高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点
在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。
一、函数与方程
1. 一元二次方程
一元二次方程是高中数学中的重要内容。解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。
2. 指数与对数函数
指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。
二、平面几何
1. 相似三角形
相似三角形是平面几何中的重要概念。学生们需要知道相似三
角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用
相似三角形的性质解决相关问题。
2. 圆的性质
圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。
三、立体几何
1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质
学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常
见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并
能够应用这些知识解题。
2. 空间向量
空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基
本性质。在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的
结合。
四、概率与统计
1. 排列与组合
排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。
2. 概率的计算
概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。
总结：
高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。希望这些知识点和技巧对竞赛选手们有所帮助，能够在竞赛中取得好成绩。
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点 在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。 一、函数与方程 1. 一元二次方程 一元二次方程是高中数学中的重要内容。解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。 2. 指数与对数函数 指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。 二、平面几何 1. 相似三角形
相似三角形是平面几何中的重要概念。学生们需要知道相似三 角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用 相似三角形的性质解决相关问题。 2. 圆的性质 圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。 三、立体几何 1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质 学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常 见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并 能够应用这些知识解题。 2. 空间向量 空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基 本性质。在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的 结合。
四、概率与统计 1. 排列与组合 排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。 2. 概率的计算 概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。 总结： 高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。希望这些知识点和技巧对竞赛选手们有所帮助，能够在竞赛中取得好成绩。
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛知识点 高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握 基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够 在竞争中脱颖而出。 首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞 赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我 们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求 和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常 重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数 列的性质，才能够迅速解决问题。 其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指 含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复 杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有 理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二 项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半 功倍。 另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计 的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等， 是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与 统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有 熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用 代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念， 如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们 求解各种几何问题。在解析几何中，我们需要掌握坐标系的建立与利用，解决线段相交、面积比例以及直线与圆的位置关系等问题。 总的来说，高中数学竞赛知识点非常广泛，但我们只要掌握了一些 关键的知识点，就能够在竞赛中有所斩获。数列与数列极限、代数方程、概率与统计以及解析几何，这些都是我们需要重点关注的知识点。在备战数学竞赛的过程中，我们还需要注重培养解题技巧与思维能力，多做一些相关的练习题，提高我们的解题速度与准确度。只有坚持不懈，不断提高，我们才能够在高中数学竞赛中取得更好的成绩。
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法
高二数学竞赛试题及答案(精品)
高二数学竞赛拔高试题（二） 时间：120分钟 满分150分 命题人：张付涛 审题人：郝庆全 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分） 1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．已知数列{}n a 的通项公式22 45n a n n =-+，则{}n a 的最大项是 （ ） A ．1a B ．2a C ．3a D ．4a 3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的 两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （ ） A. B. 3 C. D. 4 4、若关于x 的方程323()2 5x a a += -有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D. 23 (,) 34- 5．关于x 的不等式0202 2<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是 （ ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。则满足不等式|Sn-n-6|<1251 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．直线 分别与轴，轴交于，两点，点在圆 上，则 面积的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2) 4a π = 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()2 4 y x π =+ +. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( ) A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 11．设 ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 ( ) A. B. 2 C. D. 12．已知 ()122007122007 f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且 2 (32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 （ ）. （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝ 14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441 a b ab ++的最小值为___________.
