【6月重庆七校三诊理数】2020年6月重庆市江津中学、实验中学等七校高三6月联考(三诊)理数试卷含答案
2020届重庆市七校高三下学期联考数学(理)试题
绝密★启用前2020届重庆市七校高三下学期联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{|2}A x x =<，201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B =（）A ．([)1,-∞-+∞B ．(-C ．⎡-⎣D ．2⎤⎦答案：B先分别求出集合A 与B ，再利用集合的交集运算进行求解. 解：{2{|2}A x x x x =<=-<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭，∴(A B ⋂=-.故选：B. 点评：本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 2．已知,,a b c ∈R ，则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可. 解：由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”， 比如1a =，2b =，3c =， 反之成立，所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件.故选：A. 点评：本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及的知识点包括等比数列的性质，举反例是解决本题的关键，属于基础题.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .3．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A ．－3 B ．2C ．－17D ．17答案：A由题意可得（k ，1）=λ（6，k+1），λ＜0，即k=6λ，1=（k+1）λ，解得k 值． 解：∵向量()1a k =，与()61b k =+，共线且方向相反，∴（k ，1）=λ（6，k+1），λ＜0，∴k=6λ，1=（k+1）λ，解得k=﹣3， 故答案为：A 点评：（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题不要漏掉了方向相反这个条件.4．若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A ．tan b aϕ= B．cos ϕ=．tan a bϕ=D．sin ϕ=答案：C先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan abϕ=. 解：sin cos y a x b x =+x x ⎫=⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ，且,0a b >）可化为22cos()y a b x ϕ=+-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C. 点评：本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题. 5．已知ln0.5a =，b e =，c 满足1ln c c e=，则实数a ，b ，c 满足（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<答案：A利用指数函数与对数函数的性质确定出,a b 的范围，借助图象确定出c 的范围，即可得出,,a b c 的大小关系. 解：ln0.50a =<，01b e<=<， 1ln c c e =，即1ln cc e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出1xy e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =的图象，如图，可知1c >，所以01a b c <<<<，故a b c <<， 故选：A. 点评：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性以及图象，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等. 6．函数()f x 是R 上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上单调递减，则函数()f x 在[]3,5上是（） A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案：D根据题意，先由f （x+1）＝﹣f （x ）确定函数的周期为2，结合函数的奇偶性与在[﹣1，0]上单调递减，分析可得答案． 解：根据题意，∵f （x+1）＝﹣f （x ），∴f （x+2）＝﹣f （x+1）＝f （x ），∴函数的周期是2； 又f （x ）在定义域R 上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数， ∴函数f （x ）在[0，1]上是增函数，∴函数f （x ）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数，∴f （x ）在[3，5]上是先减后增的函数； 故选：D ． 点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期． 7．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<的图像与直线2y =的某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若12x x -的最小值为π，且将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，则函数()f x 的一个递减区间为（） A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭答案：C根据12x x -的最小值，求出最小正周期，进而求出ω值，再根据函数图象向右平移4π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，可得2ϕπ=，从而得到函数的解析式，进而求出函数()f x 的递减区间，从而得解. 解：函数()f x 的图象与直线2y =的某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ， 且12x x -的最小值为π，∴()f x 的最小正周期为π， ∴2ππω=，解得2ω=，∴()2sin(2)(0)x x f ϕϕπ=+<<，将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后， 得到()2sin 2()2sin 242f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 即()2sin 22g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 函数()g x 为奇函数，∴2k ϕπ-+=π()k Z ∈，∴2k πϕπ=+()k Z ∈， 又0ϕπ<<，∴2ϕπ=，∴()2sin(2)2cos 22f x x x π=+=，要求()2cos2f x x =的递减区间，需满足{}222,x k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数()f x 的递减区间为,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，结合选项可知，C 选项正确， 故选：C. 点评：本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键，属于中档题. 8．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( ) A ．()()af a bf b < B ．()()af a bf b > C ．()()af b bf a > D ．()()af b bf a <答案：B构造函数h （x ）=xf （x ），根据函数的单调性判断即可． 解：不妨设h （x ）=xf （x ），则h ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）． ∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf ′（x ）+f （x ）＞0，即h ′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增， 则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ）， 故选B ． 点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．9．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为边1AA ，11C D 的中点，过点B ，P ，Q 作一平面与线段1CC 所在直线有一交点E ，若正方体边长为4，则多面体EABCD 的体积为（）A ．16B ．323C ．643D ．32答案：A借助空间直角坐标系求出平面PBQ 的法向量，再由0BE n ⋅=，求出点E 到平面PBQ 的距离，即可得出结果. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,2P ，()4,4,0B ，()0,2,4Q ， 设()10,4,E z ，则()0,4,2PB =-，()4,2,2PQ =-，()14,0,BE z =-， 设平面PBQ 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n PQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即4204220y z x y z -=⎧⎨-++=⎩，令2y =，解得()3,2,4n =，B ，E 两点均在平面PBQ 内，∴0BE n ⋅=，即14340z -⨯+=，解得13z =， ∴点E 到平面PBQ 的距离为3，∴1443163E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：A. 点评：本题主要考查空间向量的坐标运算以及立体几何体积的求解，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，求出平面PBQ 的法向量以及点E 到平面PBQ 的距离是解题的关键，属于中档题.10．设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224ax y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．324C ．104D ．102答案：D首先证得12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，进而求得2PF a =，2214aF E c =-，再由122PF PF a -=，即可求出双曲线的离心率. 解： 如图所示，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，直线1PF 与圆2224ax y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2224a x y +=相切，设切点为E ， ∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==，又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，222224a PF PF c a a -=--=，解得102c e a ==， 故选：D. 点评：本题考查双曲线的离心率问题，涉及的知识点包括向量垂直的应用、直线与圆的位置关系、双曲线定义的应用，属于中档题.对于离心率的求解问题，关键是建立关于a 和c 的齐次方程，主要有两个思考方向：一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程. 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．223D ．23答案：C根据三视图，可知该几何体是边长为2的正四面体，求出正四面体的底面积和高即可得解. 解：由几何体的三视图可知，该几何体为正四面体11B D AC -，则112AC B D ==，12BB =12AB BC BB ===2， 所以1132232D ACS=⨯⨯=取AC的中点E，连接1D E，过1B作1B O⊥底面1D AC，交1D E于点O，则1123D O D E===，1B O===，所以该几何体的体积为11133D ACV S d=⨯⨯==，故选：C.点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.12．函数||()xxf xe=，方程2[()](1)()10f x m f x m-++-=有4个不相等实根，则m的取值范围是（）A．22,1e ee e⎛-+⎫⎪⎝⎭B．221,e ee e⎛⎫⎪⎝++∞+⎭-C．221,1e ee e⎛⎫⎪⎝-+⎭+D．22,e ee e-+∞+⎛⎫⎪⎝⎭答案：C解：函数()xxf xe=是连续函数，x＝0时，y＝0．x＞0时，函数的导数为f′（x）1xxe-=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值1e，f（x）∈（0，1e]x＜0时，f′（x）1xxe-=-＜0，函数是减函数，作出y＝f（x）的图象，设t＝f（x），关于x的方程[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+1﹣m＝0即为t2﹣（m+1）t+1﹣m＝0，有1个大于1e实根，一个根在（0，1e）；由题意可得：()()21111001010m me em m⎧-++-⎪⎨⎪-+⨯+-⎩＜＞解得m ∈2211e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，． 故选：C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用． 