一类非线性抛物型方程解的熄灭

合集下载

一类抛物型k-Hessian方程

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆ一ｆ４－ｌｏｇＳ（（Ｄ））一
１＜。２＜ … ＜ｆ
ｆ（４（Ｄ））．文献［５］讨论了如下更一般形式的抛物型Ｈｅｓｓｉａｎ方程：一Ｄ＋厂（（Ｄｚ４－））一
（，）．文献［６ — ７］借助如下抛物型肛Ｈｅｓｓｉａｎ方程第一初边值问题解的存在唯一性研究了退化椭圆型
肛Ｈｅｓｓｉａｎ方程：
，￡）∈ ＱＴ，ｆＦ（Ｄ）一一（，ｔ，），（ｊ一ｏ，（，）∈ ａＸＥｏ，Ｔ］，
（１）
［ “ 一。，
收稿日期：２０１２ — ０９ — ２４．
第Ｓ１卷
第３期
吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．５ｌＮＯ．３
Ｍａｙ２０１３
ｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｕｂｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｐｒｉｏｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ．Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｕｎｉｑｕｅｉｆ２０１３年５月

一类半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破

３定理１的证明
＝ｅｖ
ｘａ ∈ Ｑ
ｄｎ
证
取ｈ）是下面椭圆方程（ ∈ｃｘ
ｘｎ ∈
我们的主要结果如下：
ｆ＝Ｉ，ＩＤＩ △ｈＯ／．ＱＩ
定理１若ｐ≤１ｐ≤１０ｄ，＜，则对于小初值ｕｌ，２，＜１１２ｏ（，）方程组（）ｘｖ，）１的解整体存在．
Ｆｂ２Ｏｅ．０ｌ
一
类半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破
春玲
（内蒙古民族大学，内蒙古通辽０８０）２００
摘
要：研究了一类带有非线性边界条件的半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破问题．通过构造乃杠组的上、－，ｚ下解，
得到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充分条件．
爆破．本文引入下列记号：。（＋ｐ）１Ｐ）一２ｑ：，记＝１ｑ－，（一１１ｐ）．）／（一ｑ０＝１ｑ－１１ｐ（ｐ）ｑｑ）ｋｌ（－ｌ），１１Ｐｐｃ，【（＋：ｐ／－１１．Ｉ，＋＝１ｐｐ。（一１ｔ２）（）－－： ’ １＋ｊ１！
一
Ｖｔ △ ≥ ０一 ≥ 一Ａｖ， ∈ Ｑ，０ｘｔ＞
取＝ｘ，｝．ＡａＭＡｍ｛［
取ｇ）（满足ｔ
（）２
）
（）５
Ｊ一 ≥≥ 一，ａ， — ｏｅ，＞Ｏａｕｅｑｏｔ
ｎＯｎ —一 —
ｇＩＭｔ０＝＞（）
第２６卷第２期

一个非线性抛物型方程的初边值问题解的整体存在性

．
ｃｎｉｉｎｒｉｅｏｄｔｓｗｅｅｇｖｎ．ｏＫｅｒ：ｎｎｉｅｒｐｒｂｌｑａｉｎ；ｉｉｉｏｄｒａｕｅｙｗｏｄｓｏｌｎａａａｏｉｅｕｔｃｏｎｔａｂｕｎａｖｌｓ；ｍａｉｌｙｘｍｕｍｒｎｉｌｓｏａａｏｉｑａｐｉｃｐｅｆｐｒｂｌｃｅｕ
ａｆ以及初值适当的假设条件下，，获得了解的整体存在性．关键词：非线性抛物型方程；初边值问题；最大值原理；整体存在性
中图分类号：７．９０１５２文献标识码：Ａ
Ｇｌｂｌｅｉｔｎｅｏｏｕｉｎｏｌｓｆｎｎｉｅｒｏａｘｓｅｃｆｓｌｔｏｓｆｒａｃａｓｏｏｌａｎ
∈ Ｄ．
（）１
式（）ｕ（）０而不恒为零，１中，。＞１ＤＣＲ（＞２有界光滑， ≤∞，＝ＩＩ在对０ｆｎ）１０＜ｑＶｕ．，以及初值适当的假设条件下，文献［］６获得了式（）１的解在有限时刻的爆破行为．笔者受此启发，修改了０ｆ的条件，，从而获得了式（）１的解的整体存在性．定理１设ｕ，）∈Ｃ（（ｔＤ×（Ｔ）Ｄ×［，）是式（）０，）ｎｃ（０Ｔ）１的解，在下列假设条件下式（）１的解
２００７焦
文献［］一步考虑了如下问题：６进
ｒ＝Ｖ（（））＋ｕ０ｕＶｕ，，，）（ｔｕｑｔ，，）∈ Ｄ ×（，）０Ｔ；