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理 高中数学竞赛作为一种新兴的学科竞赛，已经在中国大陆地区屡获殊荣。许多智力学科竞赛有着严格的知识点提炼，高中数学竞赛也不例外。本文尝试对高中数学竞赛中所涉及知识点进行归纳，以便于考生更好地复习、准备与参加竞赛。 首先，数的基本概念是必不可少的。诸如基数、序数，定点数、整数、分数和小数，有理数、无理数和绝对值，都是需要掌握的基础知识点。同时，还有一些需要注意的特殊数的概念，如负数、有理数的绝对值、科学计数法等。 其次，有关指标函数的概念与应用也非常重要。函数指标可以用来描述一系列研究目标，并用数学语言表达出来。函数指标的概念包括一元函数、二元函数、单调函数、变量函数、指数函数、对数函数、椭圆函数、双曲线函数、根号函数、正弦函数和余弦函数等。这些函数指标的性质与应用可以帮助考生熟悉数学竞赛中的函数特征，为解决数学题目提供帮助。 另外，依据阶段不同，高中数学竞赛也有不同的内容组成，因此也有不同的知识概念需要掌握。例如，在高中一年级，考生需要掌握基本的数学知识，比如数的概念、几何图形及其相互关系等；在高中二年级中，学生需要掌握函数的概念、统计学的知识以及数字的转换等；在高中三年级中，学生需要掌握概率论、动态系统与线性规划等。 此外，考生在参加高中数学竞赛中，还需要掌握一系列的计算手段。算术运算是一项基础，考生应熟悉加减乘除，以及对于进制转换
之类的基本运算；其次，还需要掌握数论、代数、几何和函数等高级计算手段。最后，逻辑性和抽象性思维能力是参加数学竞赛的必备条件，需要考生积极主动地加强自己的抽象和逻辑思维能力，方能在数学竞赛中获得胜利。 综上所述，高中数学竞赛知识点主要涵盖了数的基本概念、指标函数概念、高中数学竞赛课程内容组成及计算手段、思维逻辑等，考生在参加数学竞赛时，都要掌握这些知识点，不断加深自己的知识储备，方能在比赛中取得优异的成绩。
(完整版)高中数学竞赛知识点
数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调停平均数不高出几何平均数，几何平均数不高出算术平均数，算术平均数不高出平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调停平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当 r 不等于 0 时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特别状况，即 。 特例 ⑴对实数 a,b ，有（当且仅当a=b 时取“号=”），（当且仅当 a=-b 时取“=号”） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数 a,b ，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数 a,b ，有
⑺对实数 a,b,c ，有 ⑻对非负数a,b ，有 ⑼对非负数a,b,c ，有 在几个特例中，最出名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）： 当 n=2 时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 依照均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 依照基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从 n 个不同样元素中不重复地取出m （1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n 个不同样元素的圆排列。若是一个m-圆排列旋转可以获取另一个m- 圆排列，则认为这两个圆排列相同。 计算公式 n 个不同样元素的特别地，当m=n m- 圆排列个数N 为： 时， n 个不同样元素作成的圆排列总 数 N 为：。
费马小定理 小定理 (Fermat Theory) (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡1（ mod p 有一个公数 1) ，那么 a 的 (p-1)是数中的一个重要定理，其内容：若是 p 是数，且 ）。即：若是 a 是整数， p 是数，且 a,p 互 (即两者只次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式 合数 C(k,n) 的定：从n 个不同样元素中取k 个行合的个数。 基本的合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑C(i,n)=2^n ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（个性叫合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ ⋯⋯ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+ ⋯⋯ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 若是两数α和β 足以下关系：α+β= ，α·β=，那么两个数α和β是方程 的根。 通达定理的逆定理，可以利用两数的和关系构造一元二次方程。[5] 实行定理 达定理不可以明一元二次方程根与系数的关系，可以实行明一元n 次方程根与系数的关系。 定理： （ i=1 、 2、 3 、⋯⋯n）是方程： 的 n 个根，k 整数），有：。[实系数方程虚根成对定理： 系数一元n 次方程的虚根成出，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，=a-bi 也是一个根。 无量递降法 无降法是明方程无解的一种方法。其步： 假方程有解，并X 最小的解。 从 X 推出一个更小的解Y。
