条件数学期望平滑性质的某些推广及应用
§4.6条件数学期望
y
1
x
O
1
PX
1 3
Y
1
2
=FX
Y
1
3
1 2
13
fX Y
x
1 2
dx
1/ 3 0
3 2
x dx
4. 9
依定义，有
E
X
Y
1
2
xf X Y
x
1
2
dx
1 0
x
3 2
x dx
5 ,
12
E
X2
Y
1
2
x2
fX Y
x
1
2
dx
1 0
x2
3 2
x dx
1 ,
2
E Y 2 X xi E Y X xi
为在X=xi条件下Y的条件方差，记作 D Y X xi ，即
2
D Y X xi E Y 2 X xi E Y X xi .
【注】若在X=xi条件下，Y取有限个值，则E(Y X=xi)存在。
例1 设二维随机变量(X, Y)的概率分布为
3 7
4, 7
12
1
P Y 2 X 1 P{ X 1,Y 2} P{ X 1}
6 7
2, 7
12
在X=1条件下，Y的条件概率分布为
Y
012
P{Y=yj|X=1} 1/7 4/7 2/7
依定义，E Y X 1 0 1 1 4 2 2 8 , 7 7 77
E Y 2 X 1 02 1 12 4 22 2 12 ,
2
E X2 Y yj E X Y yj
为在Y=yj条件下X的条件方差，记作D X Y yj ，即
条件概率和条件数学期望的应用与例解
) 则 >=# >+ =<;#2, +A+ 2, /此处积分为 7P/CQP+CR积分#当 %
A+ 2, 为阶梯函数#也就是 ;为离散随机变量时积分表示级数
$3+ ; #2', 2'/ ;是连续型随机变量且密度为 B+ 2, 时#积分
) 为 >=# >+ =<;#2, B+ 2, +2/ ;与 =独立时# >+ =<;, # %
;% #%# ;I#I* $ 是第 I%$ 与第 I个呼叫到达的间隔时间# 6I
I
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以下分别讨论条件概率与条件数学期望的应用* >=#>+ >+ =<;, , /
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数学期望及其应用
本科生毕业论文题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录1.引言 (1)2. 数学期望的定义及其性质 (2)2.1数学期望的定义 (2)2.2数学期望的基本性质 (2)2.3数学期望的计算方法 (3)3 数学期望在实际生活中的应用 (7)3.1在医学疾病普查中的应用 (7)3.2数学期望在体育比赛中应用 (8)3.3数学期望在经济问题中的应用 (10)3.3.1 免费抽奖问题 (10)3.3.2 保险公司获利问题 (11)3.3.3 决定生产批量问题 (11)3.3.4 机器故障问题 (12)3.3.5 最佳进货量问题 (13)3.3.6 求职决策问题 (14)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)摘要数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。
数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。
在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。
其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。
本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。
特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
简述数学期望的性质及其应用
编号：***********南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：简述数学期望的性质及其应用完成人：xxx班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：xxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)关键词 (1)0引言 (1)1 数学期望的定义 (1)2 数学期望的性质 (1)2.1一维随机变量数学期望的性质 (1)2.2多维随机变量数学期望的性质 (3)3数学期望的应用 (5)3.1数学期望在农业中的应用 (5)3.2数学期望在生活中的应用 (7)3.3数学期望在经济中的应用 (9)3.4数学期望在数学中的应用 (11)参考文献 (12)Abst ract (12)简述数学期望的性质及其应用作者：xxx指导老师：xxx摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活.关键词：随机变量；风险概率；数学期望0引言概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期望在当今乃至未来的重要作用。
