ ＝Ｑ× Ｏ Ｔ ，￣Ｏｌ （ ， ） （ ， ）Ｆ ｆｘ Ｏ Ｔ 。
系数 （ ｔ ， ，）Ｃ ， ， （ ，） ， 儡（ ｔ ，（ ｔ ｄ ｘ ｔ定义 在 ， ） ） 而且 嘞 满 足下列不 等式 ： ａ ，∈ ２ 仅 ， Ａｘ ￡ ｌ ≥ ∈Ｒ ）
ｃ ２ ｔ 一（ 口 ） ＞ 勘 一（ 。 Ｖ ， ） ）（ ∈ ｒ Ｔ
笙 塑
（ ．） １ ４ （．） １ ５ （ ．） １ ６
＋ （ ）（ ＞ ６ ｇ ）
＋ （ ）（ ， ６ ｇ ）
ｕ ｘ ０ ＞ｖ ｘ ０ ， （，） （，） ∈Ｑ
么 有 Ｍ（ ｔ ＞， ｔ ， ，） ，） １（ ） （ ｔ ∈ＤＴ ， 。
厂
＝， 问 （ 解 能 定 在 有 ￡ 。 时 在 个 数 （ ） （） × ∞ 么 题 ） 够 义 所 的≥ 同 ， 一 函 ，， ∈ 那 ， 的 ０ 存 当， ＿ ０ ￡
『，。 时 连续 ， 且 问题 （） ０ ｏ） 并 ， 的任何解 Ｕ满 足 （ ０ ＜ ， ） 有关 系 ： ，） （ ，） ，） （ ０ 则 （ ｆ ， ∈Ｑ 成 立 。
分条件 。笔 者构造 的 比较 函数 的方法 与 Ｔ ｅｄ ｒ Ｂ ｎ 有所 不 同。 ｈ ｏ ｏｅＫ．ｏ ｉ
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０— ３—３ ０
作 者 简 介 ： 文 平 （９７ ）男 ， 何 １ ５ 一 ， 江苏 泰兴 人 ， 兵 学院 南京 分 院基 础 部 教授 ， 究 方 向 ： 物 型偏 微 分 方程 。 炮 研 抛
关 键 词 ：抛 物 方 程 ；爆破 与整 体 存 在 ；比较 原 理 。
中图 分类 号 ：０１ ５２ ７ ．６ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编号 ：１ ７ —２ ５ ２ １ ０ ６ １ ２ ０（ ０ ０） ４—０ ５ —０ ０８ ４
１ 引 言
令 Ｑｃ尺 有 界 ，Ｑ 适 当光滑 。考虑 下列关 于 ｕｘ ｔ的初边值 Ｉ （） ａ （ ，） Ｎ￣ Ｉ ：
（ 兵 学 院南 京 分 院 基础 部 ，江 苏 南 京 炮 ２ １３ ） １ １２
摘 要 ：研 究 了一类 带 有非 线 性 边界 条 件 的二 阶 非线 性 抛 物方 程 正 解 的性 质 。利用 比较 原 理 ． 到该 方 程 的解 整 得
体 存 在 的条 件 ， 用数 学分 析 的 方法 ， 到 该 方程 的 解 的爆 破 的条 件 。 利 得