高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握
基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够
在竞争中脱颖而出。
首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞
赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我
们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求
和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常
重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数
列的性质，才能够迅速解决问题。
其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指
含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复
杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有
理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二
项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半
功倍。
另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计
的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等，
是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与
统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有
熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用
代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念，
如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们
求解各种几何问题。在解析几何中，我们需要掌握坐标系的建立与利用，解决线段相交、面积比例以及直线与圆的位置关系等问题。
总的来说，高中数学竞赛知识点非常广泛，但我们只要掌握了一些
关键的知识点，就能够在竞赛中有所斩获。数列与数列极限、代数方程、概率与统计以及解析几何，这些都是我们需要重点关注的知识点。在备战数学竞赛的过程中，我们还需要注重培养解题技巧与思维能力，多做一些相关的练习题，提高我们的解题速度与准确度。只有坚持不懈，不断提高，我们才能够在高中数学竞赛中取得更好的成绩。
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点 在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。 一、函数与方程 1. 一元二次方程 一元二次方程是高中数学中的重要内容。解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。 2. 指数与对数函数 指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。 二、平面几何 1. 相似三角形
相似三角形是平面几何中的重要概念。学生们需要知道相似三 角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用 相似三角形的性质解决相关问题。 2. 圆的性质 圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。 三、立体几何 1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质 学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常 见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并 能够应用这些知识解题。 2. 空间向量 空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基 本性质。在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的 结合。
四、概率与统计 1. 排列与组合 排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。 2. 概率的计算 概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。 总结： 高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。希望这些知识点和技巧对竞赛选手们有所帮助，能够在竞赛中取得好成绩。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点 在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途 径之一。参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培 养他们的思维逻辑和问题解决能力。然而，能够在数学竞赛中脱 颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。本文 将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取 得优异的成绩。 一、函数与方程 在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数 函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。此外，掌握方程的 解法也非常重要。学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够 灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。 二、排列与组合 排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。学生们需要了解排 列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际
问题中。在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。 三、数列与数列极限 数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。 四、不等式 不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。 五、平面几何
平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。学生们需要掌握平 面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式 解决各种几何问题。熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质 和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。 六、立体几何 除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几 何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。熟练掌握立体几何 的体积、表面积和长宽高等计算方法，以及平行四边形、棱柱、 棱锥、球面等重要几何体的性质对解题至关重要。 总结：通过对高一数学竞赛的知识点的介绍，我们可以看到， 掌握基本的数学知识是参加数学竞赛的基础。函数与方程、排列 与组合、数列与数列极限、不等式、平面几何、立体几何等知识 点是高一数学竞赛中的重要考点。学生们应该通过大量的练习和 实践，深入理解这些知识点，并能够熟练地应用到各种题型中。 只有掌握牢固的数学基础知识，才能在数学竞赛中展现出自己的 才华和水平。
