数学建模优化类问题例子

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生活中的数学建模问题例子

生活中的数学建模问题例子生活中的数学建模问题数学建模是将实际问题抽象为数学模型的过程，通过数学模型的建立和求解，可以对问题进行分析、预测和优化。

在生活中，我们会遇到许多需要用数学建模来解决的问题。

下面是一些常见的例子。

1. 交通拥堵问题问题描述在城市交通流量较大时，往往会出现交通拥堵的情况。

为了合理规划交通流量，我们需要建立一个能预测交通拥堵程度的数学模型。

建模过程•收集数据：首先，我们需要收集一段时间内的交通数据，包括车辆数量、行驶速度等信息。

•分析数据：根据收集到的数据，我们可以分析交通拥堵的原因和模式。

例如，可以通过分析车辆密度和速度的关系来确定交通流量的阈值。

•建立数学模型：基于分析结果，我们可以建立一个数学模型来描述交通拥堵程度。

例如，可以使用流体力学中的守恒方程，考虑车辆的流入、流出和流动等因素。

•模型求解：通过求解建立的数学模型，我们可以得到交通拥堵程度的预测结果。

•模型评估和优化：根据模型预测的结果，我们可以评估当前交通规划的效果，并提出优化建议。

2. 疫情传播问题问题描述在疫情爆发时，我们希望能够及早预测疫情的传播趋势和规模，以便采取相应的措施来控制疫情。

建模过程•收集数据：收集疫情传播的相关数据，包括感染人数、治愈人数、病毒传播速度等信息。

•分析数据：利用收集到的数据，我们可以分析疫情传播的特点和规律。

例如，可以通过分析感染人数的增长速度来预测疫情的传播趋势。

•建立数学模型：基于分析结果，我们可以建立一个数学模型来描述疫情传播的过程。

例如，可以使用传染病数学模型中的传染病传播动力学模型，考虑人群的感染、康复和死亡等因素。

•模型求解：通过求解建立的数学模型，我们可以得到疫情传播的预测结果。

•模型评估和优化：根据模型预测的结果，我们可以评估当前疫情防控的效果，并提出优化建议。

3. 资产投资问题问题描述在投资领域，我们希望能够通过建立数学模型来分析不同投资策略下的收益和风险，并进行优化选择。

数学建模案例分析__最优化方法建模6动态规划模型举例

WORD整理版专业资料学习参考 §6 动态规划模型举例

以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。使用时间俞长，处理价值也俞低。另外，每次更新都要付出更新费用。因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。（1）阶段整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k。（2）状态状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。各

阶段的状态通常用状态变量描述。常用k

x表示第k阶段的状态变量。n个阶段的决策过程有1n

个状态。用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。（3）决策某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量。决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用)(kkxu表示第k阶段处于状态kx时的决策变量，它是kx的函数，用)(kkxD表示kx的允许决策

3.数学建模之优化模型实例[1]

即按照模式1、2、3分别切割10、10、8根原料钢管，使用原料钢管总根数为28根。第一种切割模式下一根原料钢管切割成3根4米钢管和1根6米钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成2根4米钢管、1根5米钢管和1根6米钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根8米钢管。如果充分利用LINGO建模语言的能力，使用集合和属性的概念，可以编写以下LINGO程序，这种方法更具有一般的通用性，并有利于输入更大规模的下料问题的优化模型：
优化建模
模型建立决策变量由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi 表示按照第i种模式（i=1, 2, 3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4米长、5米长、6米长和8米长的钢管数量分别为r1i, r2i, r3i, r4i（非负整数）。决策目标以切割原料钢管的总根数最少为目标，即目标为
优化建模
问题1）的求解
问题分析首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将19米长的钢管切割成3根4米长的钢管，余料为7米显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表1所示。
Reduced Cost 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
优化建模

数学建模中的优化模型

Q(t ) (8 gt)(80 rt ) 4t
4r 40g 2 t =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r 40g 2 t rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
40 r 60 t , r 1.5 r
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
LINGO 中对 0-1 变量的限定： @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3);
x1 My1 , x1 80y1 , y1 {0,1} M为大的正数, x2 My2 , x2 80y2 , y2 {0,1} 本例可取1000
其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：
x1 80, x2 0, x3 80
x1 80, x2 80, x3 80

x1 , x2 , x3 0

x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划.
Global optimal solution found. Objective value: 632.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 64.00000 -2.000000 X2 168.0000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.

