第27课 几何作图

易错点1
尺规作图工具的正确运用
【典例 1】 已知：∠α，如图 2712. 求作∠α 的余角∠β.
【错解】 如图 2713 所示. 【析错】 由于在多数情形下， 一般有用三角尺作直角或垂 直的习惯，所以造成用三角 尺作直角并在原图上作图，但这在尺规作图中是不允许的. 【纠错】 如图 2714 所示， ∠β 为所求作的角.
1. 两种作图分析方法： 对于一个既不属于基本尺规作图，又不属于已知条件为边角边、 角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可 以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来， 再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法.也可以 按求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的 点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法.事实上， 尺规作图时，往往将三角形奠基法和交会法结合使用. 2. 几何作图的三个注意事项： (1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三 个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要 注意作图语句的规范和最后的作图结论. (2)根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已经作 出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案. (3)对于实际问题，要在理解题意的基础上，将实际问题转化为 数学问题.
题型二 作三角形
作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作 三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③ 已知三角形的三边，求作三角形.利用尺规作图作三角形 时，以基本作图为基础，将条件逐一分解到边和角中，理 清作图顺序，正确作图.
【典例 2】 (2017·陕 西 模 拟 ) 如 图 276①，在 Rt△ABC 中，∠B=90° ， AB=2BC，现以点 C 为圆长为半径画弧交边 AB 于 点 E. 5－1 AE 5－1 (1)求证：AB= (这个比值 叫做黄金比). 2 2 (2)如果一个等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三 角形就叫做黄金三角形.请你以图 276②中的线段 AB 为腰，用直 尺和圆规，作一个黄金三角形 ABC. (注：直尺没有刻度，作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对 作图中涉及的点用字母进行标注.) 【解析】 (1)在 Rt△ABC 中，∵AB=2BC， ∴可设 BC=x，则 AB=2x. 又∵∠B=90° ，∴AC= AB2＋BC2= 5x， ∴AE=AD=AC－CD=AC－BC=( 5－1)x， AE （ 5－1）x 5－1 ∴AB= = . 2x 2 (2)如解图，△ABC 即为所求.
【答案】
a＋b=0
5. (2017· 绍兴)以 Rt△ABC 的锐角顶点 A 为圆心，适当长 为半径作弧，与边 AB，AC 各相交于一点，再分别以 这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交 点与点 A 作直线， 与边 BC 相交于点 D.若∠ADB=60° ， 点 D 到 AC 的距离为 2，则 AB 的长为______.
题型三 通过画图确定圆心
依据“不在同一直线上的三点确定一个圆 ”，可在圆 弧的两端点外再找一点，构成三角形，分别作两弦的垂直 平分线，其交点即为圆心.
【典例 3】 (2016· 南京)如图 278，在□ABCD 中，E 是 AD 上一点，延长 CE 到点 F，使∠FBC=∠DCE. (1)求证：∠D=∠F. (2) 用 直 尺 和 圆 规 在 AD 上 作 出 一 点 P ， 使 △BPC∽△CDP(保留作图痕迹，不写作法).
1. 尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺. 2. 基本作图： (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差. (2)作一个角等于已知角，以及角的和、差. (3)作一个角的平分线. (4)作一条线段的垂直平分线. (5)过一点作已知直线的垂线. 3. 利用基本作图作三角形： (1)已知三边作三角形. (2)已知两边及其夹角作三角形. (3)已知两角及其夹边作三角形. (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形. (5)已知一直角边和斜边作直角三角形. 4. 与圆有关的尺规作图： (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆). (2)作三角形的内切圆. (3)作圆内接正方形和正六边形. 5. 作图题的一般步骤： (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论.步骤一般不作 要求，但作图时一定要保留作图痕迹.
★ 名师指津 尺规作图限定只能用没有刻度的 直尺和圆规两种作图工具，如用直角尺作直 角，用刻度尺量线段的长，用量角器量角的 度数等都是违背尺规作图要求的.
易错点2
尺规作图中分类思想的运用
【典例 2】 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线 相交所形成的锐角为 40° ，则这个等腰三角形一个底角的度数为 ________. 【错解】 如图 2715①， MN 是 AB 的垂直平分线， ∠ADM=40° ，∴∠A=90° －40° =50° . ∵AB=AC， 1 1 ∴∠B= (180° －∠A)= ×(180° －50° )=65° . 2 2 【析错】 图 2715①固然符合题意，但符合题 意的图形不止一种，如图 2715②也符合题 意. 【纠错】 如图 2715②，MN 是 AB 的垂直平 分线，∠ADN=40° ，∴∠DAB=50° . 1 1 ∵AB=AC，∴∠B= ∠DAB= ×50° =25° . 2 2 综合图 2715①②两种情况，可得答案为 65° 或 25° . ★名师指津 几何问题中的补充性作图 ，经常在中考中出现.答题 时，除了要考虑满足题意的所有条件，还应注意图形的多样性， 重视分类讨论，正确作图.
