中考数学复习指导：例析抛物线中图形的存在性问题
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例析抛物线中图形的存在性问题
一、存在等腰直角三角形问题
例1 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－
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x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为(4，3)，直角顶点B 在第四象限．
(1)如图1，若该抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的函数表达式；
(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．
①若点M 在直线AC 下方，且为平移前(1)中抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ②如图2，取BC 的中点N ，连结NP ，BQ ．试探究
PQ NP BQ
+是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
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点评 此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法确定二次函数、一次函数解析式，勾股定理、一元二次次方程、线段和的最小值等知识点．第(2)①题需分类讨论，不可漏解．
二、存在平行四边形问题
例2 如图3，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝3．若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D 的坐标；
(3)若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，求出点Ⅳ的坐标；若不存在，请说明理由．
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点评 此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．
三、存在菱形问题
例3 如图6，已知直线y ＝13
x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△COD ．
(1)点C 的坐标是_______，线段AD 的长
等于_______；
(2)点M 在CD 上，且CM ＝OM ，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点G ，M ，求抛物线的解析式；
(3)如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在(2)中的抛物线上是否存在点P ，使得以C ，E ，F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l ；若不存在，请说明理由．
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点评 此题将二次函数及其应用、一元二次方程、等腰直角三角形、菱形的判定与性质、旋转变换等知识融为一体，还要根据已知条件进行分类讨论，才能得出结论．。
中考数学专题复习——存在性问题
中考数学专题复习——存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题（顶点的存在性问题）抛物线是数学中常见的曲线之一，其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
在抛物线的研究中，存在一个重要的问题，即顶点的存在性问题。
问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点，也是曲线的转折点。
通过确定顶点的位置，我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。
然而，并不是所有的抛物线都具有顶点，因此存在着顶点的存在性问题。
抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前，我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。
1. 参数 a：决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 参数 b：决定了抛物线在 x 轴上的位置。
当 b > 0 时，抛物线向左平移；当 b < 0 时，抛物线向右平移。
3. 参数 c：决定了抛物线在 y 轴上的位置。
抛物线与 y 轴相交的点就是 c。
顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的存在性由参数 a 的正负决定。
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点最低点存在。
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点最高点存在。
- 当 a = 0 时，抛物线退化为直线，没有顶点。
因此，只有当 a 不等于零时，抛物线才会有顶点存在。
实例分析考虑以下两个抛物线方程：1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程，参数 a = 2，开口向上，因此存在一个最低点作为顶点。
而对于第二个方程，参数 a = -1，开口向下，因此存在一个最高点作为顶点。
结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。
通过分析抛物线方程中参数 a 的正负，我们可以确定抛物线是否具有顶点。
只有当参数 a 不等于零时，抛物线才会有顶点的存在。
2021年中考数学专题复习：抛物线中角的存在性问题