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛知识点 高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握 基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够 在竞争中脱颖而出。 首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞 赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我 们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求 和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常 重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数 列的性质，才能够迅速解决问题。 其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指 含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复 杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有 理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二 项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半 功倍。 另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计 的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等， 是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与 统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有 熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用 代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念， 如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们 求解各种几何问题。在解析几何中，我们需要掌握坐标系的建立与利用，解决线段相交、面积比例以及直线与圆的位置关系等问题。 总的来说，高中数学竞赛知识点非常广泛，但我们只要掌握了一些 关键的知识点，就能够在竞赛中有所斩获。数列与数列极限、代数方程、概率与统计以及解析几何，这些都是我们需要重点关注的知识点。在备战数学竞赛的过程中，我们还需要注重培养解题技巧与思维能力，多做一些相关的练习题，提高我们的解题速度与准确度。只有坚持不懈，不断提高，我们才能够在高中数学竞赛中取得更好的成绩。
高中数学竞赛大纲
【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点（共17大点，101小点，244小小点）】 1. **（set） 1.1**的阶，**之间的关系。 1.2**的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 2. 函数（function） 2.1函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1单调性 2.2.2奇偶性 2.2.3周期性 2.2.4凹凸性 2.2.5连续性 2.2.6可导性 2.2.7有界性 2.2.8收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector） 4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法 5.1.4数学归纳法，递归法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法 6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法 6.3.8其他 7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程 7.2直线与二次曲线性质 7.3参数方程 7.4极坐标系 8．立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系 8.2空间中距离和角的计算 8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积 8.5球，球面 8.6三面角
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法
最新高中数学竞赛知识点
数学 1 均值不等式 2 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均3 数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调4 几算方”。 5 其中：，被称为调和平均数。 6 ，被称为几何平均数。 7 ，被称为算术平均数。 8 ，被称为平方平均数。 9 一般形式 10 设函数（当r不等于0时）；（当11 r=0时），有时，。 12 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 13 。 14 特例 15
⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅 16 17 当a=-b时取“=”号） 18 ⑵对非负实数a,b，有，即 19 ⑶对非负实数a,b，有 20 ⑷对实数a,b，有 21 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有 22 23 ⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 24 25 ⑼对非负数a,b,c，有 26 在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）： 27 28 当n=2时，上式即： 29 当且仅当时，等号成立。 30 31 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 32 33 基本形式： 排序不等式的证明 34 要证 35 36 只需证 37 根据基本不等式 38 只需证 39 ∴原结论正确 棣莫弗定理 40 41 设两个复数（用三角形式表示），则： 42 43 复数乘方公式：. 圆排列 44 定义 45
从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同 46 47 元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相48 同。 计算公式 49 50 n个不同元素的m-圆排列个数N为： 特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。 51 费马小定理 52 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且 53 54 (a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只55 有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 组合恒等式 56 57 组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。 58 基本的组合恒等式 59 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) 60 C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) 61 ∑C(i,n)=2^n 62 ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 63 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】） 64 C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n) 65 C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 66 韦达定理 67 逆定理 68 69 如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程 70 的根。 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5] 71 推广定理 72 韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程 73 74 根与系数的关系。 75 定理： 设（i=1、2、3、……n）是方程： 76 77 的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理： 78 79 实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也80 是一个根。 无穷递降法 81