一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破

ｕ：ｕ）ｕｖｕ），０们，（＋Ｊｄ，ｑ＋Ｊｄ，ｔ，－Ａａｎｘ产（ｂａｘｖＡ ∈ ＞他
证明了此方程组存在整体解的充要条件。
本文对带有非局部源的退化抛物型方程组
Ｆｊａｘｏｅｔａｄｏｅｄｍａｎｕｉｐｎｎｓｎｎｔｏｉ．ｔｅｈ
Ｋｅｒｓｎｎｏａｏｒｅｅｅｅａｅｐｒｂｌ；ｐｅｎｏｒｓｌｔｎ；ｇｏａｘｓｅｃ；ｙｗｏｄ：ｏｌｃｌｕｃ；ｄｇｎｒｔａａｏｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｓｌｂｌｉｔｎｅｓｃｏｅ
Ｂｌｗ－ｐｆｒａＮｏｌｅｒＤｅｅｅａｅＰｒｂｌｕｔｎｔｎｏａｏｒｅｏｕｏｎｉａｇｎｒｔａａｏｉＥｑａｉｓｗｉＮｏｌｃｌｕｃｎｃｏｈＳ
ＺＨＡＮБайду номын сангаасＧｅ— ｕａＷｉｙｎ
ｂｔｌｉｇｓｎｕｒｓｌｔｏｅｈｑｅ．ｅｅｒｓｌｓｄｅｅｄｃｕｉｌｈｅｓｇｆｃｉｉａｙｕｉｉｎｕｂａｄｓｐｅｏｕｉｎｓｔｃｎｉｕｓＴｈｓｅｕｔｐｎｒｃａｌｏｎｔｉｎｏｒｔｃｌｚｙ
ｂｏｕｌｗ．ｐ
１预备知识
近年来．关于退化抛物型方程组的爆破问题许多国内外作者进行了研究。到了许多重要结果。Ｌｔ得ｉ】等讨论了方程组＝ △ ＋）ｔｕ（ｖｂ）其中Ｐ（ｕ，Ｖ＝ｑ＋ｖ，Ａ，

一类非线性集值抛物型方程的广义单调迭代法

维普资讯
武汉大学学报（学版）理
首先在Ｈ中引入序锥Ｋ而Ｈ中的序关系按，如下方式由Ｈ中的序关系诱导为１Ｈ， ≥ｖ． ∈ １， “ 一 “ 一 ∈ＨｎＫ．对于Ｈ的内积要求：中如果， ∈ ９Ｋ，（， ≥０则）．对于给定的（ｆ，（ｔ “ 关于ｚ，）＿ｚ，，）厂 “是单调非减的．方程（）２的弱形式为， “ ．ｚ）求（，
算子的情形，文献［～５给出了若干解的存在性及３］
收敛性的结果．当Ａ是抛物型算子且方程为单值
时，献Ｅ］论了解的存在性问题．文６讨
本文旨在Ｈｉｅｔ间上，ｌｒ空ｂ对形如（）１的抛物型方程利用了序理论及ｌｋｃｍｉａｔａ在研究单值ａｓｈｋｎｈｍ
∈Ｈ对任意的 ∈Ｈ使得
’
＋Ｌ
∈ ｆｚ’
（３）
微分方程问题时提出的广义的单调迭代法给出解ｊ－
的存在性的构造性证明，在此基础上，假设方程并在
的非线性项ｆｘ “ ｚ）于未知函数 “ ｚ满足局（，（）关（）
连续发展方程的求解问题．例如，度控制问题，温Ｓｅａｔｆｎ问题等［．考虑此类问题的常见方式之一是１
将不连续问题可转化为集值问题，致说来，个大一