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛考的知识点 高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的 知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。在这篇文章中，我们 将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。 1.函数与方程 函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。 其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函 数等。考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间 的关系。此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。 2.数列与数列极限 数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。 高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、 极限计算、极限的性质等。 3.概率与统计 概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要 内容。其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以
及统计图表的分析等。考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同 时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。 4.立体几何 立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考 点之一。重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复 杂的立体几何问题中。 5.平面向量 平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结 合的桥梁。平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量 积和向量积等。考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运 用向量进行几何证明和问题求解。 6.三角函数与三角恒等式 三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考 点之一。考生需要熟练掌握三角函数的基本定义、性质和图像， 以及能够灵活运用三角函数的恒等式解决各种三角函数的计算和 证明题。
奥数的各种知识点归纳总结
奥数的各种知识点归纳总结 奥数的各种知识点归纳总结 奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项全球性的数学竞赛活动，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力起着重要的作用。参加奥数竞赛不仅要掌握基本的数学知识和技巧，还需要具备扎实的数学基础和灵活的思维方式。在这篇文章中，我们将对奥数竞赛中常见的知识点进行归纳总结，以便帮助读者更好地理解和应用这些知识。 1. 数论 数论是奥数竞赛中常见的一个知识点，它涉及整数的性质和规律。在数论中，常见的问题包括质数与合数、最大公因数和最小公倍数、同余关系、整数的奇偶性等。掌握数论的基本原理和定理，能够帮助我们解决一些有关整数的问题。 2. 代数 代数是奥数竞赛中的另一个重要知识点，它涉及方程、不等式、函数等数学概念和运算。在代数中，我们需要掌握解方程的方法和技巧，包括一元二次方程的求根公式、因式分解、配方法等。此外，还需要熟悉函数的性质和图像，了解函数的定义域、值域以及奇偶性等概念。 3. 几何 几何是奥数竞赛中不可或缺的一部分，它涉及图形的性质、定理和推理。在几何中，我们需要熟悉各种图形的定义和重要性质，如圆的周长和面积、三角形的内角和、平行线的性质等。此外，还需要掌握解几何问题的方法，包括相似三角形的性质、三角形的面积公式、共线定理等。 4. 组合数学
组合数学是奥数竞赛中的一门重要学科，它涉及选择和排列问题的计数方法和技巧。在组合数学中，我们需要了解排列、组合和二项式系数的概念和计算方法，掌握计数问题的基本原理和技巧，如乘法原理、加法原理、排列组合的计算公式等。 5. 不等式 不等式是奥数竞赛中常见的一个考点，它涉及数值大小关系的描述和推理。在不等式中，我们需要掌握不等式的性质和运算规则，理解不等式的图像性质和解不等式的方法。熟练掌握不等式的性质和解题技巧，能够在解决实际问题时提供有力的数学工具。 6. 极限与无穷 极限与无穷是奥数竞赛中的一部分，它涉及函数值的趋于某一值或趋于无穷的性质和推导。在极限与无穷中，我们需要理解极限的概念和性质，掌握常用的极限运算法则和计算方法。此外，还需要了解无穷级数的概念和性质，理解数列的收敛和发散。 以上所述只是奥数竞赛中常见的一些知识点的归纳总结，还有很多其他的知识点和技巧需要我们掌握和应用。在学习和准备奥数竞赛时，我们应该注重理论知识的学习和掌握，也要注重实际问题的解决能力的培养。同时，通过大量的练习和思考，加深对知识点的理解和应用，才能在竞赛中取得好的成绩。奥数竞赛是一个综合素质的考察，希望每一位参与者都能通过不断的努力和提高，在奥数竞赛中取得优异的成绩 综上所述，奥数竞赛涉及的知识点包括数论、代数、几何、组合与计数、不等式以及极限与无穷等。在学习和准备奥数竞赛时，我们应该全面掌握这些知识点，并注重实际问题的解决
高二数学奥赛试题
·1· O N M C B A D A B E C F 夏津一中高二数学奥赛复试试题 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分） 1．函数()4cos cos2y x x x R =+∈值域是 ．． 2．已知复数z 满足1z =，则2 1z z -+的最大值是 ． 3．如图，在⊿ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ，,AB mAM AC nAN ==，则m n +的值是 ． 4．如果关于x 的不等式1x a x x +<++的解集是R ，则实数a 的取值范围是 ． 5．已知正数,,a b c 满足4a b abc +=，则a b c ++的最小值是 ． 6．已知对x R ∀∈，()2 log sin cos 2a x x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．． 7．已知{}{},,,,,,,A B C a b c d e A B a b c ==， c A B C ∈，则符合上述条件的{},,A B C 共有 组． 8．已知函数() f x ，对x R ∀∈，有()()131******** 4 f x f +=+-= ， 则()2013f = ． 9．用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -六个顶点涂色， 要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色， 则不同的涂色方法有 ．种． 10．假设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，则实数a 的取值范围是 ．． 二、解答题（本大题共5个小题，前两个小题各15分，后三个小题各20分，共90分） 11．（本小题满分15分）如图所示， 在长方体1111ABCD A BC D -中， 已知11,2,AD AB AA c ===，
