一类非线性伪抛物型方程的初边值问题

第25卷　第3期2008年6月 黑龙江大学自然科学学报JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITY　Vol125No13June,2008

一类非线性伪抛物型方程的初边值问题孙明丽,　刘亚成(哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001)

摘　要:研究了一类非线性伪抛物型方程的初边值问题。首先利用了经典的Galerkin方法的思想,构造了原问题的近似解,并对非线性伪抛物型方程中的非齐次项函数限定了如下条件:f′下方有界且g′上方有界,得到了近似解的几个先验估计;然后证明了原问题整体弱解的存在性与唯一性;最后利用Poincare不等式及Gronwall不等式,得到了问题整体广义解的渐近性质。关键词:非线性伪抛物方程;初边值问题;整体弱解;存在唯一性;渐近性中图分类号:O175126文献标志码:A文章编号:1001-7011(2008)03-0343-04

收稿日期:2007-07-01

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034);哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目(HEUF04012)作者简介:孙明丽(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:非线性发展方程,E-mail:sunmingli1221@yahoo.com.cn

通讯作者:刘亚成(1942-),男,教授

1　引　言非线性Sobolev-Galpern型方程是从实际问题中提出的一类重要的伪抛物型方程,这类方程出现在许多数学物理领域,例如用于模拟热力学过程,岩石裂缝中渗流,土壤中湿气的迁移,以及固体中的扩散问题。因此,对此类方程的研究具有重要的理论与实际意义。在文献[1-2]中研究的是如下拟抛物方程的初边值问题ut-Δut=f(u),x∈Ω,t>0u(x,0)=u0(x)u|5Ω=0其方法是利用Galerkin方法,利用嵌入定理对f限定条件后得到了问题的Wk,p解。在文献[3]中研究的是一维Sobolev-Galpern方程的初边值问题,所用的方法是先将问题化为一个非线性积分方程,利用压缩映像原理得到局部解,再用先验估计得到整体解。在文献[4]中研究的是多维Sobolev-Galpern方程的初边值问题ut-Δut=σ(ux)x,x∈Ω,t>0u(x,0)=u0(x)u|5Ω=0利用Galerkin方法,要求σ∈C

1

,σ′(s)下方有界,得到了整体解的存在和唯一性。

而本文研究下述一类非线性伪抛物方程[5]的初边值问题ut-uxxt-uxx=f(ux)x+g(u)(1)u(x,0)=u0(x)(2)u(0,t)=u(1,t)=0(3)利用Galerkin方法,证明了若f∈C

1,f′(s)下方有界;g∈C1,g′(s)上方有界,且u0(x)∈H2(Ω)∩H1

0

(Ω).则对任一T>0,问题(1)-(3)存在Ω×[0,T]上的弱解u(x,t),并且得到了解的渐近性质,

本文所研

究的方程是一般的拟抛物方程与Sobolev-Galpern型方程的综合,从实质上推广和改进了已有的结果。2　几个先验估计设w

j(x)为问题

-wjxx(x)=λjwj(x),wj(0)=wj(1)=0(4)的特征函数系,则{wj(x)}在L2(Ω)中成正交完备系,当Ω∈C2时,w

j(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω),且{wj(x)

}

在

H10(Ω)中稠密。设问题(1)-(3)的近似解为

um(x,t)=∑mj=1ajm(t)wj(x)(m=1,2,…)

由Galerkin方法,u

m(x,t)即ajm(t)满足如下常微分方程的初值问题

(umt,ws)-(umxxt,ws)-(umxx,ws)=(f(umx)x,ws)+(g(um),ws)(5)ajm(0)=ajm(6)

其中s,j=1,2,…,m,(u,v)=∫Ωuvdx;初值ajm的选取应使u

0(x)在空间H2(Ω)∩H10(Ω)上有um(x,0)→

u0(x).引理1　设(H):f∈C

1

,f′(s)下方有界,即存在常数c0,使得f′(s)≥c0;

g∈C1,g′(s)上方有界,即存在常数d0,使得g′(s)≤d0.

u0(x)∈H10(Ω),并选取ajm,使um(x,0)H1u0(x).则对任一T>0,问题(5),(6)的任意解有估计‖um‖2+‖umx‖2≤E

1(T)(0

(本文中Ei(T)表示只与T有关的常数,i=1,…,5.M

l

也表示常数,l=1,…,10).

证明　定义f

1(s)=f(s)-c1s-f(0),c1=min{c0,0};g1(s)=g(s)-d1s-g(0),d1=max{d0,0},

由此可知f1(0)=0,f1′(s)≥0,从而f1(s)s≥0;g1(0)=0,g1′(s)≤0,从而g

1(s)

s≤0.

以a

sm(t)乘(5)

,两边对s从1到m求和,

分部积分可得

12ddt

(‖um‖2+‖umx‖2)+‖umx‖2=-(f(umx),umx)+(g(um),um)(8)

由于f(u

mx)=f1(umx)+c1umx+f(0);g(um)=g1(um)+d1um+g(0),又(-c1umx-f(0),umx)≤

M1‖umx‖2+M2;(d1um+g(0),um)≤M3‖um‖2+M4,代入(8)式,有ddt(‖um‖2+‖umx

‖2)≤

M5(‖um‖2+‖umx‖2)+M6.由于um(x,0)H1u0(x),所以‖um(0)‖2+‖umx(0)‖2≤const,由Gronwall不等式可得(7)

.