非线性抛物型泛函偏微分方程组解的振动性

拉普拉斯算子， Ⅳ是的单位外法向量。
在本文中，我们总假定下列条件成立：
（）ｉｔ，（）∈ｃＲ＋Ｒ＋， ∈Ｉ，ｎＨ１ａ（）ａｔ（；）ｉｍｋ∈Ｉ，
系数的情况进行讨论的，而对于非线性扩散系数情
况下的偏微分方程组的振动性的研究还很少，仅见
维普资讯
第７卷
第５期
２０３月０７年
科
学技
术

与
工
程
＠
Ｖ０．Ｎｏ５１７．
Ｍａ．２０ｒ０７
１７ —８９２０） —６１０６１１１（０７５０７ —３
ＳｉｎｅＴｅｈｏｏｙａｄＥｎｉｅｒｇｃｅｃｃｎｌｇｎｇｎｅｉｎ
则系统（）（）１，２式的所有解在Ｇ内振动。证明（用反证法）假设系统（）２式有一１，（）
维普资讯
６２７
科
学
技
术
与
工
程
７卷
个ｊ振动解（ｔ＝（ｔ，２ｔ，（Ｅ，（，（） …，，）），ｔ），）不失一般性可设，ｔｔ＞当＞０Ｏ时，（ｔＩＩＩ，＞）０，。令ｚ（ｔ＝ｉｔ，＝ｇｕ（ｔ，０，∈ ｍ｛）。（）６ｓｎ）贝，６，ｚ（，＞，ｔ ∈ ×［０∞）ｉｉｔＯ（）），ｔ，，∈，。由（２可Ｈ）
（＋｛ｔ一∑ （｝（一 ≥ ｆ吼（））ｔｖｔ））ｉ
（）＋ｔｇ一

一类半线性抛物型方程的Liouville型定理

维普资讯
１７２０
西南民族大学学报・自然科学版
第３３卷
２基础知识
记（，＝（一Ｘ＿）ｘ定义Ｒ上伸缩如下：，ｎ１ ∈Ｒ）Ｒ，
定义２取＞０伸缩：，ＲＲ定义如下：
本文内容安排如下：在第二节引入与热算子相应的伸缩、距离函数；引入一个特殊的光滑函数，结合其性质在第三节给出定理ｌ的证明．
收稿日期：２０．７００７０．２作者简介：张书陶（９７）１７，女，中汁量学院数学系助教．基金项目：浙江省自然科学基金资助（目编号为Ｙ０１４项６６４）
中图分类号：７．Ｏｌ５２６文献标识￣：ｉＡ－ｑ
１引言
近年来，线陛和非线性偏微分方程的解的Ｌｏｖｌｉｉｕｌｅ型定理的研究，得到了广泛的研究．其中对于非线性偏微分方程的Ｌｏｖｌ型定理的研究，ｉｉｅｕｌ可谓层出不穷，方法众多．９、９年Ｂｒｔｋ、ａｕｚｏｅａＮｒｎｅ【２３４ｅｓｃｉＣｐｚｏＤｌｔ和ｉｂｒｌＪｅｙｃｔｅｇ ’ 首先采用精确估计方法，研究欧氏空间上半线性椭
（，），７ｎ＝（ …，ＸＹ
Ｘ）．
ｌ１
一
引３关以的缩引Ｒ上距函厂，＝∑ 理于上伸，入的离数（，ｌ）ｆＩＩ１一
＼，：ｌ
＋，则有如下性质：
，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．．
ｐ
１（， ∈ｃＲ）＾Ｒ＼０））ｒｘ，）（ｒＣ（｛）；、２（，０且厂，：０当且仅当（，＝（，））ｒｘ，），（，），００：）３）任取＞０则厂（，）ｒｘ，．，（ｆ＝ｒ（，））