列举一些生产和生活实际中具有重要指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题.1数学期望的定义数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随即变量，其定义如下：广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值.数学定义：设ξ为随机变量，其分布函数为()F x ，若()x dF x ∞-∞∞⎰，则记()()xdF x ξ∞-∞E =⎰，并称()E ξ为ξ的数学期望.2数学期望的性质2.1一维随机变量数学期望的性质性质[]11：设随机变量ξ有数学期望()E ξ，则η=a ξ+b ，（,a b 均为常数）的数学期望是E (η)=a E （ξ）+b ,特别当a =0时有E （b ）=b ，即常数b 的数学期望就是他自己本身. 例（均匀分布）设随机变量ξ的密度函数为()1,;0,a x b b a f x ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩当其他，试求()E ξ与()D ξ.解()()221=-2b x b a E xf x dx dx a b a b a ξ∞-==⋅⎰⎰∞--=2a b +.()()()22D x f x dx E ξξ∞-∞=-⎡⎤⎣⎦⎰=()222b x b a dx a b a +-⎰-=33222134b a b a ab b a -++⋅--=2222234b ab a b a ab ++++-=()2222.1212b a b ab a --+= 故 ()()(),22.12b a E b a D ξξ⎫+⎪=⎪⎬-⎪=⎪⎭性质[]12：设ξ唯一随机变量，()2E ξ<∞，则E （ξ）及D （ξ）存在且()()()22.D ξξξ=E -E ⎡⎤⎣⎦证 由R-S 积分的性质，利用熟知得不等式21x x ≤+有 ()()21x dF x x dF x ξ∞∞-∞-∞⎡⎤E =≤+⎣⎦⎰⎰ ()()()221.dF x x dF x ξ∞∞-∞-∞=+=+E ∞⎰⎰故E （ξ）存在.另一方面：()()()()22D x dF x ξξξξ∞-∞=E -E =-E ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()()222x dF x xdF x dF x ξξ∞∞∞-∞-∞-∞=-E +E ⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰=()()22.ξξE -E <∞⎡⎤⎣⎦最后由()0D ξ≥即得.性质[]13：设随机变量ξ的分布函数为()F x ，方差D （ξ）存在， 则a b ηξ=+的方差()()()2.D D a b a D ηξξ=+=特别当a =0则有D （b ）=0. 证 由性质1得()()()2D D a b a b a b ηξξξ=+=E +-E +⎡⎤⎣⎦()2a b a b ξξ=E +-E -⎡⎤⎣⎦ (){}2a ξξ=E -E ⎡⎤⎣⎦()()22a x dF x ξ∞∞=-E ⎡⎤⎣⎦⎰ =()()22ax dF x ξ∞-∞-E ⎡⎤⎣⎦⎰=()2.a D ξ性质[]14：函数()F x =()2x ξ⎡⎤E -⎣⎦，x ∈R,当x = E （ξ）时达到 最小值.例 设ξ与η相互独立，且都服从()0,1,N 求()min ,.E ξη 解 有对称性，得()2212min ,22x y x E y edydx ξηπ+-∞=⋅⎰⎰-∞-∞ =22221y x e y xedx y π⎛⎫⎪- ⎪-⋅- ⎪ ⎪=∞⎝⎭⎰-∞=-∞=21x e dx π-∞-=⎰-∞性质[]15：若D （ξ）=0，则ξ以概率为1地等于它的数学期望E （ξ），即P {ξ= E （ξ）}=1.2.2多维随机变量数学期望的性质性质[]16：数学期望具有单调性.