抛物线经典习题练习题
1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；(3)定点不在定直线上．❶其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 1.若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 2.焦点到准线的距离等于p ，焦点非零坐标是一次项除以4. 3.焦点与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即2p 4＝p 2
4.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.
设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2)|AF |＝x 1+2p ，|BF |＝x 2+2p ，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α
(α为弦AB 的倾斜角)； (3)1|FA |＋1|FB |
＝2p ； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
一．抛物线定义：
1.一个动圆经过点F （-1,0），又与直线L:x=1相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A.x y 42=
B.x y 22-=
C.x y 42-=
D.x y 82
-=
2.已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆与直线x=-1相切，则动圆必过定点（ ）A.（2,0）B.（1,0）C.（0,1） （1）当Q （Q Q y x ,）为抛物线内任意一点，则存在PQ PF +的最小值,当P 、Q 两
点的纵坐标相等时，即2min p Q x EQ PQ PF +==+（内部连准线）
（2）当Q （Q Q y x ,）为抛物线外任意一点，存在PQ d +最小值，当Q 、P 、F 三点
共线时，()()2
2
2min Q p Q y x FQ PQ d +-==+（外部连焦点）
由此类比抛物线py x 22=的最值问题，把握内连准线，外找焦点。
3.．(1)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.
(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．172 B ．3C ． 5 D ．92
4.已知点P 为抛物线x y 42=上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A （3,4），d PA +的最小值为（ ）
A.52
B.152-
C.152+
D.252-
5.已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x -y+5=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,到直线l 的距离为d 2.求d 1+d 2的最小值.
为 。
6.若点P 为抛物线x y 82
=上的动点，点Q 在以C （2,0）位圆心，半径为1的圆上运动，则PC PQ +的最小值为 。 二. 抛物线的焦点位置判断：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.
1已知抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则P 的值为（ ） （A ） （B ）1 （C ）2 （D ）4
2..设A 、B 为抛物线)0(22≠=p px y 上的点，且090=∠AOB （O 为原点），则直线AB 必过的定点坐标为__________.
12
2.顶点在原点，且过点P （-4,4）的抛物线标准方程是（ ）
A.x y 42-=
B.y x 42=
C.x y 42-=或y x 42=
D.x y 42=或y x 4-2
=
3.设抛物线的顶点在原点，且其准线方程为：x=2，则抛物线的方程为________．
4.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，倾斜角为 60的直线L 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，3=AF ，则抛物线的方程为（ ）A.x y 32= B.x y 292= C.x y 232=或x y 2
92= D.x y 32=或x y 92= 抛物线的几何性值
5.过点（-1,0）且与抛物线x y =2
有且仅有一个公共点的直线有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且两点的横坐标之和为4，则线段AB 的长度为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.8
8.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点（其中A 点在第一象限），3=，则直线L 的斜率为
9.过抛物线C:x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若BF AF 3=，则AB 斜率为 。
10.设抛物线C:x y 32
=的焦点为F ，过点F 且倾斜角为 30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ） 11.已知抛物线的方程为x y =2，A ，B 为抛物线上两点，F 为抛物线焦点，若3=+BF AF ，则AB 的中点到y 轴
的距离为 。
12．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ）A ．43 B ．75 C ．85 D ．3
13．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
14.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ， OA →·OB →＝1 (1)求抛物线的方程；
(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．
15.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线 x sin θ+y cos θ-1=0相切(θ为常数).
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若椭圆C 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作直线l 与椭圆交于M ,N 两点,求
·的最大值.
