一类抛物型方程的能控性

关于一类非局部抛物型方程解的存在性及唯一性

是满足下列性质的函数：
a(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在 m, M 满足 0 < m ≤ a(ξ ) ≤ M 。
（1.2）
b(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在α , β 满足 0 < α ≤ b(ξ ) ≤ β 。
（1.3）
l, y 是 L2 (Ω) 上的线性函数，分别为
∫ ∫ ∫ ∫ Ω utvdx + a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx +b( y(w(t)))
Ω
uvdx =
Ω
Ω
fvdx
-2-

∫ ∫ ∫ ∫ |
Ω ut vdx |=|
Ω
fvdx − a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx −b( y(w(t)))
定理 2.1 假设（1.2）、（1.3）、（1.4）、（1.5）、（2.1），则下面的方程
⎪⎧ ⎨
d dt
(u,
v)
+
a(l(u(t
)))∫
∇u
Ω
⋅
∇vdx
+b(
y(u(t)))(u,
v)
=
(
f
,
v)
⎪⎩u(x,0) = u0
必存在解 u = u(x, t) ，且满足
in D′(0,T ),∀ v ∈V （2.2）
The existence and uniqueness of solutions to a class of Nonlocal parabolic quation
Xin Kuidong
college of science, hohai-univ. , nanjing PRC（210098）

一类退化抛物型方程组解的渐近性质

>
n−qq2 qp2
或m
≤ pp1或n
≤
qq2,
以及初值数据u0(x), v0(x)充
分小.
那么, 问题(1.1)-(1.4)的每个非负解都具有整体性.
证根据比较原理, 对于任意的T > 0, 我们只需要构造有界的、正的上解即可. 假
设φ(x)表示下列线性椭圆问题的唯一正解:
−∆φ(x) = 1, x ∈ Ω; φ(x) = 1, x ∈ ∂Ω.
的局部存在性定理:
定理 1 假设u0, v0 0, u0, v0 ∈ L∞(Ω), 则存在T ∗ = T ∗(u0, v0) > 0使得对于任意的T < T ∗, 问题(1.1)-(1.4)都存在一个非负的弱解(u(x, t), v(x, t)), 而且, T ∗ = +∞或者
lim sup ∥u(·, t)∥∞ = +∞ 或 lim sup ∥v(·, t)∥∞ = +∞.
u(x, t) = 0, v(x, t) = 0,
(x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ),
(1.4)
其中Ω是RN (N 1)中具有光滑边界∂∫Ω的一个有界区域, m, n > 1,的有界函数, ∥ · ∥αα = Ω | · |αdx.
应用数学 MATHEMATICA APPLICATA 2019, 32(3): 664-668
一类退化抛物型方程组解的渐近性质
覃思乾, 周泽文, 凌征球 ( 玉林师范学院数学与统计学院, 广西玉林 537000 )
摘要：本文利用正则化技术和上下解方法, 研究一类退化抛物型方程组，确定了
解的整体存在与爆破的渐近性质.
记
C = (C + 1) |Ω| , 1

抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪论1.1 引言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1）其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件：初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3）第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4）第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5）第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6）其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。

【国家自然科学基金】_一维抛物型方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

科研热词绝对稳定抛物型方程截断误差局部一维格式
推荐指数 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6
2011年科研热词非线性近似能控性瞬态热传导切换控制光滑粒子动力学一维抛物型系统推荐指数 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
科研热词推荐指数无条件稳定 2 数值级数法 2 收敛性 2 反问题 2 一维抛物方程 2 高精度 1 马尔科夫链 1 隐式差分格式 1 误差估计 1 紧有限差分法 1 紧有限体积格式 1 有限差分法 1 有限体积法 1 数值试验 1 数值解法 1 收敛性分析 1 抛物型方程第三边值问题 1 抛物型方程 1 抛物型偏微分方程 1 截断误差 1 对流项 1 一维抛物型方程 1 monte carlo算法 1
科研热词推荐指数稳定性 2 最优阶误差估计 2 四阶抛物偏微分方程 2 隐式差分格式 1 截断误差 1 一维抛物型方程 1 stability 1 optimal error estimates 1 h~1-galerkin混合元方法 1 h^1-galerkin混合元方法 1 h^1-galerkin mixed element method 1 fourth-order parabolic partial1 differential equat
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16荐指数一维抛物型方程 2 高精度 1 非线性抛物型偏积分微分方程 1 非线性 1 连续分布滞量 1 演化计算 1 有限差分法 1 最优阶误差估计 1 无条件稳定 1 收敛精度 1 抛物型偏泛函微分方程 1 强迫振动性 1 局部观测资料 1 变分 1 反问题 1 反演 1 参数 1 半显式差分方法 1 中立型 1 h1-galerkin混合有限元方法 1