性质[]17：设n 维随机变量（12,,...,n ξξξ）的数学期望存在，则有（1）线性性质：对任意常数()1,2,...,i c i n =有()11.n ni i i i i i c c ξξ==⎛⎫E =E ⎪⎝⎭∑∑（2）若12,,...,n ξξξ相互独立，则()11().n ni i i i ξξ==E =E ∏∏证 （1）由R-S 积分的性质得()1211...,,...,n n i i i i n i i c c x dF x x x ξ∞∞∞-∞-∞-∞==⎛⎫⎛⎫E = ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰⎰ =()121...,,...,ni i n i c x dF x x x ∞∞∞-∞-∞-∞=∑⎰⎰⎰()1.ni i i c ξ==E ∑（2）仅证n=2并设()12,ξξ为连续性的情形.设12(,)f x x 及()()1122,f x f x 为()12,ξξ及12,ξξ的密度函数，按性质7（1），并有12,ξξ的独立性，有()212121(),i i x x dF x x ξ∞∞-∞-∞=E =∏⎰⎰()121212,x x f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ()()12112212x x f x f x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ()()11112222x f x dx x f x dx ∞∞-∞-∞=⋅⎰⎰ ()()12.ξξ=E ⋅E性质[]18：设i c 为常数，i ξ为随机变量，且()()21,2,...,,i i n ξE ∞=则（1）()2,11,1n n n D c c D c c b i i i i i k iki i i k i kξξ⎛⎫=+∑∑∑ ⎪ ⎪===⎝⎭≠ 其中ik b ()(){}.i i k k ξξξξ=E -E -E ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦特别，若12,,...,n ξξξ相互独立，则ik b =0（当i k ≠），且()2.11n n D c c D i i i i i i ξξ⎛⎫=∑∑⎪ ⎪==⎝⎭（2）()()()()2221212.ξξξξE ⋅≤E ⋅E （施瓦兹不等式）3数学期望的应用3.1数学期望在农业中的应用 (1)案列1某农场种植某种蔬菜，根据以往经验，这种蔬菜的市场需求量 X （t ）服从（500，800）上的均匀分布.每售出一t 此种蔬菜，农场可 获利2.0万元；若销售不出去，则农场每吨亏损0.5万元.问该农场应 该生产这种蔬菜多少吨才能使平均收益最大？解析：该农场种植此种蔬菜m t ，则有500≤m ≤800，设Y 为 在生产m t 蔬菜条件下的收益额（万元），则收益额Y 和蔬菜需求量 X 的函数关系为Y=f （X ）.有所设条件知，当X ≥m 时，则此m t 蔬 菜全部售出，获利2.0 m ；当X m 时，则售出X ，获利2.0 X ，还有（m-X ）t 卖不出去，获利-0.5（m-X ），因此共获利2.5X-0.5m ， 故有：(){2.0; 2.50.5;m X mf X X m Xm≥=-由定理可得：()()()Mx M Y f x p x dx +-E =⎰()8001300500f x dx =⎰ 80013005002.0(2.50.5)m M mdx X m dx ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰=()2212401480500m m -+-根据极值定理，易知当m=740 t 时，能使E (Y) 达到最大值，即该 农场生产此种蔬菜740 t. (2)案列2某农产拟投资2个项目：生产西红柿和辣椒，其收益都与市场状态有关.若把未来市场划分为好，中，差三个等级，根据市场调查 研究，其发生的概率分别为0.3，0.5，0.2，生产西红柿的收益X （万 元）分别为12，7，-4时，对应的P 值分别为0.3，0.5，0.2；生产辣 椒的收益Y （万元）分别为9，5，-2时，对应的P 值分别为0.3，0.5 ，0.2.该农场是生产西红柿还是生产辣椒好呢? 解析：先考察数学期望()()31 6.5i i X x p x E ==∑万元()()314.8i i Y x p x E ==∑万元从数学期望来看，生产西红柿收益大，比生产辣椒多收益1.5 万元.再考察它们各自的方差于标准差. ()31.21Var X = ()14.56Var Y = () 5.59X σ= () 3.82Y σ=因为方差于标准差越大，收益的波动越大，从而风险也越大. 因此，从方差于标准差来看，种植辣椒较稳妥，减少风险约3200， 但少收入1.5万元.