高中数学竞赛公式定理大全
高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于： 1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。 2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。 3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。 4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。 5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。 6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。 7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。 这些公式和定理是高中数学竞赛的重要知识点，需要学生熟练掌握和应用。同时，学生还需要具备灵活运用知识的能力和创造性思维，才能取得优异的成绩。
高中数学竞赛知识点整理
不等式块 1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和） 其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立. 2．应用排序不等式可证明“平均不等式”： 设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是 n n n n n a a a G n a a a A 2121=+++=和 此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到 n n a a a n H 11121+++= ， 和平方平均（在统计学及误差分析中用到） n a a a Q n n 22221+++= 这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○ * 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则 ).)(()(2 22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理 高中数学竞赛作为一种新兴的学科竞赛，已经在中国大陆地区屡获殊荣。许多智力学科竞赛有着严格的知识点提炼，高中数学竞赛也不例外。本文尝试对高中数学竞赛中所涉及知识点进行归纳，以便于考生更好地复习、准备与参加竞赛。 首先，数的基本概念是必不可少的。诸如基数、序数，定点数、整数、分数和小数，有理数、无理数和绝对值，都是需要掌握的基础知识点。同时，还有一些需要注意的特殊数的概念，如负数、有理数的绝对值、科学计数法等。 其次，有关指标函数的概念与应用也非常重要。函数指标可以用来描述一系列研究目标，并用数学语言表达出来。函数指标的概念包括一元函数、二元函数、单调函数、变量函数、指数函数、对数函数、椭圆函数、双曲线函数、根号函数、正弦函数和余弦函数等。这些函数指标的性质与应用可以帮助考生熟悉数学竞赛中的函数特征，为解决数学题目提供帮助。 另外，依据阶段不同，高中数学竞赛也有不同的内容组成，因此也有不同的知识概念需要掌握。例如，在高中一年级，考生需要掌握基本的数学知识，比如数的概念、几何图形及其相互关系等；在高中二年级中，学生需要掌握函数的概念、统计学的知识以及数字的转换等；在高中三年级中，学生需要掌握概率论、动态系统与线性规划等。 此外，考生在参加高中数学竞赛中，还需要掌握一系列的计算手段。算术运算是一项基础，考生应熟悉加减乘除，以及对于进制转换
之类的基本运算；其次，还需要掌握数论、代数、几何和函数等高级计算手段。最后，逻辑性和抽象性思维能力是参加数学竞赛的必备条件，需要考生积极主动地加强自己的抽象和逻辑思维能力，方能在数学竞赛中获得胜利。 综上所述，高中数学竞赛知识点主要涵盖了数的基本概念、指标函数概念、高中数学竞赛课程内容组成及计算手段、思维逻辑等，考生在参加数学竞赛时，都要掌握这些知识点，不断加深自己的知识储备，方能在比赛中取得优异的成绩。
高一数学竞赛知识点汇总
高一数学竞赛知识点汇总 随着数学竞赛的兴起和普及，越来越多的高中生开始加入到数 学竞赛中来。对于高一学生来说，掌握一些常见的数学竞赛知识 点是非常重要的。本文将从数列、概率、三角函数和平面几何四 个方面进行讲解和汇总。 数列部分 在数学竞赛中，数列是一个非常常见的考点。常见的数列有等 差数列、等比数列、斐波那契数列等等。 等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。在计算等差数列的和时，可以利用求和公式进行计算。 等比数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之比都相等。同样地，在计算等比数列的和时，可以利用求和公式进行计算。 斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的每个数等于前两个 数之和。斐波那契数列的数学特性被广泛应用于自然界和各个领域。
概率部分 概率是数学竞赛中的一个重要知识点，也是数学中的一个重要分支。概率可以用来描述随机事件发生的可能性。 在计算概率时，可以使用频率概率和几何概率两种方法。频率概率是通过实验统计的结果来计算的，而几何概率则是通过几何上的分析来计算的。 在概率计算中，常见的技巧有加法原理和乘法原理。加法原理用于计算多个事件中至少发生一个事件的概率，而乘法原理则用于计算多个事件同时发生的概率。 三角函数部分 三角函数是数学竞赛中的一个重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数问题时，可利用三角函数的周期性、奇偶性和 对称性进行简化。此外，还可以利用三角函数的图像性质进行问 题的解答。 平面几何部分 平面几何是数学竞赛中的另一个重要知识点，涵盖了线段、角、三角形、四边形、圆等内容。 在解决平面几何问题时，可以利用几何图形的对称性、相似性 和尺规作图等方法进行推导和解答。 此外，还有一些常见的几何定理和公式需要掌握，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。 总结 数学竞赛知识点的汇总是为了帮助高一学生更好地准备数学竞赛。数列、概率、三角函数和平面几何是数学竞赛中的常见考点，
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛考的知识点 高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的 知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。在这篇文章中，我们 将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。 1.函数与方程 函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。 其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函 数等。考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间 的关系。此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。 2.数列与数列极限 数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。 高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、 极限计算、极限的性质等。 3.概率与统计 概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要 内容。其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以