【类题演练 1】 (2017· 福建)如图 275，在△ABC 中，∠BAC=90° ，AD ⊥BC，垂足为 D.求作∠ABC 的平分线，分别交 AD，AC 于 P，Q 两 点；并证明 AP=AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.)
【解析】 如解图，BQ 就是所求作的∠ABC 的平分线， P，Q 就是所求作的点. 证明 AP=AQ 如下： ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90° ，∴∠BPD＋∠PBD=90° . ∵∠BAC=90° ，∴∠AQP＋∠ABQ=90° . ∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP. 又∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ.
【类题演练 4】 (2017· 南京)“直角”在初中几何学习中无处不在. 如图 2711，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判 断∠AOB 是否为直角(仅限用直尺和圆规). 小丽的方法 如图，在 OA，OB 上分别取点 C，D，以点 C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 OB 的反 向延长线于点 E.若 OE=OD， 则∠AOB=90° .
【答案】
2 3
题型一 应用角平分线、线段中垂线的性质作图
作图题首先要明确已知、求作，然后在此基础上绘出 草图分析，找出作图步骤，准确叙述作法，并完成作图， 必要时还需要进行证明.
【典例 1】 (2016· 衢州)如图 274， 已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线. (1)用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平 分线， 分别交 AD， BC 于点 E， F(保 留作图痕迹，不写作法和证明). (2)连结 BE，DF，问：四边形 BEDF 是什么四边形？ 请说明理由. 【解析】 (1)如解图所示，EF 即为所求作的直线. (2)四边形 BEDF 为菱形.理由如下： ∵EF 垂直平分 BD， ∴BE=DE，BF=DF，∠DEF=∠BEF. ∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE， ∴∠BEF=∠BFE， ∴BE=BF，∴DE=BE=BF=DF， ∴四边形 BEDF 为菱形.
【答案】
B
4. (2017· 济宁) 如图 273，在平面直角 坐标系中，以点 O 为圆心，适当长 为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M，N 为圆 1 心，大于 MN 长为半径画弧，两弧 2 在第二象限相交于点 P.若点 P 的坐 标为(a，b)，则 a 与 b 的数量关系为______.
图 278
【解析】 (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠CED=∠BCF. ∵ ∠ CED ＋ ∠DCE ＋ ∠D=180°， ∠ BCF ＋ ∠FBC ＋ ∠F=180° ，∠DCE=∠FBC，∴∠D=∠F.
(2)如解图，点 P 即为所求.
【类题演练 3】 (2017· 舟山 ) 如图 279，已知△ABC，∠B=40° . (1) 在图中，用尺规作出△ ABC 的内切圆⊙O， 并标出⊙O 与 边 AB，BC，AC 的切点 D， E ， F( 保留痕迹，不必写作 法 ). (2)连结 EF，DF，求∠EFD 的度数. 【解析】 (1)如解图，⊙O 就是所求 作的△ABC 的内切圆，D，E，F 就 是所求作的切点. (2)连结 OD，OE，则 OD⊥AB， OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90° . 又∵∠B=40° ，∴∠DOE=140° ， 1 ∴∠EFD= ∠DOE=70° . 2
【解析】 本题答案不唯一，例如： 方法一：如解图①，在 OA，OB 上 分 别 截 取 OC=4 ， OD=3. 若 CD=5，则∠AOB=90° . 方法二：如解图②，在 OA，OB 上分别取点 C，D，作 CD 的垂直 平分线，与 CD 相交于点 E，以 CE 为半径作圆. 若点 O 在圆上，则∠AOB=90° .
题型四 利用基本作图进行方案设计
解决此类题型，通常先按照题意画图，将实际问题转 化为数学问题，然后通过计算，选择最优方案.
【典例 4】 (2017· 六盘水)如图 2710，MN 是⊙O 的直径，MN=4，点 A 在⊙O 上，∠AMN=30° ， ︵ B 为AN的中点，P 是直径 MN 上一动点. (1)利用尺规作图， 确定当 PA＋PB 最小时点 P 的 位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求 PA＋PB 的最小值. 【解析】 (1)如解图①，点 P 即为所求. (2)由(1)可知，PA＋PB 的最小值即为 A′B 的长. 如解图②，连结 OA′，OB，OA. ∵点 A′为点 A 关于直线 MN 的对称点，∠AMN =30° ，∴∠A′ON=∠AON=2∠AMN=60° . ︵ ︵ ︵ ∵B 为AN的中点，∴AB=BN， 1 ∴∠BON=∠AOB= ∠AON=30° ， 2 ∴∠A′OB=∠A′ON＋∠BON=90° . ∵MN=4，∴OA′=OB=2， ∴在 Rt△A′OB 中， A′B= 22＋22=2 2， 即 PA＋PB 的最小值为 2 2.