2017-2018年湖北省孝感高中高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2017-2018学年湖北省孝感高中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）为了解我校高二年级学生某次考试数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了100名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．总体指的是参加这次考试的全体学生B．个体指的是1 00名学生中的每一名学生C．样本容量指的是1 00名学生D．样本是指1 00名学生的数学考试成绩2．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．（5分）数学试卷中，共有12道选择题，每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试，某同学说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结果正确”，这种说法（）A．正确B．错误C．不一定D．无法解释4．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球5．（5分）“1＜m＜5”是“方程=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列命题中的真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2B．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1C．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，），sinx＞cosx 7．（5分）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生4500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多500人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．10B．12C．18D．168．（5分）设某校的高二年级女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.86x﹣88.66，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.86 kgD．若该校某女生身高为165 cm，则可判定其体重必为53.24kg9．（5分）甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于6则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜10．（5分）如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，411．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=12．（5分）设直线x=t与函数f（x）=2x2，g（x）=2lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为（）A．B．+ln2C．1+ln2D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）四位二进制数能表示的最大十进制数是．14．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=．15．（5分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，f n+1（x）=f′n （x），n∈N，则f2018（x）=．16．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m，n分别为8251和6105，则输出m的值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：函数y=x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）（理）已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0（1）求f（x）的解析式（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．19．（12分）为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？20．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从0，1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，2]上任取的一个数，b是从区间[0，1]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数．已知销售价格为4元/千克时，每日可售出该商品10.5千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年湖北省孝感高中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）为了解我校高二年级学生某次考试数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了100名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．总体指的是参加这次考试的全体学生B．个体指的是1 00名学生中的每一名学生C．样本容量指的是1 00名学生D．样本是指1 00名学生的数学考试成绩【解答】解：对于A，总体是指我校高二年级学生该次考试数学成绩，A错误；对于B，个体是指我校高二年级学生该次考试每个同学的数学成绩，B错误；对于C，样本容量是100，C错误；对于D，样本是指抽取的这100名学生的数学考试成绩，D正确．故选：D．2．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选：C．3．（5分）数学试卷中，共有12道选择题，每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试，某同学说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结果正确”，这种说法（）A．正确B．错误C．不一定D．无法解释【解答】解：数学试卷中，共有12道选择题，每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试，某同学说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结果正确”，由概率的定义得这种说法是错误的，每题都选择第一个选择支，则则3个题中选择结果正确的题数的可能性分别为0，1，2，3．故一定有3个题选择结果正确是错误的．故选：B．4．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．5．（5分）“1＜m＜5”是“方程=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵方程=1表示椭圆，∴，解得1＜m＜5，且m≠3．∴“1＜m＜5”是“方程=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）下列命题中的真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2B．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1C．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，），sinx＞cosx【解答】解：对于A，∵sinx+cosx=sin（x+45°）∈[﹣，]，2∉[﹣，]，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；对于B，令f（x）=e x﹣x﹣1，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e x﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，又∵f（0）=e x﹣x﹣1=0，∴B“∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x”正确．对于C，因为∀x∈（﹣∞，0），y=＞1，所以，∀x∈（﹣∞，0），2x＜3x，可知C，∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x，不正确；对于D，当x=时，sinx＜cosx，故D“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；故选：B．7．（5分）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生4500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多500人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．10B．12C．18D．16【解答】解：某学校高一、高二、高三三个年级共有学生4500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多500人设高一学生学生数为a，则高二学生数为a+500，高三学生数为2a，则a+a+500+2a=4500，解得a=1000，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为：100×=10．故选：A．8．（5分）设某校的高二年级女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.86x﹣88.66，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.86 kgD．若该校某女生身高为165 cm，则可判定其体重必为53.24kg【解答】解：由y关于x的回归方程=0.86x﹣88.66知，=0.86＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（，），B正确；若该校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.86 kg，C正确；计算x=165时，=0.86×165﹣88.66=53.24，即该校某女生身高为165 cm时，可预测其体重为53.24kg，D错误．故选：D．9．（5分）甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于6则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜【解答】解：抛一枚骰子，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，该游戏公平，则A不符题意；同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于6的概率为=，即甲胜的概率与乙胜的概率不等，符合题意；从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，是黑色的概率也为，该游戏公平，则A不符题意；甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶的概率为，乙胜的概率也为，该游戏公平，则A不符题意；故选：B．10．（5分）如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数是=×（84+84+86+84+87）=85方差是s2=×[（﹣1）2+（﹣1）2+12+（﹣1）2+22]=1.6．故选：C．11．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选：D．12．（5分）设直线x=t与函数f（x）=2x2，g（x）=2lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为（）A．B．+ln2C．1+ln2D．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=2（x2﹣lnx）（x＞0），则y′=2（2x﹣）=2•，令y′=0得，x=，所以当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为2•（﹣ln）=1+ln2，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）四位二进制数能表示的最大十进制数是15．【解答】解：由题意四位二进制数最大为1111．转化为十进制数为：1×23+1×22+1×21+1×20=15故答案为：15．14．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．15．（5分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，f n+1（x）=f′n （x），n∈N，则f2018（x）=﹣sinx．【解答】解：由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从1开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2018（x）=f2（x）=﹣sinx故答案为：﹣sinx16．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m，n分别为8251和6105，则输出m的值是37．【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，故答案为：37．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：函数y=x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a 的取值范围．【解答】解p真：△=a2﹣4×4≥0，∴a≤﹣4或a≥4．（2分）q真：≤3，∴a≥﹣6．（4分）由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假．（6分）当p真q假时，a＜﹣6；当p假q真时，﹣4＜a＜4．综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（﹣4，4）．（10分）18．（12分）（理）已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0（1）求f（x）的解析式（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）=a+，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．∴f（2）=，∴a+=，2a﹣=，∴a=1，b=3∴f（x）的解析式为f（x）=x﹣；（2）设（x0，x0﹣）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+，∴切线方程为y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），令x=0，可得y=﹣由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x0∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值×|2x0|×|﹣|=6．19．（12分）为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？【解答】解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为2+4+17+15+9+34=0.08，（3分）又因为频率=，所以样本容量===150．（6分）（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为：2+4+17+15+9+317+15+9+3×100%=88%．（12分）20．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从0，1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，2]上任取的一个数，b是从区间[0，1]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．（2分）（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含5个基本事件，故事件A发生的概率为P（A）==．（7分）（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤1}．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤1，a≥b}．所以所求的概率为P（A）==．（12分）21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数．已知销售价格为4元/千克时，每日可售出该商品10.5千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解答】解（1）因为x=4时，y=10.5，所以2a+10=10.5，所以a=1．（2分）（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+10（x﹣5）2，（4分）所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）=（x﹣2）[+10（x﹣5）2]=1+10（x﹣2）（x﹣5）2，3＜x＜6．（3分）从而，f′（x）=10[（x﹣5）2+2（x﹣2）（x﹣5）]=30（x﹣3）（x﹣5）．（5分）于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于41．（11分）答当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（12分）22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。