二、填空题13．已知复数z 满足()3412i z i +⋅=-，则z =________. 答案：1255i -- 将()3412i z i +⋅=-化为1234iz i-=+，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案. 解：由()3412i z i +⋅=-，可得1234iz i-=+ ()()()()12343434i i i i --=+-223108916i i i -+=- 51025i--=1255i =--故答案为：1255i --. 点评：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．二项式71x ⎫+⎪⎭的展开式中含x 的项为______. 答案：140x先求出二项展开式的通项721rr r T C x --+=，再令721r -=即得解.解：由题得二项展开式的通项为7172177)()rr r r r r T C x C x ----+==，令721,3r r -=∴=.所以二项式71x ⎫+⎪⎭的展开式中含x 的项为3=140C x x -.故答案为：140x 点评：本题主要考查二项式的指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．在OAB ∆中，已知2OB =1AB =，45AOB ∠=︒，点P 满足OP OA OB λμ=+，其中23λμ+=，OP 的最小值为______.由已知得OA AB ⊥,以A 为原点建立直角坐标系，设(,)P x y 利用向量坐标计算OP ，转化为求函数最值可解. 解：2OB =1AB =，45AOB ∠=︒ ∴OA AB ⊥,建立如图坐标系.则(0,0),(0,1),(1.0)A B O 设(,)P x y(,)OP OA OB λμλμμ=+=--,xy又23λμ+=，∴3,32xy222=(3)(32)51818OP λλλλ-+-=-+∴当9=5时，min 355OP =35 点评：本题考查平面向量的模与几何综合问题.其坐标求解方法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 16．已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，0,2n a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()()1n n f a f a +='()tan f x x =，则使得121sin sin sin 10k a a a ⨯⨯⨯<成立的最小正整数k 为________. 答案：298 先求出21()cos f x x'=，确定{}2tan n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，求出tan 2n a n =+从而2sin 3n n a n +=+求出123sin sin sin 3k a a a k ⋅=+31310k <+，得出正整数k 的最小值. 解：sin ()tan cos x f x x x ==，所以2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+'==，由()1n f a +=111tan cos cos n n na a α+===，∴2222122sin cos 1tan 1tan cos cos n n n n n na a a a a a ++===+， 即221tan tan 1n n a a +-=，∴数列{}2tan n a 是首相为221tan tan 33a π==，公差为1的等差数列，∴2tan 3(1)12n a n n =+-⨯=+，又0,2n a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0n a >，∴tan n a =，从而sin n a =∴12sin sin sin k a a a ⋅==，110<，解得297k >，又*k N ∈，∴k 的最小值为298， 故答案为：298. 点评：本题考查了三角函数的求导、等差数列的定义、同角三角关系式以及根式不等式的求解，属于综合题，难度较大. 三、解答题17．已知函数()2sin cos ,3f x x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 答案：（1）π；（2）()max12f x =+，()min12f x -=（1）利用三角函数的恒等变换化简函数()f x 的解析式，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用min 2T πω=即可求解；（2）根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出52636x πππ-≤+≤，进而求出sin 23x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的范围，从而得解. 解：（1）解：()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin cos cos 22x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos cos x x x =⋅ 1cos 21sin 222x x +=sin 232x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ min 22T ππ==， 故函数()f x 的最小正周期为π.（2）,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52636x πππ-≤+≤，∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴sin 23x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()max1f x =()min f x =点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.18．如图所示，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥,222BC AB AD ===，22AE FC ==.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求二面角E BD F --的平面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）6（1）通过证明面//BCF 面ADE ，即可证得//BF 平面ADE ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EDB 和平面FDB 的法向量，求出法向量夹角的余弦值，结合角的范围，即可得出结果. 解： （1）证明：//CF AE ，CF ⊄面ADE ，AE ⊂面ADE ，∴//CF 面ADE ，同理：//BC 面ADE ， 又CFBC C =，CF ⊂面BCF ，BC ⊂面BCF ，∴面//BCF 面ADE ，又BF ⊂面BCF ，∴//BF 面ADE . （2）由题可知，,,AB AD AE 两两互相垂直，故可以以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,2,1F ，因此，()0,1,2ED =-，()1,0,2EB =-，()1,1,1FD =---，()0,2,1FB =--，若设平面EDB 的法向量为()111=,,u x y z ，则00u ED u EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令11z =，解得：()2,2,1u =，同理：若设平面FDB 的法向量为()222,,v x y z =，则00v FD v FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222020x y z y z ---=⎧⎨--=⎩，令21x =，解得：()1,1,2v =-，所以6cos ,9u v u v u v ⋅==⋅， 即二面角E BD F --的余弦值为9点评：本题主要考查线面平行的证明，利用空间直角坐标系求二面角的余弦值，其中涉及的知识点包括平面与平面平行的判定定理以及平面法向量的求解，属于中档题.空间直角坐标系中，用向量法求二面角的余弦值的过程：首先求出构成二面角的两个平面的法向量m 和n ，再代入公式cos m n m nθ⋅=±⋅，其中θ为二面角的平面角，最后求解（结合角的范围对正负号进行取舍）.19．新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽．．．．等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，检查结果统计如下：（1）能否在犯错率不超过0.001的情况下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关. 临界值表：（2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）.根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离10天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为1012k-⎛⎫⎪⎝⎭，()11,12,13,14k=，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）ξ的分布列以及数学期望值.（保留小数点后两位）答案：（1）能；（2）分布列见解析，()12.20Eξ≈（1）填写22⨯列联表，计算2K值，再与临界值表进行比较，即可得出结论；（2）确定随机变量ξ的所有取值，通过人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为1012k-⎛⎫⎪⎝⎭，()11,12,13,14k=，计算概率得到分布列，利用数学期望的计算公式，即可得解. 解：（1）由表可得，患者有发热症状与确诊的22⨯列联表如下：由公式可得：()22100035024030011010404000=46.02610.828 460540650350226044K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故在犯错率不超过0.001的情况下，有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关.（2）由题可知，随机变量ξ的所有取值：11，12，13，14，()()()()111113131372111;12;13;1322482486424864P P P P ξξξξ====⨯===⨯⨯===⨯⨯=其分布列为：其数学期望为：()=11+12+13+14=12.2028646464E ξ⨯⨯⨯⨯≈. 点评：本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属于中档题.对于求离散型随机变量的分布列问题，首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.20．已知函数()()2ln 1f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求a 的取值范围;（2）设两个极值点分别为：1x ，2x ，证：()()2212122f x f x x x +<-+.答案：（1）2a e >.（2）见解析（1）由题得()'ln 2f x a x x =-，令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点等价于()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点，再利用导数得到ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解不等式即得解；（2）分析得到要证：()()2212122f x f x x x +<-+，只需证明()21122a x x x <+，即证22221121ln x x x x x -<，不妨设120x x <<，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，构造函数构造函数2()ln 1(1)h t t t t =-+>，其中21x t x =，证明()()10h t h <=即得证. 解：（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+， 且()'ln 2f x a x x =-，令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点等价于()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点. 由()2'a xg x x-=可知， 当0a ≤时，()'0g x <恒成立，即函数()g x 在()0,∞+上单调，不符合题意，舍去. 当0a >时，由()'0g x >得，02a x <<，即函数()g x 在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；由()'0g x <得，2a x >，即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得2a e >. （2）证明：由（1）可知，1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，故要证()()2212122f x f x x x +<-+， 只需证明()21122ax x x <+， 即证22221121ln x x x x x -<，不妨设120x x <<，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 构造函数2()ln 1(1)h t t t t =-+>，其中21x t x =， 由212'()0t h t t-=<，所以函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，所以()()10h t h <=得证. 即证()()2212122f x f x x x +<-+.