若农场的负责人敢于冒险，就选择种西红柿，成功 后可以增加收益1.5万元.3.2数学期望在生活中的应用 (1)求职决策问题设想某大学生甲在求职过程中收到了三个公司的面试结果，如果 按照面试时间的顺序来划分，我们将其标记为A 公司，B 公司，C 公 司.假定这三个公司每个公司有三种不同的职位：极好，好及一般.估 计能得到这些职位的概率为0.2,0.3,0.4，被拒绝的可能性为0.1，按规 定，双方在面试后要立即作出决定提供，接受或是拒接某种职位，那 么应该遵循什么策略应答呢？ 三家公司的工资承诺如下表：300035002200295039002500300040002500A B C 公司好极好一般 我们的方案是采取最大期望收益最大原则.按照面试顺序的规则来看，我们先从A 公司开始面试，这样甲 在面试A 公司时必然会权衡考虑B ，C 公司的机会和待遇.同样道理， 在选择面试B 公司时自然也会考虑C 公司的机会和待遇.通过三个公 司机会和待遇的横向和纵向比较，从而选择一个效益最大化的公司. 一般来说，从第三次的面试期望值来看，也就是从C 公司来看，其 工资的期望值表现为：2700元1(=4000*0.23000*0.32500*0.4)E ++.而B 公司的职位工资是2500元，这样经过横向比较，往往会选择去C 公 司.而第二次面试的期望值可有以下数据求出：极好的职位工资3900 元，好的职位工资2950元，接受第三次面试期望工资2700.所以在最 后考虑A 公司时，只有极好的职位工资超过3015元，甲才会接受. 这样，对于三次面试应采取的策略是：A 公司只接受极好的职位， 否则去B 公司，在B 公司可接受极好的和好的职位，否则去C 公司， 在C 公司可接受任何可能提供的职位.在这一策略下甲工资总的期望 值为3500*0.2+3015*0.8=3112元.因此，当我们在求职时如果得到多份面 试时，应该进行横向纵向的衡量比较，遵循效益期望最大化原则，从 而提高决策的满意度和期望值. (2)风险投资问题假设这样的情形：一个人想用10万元进行一年的短期投资.常 见的做法往往是进行购买股票和存入银行.股票的收益要取决于经济 的运行趋势，如果经济运行较好则获利较多，运行一般则获利中等， 运行不好则要损失许多.当时如果存入银行，假定年利率为500，则利 息为5000元.我们假定经济运行情况的良好，中等，较差的概率为 2000,4000,1000，那么我们该选择哪种方案才能获得利益最大呢? 我们可以看出，如果在经济运行良好的情况下，显然购买股票时 最划算的.但如果经济运行较差的话，存入银行有比较合适.然而，在 现实情况中，我们无法估计这种不确定性，就要估计二者直接的获利 期望大小.通过二者期望值的综合比较，发现购买股票的获利收益更大，因此，选择购买购买股票这一方案更为合适.(3)彩票概率问题我们首先假设福利彩票每张为2元钱，每张彩票对应一个中奖号 码，每售出一百万张设置一个开组奖项.中奖号码为一个6位数（可 以认为从000000到999999中的每一个数出现的可能性相同），兑奖 股则如下：如果兑奖号码与中奖号码的最后一位是一致的，则获六等 奖，奖励为4元钱（中奖概率为0.1），以此类推，如果最后两位一致， 则获五等奖，奖励为20元（中奖概率为0.01），最后三位如果一致， 则获四等奖，奖励为200元（中奖概率为0.001），最后四位一致，则 获三等奖，奖励为2000元（中奖概率为0.0001），接着后五位相同， 则获二等奖，奖励为20000元（中奖概率为0.00001），同时规定，奖 项不叠加，只取最高奖励，那么每张彩票的平均所得应该是多少？ 我们可以算出，彩民对每张彩票的期望值为：0.1*4+0.01*20+0.001*200+0.0001*2000+0.00001*20000=1.4元.而同样我们 也可以算出一个开组奖项在得到200万元的销售中，其中140万元作 为奖励返还为彩民，但是剩余的60万元却作为剩余所得用于福利事 业等其他费用的支出，实际而言，就是将多数人的钱以一种概率的形 式转移给某些少数人.因此，我们可以看出，谁中奖虽然是随机的， 但是彩票得期望所得却是可以预算出来的，这也是彩票事业生存下来 的条件和原因.3.3数学期望在经济中的应用(1)保险公司获利问题一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万 元以上家庭财产保险，参加者需缴纳保险费100元，若在一年内，万 元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元（232026a ≤≤），试问a 如何确定， 才能是保险公司期望获利？