抛物线习题精选(带答案)
抛物线习题精选 一、选择题 1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）． A．45°B．60°C．90°D．120° 2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）． A．1条B．2条C．3条D．4条 3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若 ，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）． A．B．C．D． 4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（） A．B．C．D． 5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（） A．B．C．D． 6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（） A．4 B．－4 C．D．
7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（） A．B． C．D． 8．当时，关于的方程的实根的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（） A．－1 B．1 C．7 D．9 10．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（） A．10 B．8 C．6 D．4 12．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（） A．小于B．等于C．大于D．不能确定 13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0） 14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（） A．1 B．C．2 D．
抛物线运动练习题(含答案)
抛物线运动练习题(含答案) 抛物线运动练题 (含答案) 问题一 一颗子弹以水平速度100 m/s 射向离地面20m的点，以重力加 速度10 m/s²作用下，子弹射出后多久击中地面？ 答案： 使用抛物线运动的公式，可以计算出子弹击中地面所需的时间。抛物线运动公式为： h = v₀t + 1/2gt² 其中，v₀表示初始速度，g表示重力加速度，h表示高度，t表示时间。 代入已知数据：
h = 20m v₀ = 100 m/s g = 10 m/s² 将公式稍作变形，得到： t² + 20t - 40 = 0 解这个二次方程，可求得： t ≈ -23.3 秒或t ≈ 1.7 秒 因为时间不能为负数，所以子弹射出约1.7秒后击中地面。 问题二 一个人从离地面15m的点以速度20 m/s斜抛一个物体，物体飞行的距离是多少？ 答案：
根据抛物线运动的公式，可以计算出物体的飞行距离。抛物线运动公式为： d = v₀x t 其中，v₀x表示初始水平速度，t表示时间，d表示距离。 我们需要找到物体运动的总时间，然后将其代入公式中计算距离。 首先，我们可以使用重力加速度的公式计算物体运动所需的时间 t₀： h = v₀yt₀ + 1/2gt₀² 将公式代入已知数据： h = 15 m v₀y = 20 m/s g = 10 m/s²
可得到： 15 = 20t₀ + 1/2 * 10 * t₀² 将这个方程稍作整理，得到二次方程： 5t₀² + 20t₀ - 30 = 0 解这个二次方程，可求得： t₀ ≈ -1.85 秒或 t₀ ≈ 0.85 秒 因为时间不能为负数，所以物体运动约0.85秒后落地。然后，我们将求得的 t₀代入公式： d = v₀x * t₀ 代入已知数据：
抛物线基础训练题经典含答案
抛物线基础训练题 1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 D A. x y 42= B. x y 82= C.y x 42= D.y x 82= 2.已知直线l 及抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 A A.425 B. 225 C. 825 D.25 3.已知抛物线的焦点在直线y x 2--4=0上，则此抛物线的标准方程是C A.x y 162= B.y x 82-= C. x y 162=或y x 82-= D. x y 162=或y x 82= 4.直线y =kx -2及抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 B A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是 5.动圆M 经过点A (3，0)且及直线l :x =-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A A. x y 122= B. x y 62= C. x y 32= D.x y 242= 6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ） Ａ.椭圆 Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线 Ｄ.圆 7.双曲线＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k 的取值范围是（B ） Ａ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12） 8.以=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ） A. B. C. D. 9.抛物线y =x ２ 上到直线２x -y =4距离最近的点的坐标是（ B ） Ａ.(45,23) Ｂ.(1，1) Ｃ.( 49,23) Ｄ.(2，4)
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中抛物线经典练习题(含详细答案) 初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。以下为题目和解答。 第一组题型】 1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$ 1）求此二次函数的解析式； 2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。 解： 第一问】 因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。将 $x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。将 ②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为 $y=x^2+2x-8$。
