第2章 正弦电路的分析
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第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
大学物理学第2章正弦交流电路_02
解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电 压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W， 电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗 电 R 感 Z | Z | R jL V U 线 圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
计算机电路基础 第2章 正弦稳态电路的相量分析法
上式表明两个同频率正弦量的相位之差等于它们的初相之差。相位
差不随时间变化，与计时起点也没有关系。通常用相位差的量值来反映
两同频率正弦量在时间上的“超前”和“滞后”关系。
用相位差判断相位关系的方法：以上式为例，若 = θ1 - θ2 ＞0，表 明i1（t）超前i2（t），超前的角度为 ；若 =θ1 - θ2 ＜0，表明i1（t）滞 后i2（t），滞后的角度为||。下图（a）、（b）分别表示电流i1（t）超 前i2（t）和i1（t）滞后i2（t）的情况。
称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（t k ）、u（t k ）或i、u来表示
时刻正弦电流、电压的瞬时值。
解析式：表示正弦量的瞬时值随时间变化 规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式，
也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。
正弦曲线：表示正弦量的瞬时值随时间变 化规律的图像叫正弦量的波形。右图所示为 一个正弦电压的波形。
第2章 正弦稳态电路的相量分析法
2.1 正弦交流电路的基本概念
1.1.1 电路理论及其发展
电路理论：电路理论是关于电器件的模型建立、电路分析、电路综 合及设计等方面的理论。
电路理论是物理学、数学和工程技术等多方面成果的融合。物理学， 尤其是其中的电磁学为研制各种电路器件提供了原理依据，对各种电路 现象作出理论上的阐述；数学中的许多理论在电路理论得到广泛的应用， 成为分析、设计电路的重要方法；工程技术的进展不断向电路理论提出 新的课题，推动电路理论的发展。
正弦电压、电流的解析式可写为
u(t) Um sin t u
i(t
)
Im
sin
t
i
第2章 正弦稳态电路的相量分析法
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
04电工(第2章交流2RLC串联电路,交流电路分析,功率因数提高)
消耗有功功率为： P PR UI cos
当U、P 一定时 cos
I
供电线路功耗
希望将cos 提高
供电局一般要求用户的cos >0.85 ，否则受处罚
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或 纯电容电路
cos 1 ( 0) cos 0 ( 90)
R-L-C串联电路
电动机 空载 满载
0 cos 1
第4讲
第2章 正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析计算 2.5 正弦交流电路的功率
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编
海南风光
本课内容
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦电压与电流 2.1.1正弦量的参考方向和电源模型 2.1.1 周期、频率和角频率 2.1.2 相位、初相位和相位差 2.1.3 最大值和有效值
例3（教材例2.20）
已知： R1 、R2、R3 、R4 、L、C、u、i、，求支路电流i1、 i2 、i3 。
A
A
R1 i1 R2 i2 R3 i3 R4
R1
I1 R2
I2 R3
I3 R4
u
+
L
+ C uS
相量模型
i
-
U
-
+
+
jX L
jX
US
C-
I
B
B
结点电位法
U I
VA 1
R1 1
1
R1 R2 jX L R3 jX C
i 2I sint
u 2U sin(t )
UIZ
Z
R2
X
2 L
i
+
+
第2章 正弦交流电路
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。 下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总 结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
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2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说 明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
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相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为：
26
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2.3.3 电容元件的交流电路 电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t
则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
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相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
第二章正弦交流电路
第2章 正弦交流电路判断题正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ]答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ]答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ]答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ]答案:X正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