解析：只需考察保险公司对任一参保家庭的获利情况，设ξ表示 保险公司对任一参保家庭的收益，则ξ的取值为100或100-a ，其分 布为100100-a0.990.01P ξ根据题意，()()=100*0.99+100-a *0.01ξE=100-0.01a解得10000a ，又100a ，所以()a 100,10000∈时保险公司才能期望获 利.(2)机器故障问题一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停 工，如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万元，发生一 次故障可获利5万元，发生两次故障不获利也不亏损，而发生三次或 三次以上的故障，则要亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润. 解：以ξ表示一周内机器发生故障的天数，则ξ是n=5的二次分 布B （5,0.2），()()55P =K =0.20.80,1,2,3,4K K K C K ξ-•=，以η表示工厂一周内 所获利润，则()10 =05 =10 =2-2 3=g =ξξξξηξ≥⎧⎨⎩ η的概率分布为：1050-20.3280.4100.2050.057P η()()=10*0.328+5*0.410+0*0.205+-2*0.057=5.216ηE故工厂一周的期望利润是5.216万元.(3)进货问题设某种商品每周的需求ξ是取从区间[]10,30上均匀分布的随机变 量，经销商进货量为区间[]10,30中的某一整数，商店每销售一单位商 品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏 损100元.若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品可多 获利300元.为使商品所获利润期望不少于9280元，试确定进货量. 解：设进货量为a ，则利润为()=g ηξ()()500a+300-a) ( a x 30=500-100a-) (10x x ξξξ⎧≤⎨≤≤⎩ 300200-a x a a ξξ+≤=≤≤ ａｘ３0600100 10 期望利润为()()301200=g x dx ηE ⎰ ()()301120200600100300200a a x a dx x a dx =-++⎰⎰27.535052509280a a =-++≥以题意有：27.535052509280a a -++≥ 解得：232026a ≤≤故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位.3.4数学期望在数学上的应用(1)例 向上抛一颗制造均匀对称的骰子，当它落地时，其向上的 表面出现的点数是一个随机变量ξ，求E ξ.解：随机变量ξ可能取值为1,2,3,4,5,6ξ的概率分布为111111666666123456P ξ()ξE 111111666666*1*2*3*4*5*6=+++++=216从以上内容我们可以看出，生活中的方方面面都有着概率的影子，小到天气预报，大到火箭升天，并且随着农业产业化和现代化的发展，农业生产对数学的依赖会越来越密切，保险业，金融业的风险预测更适于概率论休戚相关，在理性决策中多运用概率论可以让我们的生活更明智.参考文献[1] 中山大学，概率论及数理统计[M].高等教育出版社,2009：213-235.[2] 赵舜仁，一个数学期望性质的推广[J].青岛建筑工程学院学报，1997,04：86.[3] studa20，开发学生数学潜能优化学生数学能力结构[J].中国教育资源网，2006,11,27：201.[4] 陈洪波谭桂艳，高中数学教师新课改下的新角色[J].维普中文期刊，2012,02,14：196.[5] 侯文高洋，有关数学期望计算的一个典型错误[J].高等数学研究，2011,03：10.[6] 张志强，随机置换的有关概率问题[J].通信学报，2006,27：18.[7] 王妍，概率统计在实际问题中的应用举例[J].中国传媒大学学报自然科学版，2010,24：28.[8] 张慧，条件概率与条件数学期望及其在期权定价中的应用[J].山东师范大学学报，2009，02：69.[9] 徐丽君，浅谈数学期望的计算与应用[J].攀枝花学院学报，2005,06：108.[10] 姚仲明，条件数学期望与随机变量独立性的一个冲要条件[J].