非线性抛物型方程时间周期解的一种差分方法

１差分格式
设，＝｛ｌ＜１，是，０＜｝７的闭包，首先将区域７０Ｔ进行网格剖分， ×［，］选取正整数Ｊ和Ｎ，并
令＝了１为空间方向的网格步长
，＝
Ｔ为时间方向的网格步长
，
并要得ｓ云为整，且使＝正数记
ｘ，ｉ＝Ｊ＝０１ … ，；ｔ，，Ｊ＝ｎ，ｋｎ＝一ｓ一ｓ＋１ … ，，，，，０１ …
２
≤ Ｃ・
差分格式的收敛性和稳定性
定理２假设条件１、）足，）２满则差分方程（）（）（）２，３，４的解以ｆ・ｌ收敛到定解问题（）ｌｌ１的解，
且收敛阶为０（＋ｈ）ｋ．证明设问题（）的解为ｖｘｆ和ｔ１（，）。ｖｊ，ｋ，Ｔｙｏ级数展式得截断误差为ｎ＝（ｈｎ）由ａｌｒ
其中ｃ常数，为在不同的地方有不同的值．在条件１、）用Ｔｙｒ）２下ａｌ级数展式可得．ｏ
ＩＰｔＹ）Ｉｃ１ｌ十ＩＣ，， ≤ （＋Ｉ十ｌＩＩＩ），ｔＹ＋Ｉ
下面对差分解进行估计．们先引人下面的定理．我
＝，＝０一１ … ，一ｓＯ≤ Ｊ≤ Ｊｎ，，；
为了提高格式的整体精度，层的值也需为精度Ｏｋ（＋ｈ）在下面的证明中假设函数厂足下．满
列两条件：
１ＰｔＹ）∈ ｃ（；）Ｃ，，，Ｒ）