一类拟线性抛物型方程组的可解性

‘
（）Ａ一６ ∈／，＞０ｖ￡ｖ，２ｔ＝
，
在相同区域上的问题（）行了研究，用上下解１进运方法，到问题（）得１的正解的整体存在性条件，并
将这个耦合型方程扩展成ｎ个方程的情形。
ｃｎｉｏｓｂｋｇｕｅｆｔｅｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｎｍｅｏｓｓｍｅａｐｏｒａｅｃｎｉｏｓｏｌｂｌｏｄｔｎ，ｙｍａｉｓｏｐｅｎｏｒｓｌｔｔｄ，ｏｐｒｐｉｔｏｄｔｎｆｒｇｏａｉｎｈｏｈｉｅｉｔｎｅｏｏｕｉｎｒｅｅｍｉｅｅｐｃｉｅｙａｄｗｅｅｔｎｈｅｕｔｔｈｏｄｔｎｆｎｑａｉｎ．ｘｓｅｃｆｓｌｔｓａｅｄｔｒｎｄｒｓｅｔｌ，ｎｘｅｄｔｅｒｓｌｏｔｅｃｎｉｏｓｏｅｕｔｓｏｖｓｉｏ
（）Ａｔｕ—ａｐ ∈ ，＞０＝ｐ，ｔ
（ｍ）Ａａｐ ∈ ，＞０Ｕ￡ｕ— ｕ，ｔ＝
＝口
ｄｎ
，
ＸＥａ，＞Ｏｔ
ｕ（０）０，＝（ ∈ ）并得到了许多有益的性质。受此启发，本文对定义
第ｌ９卷第２期
２１０２年４月
莆田学院学报
ＪｕｎｌｆｕｎｏｒａｏＰｔａＵｎｖｒｉｉｉｅｓｔｙ
中图分类号：７．Ｏ１５２

一类受控于bang-bang控制的退化抛物系统的近似能控性

Vol. 42， No. 2May ， 2021第42卷第2期2021 年 5 月吉林师范大学学报(自然科学版)Journal of Jilin Normal University ( Natural Science Edition )doi ：10.16862/ki. issn1674-3873. 2021. 02. 008一类受控于bang-bang 控制的退化抛物系统的近似能控性杜润梅，刘亚新(长春工业大学数学与统计学院，吉林长春130012)摘要:选取作用在区域内部的bang-bang 控制作为控制函数，利用共轭系统的唯一延拓性证明了一类在边界退化的抛物系统的近似能控性.结果表明，对任意的目标函数均存在一个控制函数，使该问题的解在有限时间内可充分接近目标函数.关键词：退化抛物方程组;近似能控性;耦合方程组;bang-bang 控制中图分类号：0175.26 文献标志码：A 文章编号：1674-3873-(2021)02-0045-071预备知识本文考虑如下耦合系统:div( a 〕( ”) V u ) + 〃]( ”)V u +C ]]氐,(”，t ) w Q t ；(1)u + % v =d vdiv(。