中考专题复习：抛物线中角的存在性问题题目：如图1，二次函数y＝12x2－2x－6与坐标轴交于A、B、C，D为顶点.图11.75°角存在问题问题1：如图2，P是BC下方抛物线上一动点，若∠PCB＝75°，求点P的坐标.图2 图3解：易求A(－2，0)，B(6，0)，C(0，－6)，如图3，过点C作CE∥AB交抛物线于点E，过点P作CE的垂线，垂足为F.易求∠BCF＝∠OBC＝45°，则∠ECP＝30°.设PF＝m，则CF，P，－6－m)，把P，－6－m)代入y＝12m x2－2x－6，解得m，所以P，).2.45°角存在问题问题2：对称轴上有一动点M，使∠CMB＝45°，求M点坐标.图4解：易求抛物线的顶点D (2，－8)，BC 为确定的线段，BC 所对的∠CMB 始终是45°，则构成定弦定角模型，如图4.①以O 为圆心，OB 的长为半径，作⊙O 交直线x ＝2于点M 1，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍知∠BM 1C ＝12∠BOC ＝45°， 连接OM 1，设直线x ＝2交x 轴于点H ，则Rt △OM 1H 中，OM 1＝6，OH ＝2，所以22＋M 1H 2＝62，解得M 1H ＝所以M 1(2，；②以点G (6，－6)为圆心，BG 的长为半径作⊙G ，交直线x ＝2于点M 2，连接M 2G ， 同法求得M 2(2，－6－)，综上M (2，或(2，－6－).3.等角存在问题问题3：如图5，若CE ∥x 轴，Q 为x 轴上一动点，且∠QCB ＝∠EBC ，求点Q 坐标.图5解析：如图5.(1)由∠QCB ＝∠EBC ，过点C 作CQ 1∥BE ，交x 轴于点Q 1，又Q 1B ∥CE ，则四边形Q 1BCE 是平行四边形，所以Q 1B ＝CE ＝4，所以OQ 1 ＝2.所以Q 1(2，0).(2)易知∠Q 1CB ＝∠BCQ 2，作Q 1关于BC 的对称点F ，连接Q 1F 交BC 于H ，连接BF ，则△Q 1CH ≌△FCH ，△Q 1BH ≌△FBH ，则∠HBF ＝∠Q 1BH ＝45°，所以BF ⊥BA ，BF ＝BQ 1＝4，所以F (6，－4)，又C (0，－6)，则直线CF 的解析式为y ＝13x －6. 当y ＝0时，x ＝18，即Q 2(18，0).综上Q (2，0)或(18，0).4.和角存在问题问题4：如图6，y 轴上有一动点N ，若∠ANC ＋∠ACN ＝∠ABC ，求点N 的坐标.图6 图7解,：由OB ＝OC ，知∠ABC ＝45°，则∠ANC ＋∠ACN ＝45°.如图7，延长CA 并在延长线上找一点G ，使∠NGA ＝45°，由外角知∠GAN ＝∠ANC ＋∠ACN ＝45°，则∠NGA ＝∠GAN ，即GN ＝NA ，△ANG 是等腰直角三角形.过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，易证△GHN ≌△NOA (AAS)，设ON ＝a ，则GH ＝ON ＝a ，则G (－a ，a ＋2)，由A (－2，0)，C (0，－6)，易求直线AC 的解析式为y ＝－3x －6，将G (－a ，a ＋2)代入y ＝－3x －6，即a ＋2＝3a －6，解得a ＝4，当点N 在y 轴负半轴时，符合条件的N 点不存在.所以N (0，4).5.倍角存在问题 问题5：如图8，Q 为x 轴的动点，若∠CQB ＝2∠CBD ，求点Q 坐标.图8 图9解：在BC 上找点E ，使BE ＝DE ，由外角知∠CED ＝2∠CBD ①易知直线BC 解析式为y ＝x －6，设E (m ，m －6)，由B (6，0)，D (2，－8)，则BE 2＝(m －6)2＋(m －6)2，ED 2＝(m －2)2＋(m ＋2)2，由BE ＝ED 知(m －6)2＋(m －6)2＝(m －2)2＋(m ＋2)2，解得m ＝83，即E (83，－103)， 又易知CD 2＋BC 2＝BD 2，则∠BCD ＝90°，由C (0，－6)，E (83，－103)、D (2，－8)知CD ＝，CE tan ∠CED ＝34 ②由①②和已知∠CQB ＝2∠CBD ，则tan ∠CQB ＝34， 当点Q 在B 点左侧时，Q 1(－8，0)，当点Q 在B 点右侧时，Q 2(8，0)，即Q (－8，0)或(8，0).。
初三数学专题三(学生版)抛物线中的存在性问题
抛物线中的存在性问题复习1.平面直角坐标系中两点A 11(,y )x 、B 22(,y )x ，则线段AB 的中点坐标是 ，AB 长为 .2.已知直线111:=+l y k x b 与直线222:=+l y k x b 12(0)≠k k .若12⊥l l ，则 ；若1l ∥2l ，则 .例1：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由；变式1：上述（1）中若将“△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形”改为“△ABQ 是等腰三角形”，其他条件不变，请直接写出Q 点坐标 。
变式2：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例2：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线对称轴上是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．A B C O xyD变式3：点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.变式4：点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例3：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若以 A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标．A B CO xy M NA BCO xy变式5：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.变式6：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法： 三、巩固训练1、如图，P 是抛物线C ：y=2x 2-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k 平行于y 轴，分别与直线y=x 、抛物线C 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k 的值为 .（第1题） （第2题）A BC O xy DA BCO xyD2、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为 （﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 的坐标为 ．3、已知，如图A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），抛物线2=++y ax bx c 经过A 、B 、C 三点，点E 为x 轴上一个动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为D ，交y 轴于N 点．已知点F 是抛物线2=++y ax bx c 上的一动点，点G 是坐标平面上的一动点，在点E 的移动过程中，是否存在以点B 、E 、F 、G 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出E 点的坐标，若不存在，请说明理由．4、.如图：二次函数y=-x 2+ax+b 的图象与x 轴交于A （12-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2+bx +c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．（1）求b ，c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．。
人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用 专题8 抛物线与特殊图形存在性问题【跨单元整合】
③列方程求参数的值.