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U
t
瞬时值
相量图
I
相量
j U a jb U e U
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写
u、i
U、I
最大值（幅值） --- 大写+下标 复数、相量 --- 大写 + ―.‖
Um
U U m
正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
电压的有效值相量
或：
U e jψ U ψ U m m m
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
2016/10/12
电压的幅值相量
正弦交流电路
17
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 ？ jψ i I msin(ω t ψ ) = I me I m ψ ②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相 量表示。 ③相量的两种表示形式
o o
547 10 25 (5cos 47 j5sin 47 ) [10cos(25 ) j10sin(25 )] 10(3.41 j 3.657) (9.063 j 4.226)
12.48 2.61 12.47 j 0.569
)
U2 3 j 4
U3 3 j 4
o 2 sin( t 126. 9 )
u3 5
o 2 sin( t 126. 9 )
U4 3 j 4
u4 5
2 sin( t 53. 1 )
o
小结：正弦量的四种表示法
i
波形图
Im
T
u U m sin t
220 U 45V ？ 2 j45
•
3.已知：
相量
j30 I 4e A
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
有效值
45 10 60A 2.已知： I
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
最大值
2016/10/12 正弦交流电路
Ψ ( t Ψ )
:
t 0
:
,
给出了观察正弦波的起点或参考点。
2016/10/12
正弦交流电路
9
相位差 ：两同频率的正弦量之间的初相位之差。 如： u
U msin(ω t ψ1 )
相位差 ：绝对 值小于等于180o
i I m sin( t Ψ2 )
2）若改变u2 的参考方向，重复问题 ( 1) 1 2 120 (90) 210 解：1）已知 1 120 则 210 360 150 u1 滞后 2 90 1 120
2 90
2）
30
1
2
若改变u2 的参考方向，则 2 90
第二章 正弦交流电路
1
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 正弦量的相量表示法 2.3 单一参数的交流电路 2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路
2.5 阻抗的串联与并联
2.6 电路的谐振特性
2.7 功率因数的提高
2.8 三相电
2016/10/12 正弦交流电路 2
本章要求
3. 正弦量的三要素
设正弦交流电流：
Im
i
0
t
i Im sin t
初相：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢
幅值：决定正弦量的大小
正 弦 向 量 的 三 要 素
5
2016/10/12
正弦交流电路
2.1.1 周期、频率与角频率
i
周期T：变化一周所需的时间
频率f ：
f 1 T
相量图 相量式
.
I 1 860 A
o
.
o
I2
例
已知: 相量 U1 , U2 , U3 , U4
U2
+j
U1
求: u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . 解: 计算相量的相位角时，
要注意所在象限。
+1
U3 U4
o
U1 3 j 4
u1 5
u2 5
2 sin( t 53 ·. 1
Ue 相量式: U
jψ
U ψ U ( cos ψ jsinψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
2016/10/12 正弦交流电路
I
U
18
④只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。
⑤相量的书写方式
I
U
、 模用最大值表示 ，则用符号： U I m m
e
j
e j
e 2 e j 2j
j
A a jb A cos j A sin A e
相量: 表示正弦量的复数称为相量 设正弦量: 相量表示:
jψ U Ue U ψ
jψ
A ψ
u Umsin( ω t ψ )
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
2016/10/12 正弦交流电路
Im 2
Um 同理： U 2
7
瞬时值、幅值、有效值的区分
瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母 表示如i,u分别表示电流、电压电动势的瞬时 值。i = Imsin( t 0) 最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标表示。 Im Um 如Im、Um。 I= U= 2 2
U ψ U m m
u
2 U sin t
有效值
U ψ U
、I 包含幅度与相位信息。 相量符号 U
例1 i2 = 6 2 sin (w t -
有效值
i1 = 8 2 sin (w t + 60
) 30 o )
o
I1
初相位
60 o 30 o
I 2 6 30 A
T
反映了正弦量振荡的幅度。
有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。 均方根值
0 i R dt I RT
2
2
则有 有效值必 须大写
交流
直流
I
1 T
T
0
i 2 dt
1 T
T
0
2 Im sin 2 ω t dt
注：1.交流电压、电流表测量数 据为有效值 2.交流设备名牌标注的电压、电 流均为有效值
实际应用中，模多采用有效值，符号： 如：已知
、 U I