点评：本意主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数.（1）求直线EF 的斜率；（2）设直线l 过点(),0M m 并交抛物线于P ，Q 两点，且(0)PM MQ λλ=>，直线x m =-与x 轴交于点N ，试探究NM 与NP NQ λ-的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由. 答案：（1）1-；（2）是定值，2π （1）根据点A 的坐标求出抛物线方程，设出点E 和点F 的坐标，利用斜率公式和抛物线方程，求出AE k 和AF k ，再根据AE k 和AF k 互为相反数，得到124y y +=-，进而求出直线EF 的斜率；（2）设出点P 和点Q 的坐标，根据PM MQ λ=，得到34y y λ=-，再设出直线l 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，并结合34y y λ=-，化简NP NQ λ-，得到NP NQ λ-的坐标表示，求出NM ，借助向量的数量积，即可求得NM 与NP NQ λ-的夹角.解：（1）设()11,E x y ，()22,F x y ，因为点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点， 所以42p =，解得2p =，所以24y x =，同时，有2114y x =，2224y x =，()()()()()()11111111112+22444=11+21+22AE y y y x k x x y x y y ---===---+， 同理，2222412AF y k x y -==-+， 因为直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数， 所以124422y y =-++，即124y y +=-， 故()()()()2121212121212141EF y y y y y y k x x x x y y y y -+-====---++. （2）设直线l 的方程为:l x ty m =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，(),0N m -，将直线l 的方程代入24y x =，得2440y ty m --=，所以344y y t +=，344y y m =-，()33,PM m x y =--，()44,MQ x m y =-，且()0PM MQ λλ=>，∴34y y λ-=，解得34y y λ=-， ()()3344,,NP NQ x m y x m y λλ-=+-+()()3434,x m x m y y λλ=+-+-223434=,44y y m m y y λλ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2222333444=4444y y y y y m m m m y λ⎛⎫⎛⎫+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23343444y y y y m m y =+++ 2343444y y my m m y +=+- ()3344404y y y m y +==， ∴()340,NP NQ y y λλ-=-，又()=2,0NM m ，∴()0NM NP NQ λ⋅-=， ∴()NM NP NQ λ⊥-，即NM 与NP NQ λ-的夹角为2π. ∴NM 与NP NQ λ-的夹角是定值，定值为2π. 点评： 本题考查了抛物线标准方程的求解、斜率公式的运用以及直线与抛物线的位置关系中的定值问题，其中涉及到向量的坐标运算等知识，属于中档题.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线():0l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB +的取值范围.答案：（1）22cos 30ρθρ--=；（2）()（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，借助韦达定理，可求得OA OB +=，再利用三角函数的性质即可求出OA OB +的取值范围.解：（1）由曲线C 的参数方程12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α， 得曲线C 的普通方程为：()2214x y -+=，即22230x y x +--=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22230x y x +--=， 得曲线C 的极坐标方程为：22cos 30ρθρ--=. （2）由直线()0y kx k =>可得其极坐标方程：=02πθββ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 将=θβ代入曲线C 的极坐标方程得：22cos 30ρβρ--=， ∴122cos ρρβ+=，123ρρ=-，∴12,ρρ异号，故1212=+=OA OB ρρρρ+-===，1cos 21β-<<，∴()4OA OB +∈.点评：本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.23．已知函数()212f x x x a =++-.（1）求不等式()3f x ≥恒成立，求a 的范围;（2）若()21g x x ax =-+，且对1x R ∀∈，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.答案：（1）4a ≤-或2a ≥；（2）2a ≤-0a ≥（1）利用绝对值三角不等式，求出()f x 最小值为1a +，再由13a +≥进行求解即可；（2）根据题意得出函数()g x 的值域包含()f x 的值域，结合()f x 和()g x 的最小值，即可得解. 解：（1）()()()2122121f x x x a x x a a =++-≥+--=+，当且仅当()()2+120x x a -≤时，等号成立，∴()f x 的最小值为1a +， ∴13a +≥，解之得：4a ≤-或2a ≥.（2）对1x R ∀∈，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，∴函数()g x 的值域包含()f x 的值域，()2222111244a a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪⎝⎭， ∴21+14a a ≥-，解得2a ≤-0a ≥.点评：本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，不等式的恒成立问题，绝对值不等式的求解，属于基础题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥.。
重庆市七校2020届高三数学下学期联考试题理含解析
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
6.函数 是 上的偶函数，且 ，若 在 上单调递减，则函数 在 上是（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图，可知该几何体是边长为2 的正四面体，求出正四面体的底面积和高即可得解.
【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为正四面体 ，
则 ， ，所以 ，正四面体的边长为2，
所以 ，
取 的中点 ，连接 ，过 作 底面 ，交 于点 ，
8.已知 为 上的可导函数，且有 ，则对于任意的 ，当 时，有( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数h（x）=xf（x），根据函数的单调性判断即可．
【详解】不妨设h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x＞0，有 ，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
4.若函数 （其中 ，且 ）可化为 ，则 应满足条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到 ，进而求得 .
【详解】
，
其中 ，
函数 （其中 ，且 ）可化为 ，
，即 ，
2020届重庆市七校高三下学期联考数学(理)试卷及解析
2020届重庆市七校高三下学期七校联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（本大题共12道小题,每小题5分,共60分）1.已知集合2{|2}A x x =<,201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭,则A B =（ ）A. ([)1,-∞-+∞B. (-C. ⎡-⎣D. 2⎤⎦【答案】B【解析】先分别求出集合A 与B,再利用集合的交集运算进行求解.【详解】{2{|2}A x x x x =<=<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭,∴(A B ⋂=-.故选：B.2.已知,,a b c ∈R ,则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可.【详解】由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”,比如1a =,2b =,3c =,反之成立,所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,涉及的知识点包括等比数列的性质,举反例是解决本题的关键,属于基础题.判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .3.如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6,k ＋1)共线且方向相反,那么k 的值为( )A. －3B. 2C. －17D. 17【答案】A【解析】由题意可得 （k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0,即 k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k 值． 【详解】∵向量()1a k =，与()61b k =+，共线且方向相反,∴（k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0, ∴k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k=﹣3,故答案为：A4.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >）可化为)y x ϕ=-,则ϕ应满足条件（ ） A. tan b a ϕ=B. cos ϕ=C. tan a b ϕ=D. sin ϕ=【答案】C【解析】先逆用两角和的正弦公式进行化简,再结合诱导公式,得到22k πϕθπ-=+,进而求得tan a b ϕ=. 【详解】sin cos y a x b x =+x x ⎫=+⎪⎭)x θ+, 其中tan b aθ=, 函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >）可化为)y x ϕ=-,。
2020届重庆市江津中学、合川中学等七校高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市高三第三次诊断性联考数学（理）试题一、单选题1．命题“0x ∃∈R ，使02x e x <+”否定是（ ） A ．x ∀∈R ，2x e x <+ B ．x ∀∈R ，2x e x ≥+ C ．x ∀∉R ，2x e x <+ D ．x ∀∈R ，2x e x >+【答案】B【解析】根据特称命题的否定定义,即可得解. 【详解】由特称命题的否定可知, 0x ∃∈R ,使02x e x <+否定是 x ∀∈R ,2x e x ≥+故选B 【点睛】本题考查了特称命题的否定形式,属于基础题.2．集合{|0}A x =≥，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}-C ．{0,1,2}D ．{1,2,3}【答案】B【解析】根据二次根式有意义的条件求得集合A,再根据交集运算即可求得A B I . 【详解】集合{|0}A x =≥,即{|1}A x x =≤ 因为{1,0,1,2,3}B =-所以{}|1{1,0,1,2,3}A x x B ≤-=I I{}1,0,1=-故选:B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,集合交集的运算,属于基础题.3．已知i 是虚数单位，复数2(12)i -的共轭复数虚部为 A ．4i B ．3 C ．4 D ．4-【答案】C【解析】先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果. 【详解】因为()21234i i -=--，所以复数()212i -的共轭复数为34i -+，因此虚部为4，选C. 【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A ．5 B ．7C ．9D ．3【答案】A【解析】根据等差数列性质求6a 的值. 【详解】因为9235S S -=，所以3456789++++++=35a a a a a a a ，即667=35=5.a a ，选A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5．有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】略6．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．13y x =±B ．3y x =C ．3y x =D ．3y x =±【答案】B【解析】设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>设双曲线的渐近线方程为y kx=±,即0kx y±=因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y-+=相切,圆心为()2,0,半径1r=则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得2211kdk==+解方程可得3k=±所以双曲线的渐近线方程为3y x=±故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题.7．