第二问】 因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。又 $\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即 $|y_p|=5$。故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。 2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线 $y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。 1）求抛物线的表达式及对称轴； 2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、 $C$两点直线的表达式。 解： 第一问】 因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$， 分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$- ----①。将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$- 6=8+2m+n$-------------②。将②代入①，解得：$m=-4$，$n=-
(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析)
《抛物线》典型例题12 例 典型例题一 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． 22 （1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 1 2 1 1 （2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a ①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右， 2 4a 11 ∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1． 4a 4a ②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左， 2 4a 11 ∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a 2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x1 4a 4a 典型例题二 例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程． 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线
斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ． 故所求直线方程为： y 2x 2 ． 则所求直线方程为： y 2x 2 ． 典型例题三 例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ， 解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由： y kx 2 2 y 2 8x 可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0． ∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k 1． ∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 8 2 k 2 2， 解得： k 2 或 k 1 舍去)． 解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 2 8x 1 2 y 2 8x 2 ． 两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即 y 1 y 2 x 1 x 2 8 y 1 y 2 x 1 x 2 4 y 1 y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ， k 4k 8 4 故 k 2或 k 1 (舍去)．
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案 在这篇文章中，我将为你提供一些关于抛物线的练习题及其答案。抛物线是高中数学的重要概念之一，在解题时需要运用二次函数和平方根的知识。让我们开始解题吧！ 练习题一： 1. 给定抛物线的顶点坐标为 (2, 3)，过点 (4, 5) 且对称轴为 x = 2，请写出该抛物线的标准方程。 答案一： 首先，我们知道对称轴的方程为 x = 2。由于对称轴与抛物线的平移或翻转无关，因此点 (4, 5) 在对称轴两侧的两个点关于对称轴对称。 将顶点坐标代入标准方程中，可以得到： y = a(x - h)^2 + k， 其中 (h, k) 是顶点坐标。 代入 (2, 3) 可得： 3 = a(2 - 2)^2 + 3， 化简后，得到 a = 1。 因此，该抛物线的标准方程为： y = (x - 2)^2 + 3。
练习题二： 1. 给定抛物线的焦点坐标为 (0, 2)，抛物线经过点 (4, 5)，求该抛物线的方程。 答案二： 由于焦点坐标为 (0, 2)，我们可以推断出对称轴为 y = -2。根据抛物线的性质，点 (4, 5) 和焦点在对称轴同侧。 我们需要找到抛物线的顶点坐标才能写出方程。由于抛物线的顶点坐标位于对称轴上，所以顶点坐标为 (h, -2)。 由于焦点坐标为 (0, 2)，利用焦点和顶点构成的线段长度等于焦点到抛物线上任意一点的距离，我们可以得到以下等式： √((h-0)^2 + (-2-2)^2) = √((4-h)^2 + (5-2)^2)。 化简上述等式可得 h = -1。 因此，抛物线的顶点坐标为 (-1, -2)。 将焦点坐标和顶点坐标代入抛物线的一般方程，得到： (x - 0)^2 = 4p(y - 2)， 其中 p 是焦距的倒数，即 p = 1/(4a)。 由于焦点到顶点的垂直距离为 4p，可以通过焦点和抛物线上任意一点计算得到。 √((-1-0)^2 + (-2-5)^2) = 4p，
抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94 ，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2 ＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离 为( ) A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.14 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题
初三抛物线练习题及答案
