张元鹏《微观经济学》(中级教程)习题详解(第13章 博弈论与厂商的策略性行为)

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1．判断下列表述是否正确，并简要说明理由。

（1）如果每个人的策略都是占优策略，那么必将构成一个纳什均衡。

（2）在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。

（3）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡的最后一次重复必定是原博弈的一个纳什均衡。

（4）无限次重复的古诺博弈不一定会出现合谋生产垄断产量的现象。

（5）如果博弈重复无限次或每次结束的概率足够小，而得益的贴现率δ充分接近1，那么任何个体理性的可实现得益都可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现。

（6）触发策略所构成的均衡都是子博弈完美纳什均衡。

答：（1）正确。

每一个占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡要求它是对所有其他参与人的某个特定的策略组合的最优选择，则自然它也是对所有其他参与人的某个特定的策略组合的最优选择，从而占优策略组合必将构成一个纳什均衡。

（2）错误。

在囚徒困境中，“坦白”永远是两个囚徒的最优策略，不管对方选择“坦白”还是“抵赖”，“坦白”都是自己的最优选择，因而占优策略均衡仍为（坦白，坦白）。

（3）正确。

最后一次博弈，双方都会根据自身利益最大化行事，相当于一次博弈的效果，因而是原博弈的一个纳什均衡。

（4）正确。

是否合谋生产主要看符不符合利润最大化的要求。

只有当贴现系数δ足够大时，双方采取触发策略才是均衡的；若贴现系数δ较小，偏离合谋生产是厂商的最优选择。

（5）正确。

只有符合个人理性要求的利益最大化时，个体才会选择合作。

事实上，任何子博弈完美纳什均衡都是个人理性的结果。

（6）错误。

只有当触发策略有更高的预期收益时，参与者才会选择触发策略，否则参与者会直接选择非合作。

2．划拳喝酒是我国民间很流行的游戏，其中一个版本是：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯战略，即杆子、老虎、鸡和虫子。

输赢规则是，杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。

两个人同时出令。

如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为O。

请把这个游戏模型化为一般博弈形式，并写出这个博弈的收益矩阵。

这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：该博弈的矩阵表述如表13-5所示。

表13-5由划线法可知，该博弈不存在纯策略纳什均衡，但存在混合策略纳什均衡。

设A 出杆子、老虎、鸡的概率分别为p 、q 、r ，则出虫子的概率为1p q r ---。

混合策略纳什均衡应使B 出杆子、老虎、鸡和虫子的期望收益相同，即：()()()()()()()()010*******010*******p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⋅+⋅+⋅+---⋅-=⋅-+⋅+⋅+---⋅=⋅+⋅-+⋅+---⋅=⋅+⋅+⋅-+---⋅化简得：2112p q r p r p q r p r ++-=-+=---=-，即14p q r ===，故A 应以相同的概率（14）选择各种出令。

同理，B 也应以相同的概率（14）选择各种出令。

此时A 和B 的期望收益均为零。

3．一个工人给一个老板干活，工作工资是110元。

工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。

假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资则总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元的产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板和工人之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。

请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？用得益矩阵或扩展型表示该博弈并作简单分析。

（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？用得益矩阵或扩展型表示该博弈并作简单分析。

答：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，老板是否克扣工资的行动发生在工人是否偷懒之后，先行动者的行为对后行动者的选择产生影响，且后行动者能观察到先行动者的选择，因而该博弈属于完全信息动态博弈，其扩展型如图13-7所示。

图13-7老板克扣工资后，其收益为产出加上克扣的60元工资。

利用倒推归纳法：在工人做完选择后，老板为了达到收益最大化一定会选择克扣工资，而不论工人是否偷懒；工人知道老板的这一选择，为了使自身收益最大，工人会选择偷懒，所以最终的均衡结果为（偷懒，扣工资），收益为（50，140）。

（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，即两人同时行动，因而该博弈属于完全信息静态博弈，其得益矩阵如表13-6所示。

表13-6 收益矩阵“扣工资”是老板的占优策略，“偷懒”是工人的占优策略，因而占优策略均衡（也是纳什均衡）为（偷懒，扣工资），收益为（50，140）。

4．考虑下列策略型博弈：（1）（2）（3）请在上述每个博弈中，（1）找出占优均衡；（2）会有几个纳什均衡，为什么？（3）有混合策略纳什均衡吗？答：（1）以上三个策略型博弈均不存在占优均衡，因为对任一参与者来说，均不存在一个固定的最优策略，每个参与者的最优选择会随着对手的选择发生变化。

（2）利用划线法可知，博弈1的纳什均衡为（U，M），博弈2的纳什均衡为（U，L），博弈3的纳什均衡为（D，R）。

（3）对于策略型博弈1，设参与人A选择U的概率为p，则选择D的概率为1p-，混合策略纳什均衡要求：()()-=+-⋅=，无解，从而混合策略纳什均衡不存在。

p p p p31211对于策略型博弈2，设参与人A选择U、M、D的概率分别为p、q、1p q--，混合策略纳什均衡要求：()()+=++--=++--，解得21p q p q p q p q p q34612681p=>，舍去，故混合策略纳什均衡不存在。