（2）2023内江中考T28（3）考法点 Q 为抛物线对称轴
上一点，是否存在点 Q ，使以点 A ， B ， Q 为顶点的三
角形是直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若
不存在，请说明理由.
解：存在点 Q ，使以点 A ， B ， Q 为顶点
的三角形是直角三角形.由题知抛物线的对
即18＝12＋（ t －3）2，
解得 t1＝ ＋3， t2＝－ ＋3.
+ = + ，
∵ቊ
∴ m ＝4， n ＝t －3.
+ = + ，
∴ N1（4， ）， N2（4，－ ）.
若 BC 为菱形 BCNM 的边长，则 BC2＝ BM2，
即18＝（3－1）2＋ t2，
平面内一点，是否存在以 BC 为边，以 B ， C ， M ，
N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐
标；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在.
∵ B （3，0）， A （－1，0），
∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1.
设点 M （1， t ）， N （ m ， n ），
若 BC 为菱形 BCMN 的边长，则 BC2＝ CM2，
是以 AB 为底边的等腰三角形？若不存
在，请说明理由；若存在，请求出点 F
的坐标.
解：存在点 F ，使△ ABF 是以 AB 为底边的等腰
三角形.由点 F 在抛物线上，可设 F （ t ，－ t 2 ＋2
t ＋3）.
∵△ ABF 是以 AB 为底边的等腰三角形，
∴ AF ＝ BF .
∴ AF 2 ＝ BF 2 .
称轴为直线 x ＝1.
抛物线中的存在性问题
抛物线中的存在性问题1.如图，在同一坐标系中22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线22(1)4y x k x k =-++与轴交于点12(,0),(,0)A x B x 两点，C 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）；（2）若点A 在点B 的左侧，且x 1·x 2<0．①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使S △ABP =S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．2.已知二次函数y mx m x m =+-->2330()()（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB =4，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积S ．（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （PD ⊥x 轴，垂足为D ）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．3.如图，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和B ，且1250a c +=.（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P 由点A 沿AB 边以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1cm/秒的速度向点C 移动，那么：①移动开始后第t 秒时，设S =PQ 2（cm 2），试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t =2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．。
九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题8
抛物线与存在性-8一、解答题（共30小题）1、（2010?河源）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．2、（2010?江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．3、（2010?吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（﹣2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG=S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2010?昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）5、（2010?荆门）已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．6、（2010?锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥A C，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、（2010?江西）如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．8、（2010?江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2010?丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC 可以绕点O作任意角度的旋转．（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：①当a=，b=﹣，c=﹣时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b=﹣2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2010?龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2010?临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．12、（2010?茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．13、（2010?南宁）如图，把抛物线y=﹣x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y 轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．14、（2010?綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2010?盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由；（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．16、（2010?攀枝花）如图所示，已知直线y=x与抛物线y=ax2+b（a≠0）交于A（﹣4，﹣2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P使得△P AC的面积是△ABC面积的，若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．17、（2010?曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18、（2010?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2010?三明）如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（﹣4，0）、C （0，﹣12）．顶点为M，过点A的直线y=kx﹣4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
(2021年整理)九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题1
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抛物线与存在性-1一、解答题（共30小题）1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．(1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；(2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上?并说明理由．2、(2000•甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧）,并且M和N两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．（1）求点M和N的坐标；（2)求系数a的取值范围；（3）当y取得最大值时,抛物线上是否存在点P,使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．3、（2000•内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是,过A（0，4)作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，﹣)，且抛物线过A、B两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2001•哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．(1)求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、（2001•山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）过点P（1，﹣2)、Q（﹣1，2),且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧,与y轴交于C点，连接AC、BC．（1）求a与c的关系式；（2)若(O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线?若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6、（2001•温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图,若抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边）,与y轴的负半轴交于点C,试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在,求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．7、(2001•无锡)已知直线y=﹣x+m(m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；(2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）(x1＜x2）,问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°?如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．8、(2002•鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣与x轴的两个交点的坐标为A(x1，0)，B（x2，0）（x l＜x2）,且x12+x22=34．（1)求m,x1，x2的值；（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在,请求出所有点C的坐标;若不存在，请说明理由．9、（2002•贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣）,且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1)求二次函数的解析式；(2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分,如果存在，请求出P点的坐标;如果不存在，请说明理由．10、（2002•广西）已知抛物线y=﹣x2+2mx+4．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且,求抛物线的函数解析式，并画出它的图象;(3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°?如果不存在，请说明理由；如果存在,先找出点P的位置,然后再求出点P的坐标．11、（2002•内江）如图,一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A,交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的顶点为C,其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2)=0有两个相等实数根，且a=b；（1)试判定，△ABC的形状；(2）当时求此抛物线的解析式；（3)抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．