计算机教与学，2007,03：23.Brief mathematical expectation Properties and ApplicationsZhai Zhong-liangAbst ract：In the theory of probability and mathematical statistics，Mathematical expectation is random variable of the most important one of digital features，Many of the random variables and the expectations of his distribution related, the article analyzes the mathematical expectation in daily life application, such as job decision making problems, investment, the lottery, etc, so as to constantly motivating students to learn mathematics the enthusiasm and initiative, get them interested in learning to explore, and applied to life, let math changes life.Key words：Random variable, Probability; Mathematical expectation。
关于条件GP-(PWP)和GP-平坦性质的研究
关于条件GP-(PWP)和GP-平坦性质的研究关于条件GP-(PWP)和GP-平坦性质的研究引言：条件GP-(PWP)和GP-平坦性质是现代数学中的重要研究课题。
GP-(PWP)是一种假设，指代广义上平凡盆地，是研究泛函分析以及拓扑学中的公理之一；而GP-平坦性质则是一个几何概念，探究了广义上平坦图形中的曲线和表面的平滑程度。
在本文中，我们将对这两个概念进行详细探讨和讲解，并介绍它们在数学研究中的应用。
一、条件GP-(PWP)的概念与性质1. 条件GP-(PWP)的定义条件GP-(PWP)是对拓扑空间中的一种可说是广义上平凡盆地的约束，它指代一个空间中的每个点都包含一个开邻域或闭邻域，且这个邻域也包含该点。
换言之，条件GP-(PWP)要求空间中的任一点都具有包含关系的邻域。
2. GP-(PWP)空间的性质GP-(PWP)空间是一种非常强的空间性质，它具有以下性质：a. GP-(PWP)空间是局部紧致空间，即它的每个点都有一个紧邻域。
b. GP-(PWP)空间是Hausdorff空间，即任意两个不同点都可以由不相交的开邻域分离。
c. GP-(PWP)空间是可分空间，即它包含一个可数稠密子集。
二、GP-平坦性质的概念与应用1. GP-平坦性质的定义GP-平坦性质是指在广义上平凡的几何图形中，曲线和表面的平滑性质。
具体来说，它是指在图形中，曲线或表面上的任意一点，都能找到某种参数（如参数方程）能表示该曲线或表面的局部切线。
2. GP-平坦性质的应用GP-平坦性质在几何学和计算机图形学中都有重要应用，具体包括：a. 用于生成光滑的曲线和表面，如计算机图形学中的三维建模和曲线插值。
b. 应用于流体动力学和数值模拟中，在研究流体流动过程中，可以使用GP-平坦性质来描述曲线和表面的运动。
c. 在机器学习和人工智能中的视觉识别中，GP-平坦性质可以用于图像特征提取和边缘检测。
三、条件GP-(PWP)和GP-平坦性质的联系与研究方向1. 条件GP-(PWP)与GP-平坦性质的联系条件GP-(PWP)与GP-平坦性质可以相互影响和补充。
数学期望的性质与条件期望
1 4 4 12 4 1 1 1 E 0 1 2 E 0 1 2 1 9 9 9 9 3 4 2 4 7 E ( ) E E , 由于 与 独立， 所以 43 E( 2 ) E( ) E E 1 E ( ) E E 32 1 1 1 3 2 2 2 2 求E ( ) ? E ( ) 0 1 2 4 2 4 2
j
的条件期望, 记作
E{ xi },
有
同样可以定义给定的 y j 时关于 的条件期望为
E y j xi P{ xi yi }
i
E xi y j P{ y j xi }
对于二元连续型随机变量 ( , ), 定义
i , E E ( i ) E i ma mb(1 p)1 .
i 1 i 1 i 1
m
m
§3.3 条件期望 对于二元离散型随机变量 ( , ), 在 取某一个定值, 的数学期望, 称此期望为 比如 xi 的条件下, 求 给定 xi 时关于
n
n
i 1
6 若与独立，则 E ( ) E E
证 假设 , 是离散型随机变量， 由于 与 独立
(1) i ( 2) j
所以pij p p , E ( ) xi y j pij xi y j p(i 1) p(j2)
i j i j
于是E ( ) E E 0.