数学建模解决实际问题的实践案例

数学建模解决实际问题的实践案例数学建模是一种将实际问题进行抽象、建模、求解、验证的一种方法，可以解决各种各样的实际问题。

实践中，数学建模已经发展成为一门独立的学科，吸引着越来越多的学生和专业人士关注和参与。

本文将介绍数学建模解决实际问题的一些实践案例，以期为学习和实践的人提供一些启示和借鉴。

1. 预测疫情发展趋势随着全球新冠疫情的爆发，各国政府和公众非常关注疫情的发展趋势。

数学建模可以帮助预测疫情的传播和爆发趋势，为政府制定应对措施提供参考和依据。

一个成功的例子是2020年初，中国各大高校和研究机构联合开展的“新冠疫情数学建模竞赛”，其中多个团队使用了数学模型预测了疫情的发展趋势，并对实际情况进行调整和优化，取得了很好的成果。

2. 优化交通运输系统交通拥堵是城市发展的一大难题，为了解决这个问题，可以使用数学模型优化交通运输系统。

例如，瑞典斯德哥尔摩的交通问题比较突出，瑞典皇家理工学院的研究人员使用数学模型建立了一个交通仿真系统，可以模拟不同的交通场景，优化交通路线和信号灯的配时，从而减少拥堵和排放污染物。

3. 改善医疗服务质量医疗服务是人民生活的重要组成部分，如何优化医疗服务质量是医疗行业面临的重要问题。

数学模型可以帮助医疗机构优化医疗流程和资源配置，提高医疗服务效率和质量。

例如，美国佛罗里达州的一家医疗中心就使用了数学模型对医生的看诊时间进行优化，从而减少了等待时间和排队人数，提高了医疗服务质量和满意度。

4. 提高金融风险管理能力金融风险管理是金融机构必须面对的问题之一，如何预测和管理风险是保证金融行业稳定发展的关键。

数学模型可以帮助金融机构进行风险评估和预测，制定风险管理策略。

例如，中国银监会就使用了数学模型对风险指标进行监测和预测，从而提高了银行业的风险管理能力和金融稳定性。

总的来说，数学建模可以解决各种各样的实际问题，这些案例只是冰山一角。

数学建模不仅有理论上的重要性，更有实践上的应用价值。

数学建模课程设计-优化问题

在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。

本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。

在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。

对于问题一：我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=151jjj py=∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO对其模型求解，得到最优解。

对于问题二：同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=151j jjkp上述模型得到最优解结果如下：关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 65 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．76 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．77 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．88、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 91、问题的重述某手机运营商准备在一个目前尚未覆盖的区域开展业务，计划投资5000万元来建设基站。

该区域由15个社区组成，有7个位置可以建设基站，每个基站只能覆盖有限个社区。

图1是该区域的示意图，每个社区简化为一个多边形，每个可以建设基站的位置已用黑点标出。

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在日常生活和工业生产中，我们常常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手里有一根长度固定的原木，而客户向你订购了各种不同长度的木板。

为了最大限度地利用这根原木，减少浪费，同时满足客户的订单需求，你需要思考怎样切割才能达到最优效果。

这不仅仅是简单的切割操作，而是涉及到数学的精确计算和策略规划。

比如说，我们有一根长度为 10 米的原木，而客户需要 2 米长的木板 3 块，3 米长的木板 2 块。

那么，我们应该怎样切割这根原木呢？这就需要用到数学建模的方法来找到最优的切割方案。

首先，我们来分析一下可能的切割方式。

一种方式是直接按照客户的需求进行切割，即先切出 3 段 2 米长的，然后再切出 2 段 3 米长的。

但这样可能会剩下 1 米的废料。

另一种方式是尝试不同的组合，比如先切出 2 段 3 米长的，然后从剩下的 4 米中再切出 3 段 2 米长的，这样就没有废料产生。

但这只是简单的举例，实际情况可能会更加复杂。

为了找到最优的切割方案，我们需要建立一个数学模型。

假设原木的长度为 L，客户需要的木板长度分别为 l1, l2, l3,， ln ，数量分别为n1, n2, n3,， nn 。

我们的目标是在满足客户需求的前提下，使废料最小或者利用率最大。

我们可以定义一个变量 xij 表示第 i 种长度的木板切割 j 段。

那么，我们的约束条件就是：对于每种长度的木板，其切割的数量要满足客户的需求，即∑j xij ＝ni 。

同时，切割的总长度不能超过原木的长度，即∑i j × lij × xij ≤ L 。

接下来，我们的目标函数可以是使废料最小，即 Minimize （L ∑i j × lij × xij) ，或者使利用率最大，即 Maximize （∑i j × lij × xij ／ L) 。

