大学物理动量动量定理
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大学物理第4章-动量和角动量
与地面碰撞的时间为t
由动量定理得：
F
，重tt12心F下dt移了ps2
。
p1
ห้องสมุดไป่ตู้
F Mv0
t2 t1
t
t
设人落地后作匀减速运动到静止，则：
讨论
v v0 at ,v2 v02 2as
F Mv02 2s
v02 2gh
t 2s v0 h
F Mg s
设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：
称质心：质点系的质量中心)的概念。 N个质点组成的系统∶
• • •• • m1, m2 ,, mi ,, mN
y
m1 m2
• • •• 位矢分别为 • • • •• • •
•C
m3
mi
x
• • r1 , r2 ,..., ri ,..., rN
mN
• 质点系的动量为∶
p m1v1 m2v2 ... mN vN
F1
m1
: F1
f1
dp1 dt
f1 f2 0
f1
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系：
即：
F
外
dp dt
n
Fi
i 1
d dt
n i 1
pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。
四、质点系的动量定理： 1、微分形式： 由
F
大学物理2-5动量定理
t2 F d t t1
d p2
p1
p
p2
p1
动量定理
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
I t2 Fdt t1
于是得到积分形式
I p2 p1
这就是动量定理：物体在运动过程中所受到的
合外力的冲量，等于物体动量的增量。 动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
冲量 的I方向一般不是力 在F某(t)一瞬时的方向。
解得 N Mg M 2gh /
代入M、h、的值，求得：
(1) N 3103 (9.8 29.81.5 / 0.1)) N 3103 (9.8 29.81.5 / 0.01)
1.7106牛顿
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程， 动量变化为零。
重力作用时间为 2h / g
§2-5 动量定理
微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬 时关系。某些情况下，并不需要考虑中间过程，仅 需考虑力的累积作用对物体运动状态的影响。这时 候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是 动量定理与动能定理。
1. 动量定理
由牛顿第二定律的微分形式
Fdt d p
考虑一过程，时间从t1 t2，两端积分
的大小，根据动量定理，得到平
F
均冲力： F I /
t1
t2 t
动量定理
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其 使用范围是惯性系。
例 题 2-6 质 量 M=3t 的 重 锤 ， 从 高 度 h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工
件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图：
大学物理-第二章2-3 动量和动量定理
t
0
P F d t d p p p0
P0
3
力 F 对时间的积累，称为力 F 的冲量(implus)，即 t I F dt
所以 I p p mv mv 0 0
t0
此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力 在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结 论称为动量定理。 F为恒力时 I = F (t - t 0 ) F 为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替 t t0 F d t F I = F (t - t 0 ) t t0 4
16
三、 动量守恒定律
如果
Fi 0
n i 1
即
n
则
mi vi 恒矢量
i 1
n d ( mi vi ) 0 d t i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
m v
i 1 n i
n
ix
恒量
恒量
(当 Fix 0 时) (当 Fiy 0 时) (当 Fiz 0 时)
A 跳水运动中游泳池的设计深度
24
F b S v k b S
dv 2 m = kv dt
v
2
F k v
2
m d v= kv d x
m v0 x ln k v
1 1
dv x k = d x v0 v 0 m
3
k 0.251.010 0.08kg m 20kg m
t
此式表明，合外力在某一方向的冲量等于在该方
向上质点系动量的增量。
12
大学物理第四章冲量动量
x 轴正向相同． 方向与 O 轴正向相同．
= m sin α −m sin α = 0 v v
F' = −F
y
2. 物体系统的动量定理 对两质点分别应用质 点动量定理： 点动量定理：
质点系
v F1
v v F21 F12
m1
v F2
m2
v v v v ∫t1 ( F1 + F12 )dt = m1v1 −m1v10 v t2 v v v ∫ ( F2 + F21 )dt = m2v2 −m2v20
1. 完全弹性碰撞
r r r r m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
1 2 1 2 1 2 1 2 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 2 2 2 2