对于策略型博弈3，令B 取L 的概率为p ，取M 的概率为q ，取R 的概率为1p q --。

混合策略纳什均衡要求：221p q p q p q -=-+=--，解得1p q ==，无意义，舍去，故混合策略纳什均衡不存在。

5．甲乙两人面临一个分割游戏。

面对着10个一角钱的硬币，甲先提出给乙1个或2个或3个……或10个硬币。

然后，乙可以接受或拒绝甲的提议。

如果乙接受甲的提议，那么10个硬币按甲的提议分割；如果乙拒绝甲的提议，两人便什么也得不到，游戏结束。

请求出子博弈精炼纳什均衡。

答：子博弈精炼纳什均衡为（甲，乙）=（9，1）。

用倒推归纳法求解：如果乙拒绝甲的提议，则其收益为零，所以无论甲的提议是什么，只要给乙的收益大于零，乙都会接受；而甲为了保证自己的收益最大，会给乙最小的正收益，即1角，自己留9角。

6．大林和小林哥俩分一块冰淇淋。

大林先提出如何分（假设冰淇淋是可以任意分割的），小林可以接受或拒绝。

小林若接受大林的提议，他俩就接大林的提议分食冰淇淋；小林若拒绝大林的提议，小林就可以提议分法。

但这时候，冰淇淋化得只剩1/2了。

然后，大林可以接受或拒绝小林的提议。

大林若接受，则按小林的提议分食；若拒绝，则两人什么也吃不到，博弈结束。

试求该博弈的子博弈完美纳什均衡。

（提示：试用倒推归纳法。

）答：该博弈分三阶段，利用倒推归纳法。

设吃整块冰淇淋的得益为单位1。

从第3阶段开始，如果大林拒绝小林的提议，则什么也得不到，收益为零，所以小林在第一次拒绝大林的提议后，只要自己提议给大林一个足够小的δ（0δ>），大林都会接受，此时小林得到12δ-；回到第2阶段，只要大林第一次分给小林的冰淇淋小于12δ-，小林都会拒绝，然后自己重新提议，以确保自己得到12δ-，所以，大林第一次便会提议给小林12δ-，这样自己得到12δ+，此时，小林也会接受，因为小林若拒绝后重新再分配也无法得到超过12δ-的收益。

故该博弈的子博弈完美纳什均衡为（12δ+，12δ-），两人第一次便完成分配。

7．考虑下列扩展型博弈（1）（2）请解释上述扩展型博弈的动态博弈过程，每个博弈有纳什均衡吗？答：（1）动态博弈过程：1先选择，若选L ，博弈结束；若选R ，2在L '和R '中做出选择。

2若选L '，博弈结束；2若选R '，1在L ''和R ''中做出选择，然后博弈结束。

利用倒推归纳法求解：第3阶段，1为了使自己得益最大，会选择L ''，此时2的得益为零，所以2在第2阶段不会选择R '，转而选择L '，但此时1的收益变为1，小于1选择L 时的收益2，所以纳什均衡为（2，0），1选择L 后博弈即告结束。

（2）动态博弈过程：1现在L 和R 中选择，随后2在U 和D 中做出选择，博弈结束。

利用倒推归纳法求解：2为了使自己的得益最大，当1选L 时，2会选D ；当1选R 时，2会选U ，所以1面临的最终可能收益为（1，2）或（2，1）。

从得益最大角度出发，1应该选择R ，最终得到支付2。

故纳什均衡为（R ，U ）。

8．一个厂商有许多顾客。

每个顾客可能只买一次或有限次该厂商的商品，但厂商与顾客总体的交易可以看作无限次重复的。

在博弈的每一个阶段，厂商选择销售商品的质量，顾客选择是否购买。

如果双方的得益如下列矩阵所示，顾客决定是否购买时不知道所买产品的质量，但知道所有以前的顾客购买产品的质量。

请问在什么情况下厂商会始终只销售高质量的商品？答：由于总体交易为无限次重复的，且顾客知道以前顾客购买产品的质量，如果以前顾客购买的是低质量的，则现在顾客不会购买。

所以该博弈相当于无限次重复博弈，且采取触发策略，即厂商只要提供高质量产品，顾客会一直购买；只要厂商提供低质量产品，顾客便停止购买。

设贴现系数为11rδ=+，其中r 为一时期内的市场利率。

厂商始终提供高质量产品的总收益为211111πδδδ=+⋅+⋅+⋅⋅⋅=-，而厂商在某阶段提供低质量产品的总收益为22002πδδ=+⋅+⋅+⋅⋅⋅=。

当121δ>-，即12δ>，厂商便会一直销售高质量商品。

9．在伯特兰价格博弈中，假定有2个寡头生产企业，需求函数为()120p Q Q =-，其中12Q q q =+，又假设每个厂商的边际成本为0。

假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略”（一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略”）。

求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子σ。

解：两企业若选择合谋，利润函数为：()120Q Q π=-。