数学建模优化问题

[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制： LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值； LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
•使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.
无约束最优化问题求解无约束最优化问题的的基本思想 *无约束最优化问题的基本算法返回
求解无约束最优化问题的基本思想
标准形式：
m f X in
X E n
其中 f : E n E 1
m f X = m [ f X ] a i
X E n X E n
求解的基本思想 ( 以二元函数为例 )
其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。
例 1 求 f = 2 e x s x 在 0 < x < 8 中的 i 最小值与最大 n 值
主程序为wliti1.m:
数学建模优化问题
一般优化问题概述
离散优化discrete optimization 或组合优化combinatorial optimization
整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 Integer programming
✓ 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) ✓ 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) Pure (mixed) Integer programming 一般整数规划，0-1（整数）规划 Zero-one programming

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的材料上进行最优的截断切割，以最大程度地提高材料利用率、降低成本，是一个具有实际意义和挑战性的问题。

接下来，让我们深入探讨一下最优截断切割问题的经典案例。

想象一下，有一家家具厂接到了一批订单，需要生产一定数量的桌子和椅子。

而用于制作桌椅的原材料是长度固定的木板。

为了满足订单需求，同时尽可能减少浪费，就需要精心规划木板的切割方式。

假设我们有一块长度为 L 的木板，要将其切割成若干段，用于制作不同长度的零件。

比如，我们需要制作长度分别为 a1, a2, a3,， an 的零件，且每个零件的需求量分别为 b1, b2, b3,， bn 。

首先，我们来考虑一种简单的切割方案。

如果不考虑最优性，只是随意切割，可能会导致大量的材料浪费。

比如，先把木板切割成需要的最长零件长度，然后再用剩余的部分切割较短的零件。

但这样的方法往往不是最优的，因为可能会在最后剩下一些无法有效利用的小段材料。

那么，如何才能找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的思想。

我们可以建立一个目标函数，目标是使切割后的剩余材料最少，或者等价地说，使切割出的有用材料最多。

设切割方案为 x1, x2, x3,，xn ，分别表示切割出长度为 a1, a2, a3,， an 的零件的数量。

则我们的目标函数可以表示为：Maximize ∑xi ai （在满足约束条件的情况下）约束条件通常包括：∑xi ai ≤ L （切割出的零件总长度不能超过木板长度）xi ≥ bi （切割出的每种零件数量要满足需求）xi 为整数（因为零件的数量必须是整数）接下来，我们可以使用一些数学优化算法来求解这个模型，比如线性规划、整数规划等方法。

为了更好地理解，让我们来看一个具体的例子。

假设木板长度 L ＝10 米，需要切割出长度为 2 米、3 米和 4 米的零件，需求量分别为 5 个、3 个和 2 个。

数学建模案例分析--最优化方法建模6动态规划模型举例

可编辑范本 § 6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。（ 2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。使用时间俞长，处理价值也俞低。另外，每次更新都要付出更新费用。因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。（1）阶段整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为 k 。（2）状态状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。各

阶段的状态通常用状态变量描述。常用Xk表示第k阶段的状态变量。n个阶段的决策过程有 n 1

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数学建模优化类问题例子
1.最佳生产计划：有一家汽车零部件制造公司，需要决定该如何安排生产计划以最大化利润。

该公司需要考虑每个零部件的生产成本、供应链的延迟和运输成本等因素，以确定最佳的生产数量和交付时间。

2.最优投资组合：一位投资者有一定资金，希望通过合理的资产配置来最大化投资回报。

该投资者需要考虑不同资产类别的风险和回报率，并使用数学建模优化方法来确定最佳的资产配置比例。

3.旅行销售员问题：一位旅行销售员需要在多个城市之间进行访问，并希望以最小的总行驶距离完成所有访问任务。

通过使用数学建模和优化算法，销售员可以确定最佳的访问顺序，从而减少总行驶距离和时间。

4.最佳路径规划：在一个迷宫中，有一只小老鼠需要找到从起点到终点的最短路径。

通过将迷宫与数学模型相关联，可以使用图论和最短路径算法来确定小老鼠应该采取的最佳行动策略。

以上只是一些例子中的几个，实际上数学建模和优化方法可以应用于各种不同的问题领域，包括金融、物流、能源管理、医疗决策等。

通过数学建模和优化，可以帮助人们做出更明智的决策，提高效率和效果。