碰后速度
碰前
v m v m1 v10 2 v 20 A B
碰后
(m −m2)v10 +2m2v20 v1 = 1 m +m2 1
v 讨论 (1) 当 ∑i外 ≠ 系统总动量不守恒，但 F ， 系统总动量不守恒， 0
i=1
n
0 ∑F外x＝ i
i =1
n
∑F
i= 1 n
n
i外 y
＝ 0
∑mv ∑mv
i ix
= ∑ ivi0x m = ∑ ivi0y m = ∑ ivi0z m
i iy
∑F
i= 1
i外 z
＝ 0
∑mv
i iz
若系统内力>>外力， >>外力 (2) 若系统内力>>外力，以致外力可以忽略不计 时，可以应用动量守恒定律处理问题。 可以应用动量守恒定律处理问题。 式中各速度应对同一参考系而言。 (3) 式中各速度应对同一参考系而言。
= m sin α −m sin α = 0 v v
F' = −F
y
2. 物体系统的动量定理 对两质点分别应用质 点动量定理： 点动量定理：
质点系
v F1
v v F21 F12
m1
v F2
m2
v v v v ∫t1 ( F1 + F12 )dt = m1v1 −m1v10 v t2 v v v ∫ ( F2 + F21 )dt = m2v2 −m2v20
1. 完全弹性碰撞
r r r r m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
1 2 1 2 1 2 1 2 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 2 2 2 2
碰后速度
碰前
v m v m1 v10 2 v 20 A B
碰后
(m −m2)v10 +2m2v20 v1 = 1 m +m2 1
v 讨论 (1) 当 ∑i外 ≠ 系统总动量不守恒，但 F ， 系统总动量不守恒， 0
i=1
n
0 ∑F外x＝ i
i =1
n
∑F
i= 1 n
n
i外 y
＝ 0
∑mv ∑mv
i ix
= ∑ ivi0x m = ∑ ivi0y m = ∑ ivi0z m
i iy
∑F
i= 1
i外 z
＝ 0
∑mv
i iz
若系统内力>>外力， >>外力 (2) 若系统内力>>外力，以致外力可以忽略不计 时，可以应用动量守恒定律处理问题。 可以应用动量守恒定律处理问题。 式中各速度应对同一参考系而言。 (3) 式中各速度应对同一参考系而言。
大学物理 动量 动量守恒定律汇总
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt
F k v 200 4 8 10
2
N
12
3-9 一小船质量M=100kg，船头到船尾长度l=3.6m。现 有一质量m=50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多 少距离？假定水的阻力不计。
Fi外
Fij
j
i
内力-----是质点系内各质点间的作用力； 外力------是质点系外物体对质点系内质点的力。
由牛顿第三定律，内力必定是成对出现，且每对内力 都沿两质点连线的方向。
3
i质点合力
t2
t1
( Fi外 f ji )dt mi vi 2 mi vi1
j 1
n 1
F i外 f
9
n
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的 运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和 墙的平均相互作用力. 解：以球为研究对象.设墙对 球的平均作用力为 f ，球在 碰撞前后的速度为 v1和 v 2 ， 由动量定理可得
2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x
Iy Iz
t1 t2
Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
2
t1
3
二 质点系的动量定理
如果研究的对象为多个质 点，则称为质点系 对质点系，受力可分为 “内力”和“外力”。
质点系
Fj外
Fji
§2.2 动量 动量守恒定律
力对时间的累积效应
大学物理 第3章动量定理
(m2
m1)v2o m1 m2
2m1v1o
2v1o
vr1o
m2 m1
当m1>>m2时，且第二个 球静止，则碰后，第一个球 速度不变，而第二球以2倍 于第一个球的初速度运动。
第一篇 力学
2.完全非弹性碰撞 totally non-elastic collision
特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞
大
数
理 学
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队
院 力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
赵 承 均
甲队
乙队
第一篇 力学
重
大
数
理
学 院
r
F1
r F2
赵 承
均 分析：
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用 力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只 有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩 擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以 增加系统外力。
重
大 数
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
理
rr
学 院
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
赵 承 均
由Newton第二定律，得：F
ma
m
dv
d (mv)