u 220sin(ω t 45)V
220 j45 j45 e V或 U e V 则 U m 220 2
2016/10/12 正弦交流电路 19
相量图、符号的书写方式
u Umsin
最大值
t
有效值交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗 的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内消 耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电 的有效值，用大写字母表示。如I、U。
2.1.3初相位与相位差
相位：
t ψ
i
i I msin( ωt ψ )
ωt
反映正弦量变化的进程。
O
初相位： 表示正弦量在 t =0时的相位角。
( t 1 ) ( t 2 ) ψ1 ψ2
若
ψ1 ψ2 0
u i
u i
电压超前电流 电流滞后电压
2016/10/12 正弦交流电路
0
ωt
10
ψ1 ψ2 0 电流超前电压
u i i u
u i
ψ1 ψ2 90 电流超前电压90 相位正交
s
i= Imsin( t+i)
T t
Hz
0
T/2
T
2
t
角频率： 2 2 f T
rad/s
正弦量单位时间内变化的弧度数。
电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz
2016/10/12 正弦交流电路 6
2.1.2 幅值与有效值 幅值必须大写,
下标加 m。
幅值：Im、Um、Em
i u
O
ωt
O 90°
ωt
电压与电流同相 u i u i O
2016/10/12
ψ1 ψ2 0
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 u i u i O ωt
11
ωt
正弦交流电路
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。
i i 1
i2
t
则 120 - 90 30 即 u1 超前u2 30
2.2 正弦量的相量表示法
1.矢量图表示法：可用旋转有向线段表示
y
u U m sin t
ω
Um
x
2
t
矢量长度
=
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
2.相量的复数表示
超前 落后 U 1 ？
落后于 U U 2 1
2016/10/12 正弦交流电路 28
3. 复数运算
(1)加减运算——采用代数形式 Im A2
图解法
若
则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
0
t
瞬时值
相量图
I
相量
j U a jb U e U
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写
u、i
U、I
最大值（幅值） --- 大写+下标 复数、相量 --- 大写 + ―.‖
Um
U U m
正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
电压的有效值相量
或：
U e jψ U ψ U m m m
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
2016/10/12
电压的幅值相量
正弦交流电路
17
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 ？ jψ i I msin(ω t ψ ) = I me I m ψ ②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相 量表示。 ③相量的两种表示形式
o o
547 10 25 (5cos 47 j5sin 47 ) [10cos(25 ) j10sin(25 )] 10(3.41 j 3.657) (9.063 j 4.226)
12.48 2.61 12.47 j 0.569
)
U2 3 j 4
U3 3 j 4
o 2 sin( t 126. 9 )
u3 5
o 2 sin( t 126. 9 )
U4 3 j 4
u4 5
2 sin( t 53. 1 )
o
小结：正弦量的四种表示法
i
波形图
Im
T
u U m sin t
220 U 45V ？ 2 j45
•
3.已知：
相量
j30 I 4e A
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
有效值
45 10 60A 2.已知： I
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
最大值
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Ψ ( t Ψ )
:
t 0
:
,
给出了观察正弦波的起点或参考点。
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正弦交流电路
9
相位差 ：两同频率的正弦量之间的初相位之差。 如： u
U msin(ω t ψ1 )
相位差 ：绝对 值小于等于180o
i I m sin( t Ψ2 )
2）若改变u2 的参考方向，重复问题 ( 1) 1 2 120 (90) 210 解：1）已知 1 120 则 210 360 150 u1 滞后 2 90 1 120
2 90
2）
30
1
2
若改变u2 的参考方向，则 2 90
第二章 正弦交流电路
1
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 正弦量的相量表示法 2.3 单一参数的交流电路 2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路
2.5 阻抗的串联与并联
2.6 电路的谐振特性
2.7 功率因数的提高
2.8 三相电
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本章要求
3. 正弦量的三要素
设正弦交流电流：
Im
i
0
t
i Im sin t
初相：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢
幅值：决定正弦量的大小
正 弦 向 量 的 三 要 素
5
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正弦交流电路
2.1.1 周期、频率与角频率
i
周期T：变化一周所需的时间
频率f ：
f 1 T
相量图 相量式
.