高二数学竞赛知识点
高二数学竞赛知识点 一、函数与方程 1. 函数的定义和性质 - 函数的定义：函数是一种具有特定关系的量与量之间的对应关系。 - 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。 2. 一次函数与二次函数 - 一次函数的基本形式：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。 - 二次函数的基本形式：y = ax^2 + bx + c，其中a不为零，a 为抛物线的开口方向。 3. 不等式与方程 - 不等式的解集表示：开区间、闭区间、无解等。 - 方程的解集表示：实数解、无解、解集不唯一等。 二、立体几何与解析几何 1. 平面几何与立体几何
- 图形的性质：直线、角、三角形、四边形、圆等的性质与特点。 - 空间几何体：立体的名称、性质以及相关计算方法。 2. 向量与坐标 - 向量的定义与性质：模、方向、共线性、平行性等。 - 坐标系的建立：直角坐标系、极坐标系等。 3. 解析几何中的直线与曲线 - 直线的方程：点斜式、两点式、截距式等。 - 曲线的方程：圆的方程、椭圆的方程等。 三、数列与数论 1. 数列的基本概念 - 数列的定义与表示：通项公式、递推公式、前n项和等。 - 等差数列与等比数列：求和公式、前n项和公式等。 2. 数学归纳法与数列的应用
- 数学归纳法的原理与步骤。 - 数列问题的解决：递推关系、数列的特性等。 3. 数论的基本概念 - 最大公约数与最小公倍数：求解方法与性质。 - 质数与合数：判断方法、性质等。 四、概率与统计 1. 概率的基本概念 - 随机事件与样本空间：事件的定义与表示。 - 概率的意义与计算：频率与概率之间的关系。 2. 概率的计算方法 - 古典概型与几何概型：计算步骤与例题解析。 - 条件概率与独立性：计算方法与应用。 3. 统计的基本概念与应用 - 数据收集与整理：调查的方式与步骤。
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线
是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠ CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案 试题（一） 一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。AP 交BC 于N 、CP 交AB 于M 。求BMN ∆外心O 的轨迹。(12分) 二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。 (12分) 三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥， ()()()() ()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得 1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ ，则称A 可逆。(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。 (2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可 逆，试证：5A B +亦可逆。
试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈ ⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭ ，试求A 。 (5分) 二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。求方程 22[2]2[][]x x x x -+= 在03x ≤<内所有实数解。(5分) 三、设a 和b 为实数，且使方程 43210x ax bx ax ++++= 至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22 a b +的最小可能值。(6分) 四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =， 求(54)f 。(5分)
高中数学竞赛知识点整理
不等式块 1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和） 其中 一排列j ,12 设有 n H Q n =3 4 则.21212211n b b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 例题讲解 1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a c b a abc c b a ++≥
3．：.222,,,3 33222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+ 求证 4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同， 求证：.3213121 12 23221n a a a a n n ++++≤++++ . 5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++ 6．已知a 789．n 1.轮换技巧.(ab +-c b 22≥+2. 不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且c b ,， c a 都大于等于1. 评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>n a n a a i a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121n a a a n n a a a +++ （3）本题还可用其他方法得证。因a b b a b a b a ≥，同理 c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,， 另c b a c b a c b a c b a ≥，4式相乘即得证.