dp
dt dt
即：
F dt
这就是动量定理。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高 速运动情况下，只有动量定理成立。
杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别
为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。
高考物理动量冲量动量定理1
IG m 2 gH sin IN m 2 gH tan I合 m
α
2 gH
练习1、关于冲量、动量及动量变化，下列说法正 确的是： （A B ）
A. 冲量方向一定和动量变化的方向相同
B. 冲量的大小一定和动量变化的大小相同
C. 动量的方向改变，冲量方向一定改变
D. 动量的大小不变，冲量一定为0.
随着我国广播影视、舞台剧场等行业的发展，影视文化照明设备制造及系统集成和视音频制播传系统集成行业的客户规模和市场容量不断 增长。各地区演播室建设、舞台建设、影视制作环境建设等都给行业带来了新的客户资源和产品服务需求。近几年来影视设备行业市场容 量快速增长，预期未来这一发展趋势还将继续保持。 ； / 恋恋影视 jdh48lcg 近几年来我国影视设备制造与集成服务市场快速发展，市场规模正处于稳定增长阶段，行业市场容量不断扩大。
二.冲量
1.冲量：定义——恒力的冲量 I =F t ⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量， 它与时间相对应. ⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和 力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不 变，那么冲量的方向就和力的方向相同。 当F为恒力时，I的方向与力F的方向一致；当F为 变力时，I的方向只能由动量的增量方向确定。讲两 个冲量相同，一定是指它们的大小和方向均相同；
①矢量性：合外力的冲量∑F· Δt 与动量的变化量Δｐ均为矢 量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；
②相等性：物体在时间Δ ｔ内物体所受合外力的冲量等于物体
在这段时间Δ ｔ内动量的变化量；因而可以互求。 ③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量； ④广泛性：动量定理不仅适用于恒力，而且也适用于随时间而 变化的力．对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用 时间内的平均值；不仅适用于单个物体，而且也适用于物体系 统。 ⑤物理意义：冲量反映力对物体在一段时间上的积累作用，
α
2 gH
练习1、关于冲量、动量及动量变化，下列说法正 确的是： （A B ）
A. 冲量方向一定和动量变化的方向相同
B. 冲量的大小一定和动量变化的大小相同
C. 动量的方向改变，冲量方向一定改变
D. 动量的大小不变，冲量一定为0.
随着我国广播影视、舞台剧场等行业的发展，影视文化照明设备制造及系统集成和视音频制播传系统集成行业的客户规模和市场容量不断 增长。各地区演播室建设、舞台建设、影视制作环境建设等都给行业带来了新的客户资源和产品服务需求。近几年来影视设备行业市场容 量快速增长，预期未来这一发展趋势还将继续保持。 ； / 恋恋影视 jdh48lcg 近几年来我国影视设备制造与集成服务市场快速发展，市场规模正处于稳定增长阶段，行业市场容量不断扩大。
二.冲量
1.冲量：定义——恒力的冲量 I =F t ⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量， 它与时间相对应. ⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和 力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不 变，那么冲量的方向就和力的方向相同。 当F为恒力时，I的方向与力F的方向一致；当F为 变力时，I的方向只能由动量的增量方向确定。讲两 个冲量相同，一定是指它们的大小和方向均相同；
①矢量性：合外力的冲量∑F· Δt 与动量的变化量Δｐ均为矢 量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；
②相等性：物体在时间Δ ｔ内物体所受合外力的冲量等于物体
在这段时间Δ ｔ内动量的变化量；因而可以互求。 ③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量； ④广泛性：动量定理不仅适用于恒力，而且也适用于随时间而 变化的力．对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用 时间内的平均值；不仅适用于单个物体，而且也适用于物体系 统。 ⑤物理意义：冲量反映力对物体在一段时间上的积累作用，
大学物理-动量定理和动量守恒定律
t0 i 1 i 1
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 v b0 0
m b 2m g
则 则
推开后速度 v g 2 v b
且方向相反
推开前后系统动量不变
p p0
p0 0 p 0
动量定理常应用于碰撞问题 t Fdt mv mv0 t 0 F t t0 t t0 注意
F 21