及统计图表的分析等。考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同 时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。 4.立体几何 立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考 点之一。重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复 杂的立体几何问题中。 5.平面向量 平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结 合的桥梁。平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量 积和向量积等。考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运 用向量进行几何证明和问题求解。 6.三角函数与三角恒等式 三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考 点之一。考生需要熟练掌握三角函数的基本定义、性质和图像， 以及能够灵活运用三角函数的恒等式解决各种三角函数的计算和 证明题。
高中数学竞赛大纲
高中数学竞赛大纲 【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点(共17大点，101小点，244小小点)】 1.**(set)5.1.3不动点法，迭代法1.1**的阶，**之间的关系。5.1.4数学归纳法，递归法1.2**的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理6(不等式(inequality) 6.1解不等式 2.函数(function)6.2重要不等式2.1函数的定义域、值域6.2.1均值不等 式2.2函数的性质6.2.2柯西不等式2.2.1单调性6.2.3排序不等式2.2.2奇偶性6.2.4契比雪夫不等式2.2.3周期性6.2.5赫尔德不等式2.2.4凹凸性6.2.6权方和不等式2.2.5连续性6.2.7幕平均不等式2.2.6可导性6.2.8琴生不等式2.2.7有界性6.2.9Schur不等式2.2.8收敛性6.2.10嵌入不等式2.3初等函数6.2.11卡尔松不等式2.3.1一次、二次、三次函数6.3证明不等式的常用方法2.3.2幕函数6.3.1利用重要不等式2.3.3双勾函数6.3.2调整法2.3.4指数、对数函数6.3.3归纳法2.4函数的迭代6.3.4切线法2.5函数方程6.3.5展开法 6.3.6局部法 3.三角函数(trigonometricfunction)6.3.7反证法3.1三角函数图像与性质6.3.8其他3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值7.解析几何(analyticgeometry)3.4正弦、余弦定理7.1直线与二次曲线方程3.5反三角函数7.2直线与二次曲线性质3.6 4.向量(vector) 4.1向量的运算8(立体几何(solidgeometry)4.2向量的坐标表示，数量积
amc12知识点
amc12知识点 在美国每年举行的学术类竞赛中，American Mathematics Competition（AMC）12级考试是一场非常重要的测试，其考试内容涵盖了高中数学课程的多个知识点，考生在考试时需要掌握的相关知识点如下： 一、代数： 代数是AMC12级考试的主要考察内容之一，考生在此考试中需要掌握的知识点主要包括： 1、方程的求解：包括一元二次方程，一元三次方程，多项式方程以及配方方程等。 2、分式和集合：包括有理数，有理数分式，有理数函数，有理数方程，组合数，集合性质和集合运算等。 3、代数定义与定理：包括一元、多元函数的定义，函数空间，逻辑与数学等定义，以及组合数学，对数，矩阵，向量，可解性，泰勒展开式，方程的几何意义等定理。 4、几何：几何考试中的知识点包括点、线、面的定义，平面几何元素的定义，平面几何的公式，几何定理，空间几何元素的定义，空间几何的公式和定理等。 5、抽象代数：涉及的知识内容包括：群的定义、子群的定义、群的最基本性质、群的性质、群的等价定义、群的（减去空集）最大子群、有序群、群上函数、群的直和和拆分、群的素性以及群的素元性等。
二、分析： 分析在AMC12级考试中也是非常重要的考试内容，需要掌握的知识点包括： 1、实数的定义：定义实数的上下界，定义实数的连续性，定义实数的可穿透性，定义实数的有理性，定义实数的完全性，定义无穷大和无穷小等。 2、极限：涵盖了极限的定义，极限的性质，极限的解释，一阶导数，二阶导数，多元函数的一二阶导数，函数的极值，梯形公式，距离内切圆等知识点。 3、函数：函数是AMC12级考试中的重要考点，涉及的知识有定义域，值域，单调性，非单调性，函数的增减性，函数的最大值与最小值，函数的偶函数，奇函数，奇偶函数，偶函数的性质，非减函数，反函数，函数的奇元性，函数的唯一性，函数的可导性，函数的可积性，函数的可微性，函数的积分，积分函数的性质，函数的连续性，函数的紧致性，函数的序号，函数的反向性，函数的一致性，函数的可算性，函数的多项式，函数的可分解性，函数的完全性，函数可数性，函数的定义域，函数的轴对称，函数的完整性，函数的稳定性，函数的对称性，函数的半轴对称，函数的单调性等内容。 三、数论： AMC12级考试中包括的数论知识点有：素数与合数，最大公因数与最小公倍数，质数的计算，素数和合数的判断，质数的定义，质数理论，无穷大与无穷小的定义，群的定义，群的最基本性质，群的性
(完整版)高中数学竞赛知识点
数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 。 特例 ⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数a,b，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 ⑼对非负数a,b,c，有 在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相 同。 计算公式 n个不同元素的m-圆排列个数N为： 特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 组合恒等式 组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。 基本的组合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑C(i,n)=2^n ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程 的根。 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5] 推广定理 韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。 定理： 设（i=1、2、3、……n）是方程： 的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理： 实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。 无穷递降法 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++=sin sin 2 1 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2 1 sin cos ()()[]βαβαβα-++= cos cos 2 1 cos cos ()()[]βαβαβα--+- =cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2 cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβ αβα-+=- 2 cos 2 cos 2cos cos β αβ αβα-+=+
2 sin 2 sin 2cos cos β αβ αβα-+-=- 万能公式 α α α2tan 1tan 22sin += αα α22tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()() αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去