条件数学期望及其应用

条件数学期望及其应用

The ways of finding the inverse matrix and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical.

Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.

0前言

在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.

1条件数学期望

1.1条件数学期望的定义

定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)(>A P ，这时

,2,1,)

()}({)|(|=⋂====i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有

∞<∑A i i i p x

|

则称

A i i

i p x A X E |]|[∑=．

为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）．

定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)(>A P ，且X 在条件A 之

下的条件分布密度函数为)|(A x f ．若⎰∞

∞-∞

定义3 设),(Y X 是离散型二维随机变量，其取值全体为

},2,1,),,{( =j i y x i i ，

联合分布列为

,2,1,),,(====j i y Y x X P p i i ij ，

在i y Y =的条件下X 的条件分布列为 ,2,1),|(|====i y Y x X P p i i j i 若

∞<∑j i i i p x |，

则

j i i i i p x y Y X E |]|[∑==

为随机变量X 在i y Y =条件下的条件数学期望．

定义 4 设),(Y X 是连续型二维随机变量，随机变量X 在y Y =的条件下的条件密度函数为)|(|y x p Y X ，若

∞<⎰∞∞-dx y x p x Y X )|(|，

则称

dx y x xp y Y X E Y X )|(]|[|⎰∞∞-== 为随机变量X 在}{y Y =条件下的条件数学期望．

1.2条件数学期望的性质

定理1 条件期望具有下面的性质：

（1） )|()|()|(G bE G aE G b a E ηξηξ+=+，

其中R b a ∈,，且假定)|(G b a E ηξ+存在；

（2） )()]|([ξξE G E E =；

（3） 如果ξ为G 可测，则ξξ=)|(G E ；

（4） 如果ξ与σ代数G 独立，则ξξE G E =)|(;

（5） 如果1G 是σ代数G 的子σ代数，则)|(]|))|([(11G E G G E E ξξ=；

（6） )(不等式Jensen 如果f 是R 上的下凸函数，则

)|)(())|((G f E G E f ξξ=；

定理2 条件期望的极限定理：

（1）单调收敛定理：若s a n ..ξξ↑，则在})|({-∞>G E ξ上，则

)|(lim )|(G E G E n n ξξ∞

→=． （2）Fatou 引理：若s a Y n .,≤ξ，则在})|({-∞>G E ξ上，则

)|(sup lim )|sup (lim G E G E n n ξξ=．

（3） 控制收敛定理：若Y s a Y n ,.,≤ξ可积，且P s a n 或.,ξξ→，则

0)|(lim =-∞

→G E n n ξξ． 1.3条件数学期望的求法

在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论．

方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解．

例1设n ξξξ,,,21 时独立同分布随机变量．∞<ξE ，记∑==n

k k S 1ξ，求

n k S E k ,,2,1,|( =ξ．

解 易证j i S E S E j i ≠=),|()|(ξξ．则

n i S S nE S S E i ,,2,1,)|()|( ===ξ

即

n k s a n

S S E k ,,2,1,.,)|( ==ξ 方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的σ域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和．

例 2 设有正态样本n X X ,,1 ),0(2σN ，统计量∑==n

i k X T 1

，求)|(2T X E k ．

解 令∑==n k k X S 12，则)|(1)|(2T S E n

T X E k =

．作正交变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n X X X C Y Y Y Y 2121，其中C 为正交阵，第一行为)1,,1(n n ，则有n T I CC Y X Cov EY ===),(,0，即∑=n

k k Y T 2

2与独立，k Y n k N ,,2),,0(2 =σ，从而∑∑∑===+===n k k n k k

n k k Y n T Y X S 222

1212，2T 关于)(T σ可测，所以 222

2222)11(]|)[(1)|(1)|(σn n T T Y n T E n T S E n T X E n k k k -++==

∑=

由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于σ代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解．

1.4全期望公式

设事件n B B B ,,,21 是一完备事件组，即n B B B ,,,21 互不相交，

n k B P k ≤≤>1,0)(，且Ω=⋃=k n

k B 1，由全概率公式有

,2,1),()()|()

(1

|1

==⋅====∑∑==i B P p B P B x X P x X P p k n k B i k k n

k i i i k 这时若∞

)

()|[)

()())

((1

|1

1|k n k k k B i i i n k k n

k B i i i i i i B P B X E B P p x B P p x p x EX k k ∑∑∑∑∑∑=====⋅==