函数极限性质和存在性证明
1.2 函数极限的性质
等价代换得
= lim e x x0
x1 x2
洛必达法则 = lim e x 1
x0 2 x
等价代换得 = lim x 1
x0 2 x 2
例2、lim x cot x
x0
lim x cos x
x0 sin x
0 型
lim x cos x
x0 sin x
1
4、保不等式性 设 lim f x A, lim g x B
x x0
x x0
且存在 0,当0 x x0 时，有f x g( x), 则A B.
5、迫敛性 设 lim f x lim g x A,
x x0
x x0
且0
x x0
时，有f x h( x) g( x),
f
xgg
x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
AgB
3、商的极限等于极限的商（条件：分母的极限不为零）
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
A
x x0 g( x)
lim g( x)
x x0
B
反例
型
例1、lim x0
1 x
1 e x 1
通分得
= lim e x 1 x x0 x e x 1
则 lim h x
x x0
A.
函数极限的运算法则
设 lim f x A, lim 和差
lim
x x0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
A
B
注：和差极限的存在性不能保证每一项极限都存在
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的重要概念之一。
在实际问题中，判断函数极限的存在性可以帮助我们更好地理解函数的行为，进行数学建模和预测。
在本文中，我们将介绍判断函数极限存在的方法，并详细讨论极限的定义、性质和计算方法。
我们将首先介绍极限的定义，然后讨论函数极限的性质和计算方法。
最后，我们将通过一些例题对判断函数极限存在性的方法进行详细说明。
1.极限的定义在微积分中，我们用极限来描述函数在某一点处的“接近性”。
当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限存在，表示当x足够接近a时，f(x)的取值也足够接近一个确定的数L。
这个数L即是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
根据这个定义，我们可以得到极限存在的三个要素：自变量x趋于某个值a、函数f(x)在a的邻域内有定义、函数f(x)的取值趋于一个确定的数L。
因此，要判断函数极限是否存在，我们需要根据这三个要素来进行分析和判断。
2.函数极限的性质函数极限存在的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性和局部保序性。
唯一性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它的极限值是唯一的。
局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它在该邻域内有界。
局部保号性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L（L>0），则在该邻域内，函数的取值大于0。
局部保序性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则在该邻域内，函数的取值的大小顺序与自变量的大小顺序一致。
这些性质为判断函数极限的存在性提供了重要依据。
在实际问题中，我们可以根据这些性质来判断函数极限是否存在，并进一步进行相关的分析和计算。
3.函数极限的计算方法判断函数极限的存在性和计算实际上是相辅相成的。
只有在判断函数极限存在的前提下，我们才能进行具体的计算。
函数极限的计算方法主要包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的连续性定理和极限的分部求极限法等。
函数极限存在的条件
0 A + ε > f ( x) ≥ f ( x1 ) > A − ε . 可见, 当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时, f ( x1 ) − A < ε ,
f ( x) 存在且 f ( x0 − 0) = sup 因此 lim −
x → x0
f ( x) f ( x)
0 x∈U − ( x0 )
n→∞ n→∞
下证 A = B . 考虑数列 {z n } : x1 , y1 , x 2 , y 2 , L x n , y n , L ,易见 {z n } ⊂ U ( x 0 ) ,且 lim z n = x0 , 则由题
0
n →∞
设 lim f ( z n ) 存在,于是作为 { f ( z n )} 的两个子列, { f ( x n )} 与 { f ( y n )} 必有相同的极限,因
x → −∞
ε ,总存在某一正数 M ,使得对任何 x ′ < − M , x ′′ < − M ,都有 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε
1
(2)设 f ( x) 为定义在 (−∞, a ] 上的函数,若存在正数 ε 0 ,对任给正数 M ,总存在 x1 、 x 2 , 尽管 x1 < − M , x 2 < − M ，而 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≥ ε 0 ，则称 lim f ( x) 不存在.