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）A．3i≤B．4i≤C．5i≤D．6i≤【答案】B【解析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为30时的i值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知,0,1S i==(1) 1022,2S i=+==是(2) 2226,3S i =+== 是 (3) 36214,4S i =+== 是 (4) 414230,5S i =+== 否 由以上循环可知, 4i ≤ 故选:B 【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题. 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足： ()()11f x f x +=-，且当10x -<<时，()21x f x =-，则()2log 20f =（ ）A ．14 B ．14- C ．15- D ．15【答案】D【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()22log 52222241log 202log 5log 5log 522log 521155f f f f f -⎛⎫=+==-=--=--=--=⎪⎝⎭，故选D.9．已知函数()()sin 3cos f x x x x R =∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称， 则θ的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．512πD ．23π【答案】A【解析】试题分析： ()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得()()2sin 23h x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2sin 223x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则322432k πππθπ⨯-+=+， k Z ∈， 2,23k k Z ππθ=-+∈，因为0θ>，最小值为2236πππθ=-+=．故选A ．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．10．已知三棱锥A BCD -的四个顶点都在同一个球的球面上，3AB =，3BC =，23AC =，若三棱锥A BCD -体积的最大值为332，则该球的表面积为（ ） A ．323πB ．12πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】根据三角形三条边可知ABC ∆为直角三角形,由体积最大可求得高的最大值.高取得最大值时,结合球的性质即可求出球的半径,进而求得表面积. 【详解】因为3AB =,3BC =,23AC =满足222AB BC AC +=,则ABC ∆为直角三角形三棱锥A BCD -体积即为三棱锥D ABC -的体积,当体积取最大值时,高取得最大值 由三棱锥体积公式可得13ABC V S h ∆=⨯,即331133232h =⨯⨯⨯⨯ 解得3h = 如下图所示:设球心为O,AC 中点为E,球的半径为R . 则222OE CE OC +=,即()22233R R -+=解方程可得2R =由球的表面积公式24S R π= 代入可得24216S ππ=⨯= 故选:C 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的性质及表面积公式的用法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.11．已知抛物线216C: y x =，焦点为F ，直线:1l x =-，点∈A l ，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若||5||FA FB =，则||FA =（ ） A ．2B ．35C ．43D ．40【答案】B【解析】根据抛物线的方程,可得焦点坐标.设A 、B 点坐标,由||5||FA FB =可得A 与B 点的关系,结合BF AF k k =即可求A 点坐标,进而得||FA . 【详解】抛物线216C: y x = 所以焦点坐标为()4,0F 因为∈A l ,设()()1,,,A a B m n -因为B 在抛物线216 y x =上,则216 n m =,即2,16n B n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭又因为||5||FA FB =则5a n =,不妨设点A 在x 轴的上方,则5a n =,()0n >即()1,5A n - 因为A B F 、、在同一条直线上 则BF AF k k =所以25014416n n n --=---,化简可得248n =,解得43n =43n =-(舍)所以()1,203A -则()()2214203122535FA =--+==故选:B 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线性质的简单应用,属于基础题.12．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：当时，，则三棱柱的体积为，当时，，则棱所在部分的体积为，则函数的图象关于点对称；故选C．【考点】1.几何体的体积；2.三角函数的图象与性质．【思路点睛】本题考查几何体的体积公式、分段函数的图象、正切函数的图象与性质，是三角函数与立体几何结合的综合题目，属于中档题；因为过直线,AE AD的平面ADFE是变化的，棱BC所在部分的几何体的形状是不固定的，属于要注意找出分界点，确定几何体的形状，选择合理的体积公式进行求解.二、填空题13．()22,21,22x xf xx xx⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩，则()()1f f-的值为________.【答案】4【解析】根据解析式,代入即可得()1f-.再代入即可求得()()1f f-的值.【详解】∵()22,21,22x xf xx xx⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩∴2(1)(1)23f-=-+=∴()()11(3)3432f f f-==+=-【点睛】本题考查了分段函数的求值,根据自变量的值选择合适的解析式代入,属于基础题.14．若x，y满足，则的最小值为____【答案】2【解析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由可得．平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由解得，所以点A的坐标为．所以．故答案为2．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.正视图侧视图俯视图53【解析】根据三视图,可得空间几何体的形状为三棱柱剪去一个小的三棱锥.求得三棱柱的体积和小三棱锥的体积,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥, 三棱柱的体积1V 为：1232232⨯=剪去的三棱锥体积2V 为：113231323⨯⨯=所以几何体的体积为：35323=. 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,由割补法求几何体的体积,属于基础题.16．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则2018T = ．【答案】6-【解析】试题分析：因为11,2111+-==++n n n a a a a ，所以⋅⋅⋅==-=-=,2,31,21,35432a a a a ，即数列{}n a 是以4为周期的数列，且14321=a a a a ，所以6)3(221201820172018-=-⨯===a a a a T ；故填6-．【考点】1.数列的递推公式；2.数列的性质．【思路点睛】本题考查利用数列的首项和递推式求数列的通项公式以及利用数列的周期性求数列的前n 的积，属于中档题；已知数列的首项和递推式求通项或前n 的积（和）时，往往先探究数列通项或和（积）的周期性，如本题中，先通过首项和递推式求出数列的前几项，即可发现该数列的周期性.三、解答题17．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长.cos 2cos b A a B =，3cos B =. （1）求角A 的值； （2）若22c =+ABC ∆的面积.【答案】（1）4π；（2）22+. 【解析】（1）根据同角三角函数关系式,可得sin B ,由正弦定理代入表达式即可求得A . （2）根据正弦和角公式,可代入求得sin C .再由正弦定理可求得b ,结合三角形面积公式即可求得ABC ∆的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中,因为3cos B =0B π<< 所以26sin 1cos B B =-= 因为cos 2cos b A a B =由正弦定理,得sin cos 2cos B A A B =,632A A = 所以cos sin A A =若cos 0A =,则sin 0A =,与22sin cos 1A A +=矛盾,故cos 0A ≠ 于是tan 1A = 又因为0A π<< 所以4A π=（2）因为22c =+4A π=,3cos B =,6sin B = 所以2326236sin sin()sin cos cos sin 23236C A B Ac B A B =+=+=+⨯=由正弦定理sin sinb cB C=,得6(22)sin322sin2366c BbC+⨯⋅===+所以ABC∆的面积为112sin22(22)22222S bc A==⨯⨯+⨯=+【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理解三角形,三角形面积公式的用法,属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是菱形，60DAB∠=︒，PD⊥平面ABCD，1PD AD==，点E，F分别为AB和PD中点.（1）求证：直线//AF平面PEC；（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2)4214.【解析】【详解】试题分析：（1）作//FM CD交PC于M根据条件可证得AEMF为平行四边形，从而根据线面平行的判定，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据条件中的数据可求得平面PAB的一个法向量为3(1,0,)n=r，从而问题可等价转化为求PCuuu r与nr的夹角．试题解析：（1）作//FM CD交PC于M，∵点F为PD中点，∴，∴，AEMF为平行四边形，∴//AF EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴//AF平面PEC；（2）如图所示，建立坐标系，由已知得(0,0,1)P，(0,1,0)C，3(E，31(,,0)2A-，23a c =，∴31(,,1)2AP =-u u u r ，()0,1,0AB =u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，∵0n AB ⋅=u u u r r ，0n AP ⋅=u u u r r ，∴310{2x y z y -++==，取1x =，则3z =，∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)n =r，∵(0,1,1)PC =-u u u r ， 设向量n r与PC uuu r所成角为θ，∴3422cos 14724n PCn PCθ-⋅===-⨯u u ur r u u ur r ，∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为4214．【考点】1．线面平行的判定；2．空间向量求空间角．19．某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了 了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1-50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：甲抽取的样本数据 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 投篮成 绩90607580838575807060乙抽取的样本数据 编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 投篮成 绩95858570708060657060（Ⅰ）在乙．抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅱ）请你根据乙．抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.下面的临界值表供参考：2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8416.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）分布列见解析，期望为56；（2）有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关；（3）采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．【解析】试题分析：（1）利用超几何分布的概率公式求其概率，列表得到分布列，再利用离散型随机变量的期望公式进行求解；（2）先完成2×2列联表，再利用表格数据和2K 公式求值，再利用临界值表进行判定；（3）根据分层抽样和系统抽样的特点进行判定．优秀 非优秀 合计 男 女 合计10试题解析：（Ⅰ）在乙．抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4， ∴X 的取值为0，1,2,3，3,2,1,0,)(310364===-k C C C k X P kk 分布列为：X0 1 2 3P61 21 103 30153031022160=⋅+⋅+⋅+⋅=EX 6分（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男 4 2 6 女 0 4 4 合计 46107分2K 的观测值k 210(4402)4664⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 4.444>3.841， 9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．【考点】1.离散型随机变量的分布列和期望；2.独立性检验思想的应用；3.抽样方法．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为23（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(3,0)-的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）7[4,)3-．【解析】（Ⅰ）由椭圆C 的短轴长可得1b =，结合离心率求得a 的值即可确定椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 的方程为()3y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，与椭圆方程联立可得()222214243640k xk x k +++-=，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得2257414k OM ON k⋅=-++u u u u v u u u v ，，结合k 的范围确定OM ON ⋅u u u u v u u u v 的取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆C 的短轴长为2，所以22b =，所以1b =，又椭圆C 322213ca b a a --===2a =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）由题可设直线l 的方程为()3y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将()3y k x =+代入2214x y +=，消去y 可得()222214243640k x k x k +++-=，所以()()()2222244143640k kk ∆=-⨯+->，即215k <， 且21222414k x x k +=-+，212236414k x x k-=+， 所以()()()()22212121212121233139OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=++⋅+=++++u u u u v u u u v()222222222223642441457139414141414k k k k k k k k k k k ⎛⎫--=+⋅+⋅-+==-+ ⎪++++⎝⎭，因为2105k ≤<，所以2257190143k k ≤<+，所以2257744143k k -≤-+<+， 所以OM ON ⋅u u u u v u u u v的取值范围是74,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．设函数\2333()()22x f x e x a =---. （1）若0a >且()f x 在x 0=处的切线垂直于y 轴，求a 的值； （2）若对于任意[0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）01a ≤≤.【解析】（1）先求得()f x 的导函数,根据()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴可知在0x =处的导数等于0,代入即可求得a 的值.（2）根据任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立,则(0)0f ≥成立,代入可得0a ≥.结合函数单调性,使得()f x 在[)0,x ∈+∞上满足单调递增且(0)0f '≥,即可得a 的取值范围.再利用构造函数法,证明()f x 在[0,)x ∈+∞时满足单调递增即可. 【详解】 （1）2333()()22x f x e x a =--- 则22()33()xf x ex a '=--∴2(0)33f a '=-∵0a >且()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴 ∴2330a -= ∴1a =±,又0a > ∴1a =（2）对于任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立 则3333(0)()022f a a =---=≥ 所以0a ≥22()33()x f x e x a '=--,[0,)x ∈+∞2(0)330f a '=-≥得21a ≤,所以11a -≤≤,即01a ≤≤下面证明01a ≤≤成立∴0a ≥,令()()()22'33x g x f x e x a ==--,[)0,x ∈+∞ ∴令()()()266xh x g x ex a '==--,[0,)x ∈+∞∴2()126(0)12660x h x e h ''=-≥=-=> ∴函数()h x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 由()()0h x h ≥∴()()'0660g x g a '≥=+>∴22()33()x f x e x a '=--在[0,)x ∈+∞上单调递增()2'03f a =-.01a ≤≤时,(0)0f '≥∴()'0f x ≥ ,函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 ∴3()(0)0 f x f a ≥=≥成立 故01a ≤≤ 【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,利用导数研究不等式恒成立问题,综合性强,属于难题.22．【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t 为参数），在以O 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与轴的交点为P ，直线与曲线C 的交点为A,B,求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论. 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，，曲线的直角坐标方程为. （Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：， ，.【考点】本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(0,2).【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。
2020年重庆市江津中学、实验中学等七校高考数学三诊试卷(理科) (解析版)
2020年高考（理科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）2．设z=1+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，x03−x02+1≤0B．存在x0∈R，x03−x02+1≤0C．∃x0∈R，x03−x02+1＞0D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．365．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．如图，给出的是1+13+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞997．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V ≈3112L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227B ．258C ．289D ．82278．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．120种C ．188种D ．156种11．已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k ，x ≤1(x −k −1)e x+e 3，x ＞1，若关于x 的不等式f （x ）≥0在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[0，e 2]B ．[2，e 2]C ．[0，4]D ．[0，3]12．函数f （x ）＝sin （2x +θ）+cos 2x ，若f （x ）最大值为G （θ），最小值为g （θ），则（ ）A ．∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝πB ．∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝πC ．∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝πD ．∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（1，1），b→=(m，−2)，且a→∥(a→+2b→)，则m的值等于．14．(x2−2)(1x−1)5展开式的常数项是．15．已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，过直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l的斜率为．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π3，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质 量等级一级 （优） 二级 （良） 三级 （轻度污染） 四级 （中度污染） 五级 （重度污染） 六级 （严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证明：当k 2=k1k 1−1时，直线MN 过定点．21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k记为c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32ty =3+12t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32|． （1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |log 2x ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（0，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，1）【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ． 解：∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， B ＝{x |log 2x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}＝（01，2）． 故选：A ．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设z =2i1+3i，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：∵z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=√32+12i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（√32，12），位于第一象限．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是（ ）A ．不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0B ．存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0C ．∃x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是：存在x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4找出首项a1与公差d的关系式求出a5，再代入前n项和的关系式求出S9．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4可得a1+2d+a1+5d＝4+a1+3d，整理得：a1+4d＝4＝a5，所以S9=9(a1+a9)2=9a5＝36．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题．5．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，则α⊥β，得解．解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．【点评】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．6．如图，给出的是1+13+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞99【分析】由已知中该程序的功能是计算1+13+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．