12、（2002•泸州）已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2,0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1,x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3)在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、（2002•青海）如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点．(1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=S△OCB？若存在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．14、（2002•山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．(1）证明：△OAB为等边三角形;(2)若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；(3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2002•武汉）已知抛物线交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）,交y轴于C点,且x1＜0＜x2，(AO+OB）2=12CO+1．（1）求抛物线的解析式；(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围;若不存在，请说明理由．16、(2002•无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于,求这条直线和抛物线的解析式．（2)问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．17、（2002•乌鲁木齐）已知抛物线y=x2﹣x+2．（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；(3）在（2）中，是否存在k值,使A、B两点的纵坐标之和等于4?如果存在，求出k值;如果不存在,请说明理由．18、（2003•北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2002•浙江）已知抛物线过A(﹣2，0）、B （1,0）、C(0，2）三点，（1)求这条抛物线的解析式；（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2002•浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0,3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边,点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；(2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P,使得以A，P,Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21、（2002•漳州)已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4．（1）求b、c的值（用含m的代数式表示)；（2）设抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2)，且AD•BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；（3)在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P,使得PC=PD？若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22、（2003•长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+(+k)k，k为实数．(1)求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2)任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标;试说明当k变化时,抛物线C 的顶点在一条定直线L上,求出直线L的解析式并画出图象；（3)在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B(OA＜OB)，试问：是否为一定值？若是，请求出该定值;若不是，请说明理由；(4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．23、（2003•福州）已知：如图,二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1)与x轴交于点D．（1)求A、B、C三点的坐标；(2）在直线x=m（m＞1)上有一点P（点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3)在(2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q,请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．24、(2003•哈尔滨）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A(1，0）、B（5，0)两点，最高点的纵坐标为4,与y轴交于点C．(1）求该抛物线的解析式；(2）若△ABC的外接圆⊙O'交y轴不同于点c的点D’，⊙O'的弦DE平行于x轴,求直线CE的解析式；（3）在x轴上是否存在点F,使△OCF与△CDE相似？若存在,求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．25、（2003•汕头）已知抛物线y=﹣x2+（m+3）x﹣（m﹣1）．（1）求抛物线的顶点坐标（用m表示)；（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；（3)在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P,使PC⊥QC？若点P存在,求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形)26、（2003•山西）如图,已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N．（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．（2）若⊙A的位置大小不变,⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C,在此变化过程中探究：＜1＞四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．＜2＞经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来;若不存在，说明理由．27、（2003•武汉）已知：二次函数y=x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2,与y轴交于点C，且满足．(1）求这个二次函数的解析式;（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．28、（2003•无锡）已知抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上,又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA与OB的积(即S△OAC﹣S△OBC=OA•OB)（1）求b的值；（2)若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在,求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．29、（2003•泰州）已知：如图，抛物线y=x2﹣(m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边,直线y1=﹣2x+m+6经过点N,交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．(2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B,与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示；②求证：．（3)在（2)的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形?若存在,求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．30、（2004•长春）已知二次函数y=x2﹣8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题：（1)求△ABC的面积；(2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；（3）在（2）中,使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由．答案与评分标准一、解答题(共30小题)1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图)的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．(1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2)以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方?还是下方？还是正好落在此直线上?并说明理由．考点：二次函数综合题。
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)[例]已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．【解答】解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1.注：作铅垂线求S△ACD也是可以的（2）方法一：如解答图，过点D作DE⊥y轴于E在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=﹣2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．方法二：（K 值法）结论1：直线1111:l y k x b =+与直线2222:l y k x b =+垂直⇔121k k =-； 结论2：点11(,)A x y 、22(,)B x y （12x x ≠）分别是直线:l y kx b =+上两个不同的点，则2121y y k x x -=-.（证明：11y kx b =+……①22y kx b =+……②， ②－①得，2121()y y k x x -=-，2121y y k x x -=-） 解：90932(5)3AD a a k a ---===----，9(5)42202CD a a a k a ----===---， ∵∠ADC =90°，∴1AD CD k k =-，即23261a a a -⨯=-=-，12a a ==. ∴抛物线的解析式为：y =（x +5）（x ﹣1）=x 2+x ﹣． 练习.已知抛物线c bx x y ++-=221与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
初三数学与抛物线有关的存在性问题
1.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．图1 直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 4.Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．5.如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图26.如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．7.如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,8.如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝310．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图9.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图212.如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．13.如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC 和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1。