随机变量函数的期望 : 定理:设为r .v, f ( ),并且E[ f ( )]存在, 则
(1)若
是离散型随机变量， 其概率分布为
数学期望性质与应用举例
5.数学期望的基本性质利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则性质1.E(c)=c；性质2.E(aξ)=aE(ξ)；性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．例3.5.7设随机变量X的概率分布为:P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2)．解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11．例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:求E(X),E(2X-1)．解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知=-1/6+1/6=0．∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2 数学期望的性质（1）设是常数，则有。
证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。
所以，。
（2）设是随机变量，是常数，则有。
证若是连续型随机变量，且其密度函数为。
当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。
（3）设都是随机变量，则有。
此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。
这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。
（4）设是相互独立的随机变量，则。
证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。
设的概率密度分别为和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有。
由此得此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。
例4.1.2 倒扣多少分？李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。
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湖北师范学 院学报 （ 自然 科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ） ｎ Ｈ ｅ ｔ ｕ ｅ
Ｖ０ ０ Ｌ３
Ｎｏ ．１． ０ ２０１
第１ 期
条 件 数 学 期 望 平 滑 性 质 的 某 些 推 广 及 应 用
ＰＡ （）＝ｌ （ ：ＹｇＹｄ Ａ Ｐ ）（）ｙ
（） ８
（） ９ ຫໍສະໝຸດ 在 （ ） （ ）中取 ＝ （ ７ ，８ ∞）（Ａ是 任 一 随机事 件 ）则有 如 下全 概公 式 ：
或
ＰＡ （ ）：∑ ＰＡＩ１ ｉ （ ＝ｋ （ ７：ｋ 尸 ｉ ） ）
又由 Ｉ ， 是随机变量 一即 可测函数时 ， ［ ）当 Ｅ ｌ 取值为 在 所在的 的原子上的平均值 ， 因此 Ｅ Ｉ ［
［］ １ 中引理 ５ １ ． 一个 简单 的平 推 ， ［ ］ 但 １ 中并未 给 出完 整 的证 明 ， 我们不 仅 给 出了详 细 的证 明 ， 而且 引 出了一些新 的探讨 。
１ 条件 数 学 期 望 平 滑 性质 的 某些 推 广 与应 用
设 隗 韵 子 一域 ， 是 随机 变量 ， 存 在 ， 由于涉及 条件 期望 ［ Ｉ
Ｅ Ｅ［ ｌ ［
Ｅ［ （ Ｊ Ｅ
］ ：Ｅ［＾ ］ ，亭
］ ＝Ｅ
（） ５
（） ６