初三抛物线练习题及答案 抛物线是数学中的基本图形之一，也是初中数学中重要的内容之一。掌握抛物线的性质和解题方法，不仅能提高数学水平，还有助于培养 逻辑思维和分析问题的能力。下面是一些初三抛物线练习题及答案， 希望能对同学们的学习有所帮助。 1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4)，经过点(2, 1)，求抛物线的解析式。 解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。 由已知顶点坐标(-1, 4)，可得：4 = a(-1)^2 + b(-1) + c 化简得：a - b + c = 4 （式1） 由已知经过点(2, 1)，可得：1 = a(2)^2 + b(2) + c 化简得：4a + 2b + c = 1 （式2） 解方程组（式1）和（式2），得到a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式。 2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么？ 解析：对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。对于一般形式的抛 物线y = ax^2 + bx + c，其对称轴的公式为x = -b/2a。 对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1，将其转化为一般形式，即a = 2，b = 3，c = 1。 代入公式x = -b/2a，可得对称轴的方程：x = -3/(2*2)
化简得：x = -3/4 所以，抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。 3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1)，求抛物线的解析式。 解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。 由已知点(1, 5)，可得：5 = a(1)^2 + b(1) + c 化简得：a + b + c = 5 （式3） 由已知点(-2, 1)，可得：1 = a(-2)^2 + b(-2) + c 化简得：4a - 2b + c = 1 （式4） 解方程组（式3）和（式4），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。 4. 已知抛物线过点(3, 4)，顶点坐标为(-1, -2)，求抛物线的解析式。 解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。 由已知点(3, 4)，可得：4 = a(3)^2 + b(3) + c 化简得：9a + 3b + c = 4 （式5） 由已知顶点坐标(-1, -2)，可得：-2 = a(-1)^2 + b(-1) + c 化简得：a - b + c = -2 （式6） 解方程组（式5）和（式6），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案 抛物线练习题及答案 抛物线是数学中一个经典的曲线，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。掌握抛物线的性质和解题方法对于理解和应用这一曲线具有重要意义。本文将介绍一些常见的抛物线练习题，并给出详细的解答。 1. 已知抛物线的顶点为(2, 3)，焦点为(2, 1)，求抛物线的方程。 解答：由于抛物线的顶点和焦点均在x轴上，所以抛物线的方程可表示为(x-2)^2 = 4p(y-3)，其中p为抛物线的焦距。由题目中给出的焦点坐标可知焦距 p=2-1=1。代入方程中，得到(x-2)^2 = 4(y-3)。 2. 已知抛物线的焦点为(0, 3)，直径的两个端点分别为(4, 0)和(-4, 0)，求抛物线的方程。 解答：由于抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线的方程可表示为x^2 = 4py， 其中p为抛物线的焦距。由题目中给出的直径的两个端点可知焦距p=4/2=2。代入方程中，得到x^2 = 8y。 3. 已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。 解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 2-(-1) = 3。由于过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，所以满足方程4 = a(3)^2 + b(3) + c。另外，这两个点也是抛物线的顶点，所以满足方程c = 2 - a - b。 将以上两个方程代入抛物线的方程中，得到4 = 9a + 3b + (2 - a - b)，化简得到3a + 2b = -2。根据这个方程可以解得a和b的值。代入抛物线的方程中，
初三抛物线简单练习题
初三抛物线简单练习题 抛物线是数学中的一种曲线，具有独特的形状和性质。在初中数学中，我们经常遇到关于抛物线的简单练习题。本文将为大家介绍几道初三水平的抛物线简单练习题，帮助大家加深对抛物线的理解。 1. 将抛物线的概念和性质用自己的话进行解释。 抛物线是指平面上的一种曲线，其形状呈现出对称性。它由一个定点（称为焦点）和一条直线（称为准线）确定。抛物线的性质包括：焦点到准线的距离与焦点到抛物线上任意一点的距离相等；抛物线关于准线对称；抛物线上任意一点都与焦点和准线的距离成正比关系。 2. 计算以下抛物线的顶点坐标： a) 抛物线的方程为 y = 2x^2 - 4x + 3； b) 抛物线的方程为 y = -x^2 + 6x - 5； a) 对于方程 y = 2x^2 - 4x + 3，我们可以通过求导数找到顶点坐标。 首先，将方程转化为标准形式 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 为顶点坐标。 y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1) + 3 - 2 = 2(x - 1)^2 + 1 因此，该抛物线的顶点坐标为 (1, 1)。 b) 对于方程 y = -x^2 + 6x - 5，同样进行转化为标准形式的步骤。
y = -x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 6x + 9) - 5 + 9 = -(x - 3)^2 + 4 因此，该抛物线的顶点坐标为 (3, 4)。 3. 若抛物线的焦点坐标为 (2, 3)，准线方程为 x = 1，求抛物线的方程。 我们已知抛物线的焦点坐标为 (2, 3)，则焦点到准线的距离为焦点 到抛物线上任意一点的距离，即2。根据抛物线性质，直线 x = 1 就是 准线。 考虑到焦点到准线的距离可以用焦点坐标与准线的距离差表示，设 抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，则焦点到准线的距离为 2 = 3 - 1 = 3 - (2a + b + c)。 因此，我们可以得到方程 2 = 2a + b + c。 另外，焦点到抛物线上任意一点 (x, y) 的距离为√[(x - 2)^2 + (y - 3)^2]，根据抛物线性质，焦点到抛物线上任意一点的距离与焦点到准 线的距离相等。我们可以得到方程√[(x - 2)^2 + (y - 3)^2] = 2。 求解以上两个方程组，可以得到抛物线的方程为 y = 3x^2 - 12x + 11。 通过以上三道练习题，我们对于初三水平的抛物线问题有了更深入 的了解。抛物线在数学中有广泛的应用，掌握其基本概念和性质对于 解题至关重要。希望大家通过多做练习题，加深对抛物线的理解，提 高数学解题的能力。