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

ｐｏｌｍｒｔｅｐｒｂｌｑａｉｎｒｂｅｆｈａａｏｉｅｕｔ，ｗｉｈｎｒｓｉｔｎｍｅｈｄａｔｍａｎａｐａｈｔｅｃｎｉｏｓｕｄｒｗｈｃｏｃｏｔｔｅｅｅｇｅｔｈｙｍａｉｔｏｓｉｉｐｒｃ．ｈｏｄｔｎｎｅｉｈｏｓｏｉ
（ｈｎｑｕＶｃｔｎｌａｄＴｃｎｃｌＣｌｇ，Ｓａｇｉ４６０，ＣｉａＳａｇｉｏａｉａｎｅｈｉａｏｅｅｈｎｑｕ７００ｏｌｈｎ）
Ａｂｔａｔ：Ｔｈｑｅｃｉｇｈｎｍｅｏｆｓｌｔｎｉｎｏｈｍｐｒａｔｑａｉｅｆｎｎｉｅｒｐｒｂｌａｔｌｓｒｃｅｕｎｈｎｐｅｏｎｎｏｏｕｉｓｏｅｆｔｅｉｏｔｎｕｌｉｓｏｏｌａａａｏｉｐｒａｏｔｎｃｉｄｆｒｎｉｌｅｕｔｎｔｉａｐｉｄｗｄｌｎｏｒｌｅｎｒｃｎｔｄｅｎｔｅｑｅｃｉｇｏｏｕｉｎｆｒｔｅｎｎｉｅｒｉｅｅｔｑａｉ．Ｉｓｐｌｉｅｙｉｕｉ．Ｉｅｅｔｓｕｉｓｏｈｕｎｈｎｆａｓｌｔｏｈｏｌａａｏｅｆｏｎｐｒｂｌｑａｉｎｉｅｅｔａｐｏｃｅｉｅｅｅｇｓｉｔｎａｅａｏｔｄａａｏｉｅｕｔ，ｄｆｒｎｐｒａｈｓｌｎｒｅｔｃｏｋｙｍａｉｒｄｐｅ．Ｔｈｓｐｐｒｄｓｕｓｓｉｉａｏｎａｙｖｌｅｏｉａｅｉｃｓｅｎｔｌｂｕｄｒａｕｉ
其中Ｑ是』维欧氏空间尺，的有界光滑区域，界、，ｖ中边
记为ａＡ，ｙＰ是正整数，值Ｉ（不恒为，ｎ，，，初ｌ）。 △表示Ｌｐａｅ算子。文用Ｉ・表示Ｌ（中的范数，Ｊａｌｃ本ｌｑ．Ｑ）ｌ表示Ｑ
ＱｕｎｈｎｆｔｅＳｌｔｎｏｙｅｏｎｉｅｒＰｒｂｌｑａｉｎｅｃｉｇｏｈｏｕｉｎａＴｐｆＮｏｌａａａｏｉＥｕｔｏｎｃｏ
ＷＡＮＤｏｇｎ－ｍｅＳｉＯＮＧ－ｏｇＹｉｒｎ
讨论了一类抛物型方程初边值问题解的渐进性态，到了解在有限时间内解熄灭的务件。此基础上给出了解的能量估得在
计。
关键词：线性抛物型方程；熄灭；初边值问题非中图分类号：１５９Ｏ７．２文献标志码：Ａ文章编号：６１９６（０００－２－２１７－５５２１）３０７０
万冬梅宋益荣
４６０）７００（丘职业技术学院，河南商丘商
摘要：非线性抛物型方程解的一个重要性质就是解的熄灭现象。它在实际生活中有很广泛的应用。近年来人们利用能量
估计法．下解的方法对非线性抛物型方程的解的熄灭进行了大量的研究。这里受文献的启发，用能量估计的方法，上在采
ｎ的测度。
讨论了方程的初边值问题，解熄灭的充分必要条件作了对
定义
１引言
非线性抛物型方程解的一个重要性质就是解的熄灭现象。有着广泛的物理背景。再热的传导，学反应，物化生
的粘弹性的扩散等方面，着广泛的应用。黄瑜等（０４有２０）
第９卷第３期
２１００年９月
浙江工商职业技术学院学报
Ｖｏ．．１Ｎｏ３９Ｓｐ２０ｅ．０１
ＪｕｎｌｏｈｊｎｕｉｅｓＴｃｎｌｇｎｔｕｅｏｒａｆＺｅａｇＢｓｓｅｈｏｏｙＩｓｔｔｉｎｉ
一
类非线性抛物型方程解的熄灭
ｔｅｓｌｔｎｉｕｎｈｄｗｌｂｉｅｎｔｉｐｐ＝Ａｌｏｈｎｒｙｅｔｔｎｆｒｔｅａｏｅｅｕｔｎｌｂｏｃｕｅｈｏｕｉｓｑｅｃｅｉｅｇｖｎｉｓａｅｏｌｈｓ，ｔｅｅｅｇｓｉｉｏｈｂｖｑａｉｓｗｉｅｃｎｌｄｄｍａｏｏｌ．Ｋｅｒｓ：ｎｎｉｅｒｇｉｉａｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｙｗｏｄｏｌａａａｏｉｅｕｔｎｃｏｕｎｈｎ；ｎｔｌｂｕｄｒａｕｒｂｅｉ