F2
m2
t
t0
( F1 F 2 ) d t ( m 1 v 1 m 2 v 2 ) ( m 1 v 10 m 2 v 20 )
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. n n t I p p0 F外 d t m i v i m i v i 0
Fx t mv x mv0 x mv cos (mv cos )
x
mv0
2mv cos Fy t mv y mv0 y
mv
y mv sin α mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N 方向沿 x 轴反向 t
在 p 一定时
mv
mv0
F
mv
F
Fm
F
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
o
t
t1
日常生活中，经常利用动量定理处理一些具体问题 例
贵重或易碎物品的包装，采用海绵、纸屑、绒布等 体育运动中，人从高处落到沙坑里或海绵垫上 等等。。。
t0
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 v b0 0
m b 2m g
则 则
推开后速度 v g 2 v b
且方向相反
推开前后系统动量不变
p p0
p0 0 p 0
动量定理常应用于碰撞问题 t Fdt mv mv0 t 0 F t t0 t t0 注意
F 21
F2
m2
t
t0
( F1 F 2 ) d t ( m 1 v 1 m 2 v 2 ) ( m 1 v 10 m 2 v 20 )
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. n n t I p p0 F外 d t m i v i m i v i 0
Fx t mv x mv0 x mv cos (mv cos )
x
mv0
2mv cos Fy t mv y mv0 y
mv
y mv sin α mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N 方向沿 x 轴反向 t
在 p 一定时
mv
mv0
F
mv
F
Fm
F
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
o
t
t1
日常生活中，经常利用动量定理处理一些具体问题 例
贵重或易碎物品的包装，采用海绵、纸屑、绒布等 体育运动中，人从高处落到沙坑里或海绵垫上 等等。。。
t0
大学物理力学第三章1动量与冲量
I
F
t
I
Fx
t2
x
t1
Fy
t
Iy t
2
1
F
I
t
mu一定
Ft 一定
0 t1
t2
面积相等
作用时间长 缓冲
由于力是随时间变化的，当变化较快 时，力的瞬时值很难确定，用一平均的力 代替该过程中的变力。
平均力的作用效果与这段时间内变力
的作用效果相同，用F~t 图表示，曲线下
面积，用与之相同的矩形面积来代替。
F外 0 时，P 常矢量
1.动量定理及动量守恒定律在不同的惯性系中 的形式不变。
2.式中的速度是同一惯性系中的速度；求和是 同一时刻的速度求和.
3.若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒。 4.当外力<<内力时（如碰撞、爆炸），动量 守恒。
5.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。
篮板上，设碰撞时间t =0.01 s 求：篮板受到的
平均作用力。
解：对球用动量定理
x
P1
F t mv2 mv1
P2 ， I P1 P2 m v
I
F I t
600N
y
F 600i N
篮板受平均作用力。F 600i N
§3-2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系 N个质点组成的系统-- 研究对象
用守恒定律作题， 应注意分析 过程、系统和条件。
例题1 已知船的质量 M=300kg , 人的质量m=60kg ,开始
船速V1=2 ms-2 ，人跳离后,船速V2=1 ms-1 求：起 跳时人相对于船的水平速度 v人-船。
解 v v v
大学物理-力学中的动量
第2级火箭脱落时，火箭组的速率为
V2 = V1 + uln N2 = ulnN1 + ulnN2 = u ln( N 1N 2 )
第 n 级火箭脱落时，火箭组的速率为
Vn = u ln( N1N 2 " N n ) (N1>1, N2>1, · · · Nn>1)
§4 质心 ( Center of Mass)
例：任意三角形的每个顶点有一质量 m，求质心
y
（x1，y1）
o
x2
x
xc
=
mx1 + mx2 3m
=
x1
+ x2 3
yc
=
my1 3m
=
y1 3
例：求半径为 R 的半圆形铁丝的质心。(Semicircular Hoop)
解
xc
=
∫
xdm m
yc
=
∫
ydm m
dm = λdl = m dl = m Rdθ
K M ,V
dm
GG
M − dm,V + dV
K
K
K
x
V气地 = V气箭 + V箭地
P0 = P1 + P2
MV= （M–dm）(V+dV)+ dm(V+dV – u)
MV= MV–Vdm + MdV– dmdV+Vdm +dmdV– udm
MdV = udm
dm = – dM
MdV= – udM
M dV = – u dM
T
m v0 m vm
T
M vM
Δp
mg
Δp
Mg