I 1 860 A
o
.
o
I2
例
已知: 相量 U1 , U2 , U3 , U4
U2
+j
U1
求: u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . 解: 计算相量的相位角时，
要注意所在象限。
+1
U3 U4
o
U1 3 j 4
u1 5
u2 5
2 sin( t 53 ·. 1
Ue 相量式: U
jψ
U ψ U ( cos ψ jsinψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
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I
U
18
④只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。
⑤相量的书写方式
I
U
、 模用最大值表示 ，则用符号： U I m m
e
j
e j
e 2 e j 2j
j
A a jb A cos j A sin A e
相量: 表示正弦量的复数称为相量 设正弦量: 相量表示:
jψ U Ue U ψ
jψ
A ψ
u Umsin( ω t ψ )
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
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Im 2
Um 同理： U 2
7
瞬时值、幅值、有效值的区分
瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母 表示如i,u分别表示电流、电压电动势的瞬时 值。i = Imsin( t 0) 最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标表示。 Im Um 如Im、Um。 I= U= 2 2
U ψ U m m
u
2 U sin t
有效值
U ψ U
、I 包含幅度与相位信息。 相量符号 U
例1 i2 = 6 2 sin (w t -
有效值
i1 = 8 2 sin (w t + 60
) 30 o )
o
I1
初相位
60 o 30 o
I 2 6 30 A
T
反映了正弦量振荡的幅度。
有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。 均方根值
0 i R dt I RT
2
2
则有 有效值必 须大写
交流
直流
I
1 T
T
0
i 2 dt
1 T
T
0
2 Im sin 2 ω t dt
注：1.交流电压、电流表测量数 据为有效值 2.交流设备名牌标注的电压、电 流均为有效值
实际应用中，模多采用有效值，符号： 如：已知
、 U I
u 220sin(ω t 45)V
220 j45 j45 e V或 U e V 则 U m 220 2
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相量图、符号的书写方式
u Umsin
最大值
t
有效值交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗 的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内消 耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电 的有效值，用大写字母表示。如I、U。
2.1.3初相位与相位差
相位：
t ψ
i
i I msin( ωt ψ )
ωt
反映正弦量变化的进程。
O
初相位： 表示正弦量在 t =0时的相位角。
( t 1 ) ( t 2 ) ψ1 ψ2
若
ψ1 ψ2 0
u i
u i
电压超前电流 电流滞后电压
2016/10/12 正弦交流电路
0
ωt
10
ψ1 ψ2 0 电流超前电压
u i i u
u i
ψ1 ψ2 90 电流超前电压90 相位正交
s
i= Imsin( t+i)
T t
Hz
0
T/2
T
2
t
角频率： 2 2 f T
rad/s
正弦量单位时间内变化的弧度数。
电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz
2016/10/12 正弦交流电路 6
2.1.2 幅值与有效值 幅值必须大写,
下标加 m。
幅值：Im、Um、Em
i u
O
ωt
O 90°
ωt
电压与电流同相 u i u i O
2016/10/12
ψ1 ψ2 0
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 u i u i O ωt
11
ωt
正弦交流电路
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。
i i 1
i2
t
则 120 - 90 30 即 u1 超前u2 30
2.2 正弦量的相量表示法
1.矢量图表示法：可用旋转有向线段表示
y
u U m sin t
ω
Um
x
2
t
矢量长度
=
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
2.相量的复数表示
超前 落后 U 1 ？
落后于 U U 2 1
2016/10/12 正弦交流电路 28
3. 复数运算
(1)加减运算——采用代数形式 Im A2
图解法
若
则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
0