高中数学抛物线经典例题
高中数学抛物线经典例题 抛物线是高中数学中一个经典的重要概念，它在很多数学问题中发挥着重要的作用。本文将介绍几个有代表性的抛物线例题，并对其解法进行详细的讲解。 首先，我们来看一个经典的问题：已知一条抛物线的顶点是（2，-3），且过点（1，0），求该抛物线的方程。 解法：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得到两个方程： -3 = a * 2^2 + b * 2 + c (1) 0 = a * 1^2 + b * 1 + c (2) 将（2）式代入（1）式，得到： -3 = 4a + 2b + c 结合（2）式可以得到一个二元一次方程组： 4a + 2b + c = -3 （3） a + b + c = 0 （4） 解方程组（3）和（4）可以得到： a = -1 b = 3 c = -2 因此，抛物线的方程为y = -x^2 + 3x - 2。 接下来，我们来看一个与抛物线相关的优化问题：已知一条公路的两个固定点A（-4，0）和B（4，0），一位汽车在该公路上行驶，其行驶速度始终为13m/s。行驶在该公路上的汽车，需要到达距离起点A距离为10米的地方，求汽车应该选择的行驶路线，使得行驶时间最短。 解法：设汽车行驶的路线为抛物线的方程y = ax^2 + bx + c，其中x表示汽车行驶的距离，y表示汽车离起点A的距离。此时，我们需要求解该抛物线方程中的系数a、b、c。
由于抛物线的顶点为（2，-3），得到抛物线的顶点公式为： x = -b / (2a) y = -(b^2 - 4ac) / (4a) 代入顶点坐标得到两个方程： 2 = -b / (2a) （5） -3 = -(b^2 - 4ac) / (4a) （6） 根据题目要求，汽车需要到达距离起点A距离为10米的地方，即取x = 10，得到： 10 = -b / (2a) （7） 求解（5）和（7）可以得到： a = -0.2 b = 4 将a和b代入（5），可以求解出c： 2 = 4 / (2 * (-0.2)) + c c = 0 因此，汽车应该选择的行驶路线即为y = -0.2x^2 + 4x。 最后，我们来看一个与抛物线相关的物理问题：一个投掷物体从地面上的某点O以初速度v0竖直向上抛出。设抛出点的坐标为原点，且物体受到的重力加速度g = 10m/s^2。求物体的运动方程。 解法：假设物体的运动方程为y = ax^2 + bx + c，其中x表示时间，y表示物体距离原点的垂直高度。由于物体竖直向上抛出，初速度为正，因此a < 0。 根据牛顿第二定律，我们可以得到物体的加速度表达式： a = -g = -10 考虑到物体是竖直向上抛出，所以初始速度的y分量v0y = v0，x分量v0x = 0。 根据物理的公式，我们有： v0y = a * t + v0y0 y = 0.5 * a * t^2 + v0y0 * t + y0 代入初始条件得到初速度的表达式： v0 = a * t + v0y0
初三抛物线的基础练习题
初三抛物线的基础练习题 一、填空题 1. 一个抛物线的方程为y=2y^2+3y−4，其中横坐标为3时，纵坐标为_______。 2. 已知一个抛物线的顶点坐标为(2,-5)，则该抛物线的方程为 _______。 3. 抛物线y=−y^2+2y+3的对称轴方程为y=_______。 4. 已知抛物线y=−y^2+yy+3的对称轴方程为y=2，则抛物线的顶点坐标为_______。 5. 抛物线的焦点是(0,3)，其对称轴方程为y=4，则该抛物线的方程为_______。 二、选择题 1. 下列哪个二次函数的图像是一个抛物线？ A. y=2y^2+3y+4 B. y=2y+5 C. y=y^3−4y^2+3y−2 D. y=3√y 2. 已知一个抛物线的焦点为(5,3)，则该抛物线的对称轴方程为： A. y=5
B. y=3 C. y=−5 D. y=−3 3. 已知一个抛物线的方程为y=−y^2+4y−3，求其顶点坐标。 A. (2,-1) B. (3,2) C. (-2,1) D. (-3,-2) 4. 若一个抛物线的焦点为(-2,-6)，则该抛物线的方程为： A. y=−2y^2−6y−2 B. y=−2y^2+6y−2 C. y=2y^2−6y+2 D. y=2y^2−6y−2 5. 一个抛物线的焦点为(1,4)，顶点坐标为(2,9)，则该抛物线的方程为： A. y=2y^2−12y+15 B. y=−2y^2+12y−15 C. y=−2y^2+12y+15 D. y=2y^2−12y−15
三、解答题 1. 求抛物线y=y^2+2y−3的焦点、对称轴方程和顶点坐标。 2. 若y=yy^2+yy+y的抛物线的焦点为(4,1)，顶点坐标为(2,3)，则该抛物线的方程为什么？求出y、y和y的值。 3. 求抛物线y=−y^2+4的焦点、对称轴方程和顶点坐标。 4. 已知一个抛物线的焦点为(3,2)，过点(1,4)，求该抛物线的方程。 5. 抛物线的焦点为(0,5)，顶点坐标为(1,6)，求该抛物线的方程和对称轴方程。 四、应用题 1. 一个喷泉喷水的高度由一个抛物线来表示，该抛物线的焦点为(0,9)，喷泉的喷水口位于抛物线的顶点处，喷水的最高高度为12米。问喷水孔的高度和抛物线的方程。 2. 一个摄影爱好者拍摄的喷泉照片中，抛物线的焦点位于底部水池中心的顶部，抛物线的顶点位于抛物线的焦点和水池边缘的中点，已知水池的直径为10米，问抛物线的方程。 五、解答提示 1. 若抛物线的方程为y=yy^2+yy+y，则其顶点坐标为(−y/(2y), y(−y/(2y)))。 2. 抛物线的焦点为(y,y)，对称轴方程为y=y，焦点到顶点的距离等于y+|y|。
抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 ( 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．2 3 3 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 " 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题 }
抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题(含答案) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，±62 B.⎝⎛⎭⎫74，±72 C.⎝⎛⎭⎫94，±32 D.⎝⎛⎭⎫52 ，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.14 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝ ⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题
抛物线典型例题
抛物线题型1：抛物线定义的应用 1.已知F是抛物线产二X的焦点，A、B是该抛物线上的两点，，AF + B F^ = 3 ,则线段 AB 的中点到了轴的距离为. 2.设抛物线尸=8X的焦点为F,准线为1，点P为该抛物线上一点，PA 1 1，点A为垂足， 如果直线AF的斜率为一、3 ，那么PF=. 3.已知以F为焦点的抛物线尸二4X上的两点A、B满足AF = 3FB，则弦AB的中点到准线的距离为 ___________ . 题型2：求抛物线的方程 4.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为X二 -2，则该抛物线的方程是. 5.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是 ______ . 6.已知抛物线过点P（—3,2），则该抛物线的标准方程为，其准线方程为 7.已知抛物线的焦点F在直线X— " 一4"0上，则该抛物线的标准方程为 其准线方程为 _________ .