0
(2)
f ( xn ) − A ≥ ε 0
,
n = 1,2,3,L ， 由 于
n →∞
0 x0 ∈ U + ( x0 , δ n )
,
故
有
0 < x n − x0 < δ n ≤
极限的性质和存在性的证明
极限的性质和存在性的证明极限是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
在数学中，极限可以精确地定义为当自变量趋于某个特定值时，函数取得的值趋于某个确定的值。
为了更深入理解极限的性质和存在性，我们将从两个方面展开讨论，分别是极限的性质和极限的存在性的证明。
一、极限的性质1. 有界性：如果函数在某个点附近具有极限，那么它在这个点附近必然是有界的。
具体而言，如果函数极限存在，则必然存在一个包含该点的区间，在这个区间内函数取值有上界和下界。
证明：设函数f(x)在点x=a处有极限L，即limₓ→a f(x) = L。
我们取一个正数ε，根据极限的定义，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
因此，当0<|x-a|<δ时，有 |f(x)| = |f(x)-L+L| ≤ |f(x)-L|+|L| < ε+|L|，所以函数在点x=a处有界。
2. 唯一性：如果函数在某个点附近具有极限，那么极限是唯一的。
换句话说，如果函数在点x=a处的两个极限存在并且不相等，那么这个函数在x=a处的极限不存在。
证明：假设函数f(x)在点x=a处有两个极限L₁和L₂，并且L₁≠L₂。
根据极限的定义，对于任意给定的正数ε₁和ε₂，存在正数δ₁和δ₂，使得当0<|x-a|<δ₁时，有|f(x)-L₁|<ε₁；当0<|x-a|<δ₂时，有|f(x)-L₂|<ε₂。
那么我们可以取一个正数δ=min(δ₁,δ₂)，则当0<|x-a|<δ时，上面两个不等式同时成立，即|f(x)-L₁|<ε₁且 |f(x)-L₂|<ε₂。
然而，这是不可能的，因为根据三角不等式，上述两个不等式的和不可能小于两个正数ε₁和ε₂之和。
因此，假设不成立，可得函数在x=a处的极限是唯一的。
二、极限的存在性的证明要证明一个函数在某个点处存在极限，有多种方法。
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
函数极限与存在性问题
函数极限与存在性问题函数极限的定义给定函数$f(x)$和实数$a$，我们说当$x$趋向于$a$时，函数$f(x)$的极限存在且等于$L$，记作：$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$如果对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\epsilon$。
函数极限的性质1. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，则函数$f(x)$在点$a$处有定义。
2. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$且$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M$，则$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=L+M$。
3. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$且$k$是常数，则$\lim_{x\rightarrow a}(kf(x))=kL$。
4. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，则$\lim_{x\rightarrow a}f^n(x)=L^n$，其中$n$为正整数。
5. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$且$f(x)\leq g(x)$，则$\lim_{x\rightarrow a}g(x)\geq L$。
函数存在性问题辨别函数的存在性问题在数学分析中起着重要作用。
常用的方法包括：1. 利用函数的连续性进行分析和判断。
2. 利用函数的单调性进行分析和判断。
3. 利用夹逼准则（夹逼定理）进行分析和判断。
结论函数极限与存在性问题是数学分析中的重要概念。
函数极限的定义和性质有助于我们研究函数在特定点的行为。
函数存在性问题则能帮助我们确定函数是否在给定区间内存在特定的极限值。
在实际应用中，深入理解和应用这些概念，对于解决各类数学和科学问题都具有重要意义。
关于函数极限如何证明
关于函数极限如何证明函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为03.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim就省略不打了。
n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1= 0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n) ]/(1/n)=0*1=0猜你感兴趣：1.利用导数证明不等式2.构造函数证明不等式3.统计物理小结(精选3篇)4.xx成人高考数学备考复习攻略5.中心极限定理证明。
§1.3.4-5函数极限的性质.ppt4
1 当 x < 0 时，1− x > x ⋅ ≥1 ， x
∵ lim 1= lim (1− x) =1 ，
x→0 x→0
1 ∴由夹逼定理可知 lim x ⋅ =1 。 x→0 x
基本初等函数
解： y = 2
sin 2 x
= 2 y= 2 u , u= v , = 由
复合而成. v = sin x 复合而成 .
（2） y = ln x 2 − 2
解 ： y = ln x 2 − 2 由
y=lnu, =
u= v , v = x 2 − 2 复合而成. = 复合而成.
（ 3 ） y = tan 5 3 lg(arcsin x )
且 lim x n = xo ，有 lim f ( x n ) = A 。
n →∞ n →∞
①若存在 {xn }， xn ≠ xo ， lim x n = xo ，而
注意
n →∞
n →∞
lim f ( x n ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
x → xo n →∞
′ ′′ ′ ′ ②若存在某两个数列 {x n }与 {x n }， x n ≠ xo ， lim xn = xo ，
∋ x ∈ N ( xo , δ) 时，恒有 f ( x) ≤ g ( x) ，则 A ≤ B 。
x → xo o
x → xo
海涅定理） 定理 3（海涅定理） 它给出了函数极限与数列极限的关系。 它给出了函数极限与数列极限的关系。
x → xo
lim f ( x) = A ⇔ 对任意数列 {xn } ， xn ≠ xo ，