抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案

年级九科目数学班型一对一学生姓名第次课
课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月２０日8：00——１0：00
教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程,熟练掌握解题技巧;体会分类讨论的数学思想,体验解决问题方法的多样性。

教学重点.能够正确的分析问题、转化问题,合理利用条件解决问题２.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养
教学难点能够正确的分析问题、转化问题,合理利用条件解决问题
教学过程:
一、课前小测：
1．直角三角形的两边长分别是3和４,则第三边的长是
2．已知Rt△ABC中，∠Ｃ=9０°，AC=８，ＢC=６,动点P、Q分别同时从A、B出发,其中点Ｐ在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒;点Q在线段BＣ上向点C运动，速度是１单位每秒。

设运动时间为t（秒），当t ＝秒时,△BPQ是直角三角形。

二、新课学习：
（一）经典模型
模型再现:
已知:定点Ａ(２, 1) 、B(６, ４)和动点Ｍ(ｍ，０), 存在直角三角形ＡＢM,求点M的坐标。

两线一圆找直角模型：
在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时,通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点Ｂ、点Ｍ为直角定点来构造直角三角形,然后根据相关条件来进行求解即可。

具体有以下三种情况：比如：(1）当以点A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交ｘ轴的点即为所求；（2）当以点B为直角顶点时，过点B作AB 的垂线交x轴的点即为所求；(3)当以点M为直角顶点时,只需要以ＡB为直径作辅助圆与x轴的交点(一般情况下有两个交点,特殊情况下只有一个交点）即为所求。

（二)解法：１.“K型相似”(一线三直角)
提示：竖直型,上减下;水平型，右减左。

遇直角，构矩形，得相似,求结果。

２.勾股定理（暴力法---两点间距离公式)
利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。

其基本解题思路是列点.列线．列式。

第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性;
第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。

注意:解出点的坐标应结合已知进行检验，若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去。

(请学生完成做题过程)
注意：有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单，在一些综合题中一般要结合“K型相似”去做更简单一些。

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2,
HM
BN
GH
BG
HM
BM
BH
GH
BG
BH
-
=
-
-
=
-
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2,
AB
BD
MD
CM
AC
AB
BM
AM
BM
BD
MD
AM
CM
AC
=
+
+
+
∴
=
+
=
+
=
+
又
3.解析法：两直线互相垂直，两直线的解析式为
1
1
b
x
k
y+
=与
2
2
b
x
k
y+
=→1
2
1
-
=
⋅k
k，通过求垂线的解析式再求其与ｘ轴的交点即可。

KＡB·K AＭ＝-1 K AＢ·ＫＢM=-1
(三）典例讲解
例1. 如图,直线与抛物线2
1
2
y x bx c
=++交于点A(0，1)，B（4，３）两点。

与x轴交于点D。

⑴求直线和抛物线的解析式;
⑵动点Ｐ在x轴上移动，当△ＰAB是直角三角形时,求点Ｐ的坐标P
y
x
D O
B
A
例2．如图,在平面直角坐标系中,二次函数ｙ=ａx2+ｂx+c的图象经过点A(3,0),B(−1,0）,Ｃ(０,−3)，顶点为D. （１)求这个二次函数的解析式及顶点坐标;
(2)在y轴上找一点Ｐ（点P与点C不重合),使得∠APＤ=9０°，求点P坐标；
(3)在（２)的条件下,将△ＡPD沿直线ＡD翻折,得到△AQD,求点Ｑ坐标。

例３.如图,在平面直角坐标系中,已知点Ａ的坐标是（４,0),并且ＯA=OＣ=4ＯB，动点P在过Ａ，B，C三点的抛物线上。

（1)求抛物线的解析式;
(2）是否存在点Ｐ，使得△ACP是以AＣ为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,说明理由；
(3）过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作ｘ轴的垂线。

垂足为F，连接ＥＦ,当线段ＥＦ的长度最短时,求出点Ｐ的坐标。

三、课堂练习:
1. 如图,抛物线y=ax2＋bx+c经过点A(−3,0),B(1,0)，C(0，−3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点Ｐ为第三象限内抛物线上的一点，设△PAＣ的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标; （３)设抛物线的顶点为Ｄ,DE⊥ｘ轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ＡＤM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由。

2．如图,直角梯形OABC中，ＯC∥ＡＢ,C(0,3）,B（4,1)，以BC为直径的圆交x轴于E，Ｄ两点(Ｄ点在E
点右方).
(1）求点Ｅ,Ｄ的坐标;
(2）求过B，Ｃ,D三点的抛物线的函数关系式;
（3)过B，C,D三点的抛物线上是否存在点Ｑ，使△BDＱ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

3. 如图，抛物线ｙ=ax2+bx＋c经过Ａ(-3，０)、C(０，４),点Ｂ在抛物线上，CＢ∥x轴,且AＢ平分∠CAO．（1)求抛物线的解析式；
（2)线段AＢ上有一动点P,过点Ｐ作ｙ轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PＱ的最大值;
（3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使△AＢM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在,说明理由.
4．在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板AＢC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为（-1,0) ．如图所示，B点在抛物线y=错误!x2＋错误!x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为Ｄ，且Ｂ点横坐标为－３．(1)求证:△ＢＤC≌△COA；(2)求ＢＣ所在直线的函数关系式;
(3）抛物线的对称轴上是否存在点P,使△AＣP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由．
四、小结：
（1)几何法三部曲:先分类；再画图，构造相似；列比例式求解。

(2)勾股定理三部曲：线罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验。

（3)解析法三部曲：分类画图；K1·K2=－１；求直线解析式、交点坐标。

五、作业布置(另附）：
课后
反思
检查人：日期：
家庭作业(要求：字迹清楚、过程规范)学生姓名
1. 如图，抛物线322
-+=x x y 经过点Ａ(-3,0)Ｂ(１,0)Ｃ（0，-３）．设抛物线的顶点为D,在y 轴上是否存在点M,使得△ADM 是直角三角形？若存在，满足条件在M 点有几个？
2.如图,抛物线2
y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点Ａ在点B 的左侧),与ｙ轴交于点Ｃ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|:|OA|=5:１． （１)求抛物线的解析式; （2）求直线ＡＦ的解析式；
（3)在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形?若存在，求出P 点坐标;若不存在,说明理由.
２.抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A (−１,0)、Ｂ两点，与y 轴交于C (0,−3），顶点为D ,点M 是抛物线上任意一点。

（1)求抛物线解析式;
(2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点Ｍ，使∠A ＭC =∠ＭCD ？若存在，求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由;
（3)点N 为抛物线对称轴上一动点,若以B. N 、C 为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N 的坐标。