解：∵该程序的功能是计算1+13+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：i≤99故选：A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V≈3112L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．227B．258C．289D．8227【分析】用L ，h 表示出圆锥的体积V =L 2ℎ12π，根据L 2ℎ12π=3112L 2h 计算π即可． 解：由L ＝2πr 可得r =L2π，故圆锥的第面积为S ＝πr 2=L 24π， ∴V =13Sh =L 2ℎ12π，若V ≈3112L 2h ，则112π=3112，故π=11236=289． 故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．8．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以根据函数奇偶性的定义可知，函数f （x ）为奇函数，可排除选项B ，对比选项A 、C 和D 后，分别计算出f(π2)=0，f(π6)＜0，可分别排除选项A 和C ，故而得解．解：∵f （﹣x ）＝[﹣x ﹣3sin （﹣x ）]•cos （﹣x ）＝﹣（x ﹣3sin x ）•cos x ＝﹣f （x ）， ∴函数f （x ）为奇函数，排除选项B ， 而f(π2)=(π2−3)×0=0，可排除选项A ， f(π6)=(π6−3×12)×√32＜0，可排除选项C ， 故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，由对称性知△ABF 的面积S ＝2S △OBF ＝2×12c h ＝ch ＝4a 2，即h =4a 2c，即B 点的纵坐标为y =4a 2c，则由x 2+（4a 2c）2＝c 2，得x 2＝c 2﹣（4a 2c）2＝c 2−16a 4c 2， B 在双曲线上，则c 2−16a 4c 2a 2−16a 4c 2b 2=1， 即c 2a 2−16a 2c 2−16a 4c 2(c 2−a 2)=1，即c 2a −16a 2c （1+a 2c 2−a2）＝1，即c 2a −16a 2c •c 2c −a =1，即c 2a 2−16a 2c 2−a 2=1，即c 2a 2−1=16a 2c 2−a2=c 2−a 2a2， 得16a 4＝（c 2﹣a 2）2，即4a 2＝c 2﹣a 2，得5a 2＝c 2，得c =√5a ，则离心率e =c a =√5a a=√5，方法2：设双曲线的左焦点为F ′，由图象的对称性得，圆O 经过点F ′，且|BF′|＝|AF|，设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，∵BF⊥AF∴S△ABF=12mn＝4a2，m2+n2＝4c2，则mn＝8a2，∵|BF′|﹣|BF|＝2a，∴m﹣n＝2a则m2﹣2mn+n2＝4a2，∴4c2﹣16a2＝4a2，即c2＝5a2，则c=√5a，即离心率e=ca=√5a a=√5，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．240种B．120种C．188种D．156种【分析】根据题意，按甲的位置分3种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，甲班必须排在前三位，分3种情况讨论：①，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；②，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有3A22＝6种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；③、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；则一共有48+36+48＝120种安排方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．11．已知k∈R，设函数f(x)={x2−2kx+2k，x≤1(x−k−1)e x+e3，x＞1，若关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]【分析】当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，分k＜1、k≥1两类讨论，可求得k≥0；当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，分k≤1、k＞1两类讨论，可求得k≤3；取其公共部分即可得到答案．解：（1）当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，∴f（x）的对称轴为x＝k，开口向上．①当k＜1时，f（x）在（﹣∞，k）递减，（k，1）递增，∴当x＝k时，f（x）有最小值，即f（k）≥0，∴0≤k＜1；②当k≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上递减，∴当x＝1时，f（x）有最小值，即f（1）＝1，∴1≥0显然成立，此时k≥1．综上得，k≥0；（2）当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，∴f'（x）＝（x﹣k）e x，①′当k≤1时，f（x）在（1，+∞）上递增，∴f（x）＞f（1）＝﹣ke+e3≥0，∴k≤e2，∴此时k≤1；②′当k＞1时，f（x）在（1，k）递减，（k，+∞）递增，∴f（x）≥f（k）＝﹣e k+e3≥0，∴k≤3，∴此时1＜k≤3．综上：0≤k≤3，∵关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为0≤k≤3，故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．12．函数f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），则（）A．∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝πB．∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝πC．∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝πD．∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=π【分析】由三角函数的辅助角公式得：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+1 2）•cos2x+12=√54+sinθsin（2x+φ）+12，所以G（θ）=√54+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．解：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+12）•cos2x+12=√54+sinθsin（2x+φ）+1 2，所以G（θ）=√54+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，①对于选项A，G（θ0）+g（θ0）=√54+sinθ+12−√54+sinθ+12=1，显然不满足题意，即A错误，②对于选项B，G（θ0）﹣g（θ0）=√54+sinθ+12+√54+sinθ−12=2√54+sinθ∈[1，3]，显然不满足题意，即B错误，③对于选项C，G（θ0）•g（θ0）＝（√54+sinθ+12）•（√54+sinθ−12）＝1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，④对于选项D ，|G(θ)g(θ)|＝|√54+sinθ−12+1|∈[2，+∞），即∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（1，1），b →=(m ，−2)，且a →∥(a →+2b →)，则m 的值等于 ﹣2 ．【分析】根据题意，求出a →+2b →的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得1+2m ＝﹣3，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，向量a →=（1，1），b →=(m ，−2)， 则a →+2b →=（1+2m ，﹣3），若a →∥(a →+2b →)，则有1+2m ＝﹣3，解可得：m ＝﹣2； 故答案为：﹣2【点评】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量的坐标计算公式，属于基础题．14．(x 2−2)(1x−1)5展开式的常数项是 ﹣8 ．【分析】把(1x−1)5按照二项式定理展开，可得(x 2−2)(1x−1)5展开式的常数项． 解：(x 2−2)(1x −1)5=（x 2﹣2）•（1x −5x +10x −10x +5x−1）的展开式的常数项为﹣10+2＝﹣8， 故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l 的斜率为 −34．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，把过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，切线长最小转化为圆心到直线l 的距离最小，利用点到直线的距离公式得答案．解：如图，由（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，得圆心坐标为（3，4），要使切线长最小，即圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离最小，∵圆的半径为1，切线长为√15，∴圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离等于√12+(√15)2=4．再由√9+a2=4，解得：a＝4．此时直线l的斜率为−3a=−34．故答案为：−3 4．【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】通过并项相加可知当n≥2时a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，进而可得数列{a n}的通项公式a n=12n（n+1），裂项、并项相加可知b n＝2（1n+1−12n+1）=2n2n2+3n+1=22n+1n+3，通过求导可知f（x）＝2x+1x（x≥1）是增函数，进而问题转化为m2﹣mt+13＞（b n）max，由恒成立思想，即可得结论．解：∵a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣1，…，a2﹣a1＝2，并项相加，得：a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，∴a n＝1+2+3+…+n=12n（n+1），又∵当n＝1时，a1=12×1×（1+1）＝1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=12n（n+1），∴b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n=2(n+1)(n+2)+2(n+2)(n+3)+⋯+22n(2n+1)＝2（1n+1−1n+2+1n+2−1n+3+⋯+12n−12n+1）＝2（1n+1−12n+1）=2n2n2+3n+1=22n+1n+3，令f（x）＝2x+1x（x≥1），则f′（x）＝2−1x2，∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝3，即当n＝1时，（b n）max=1 3，对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+13＞b n恒成立，则须使m2﹣mt+13＞（b n）max=13，即m2﹣mt＞0对∀m∈[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）（2b﹣c）cos A＝a cos C，由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cos A，结合范围A∈（0，π）．解得A．（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求b+c的值，即可计算得解三角形的周长．解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b﹣c）cos A＝a cos C，∴由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，∴可得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴解得：cos A=1 2．∵A∈（0，π）．∴可得：A=π3．（Ⅱ）∵A=π3，a=√13，∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：13＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，又∵△ABC的面积为3√3=12bc sin A=√34bc，解得：bc＝12，∴13＝（b+c）2﹣36，解得：b+c＝7，∴△ABC的周长a+b+c＝7+√13．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，考查了计算能力，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π3，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．【分析】（1）取AP的中点E，连接BE、EM．推导出四边形BCME为平行四边形，CM∥BE，由此能证明CM∥平面PAB．（2）在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AC ﹣D 的大小． 