2( ”)Vv) + &2 ( ”)V v + C 21 u + C 22 V 二 0 , ( ”，t) E. Q 丁； dt u( ”，t)二 0,v( ”，t)二 0 , ( ”，t) E dC X (0, T); u(”，0)二 u °(”),v(”，0)二v °(”)，” e C.(2)(3)(4)其中:Q t =C x (0,T) ,C 为］R "—有界域,T>0；控制函数hEl}( Q t ) ； X 为特征函数是C 的开子集,函数a t e C( C ) n c 1 (C)满足条件a t > 0,” e C ,且假设I a ；1 ( ”)d ”V+s , (5)C b i = (bm …,b n^E W" (C ；R n ),. inf lc,l > 0® UU®,u 0,”0EL 2( C).这里 i,j = 1,2.方程(1)3X ［0, T ］丿和(2)可以用来描述生物模型［1］.本文证明了控制函数h 可以选取为bang-bang 控制.该控制类似于开关，可以由一个值转换为另一个值.在实际的生产生活中,bang-bang 控制更容易实现,所以对它的研究是必要的.目前，关于退化抛物方程组的研究取得了一些成果,见文献［2-9 ］.本文利用文献［10 ］的方法,首先考虑控制系统(1),(2),(3)在零初值条件，即u(”，0)二0,v(”，0)二0,”e C (6)下的近似能控性，再证明系统(1)—(4)是近似能控的.收稿日期：2021-03-11基金项目：吉林省教育厅“十三五”科学技术项目(JJKH20200643KJ,JJKH20200679KJ)第一作者简介:杜润梅(1985—),女'吉林省长春市人'副教授'博士'博士生导师.研究方向:偏微分方程及其应用.46吉林师范大学学报（自然科学版）第42卷2适定性和近似能控性定义1如果对任意满足了，第eL2(Q t),<p(-,T)\°=*(-,T)1。

学习笔记_不同类型偏微分方程的特性

双曲线型方程
偏微分方程分类抛物型方程
椭圆型方程
混合型方程
考虑拟线性方程组2222211111
f y v d x v c y u b x u a f y v d x v c y u b x u a =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂
分类方法一：克莱姆法则
)
()()
(1221122112211221d b d b c c b c b d a d a b c a c a a -=-+--=-=
042>-ac b 方程组是双曲型
042=-ac b 方程组是抛物型
042<-ac b 方程组是椭圆型
分类方法二：特征值法
][][2
21112211
d b d b c a c a N -= N 的特征值是实数，方程是双曲型
N 的特征值是虚数，方程是椭圆型
N 的特征值是实数和虚数的混合，方程组是混合特性
二阶偏微分方程
AUxx+BUxy+CUyy+...= 0
Δ=B^2-4AC
Δ>0:双曲型
Δ=0:抛物型
Δ<0:椭圆型
双曲型方程
例如：
稳态无黏超声速流动
非定常无黏流动
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表
抛物型
例如：
稳态边界层流动
非定常的热传导
双曲型和抛物型方程的主要数学特性是，她们可以借助自身从一个已知的初始平面或线出发推进求解。

椭圆型
例如：
稳态、亚声速无黏流动
不可压缩无黏流动
椭圆型方程，一给定点上的流动变量必须同时与流场中其他所有点上的流动变量一起求解。

一类退化抛物型方程初边值问题的blowup

一类退化抛物型可以被定义为在给定初边值下满足偏微分方程。

这类
方程常被用于在物理，天文学和其他学科中的应用，它们的解决方案
可以提供有关被研究系统的机制和行为的信息。

然而，这类方程可能会面临一个叫做blowup的挑战，这是指这一类的
解析解会在某个时刻爆炸，而不是一直收敛到某个常数值。

研究表明，在特定的初边值和参数中，抛物型方程的解可能会出现动力学爆炸行为，而不是一直收敛到某个常数值。

动力学爆炸通常可以由垂直双曲
分支解析地表示出来，其在偏微分方程解上存在极限行为。

抛物型方程的blowup在经典动力系统理论中得到广泛应用，它可以用
来模拟复杂现象，比如发散、涟漪、共振、数学不稳定性等。

空间上
可以表示为数学模型的抛物型就可以考虑物理系统的动力学，这些物
理系统会产生blowup的行为，并可以通过抛物型方程研究。

此外，blowup也在动力计算领域引入了新的挑战，由于抛物型方程具
有无限可变的对流特性，数值方法一般无法有效地解决。

为了解决这
一问题，研究者们提出了一些学术工作，他们提出了一些复杂的数值
方案，使用数值代替解析解，从而解决了抛物型方程的blowup问题。

因此，从多领域的角度来看，blowup仍然是重要的研究课题，从理论
到实践，它都给大家带来了新的挑战，同时也提供了新的突破口。

研
究者们也在不断努力完善已有的研究成果，希望能够更好地理解抛物
型方程blowup的机制和行为，从而潜心研究并获得成功。