8.已知动圆与圆A：（X—3）2 +尸=9外切，且与y轴相切，则动圆圆心M的轨迹方程为 9.若抛物线y2 = 2p X（P > 0 ）的焦点恰好是双曲线X2 一尸二2的右焦点，则p = 10.若抛物线""2PX（p > 0）的准线经过双曲线X2 一尸二1的一个焦点，则p . 11.已知抛物线的焦点是双曲线16X2 —9尸=144的左顶点，则该抛物线的标准方程为 12.已知抛物线的焦点F在X轴上，直线y二 -3与该抛物线交于点A，并且।A F卜5，则该 抛物线的标准方程为__________ . 题型3：抛物线的性质 13.已知抛物线C：产=2 p X（p > 0）过点A（1,—2），与抛物线C有公共点的直线1平行 于OA（O为坐标原点），并且直线OA与1之间的距离等于5，则直线1的方程为 14.过抛物线X2=2p y（p > 0）的焦点作斜率为1的直线1与该抛物线交于A、B两点，A、B在^X轴上的正射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为12J2，则p =.
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题 一．解答题（共7小题） 1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5． （1）求抛物线C的方程； （2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4． （i）证明：直线AB过定点； （ii）求|F A|•|FB|的最小值． 2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2． （1）求抛物线C的方程； （2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值． 3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程； （2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． （1）求抛物线的方程； （2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求|AB|． 6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程； （2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|
的值． 7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5． （1）求抛物线C的方程； （2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线基础练习题
抛物线基础练习题 一. 选择题 1．抛物线212y x =的准线方程是 A.3x = B. 3x =- C. 3y = D. 3y =- 2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = A.1 B.2 C. 1- D. 2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是 A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭ 和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 10,8⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭ 和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛ ⎫- ⎪⎝⎭ D. 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 4．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y + =的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 5．若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6．设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为1 2 ，则此椭圆 的方程为 A ．22 11216 x y + = B ．22 11612x y + = C ．22 14864x y + = D ．22 16448 x y + = 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ． 2 B ．3 C D ．92 8． 已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是 A ． 115 B ．3 C ．2 D ． 3716 9．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 A ．11⎛⎫- ⎪， B ．11⎛⎫ ⎪， C ．(12)， D ．(12)-，
抛物线典型例题12例(含标准答案)
《抛物线》典型例题12例 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12= ，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41( a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0 ∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ． 解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ． 典型例题三 例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22 >=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =， 则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作 l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知： BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 2 1 )(21)(21111=+=+= AB MM 2 1 1= ∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．