解：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM ． ∵M 是PD 的中点，∴EM =12AD ，EM ∥AD ， 又BC =12AD ，BC ∥AD ，所以EM ＝BC ，EM ∥BC ，∴四边形BCME 为平行四边形， ∴CM ∥BE ，又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， ∴CM ∥平面PAB ．（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直， 以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝4，∠BAD =2π3， 可得A （0，0，0），C(√3，1，0)，M （0，2，1）， ∴AC →=(√3，1，0)，AM →=(0，2，1)， 设平面MAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AC →=0n →⋅AM →=0，即{√3x +y =02y +z =0，令y ＝﹣3，则x =√3，z ＝6， ∴n →=(√3，−3，6)为平面MAC 的一个法向量． ∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为m →=(0，0，1)， ∴cos〈n →，m →〉=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=48=√32， ∵二面角M ﹣AC ﹣D 为锐二面角， ∴二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为π6．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面解的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求解期望． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可．解：（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在（90，110]的天数为2天， 空气质量指数在（110，130]的天数为1天， 所以估计空气质量指数在（90，100]的天数为1天， 故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天．（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴P(X =0)=C 242C 302=92145，P(X =1)=C 61⋅C 241C 302=48145，P(X =2)=C 62C 302=129， X 012P9214548145129∴X 的分布列为 ∴EX =0×92145+1×48145+2×129=25． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴P =C 32⋅(110)2⋅910⋅C 21⋅310⋅710=56750000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布表的应用，是基本知识的考查，中档题．20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证明：当k 2=k1k 1−1时，直线MN 过定点． 【分析】（1）由题意可求出c ，b ，a ，可得方程；（2）先设方程，可得M ，N 横坐标之间的关系，代入题给的等式，化简可得． 解：（1）x 24+y 23=1，（2）由题不妨设MN ：y ＝kx +m ，联立{x 24+y 23=1y =kx +m，方程组的解M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 消去y 化简得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，且x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，∵k 1k 2＝k 1+k 2，∴y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=y 1−√3x 1+y 2−√3x 2，∴代入y ＝kx +m ，化简得(k 2−2k)x 1x 2+(k −1)(m −√3) （x 1+x 2）+m 2−2√3m −3=0，8√3k(m −√3)=3(m −√3)2，∵m ≠√3，8√3k =3(m −√3)，∴m =8√3k 3+√3， 直线MN ：y =kx +8√3k 3+√3，MN 过定点（−8√33，√3）． 【点评】本题考查圆锥曲线，设直线方程是，注意斜率，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈一、选择题． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k 记为c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围．【分析】（1）求导可得f′(x)=a−x x ，然后分a ≤0及a ＞0两种情况讨论即可得出单调性；（2）依题意，分析可知k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x，而a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，构造g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ，则g′(x)=−lnx+x−b x 2，令p(x)=−lnx +x −b ，则p′(x)=−1x +1，故p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增，利用导数分p （1）≥0，可得此时c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2，当p （e ）≤0，c =g(x)min =g(e)=b+2e ⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e+1]，当p （1）p （e ）＜0，c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0，则b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0，再利用导数求其最值即可．解：（1）∵f （x ）＝alnx ﹣x ﹣a （x ＞0，a ∈R ），∴f′(x)=a x −1=a−x x ，∵x ＞0，a ∈R ．∴①当a ≤0时，f （x ）的减区间为（0，+∞），没有增区间；②当a ＞0时，f （x ）的增区间为（0，a ），减区间为（a ，+∞）；（2）原不等式f （x ）≥g （x ）恒成立⇔k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x ， ∵a ∈[1，e ]，x ∈[1，e ]，∴a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，令g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ⇒g′(x)=−lnx+x−b x 2， 令p(x)=−lnx +x −b ⇒p′(x)=−1x +1≥0⇒p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增；①当p （1）≥0时，即b ≤1，∵b ∈[1，e ]，所以b ＝1时x ∈[1，e ]，p （x ）≥0⇒g '（x ）≥0，∴g （x ）在[1，e ]上递增，∴c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2．②当p （e ）≤0，即b ∈[e ﹣1，e ]时x ∈[1，e ]，p （x ）≤0⇒g '（x ）≤0，∴g （x ）在[1，e ]上递减；∴c =g(x)min =g(e)=b+2e⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e +1]． ③当p （1）p （e ）＜0时，p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在上递增；存在唯一实数x 0∈（1，e ），使得p （x 0）＝0，则当x ∈（1，x 0）时⇒p （x ）＜0⇒g '（x ）＜0，当x ∈（x 0，e ）时⇒p （x ）＞0⇒g '（x ）＞0，∴c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0， ∴b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0．此时b ＝x 0﹣lnx 0， 令h(x)=x −lnx ⇒h′(x)=1−1x =x−1x＞0⇒h(x)在[1，e ]上递增，b ∈（1，e ﹣1）⇒x 0∈（1，e ），∴b +c ∈(2，e +1e )． 综上所述，b +c ∈[2，e +2e+1]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，推理能力及计算能力，属于较难题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π） （Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程，利用点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），即可求θ的值；（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求出A ，B 的坐标，即可求|AB |的值．解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），普通方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，∵点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），∴θ=2π3； （Ⅱ）直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t（t 为参数），普通方程为x +√3y ﹣4√3=0， 点A 的直角坐标为（−√3，3），射线OA 的方程为y =−√3x ，代入x +√3y ﹣4√3=0，可得B （﹣2√3，6），∴|AB |=√3+9=2√3．【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32|．（1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最大值为14，可得|1﹣b |≤7，由此解得b 的范围．解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）≤3x 可化为{x ＜−14−(2x +12)+(x −32)≤3x①；或{−14≤x ＜322x +12+(x −32)≤3x ②；或{x ≥322x +12−(x −32)≤3x ③． 解①求得−12≤x ＜−14，解求得−14≤x ＜32，解求得x ≥32． 综上可得，不等式的解集为{x |x ≥−12}．（2）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +12|+|2x ﹣3|≥|2x +12−（2x ﹣3）|=72，（当且仅当−14≤x ≤32时取等号），则f （x ）的最大值为4•72=14，不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，等价于|1﹣b |≤7，解得﹣6≤b ≤8，故实数b 的取值范围是[﹣6，8]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
重庆市江津中学、合川中学等七校联考2020届高三数学(理)三诊试卷附答案解析
正视图
侧视图
俯视图
16．数列
an
满足 a1
2
， an
an1 an1
1 1
，其前 n
项积为 Tn
，则 T2018
=
．
三、解答题
17．在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长. b cos A
所以双曲线的渐近线方程为 y 3 x 3
故选:B 【点睛】 本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题. 7．阅读如图程序框图，若输出的数据为 30，则判断框中应填入的条件为（ ）
A． i 3
B． i 4
C． i 5
D． i 6
【答案】B
【解析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为 30 时的 i 值,进而得判断框里的不等
甲抽取的样本数据
编号 2
7
12
17
22
27
32
37
42
47
性别 男
女
男
男
女
男篮成 90
60
75
80
83
85
75
80
70
60
绩
乙抽取的样本数据
编号 1
8
10
20
23
28
33
35
43
48
性别 男
男
男
男
男
男
女
女
女
女
投篮成 95
85
85
70
70
80
2020年重庆市江津中学高考数学三诊试卷(理科)(含答案解析)