高二数学竞赛讲义裴蜀恒等式
高二数学竞赛班二试讲义 第3讲 裴蜀恒等式 班级 姓名 一、知识点金 1．欧几里得除法：设,a b 为整数，0b >，按下述方式反复作带余除法，有限步之后必然停止（即余数为零）： 用b 除a ：000,0a bq r r b =+<< 用0r 除b ：01110,0b r q r r r =+<< 用1r 除0r ：012221,0r r q r r r =+<< …… 用2n r -除3n r -： 321112,0n n n n n n r r q r r r ------=+<< 用1n r -除2n r -： 211,0n n n n n n r r q r r r ---=+<< 用n r 除1n r -： 11n n n r r q -+= 则(,)n a b r = 实际上，由于余数01,,r r ⋅⋅⋅为整数，且满足0110n r r r ->>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅≥，从而上述的带余除法有限步后余数必为零。因此 000011211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n a b bq r b b r r r r r r r r q r r -+=+====⋅⋅⋅=== 给定,a b ， 欧几里得除法不仅能（在有限步内）求出(,)a b ，还可以证明方程 (,)ax by a b += ① 有一组整数解,x y ，并能实际地求出一组解。具体的做法是将欧几里得除法倒推回去： 21n n n n r r r q --=-，1321n n n n r r r q ----=-，…，101r b r q =-，00r a bq =-， 依次消去1210,,,,n n r r r r --⋅⋅⋅，得到一组整数,x y ，使得(,)n r ax by a b =+=。 2．,a b 互素的充分必要条件是，存在整数,x y ，使得1ax by += ② 等式②称为（互素整数的）裴蜀恒等式。 3．若,a b 互素，且|a bc ，则|a c 。 4．若p 是素数，且1 | n i i p a =∏，则至少有一个i a ，使得|i p a (1)i n ≤≤ 5．若12,,,n a a a ⋅⋅⋅两两互素，且|i a A ，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，则1 |n i i a A =∏。 6．设(,)a b d =，则( ,)1a b d d = 二、例题分析 例1． 记2 21,0k k F k =+≥。证明：若m n >，则|(2)n m F F -
高二数学竞赛试题附答案(1)
大学区高二数学竞赛试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共计50分） 1、设P,Q 是两个非空数集，定义集合P+Q=｛a+b|a ∈P ,b ∈Q ｝,若P=｛0，2，5｝，,Q=｛1，2，6｝，则P+Q 中元素的个数是 （ ） A 6 B 7 C 8 D 9 2、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是 （ ） A 102659+． B 84142+． C 8412017+． D 150. 3、 如果 (0,)a π∈, 1 lg(1cos ),lg()1cos m n αα-==+, 那么 lgsin α=( ) A m n -. B 1m n + ． C 1()2m n -． D 11 () 2 m n +． 4、对任意的函数 () y f x =，在同一个直角坐标系中，函数 () -1y f x =与函数 () -+1y f x = 的图像 （ ） A 关于x 轴对称. B 关于直线1x =对称． C 关于直线-1x =对称． D 关于y 轴对称 5、若11x F x x -⎛⎫ = ⎪+⎝⎭，则下列等式中正确的是 （ ） A ()()22F x F x --=--. B ()1-1x F x F x -⎛⎫ = ⎪+⎝⎭． C ()1F F x x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭． D ()F F x x =-⎡⎤⎣⎦ 6、 已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2α的值为（ ） A ．4 5 B ．43 C ．34 D ．23
7、 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若222 222c a b ab =++， 则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 8、若圆2 22)5(3r y x =++-）（有且仅有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1， 则半径r 的取值范围是（ ） A 、［4,6］ B 、[4, 6 ） C 、（4,6 ］ D 、（4,6） 9、等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若1030=1070s =，s ，则40s 等于（ ） A 150. B -200． C 150或-200． D 400或-50 10、．已知 ()1122,,(,) A x y B x y 是函数 2()12x f x x = -图像上不同的两点，若AB 的中 点落在x 轴上，则2212x x +的取值范围为 （ ） A ．1 (,) 16+∞ B ．1 (,) 8+∞ C ．1 (,) 4+∞ D ．1 (,)2+∞ 二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分） 11、已知1+sin 1cos 2x x =- ，那么cos sin 1x x -的值是 。 12、已知函数()1,1044,01 x x x f x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭ ⎪≤≤⎩，则 ()34log f = 。 13、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ( )OP OA AB AC λ=++,[)0λ∈+∞， ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 。 14、函数 () 20y x x =>的图像在点 2(,)k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k N + ∈，若116a =，则135a a a ++= 。 15、对任意的20, 31x x a x x >≤++恒成立，则a 的取值范围是 。
高二数学竞赛试题及答案
高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷〔选择题〕 一、填空题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<