（ ） （ ） 便 于应 用 的形 式 ， 如在 （ ）中取 ＝ （ ３ ，５ 是 例 ５ ） Ａ ＝ ｛ ７ ｃ）∈ Ｒ｛ 则 有 ∞： （ｃ ７ ， ， 公式 （ ）通 常称 为一 般形 式 的全 期望 公 式 ， ．是 连续 型 随机 变量 密 度为 ｇ ｙ 或 叼是离 散 型 随机 ６ 若 ， ７ （ ），
严 慧 ， 立 峰 徐
（ 北师 范 学院 数 学与 统计 学院 ，湖北 黄石 湖 ４ ５０ ） ３０２
摘要 ： 从条件数学期望二个最基本的平滑性质入手 ， 讨论 了平滑性质 的一些推 广与 应用 ， 用测度 论 中的 利
基本 方法给 出了二 个新 的命题及其证 明， 并作 了进 一步的讨论。 关键词 ：随机过程 ； 条件数 学期望 ； 率； 概 测度
基本 一域 一个子 一 ， 们有 ： 域 我 Ｉ ）若 Ｅ （ 意指 随机变 量 为 可测 ） Ｅ［ ｌ ＝ｒ Ｉ 则 轫 ／ Ｅ［ Ｉ）若 叼与 独立 （ Ｉ 意指 （ 叩）与 嘲 立 ） Ｅ［ ： ｒ 则 叼Ｉ Ｅ／ （） １ （） ２
这是 我们所 熟 悉 的条件数 学期 望最 基础 的平滑 性质 。本 文 中 我们 从 这最 基 本 的平 滑 性质 出发 ， 给 出它们 的一些 推广 及应 用 ， 在第 １ 部分 的命题 是 已有 的 ， 散见 在 各 种 文献 中 ， 节按 照 我们 的逻 但 本 辑顺 序 （ 由（ ） ２ 出发 ） 行重 新归 纳 ， 因此 有些命 题更 改 了原有 证 明） 即 １（ ） 进 （ 。 在第 ２部分 中我 们给 出 了进 一步 的推广 ， 命题 １命 题 ２是 我们 新 给 出 的 ， 当指 出 ， 题 ２只是 、 应 命
以下讨论 相关条 件期 望 时 ， 约定 总假 设对 应 的期 望存 在 。
时 总要求 存在 ，
条件 期望 Ｅ Ｉ ［
达式 ：
是 用 Ｒ ｄｎ—Ｎｋｄｍ导数 定义 的 ， 基本 内涵 是 ： ａｏ ｉｏｙ 其
Ｉ ）它是 一个 一可测 的随机 变量 ， 特别 地 ， 常用场合 ＝ （ 在 ）时 由 Ｄ ｏ 函表示定 理有表 ｏｂ泛 ［ ］ ＝ｈ ７ Ｉ （７ ） 其 中 叩是一个 随机 变量 ， ［ Ｉ 表 示 叼］ Ｅ． ＝Ｙ （， ［ ｌ ］＝ ） ）
中 图分 类 号 ： ２ １６ ０ １．７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０９２ １ （００ ０ — ０ ６ ０ １０ －７ ４ ２ １ ） １ ０ ５ — ６
０ 引 言
条件数 学期 望是 建立在 测 度论基 础上 的现代 概率论 中最重 要 的概念 与 工具 之一 。随机过 程理论 中最基本 、 应用最 为广 泛 的三大过 程 （ ， ｒｏ 过 程 ， 鞅 Ｍａｋｖ 平稳 过程 ） ， ， ａｋｖ 程都 是用 条件数学 中 鞅 Ｍ ｒｏ 过 期 望来定义 的 。本文不 打算 讨论 条件 数 学期 望 的一般 平滑 性 质 ， 我们 仅 打 算 考 虑 以下 二 点 ： 设 是
滑）
（） １ ０
是 一 可测的 ， 故随机变量 Ｅ Ｉ （ ［ ） 可视为对 的平滑算子（ 在 的原子上平
（０ １ ）是 初等概 率 论 中我们 所 熟悉 的形 式 ，７ （ ）一（ ）无论 在 理论 上 实用 中也 都 是十 分有 用 的工具 。 ９
熟知 Ｅ［ ｌ
有 如下 简单 的平 滑性 质 ： ＝刀 ｌ ［ （．． ａｅ ） （１ １） （２ １） ：Ｅ ａｅ ） 叼（ ．．
是更确 切 的表 达 。
收稿 日期 ：ｏ ９ ＿３ １ ２ ｏ —０ — ８
（） ３ Ｊ （７］ ＾是 一可测 函数 ， ７ ， ） 于是 可 以认 为 （） ４
作者简介 ： 严 慧 （９ ３ １８ 一
・
）女 ， ， 湖北黄梅人 ， 硕士， 研究方向为随机过程
５ ・ ６
Ｉ）ＶＡ ∈ 有 Ｉ
变量 分布 列 为 Ｐ（ ＝ｋ） ｉ＝ １２ … ， 叼 ， ，， 则分 别有 具体 的全期望 公 式 ：
Ｅ （Ｉ） Ｅ 叼 ＝ｅｙ（ｄ＝ Ｅ ＝］ｙｙ （ ｆ 叼］ ） ｆ（ｇ ） Ｅ （ ｈ ）ｙｙ ｙ （ｄ ｇ ） ７ ）
或
＝
Ｅ（）＝∑ｈｋｐ－： ）＝∑层 ．＝ ｉ （ ＝ ｉ ｈ７ ７ （ ）（ ｑ ［ ， ｋｐｖ ｋ ７ ］ ／ ）