2020年重庆市江津中学高考数学三诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|lg(x−3)<1}，集合B={x|x2−3x−4<0}，则A∪B=()A. (3,13)B. (−1,4)C. (−1,13)D. (2,3)2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是()A. ∃x∈R，x2−x≥0B. ∀x∈R，x2−x≥0C. ∃x∈R，x2−x>0D. ∀x∈R，x2−x>04.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=36，则a3+a7=()A. 4B. 8C. 12D. 165.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，l//β，则α//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β6.如图给出的是计算12+14+16+⋯+118的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A. i>9B. i<9C. i>18D. i<187.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，计算其体积V的近似公式V≈148L2ℎ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V≈175L2ℎ相当于将圆锥体积公式中π的近似取为()A. 256B. 258C. 253D. 2548.函数f(x)=x3cos x2+sinx在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.9.已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若▵ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √510.某次晚会有六个节目，安排要求如下：A必须排在前三位，且E、F必须排在一起，则这六个节目的不同安排方案共有()A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种11.当x∈[−2,1]时，不等式ax3−x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A. [−5,−3]B. [−6,−98] C. [−6,−2] D. [−4,−3]12.函数f(α)=tsinα+cosα的最大值为g(t)，则g(t)的最小值为()A. 1B. 0C. |t|+1D. √t2+1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,−1)，若a⃗//(a⃗+b⃗ )，则m=______．14.若(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n=________，展开式中的常数项是________．15.过直线2x+3y=0上的任意一点作圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线，则切线长的最小值为_______．16.已知数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=n(n≥2,n∈N)，设b n=1a n+1+1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1,2]时，不等式m2−mt+13>b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cos A的值；)的值．(2)求cos(2A−π318.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF//平面BCE；(2)求二面角C−BE−D的余弦值的大小．19.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？(2)从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；(3)从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．20.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，其焦距为2，椭圆C与y轴正半轴交点为A，且△AF1F2为等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A作斜率为k1、k2(k1k2≠0)的两条直线分别交椭圆C于异于点A的两点M、N.证明：当k2=k1k1−1时，直线MN过定点．21. 已知函数f(x)=2lnx −ax(a ∈R)，g(x)=m −3x ．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a =−1时，对任意x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2m,y =m2(m 为参数)，直线l 的参数方程为{x =t,y =3t +1(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．点A 的极坐标为(2√3,π6)． (1)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求线段MN 的中点到点A 的距离．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a=−3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x−4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算和不等式的解法，属于基础题．解一元二次不等式和对数不等式可得出集合B和集合A，进而得出A∪B．解：由集合A={x|lg(x−3)<1}，可得A={x|3<x<13}，由集合B={x|x2−3x−4<0}，可得B={x|−1<x<4}，∴A∪B={x|−1<x<13}，故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是：∃x∈R，x2−x>0．故选：C．全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=36，所以S9=9(a1+a9)2=9(a3+a7)2=36⇒a3+a7=8，故选：B．由题意可得9(a1+a9)2=36，再根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直与平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，根据题意逐项进行判断即可得到结果．解：A.若l//α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故A正确；B.若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除B；C.若l//α，l//β，则满足题意的两平面可能相交，排除C；D.若α⊥β，l//α，则l可能与β平行，相交，排除D.故选A.6.答案：A解析：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：S=0，n=2，i=1不满足条件，第一圈：S=0+12，n=4，i=2，不满足条件，第二圈：S=12+14，n=6，i=3，不满足条件，第三圈：S=12+14+16，n=8，i=4，…依此类推，不满足条件，第8圈：S=12+14+16++⋯+，n=18，i=9，不满足条件，第9圈：S=12+14+16++⋯+118，n=20，i=10，此时，应该满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i>9．故选：A．。
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试(2020届康德卷6月三诊考试)理科数学试卷及答案
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试（2020届康德卷6月三诊考试）理科数学试卷★祝考试顺利★一、选一择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。
已知集合2{|31},{|lg()},x x B x y x x -≤≤==-则A∩B=A ．(]0,1B ．(0,1) [].0,1C [).3,1D -2．在复平面内,复数z 对应点Z (x,y),若||||,z i z i -=+则A.0y = B ．[]0,0,1y x =∈ C ．0x = D ．[]0,0,1x y =∈3．命题p ：∀x ∈N,|2|3x +≥的否定为A ．∀x ∈N,|2|3x +<B ．∀x N,|2|3x +<C ．∃x ∈N,|2|3x +≥D ．∃x ∈N,|2|3x +<4．已知 2.122312log ,,225a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ． b a c <<5．设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为n S ,若92727,a a a ++=且89,S S =则d=A ．-3B ．-1C ．1D ．36.若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>则(||)0.6806,(||2)0.9544,(||3)0.9974.P X P X P X μσμσμσ-≤≈-≤≈-≤≈已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布()10100,N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为A ．159B ．46C ．23D ．137．已知向量()()12,34a b =-=r r ，，/,若向量→c 与→a 共线,且→c 在→b 则|→c |=A ．1B ．2C ．58．设α,β是空间中的两个平面,,m 是两条直线,则使得α∥β成立的一个充分条件是A ． ⊂α,m ⊂β,∥mB ．⊥m ,∥α,m ⊥αC ． ⊂α,m ⊂α,∥β,m ∥βD ．∥m ,⊥α,m ⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术,明代的律学家朱载填创建了十二平均律,并把十二平均律计算得十分精确,与当今的十二平均律完全相同,其方法是将一个八度音程(即相邻的两个具有相同名称的音之间,如图中88键标准钢琴键盘的一部分中,c 到1c 便是一个八度音程)均分为十二等分的音律,如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是c,d,e,f,g,a,b,则多出来的5个音符为c#(读做“升c”),d#,f#,g#,a#;12音阶为：c,c#,d,d#,e,f ．f#,g,g#,a,a#,b,相邻音阶的频率之比为1如图,则键盘c 和d 的频率之比为21即1键盘e 和f 的频率之比为1键盘c 和1c 的频率之比为1：2,由此可知,图中的键盘1b 和2f 的频率之比为A ．1B ．C :1D :1。
2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三下学期6月联考(三诊)数学(理)试题解析
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，利用点到直线的距离公式计算 的值并构建关于 的方程，解方程后可得 的值，从而得到所求的斜率.
解：
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，
又 ，因为切线长的最小值为 ，
故 ，解得 ，故直线 的斜率为 .
故答案为： .
点评：
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，本题属于基础题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
答案：（1） （2）
(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将 转化为 ，即可得出角 的值；
(2)首先可通过余弦定理求出 的值，再通过解三角形面积公式即可求出 的值，最后求出周长．
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
由加法计数原理可知共有 种方案，
故选：B
点评：
空气质量指数
300以上
空气质量等级一级（优） Nhomakorabea二级
（良）
三级
（轻度污染）
四级
（中度污染）
五级
（重度污染）
六级
（严重污染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.
【6月重庆七校三诊语文】2020年6月重庆市江津中学、实验中学等七校高三6月联考(三诊)语文试卷含答案
七校高2020级第三次诊断性考试
语文试题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷
一、现代文阅读（36分）
（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）（江津中学）
阅读下面的文字，完成1～3题。
①关于文学作品的多义性，南朝刘勰《文心雕龙·隐秀篇》说：“隐以复意为工。
”又说：“隐也者，文外之重旨者也。
”南朝刘勰所说的“复意”“重旨”，就是我在这里所说的多义性。
在西方，对诗的多义性也有人谈到过。
亚里士多德在《诗学》里所讲的“双意复言名词”以及“三义”词、“四义”词，就是一个与多义性有关的问题。
不过，对多义性的深入研究，却是20世纪以后随着语义学的建立而开展起来的。
语义学是符号学的三个分支之一。
符号学认为，许多理论问题都可以通过分析、研究表达这些理论所使用的语言符号，而得到解决或说明。
有人用符号学的理论来研究诗歌，把诗歌也看作是一种符号，叫“复符号”。
这种“复符号”所投射出来的语意，只是它所包含的意义
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·1·七校高2020级第三次诊断性考试
数学（理科）试题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（綦江）已知集合{}02|2<--=x x x A ，{}0log |2<=x x B ，则=B A （ ） A ．)2,1(-
B ．)1,0(
C ．)2,(-∞
D ．)1,1(- 2．（铜梁）设i
i
z 312+=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限 3．（实验）命题“3210x x x ∀∈-+≤R ，
”的否定是（ ） A ．不存在3200010x x x ∈-+≤R ，
B ．3200010x x x ∃∈-+≥R ，
C ．3200010x x x ∃∈-+>R ，
D ．3210x x x ∀∈-+>R ，
4．（綦江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ） A ．18 B ．24 C ．48
D ．36。