引理2　在(H)的条件下,且u

0(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω),并选ajm,使um(x,0)H2u0(x)

,

则有估计

‖umxx‖2≤E

2(T)(0

证明　以λsasm(t)乘(5),两边对s从1到m求和,

分部积分可得

12ddt

(‖umx‖2+‖umxx‖2)+‖umxx‖2≤-c0‖umxx‖2+d

0

‖umx‖2

即ddt(‖umx‖2+‖umxx‖2)≤M7(‖umx‖2+‖umxx‖2),由Gronwall不等式可得到(9).

引理3　在引理2的条件下有估计‖umt‖≤E3(T),‖umxt‖2≤E

4(T)(0

证明　以asm′(t)乘(5),两边对s从1到m求和,分部积分可得‖umt‖2+‖umxt‖2=(umxx,umt)+(f(umx)x,umt)+(g(um),u

mt)(11)

所以有‖umt‖2≤‖umxx‖‖umt‖+‖f′(umx)‖∞‖umxx‖‖umt‖+‖g(um)‖‖umt‖≤M8‖umt‖,由此可得‖umt‖≤E3(T),再代入(11)得到‖umxt‖2≤E

4(T)

.

引理4　在引理2的条件下还有估计‖umxxt‖≤E

5(T)(0

证明　以λsasm′(t)乘(5),两边对s从1到m求和,分部积分可得 ‖umxxt‖2=(umt,umxxt)-(umxx,umxxt)-(f(umx)x,umxxt)-(g(um),u

mxxt))

・443・黑　龙　江　大　学　自　然　科　学　学　报 第25卷　≤(‖umt‖+‖umxx‖+‖f(umx)x‖+‖g(um)‖)‖umxxt‖在引理3中已证‖f(umx)x‖∞≤M

9,再由引理2,

3知(12)式成立。

3　整体弱解的存在与唯一性定义　函数u(x,t)称为问题(1)-(3)在区域Ω×[0,∞)上的弱解,若对任一T>0

i)u(x,t)∈L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω));ut(x,t)∈L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω)).

ii)∫T0(ut-uxxt-uxx-f(ux)x-g(u),φ)dτ=0,对一切φ(x,t)∈C0(0,T;L

2(Ω))成立。

iii)u(x,0)=u0(x)于H2(Ω)∩H10(Ω).

定理1　在(H)的条件下,且u

0(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω).则对任一T>0,问题(1)-(3)存在Ω×

[0,

∞)上的整体弱解。证明　由于f(u

x),g(u)连续,故问题(5)-(6)存在局部解,而由引理1-2可知,对任一T>0,问题

(5)-(6)都存在[0,T]上的整体解um(x,t).由引理1-4及紧致性原理知,存在{um(x,t)}的子序列,

仍记

为{u

m(x,t)

},

使得

um(x,t)→u(x,t)于L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω))弱3收敛;umt(x,t)→ut(x,t)于L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω))弱3收敛。

在(5)式两边同乘任一d(t)∈C

0

,并且对t在[0,T]上积分,再令m→∞,有

∫T0(umt-umxxt-umxx,d(t)ws)dt→∫T0(ut-uxxt-uxx,d(t)ws)d

t

而∫T0(f(umx)x,d(t)ws)dt=-∫T0(f(umx),d(t)wsx)dt,又umx,umxx在L

2(QT)中对m一致有界,则有子序列

{um(x,t)},使得umx(x,t)→ux(x,t)在L2(QT)中强收敛,且于QT几乎处处收敛(QT=Ω×[0,T]).又d(t)wsx∈L2(QT),在QT

上应用Lebesque逐项积分定理,有

∫T0(f(umx)x,d(t)ws)dt→∫T0(f(ux)x,d(t)ws)d

t

同理有∫T0(g(umx),d(t)ws)dt→∫T0(g(ux),d(t)ws)d

t

所以∫T0(ut-uxxt-uxx-f(ux)x-g(u),d(t)ωs)dτ=0(s=1,2,…).由{wj(x)}在L2(Ω)中成正交完备系

及d(t)∈C0的任意性,可知弱解定义中的i)、ii)都满足,而由引理1-2知,定义中的iii)也满足。从而u(x,

t)为问题(1)-(3)的整体弱解。定理2　在定理1的条件下,问题(1)-(3)的整体弱解是唯一的。证明　设u,v为问题(1)-(3)的任意两个弱解,令ω=u-v,则ω满足方程ωt-ωxxt-ωxx=f(ux)x

-f(vx)x+g(u)-g(v)及齐次初始条件,将上式两边乘ω于Ω积分,得到

12ddt

(‖ω‖2+‖ωx‖2)+‖ωx‖2=-(f～′ωx,ωx)+(g^′ω,ω)≤-c0‖ωx‖2+d

0

‖ω‖2

(其中“～”表示在ux与vx之间的取值,“^”表示在u与v之间的取值),因而ddt(‖ω‖2+‖ωx‖2)≤M10(‖ωx‖2+‖ω‖2),由Gronwall不等式可得‖ωx‖2+‖ω‖2=0,所以ω≡0.

4　解的渐近性质定理3　设-∞0,u

0(x)∈H10(Ω),u(x,t)

为问题(1)-(3)的整体广义解,则有‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-λt(λ>0)(13)

证明　因f(s)s≥0,g(s)s≤0,将(1)式两端同乘u,在Ω上积分,分部积分得ddt

(‖u‖2+‖ux‖2)+2‖ux‖2=-2(f(ux),ux)+2(g(u),u)≤0

・543・第3期孙明丽等:一类非线性伪抛物型方程的初边值问题