条件数学期望例题
高等教育数学：数学期望例题解析
数学期望一射手进行打靶练习，规定射入区域2e （图4-1）得2分，射人区域1e 得1分，脱靶，即射人区域0e ，得O 分，射手一次射击得分数X 是一个随机变量．设X 的分布律为 P{X=k}=k p ，k=0，1，2．现在射击N 次，其中得0分的有0a 次，得1分的有1a 次，得2分的有2a 次，0a +1a +2a =N ．他射击N 次得分的总和为0a ×0+1a ×1+2a ×2．于是平均一次射击的得分数为=⨯+⨯+⨯Na a a 210210Na kkk ∑=2. 这里，N a k /是事件{X=k}的频率．在第五章将会讲到，当N 很大时，N a k /在一 定意义下接近于事件{X=k}的概率k p 量，就是说，在试验次数很大时，随机变量 X 的观察值的算术平均∑=2k k N ak/在一定意义下接近于∑=20k k k p ，我们称∑=2k k k p 为随机变量X 的数学期望或均值．一般，有以下的定义，定义 设离散型随机变量X 的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…．若级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k kp x的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=∑∞=1k k kp x. (1.1)设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分dx x f x )(-⎰∞∞绝对收敛，则称积分dx x f x )(-⎰∞∞的值为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=dx x f x )(-⎰∞∞． (1.2)数学期望简称期望，又称为均值．数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定，若X 服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望．例l 某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X 是一个随机变量．据以往的资料表明X试求X 的数学期望E(X)．解 E(X)=0×0. 002+1×0.001+2×0.002+3×0.005+4×0.02+5×0.04+6×0.18+7×0. 37+8×0.25+9×0.12+10×0.01=7.15（分） 这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如1000个，那么一个新生儿的平均得分约7. 15分，1 000个新生儿共得分约7 1 50分．例2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计）k X ((k=l ，2)服从同一指数分布，其概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,1x x e x θθ.0>θ若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N 的数学期望．解 k X ((k=l ，2)的分布函数为)(x F =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,00,-1x x e x ，θ由第三章§5的(5.12)式N= min{1X ，2X }的分布函数为[]=--=2min )(11)(x F x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,-12x x e x θ因而N 的概率密度为=)(min x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,22x x ex θθ于是N 的数学期望为E(X)==⎰∞∞dx x f x )(min -dx e xx θθ202-∞⎰=2θ. 例3 按规定，某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立．其规律为 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望．在上表中，例如P{X=70}=P(AB)=P(A)P(B)=6361⨯， 其中A 为事件“第一班车在8：10到站’’，B 为“第二班车在9：30到站”．候车时间的数学期望为E(X) =10×63+30×62+50×361+70×363+90×362 =27. 22（分）．例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式．记使用寿命为X （以年计），规定：X ≤1，一台付款1 500元； 1<X ≤2，一台付款2 000元； 2<X ≤3，一台付款2 500元； X>3，一台付款3 000元． 设寿命X 服从指数分布，概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,10110x x ex试求该商店一台这种家用电器收费Y 的数学期望．解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率．即有P{x ≤1} =dx e x 1010101-⎰=1.0-e -1=0.095 2， P{1 <X ≤2} =dx e x 1021101-⎰=2.0-1.0e --e =0. 086 1, P{2<X ≤3}=dx e x 1032101-⎰=3.0-2.0e --e =0. 077 9,P{x>3} =dx e x 103101-∞⎰=3.0-e =0. 740 8.得 E(Y) =2 732. 15，即平均一台收费2732. 15元．例5 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行．(i)将每个人的血分别去验，这就需验N 次．(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这是个人的血液分别进行化验．这样，k 个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．解 各人的血呈阴性反应的概率为q=l-p ．因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为l-k q ．设以k 个人为一组时，组内每人化验的次数为X ，则X 是一个随机变量，其分布律为X 的数学期望为E(x)=k 1k q +（1+k 1）（1-k q ）=1-kq +k1． N 个人平均需化验的次数为N(1-kq +k1)． 由此可知，只要选择k 使1-kq +k1<1， 则N 个人平均需化验的次数<N ．当p 固定时，我们选取k 使得L=1-kq +k1 小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法．例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时，L=1-kq +k1取到最小值．此时得到最好的分组方法．若N=1000，此时以k=4分组，则按第二种方法平均只需化验1000(1-419.04+)=594(次)． 这样平均来说，可以减少40%的工作量．例6 设X ～）（λπ，求E(X)． 解 X 的分布律为}{==k X P 0,,2,1,0,!>=-λλλk k e k ．X 的数学期望为E(x)=∑∞=0k k!k e k λλ-=()∑∞=---11!1k k k eλλλ= λλλe e⋅-=λ，即 E(X)=λ．例7 设X ～U （a ，b ），求E(X)． 解 X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=.,0,1)(其他bx a a b x fX 的数学期望为E(x)=dx x f x )(-⎰∞∞=dx a b x ab⎰-=.2b a + 即数学期望位于区间（a ，b ）的中点．我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，倒如飞机机翼受到压力W=2kV （V 是风速，k>0是常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W 是随机变量V 的函数．这时，可以通过下面的定理来求W 的数学期望．定理 设Y 是随机变量X 的函数：Y=g(X)（g 是连续函数）．(i)如果X 是离散型随机变量，它的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…，若∑∞=1)(k kkp xg 绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=∑∞=1)(k k kp xg ． (1.3)(ii)如果X 是连续型随机变量，它的概率密度为)(x f ，若 dx x f x g )()(⎰∞∞-绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=dx x f x g )()(⎰∞∞- (1.4)定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必算出Y 的分布律或概率密度，而只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，定理的证明超出了本书的范围．我们只对下述特殊情况加以证明．证 设X 是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件． 由第二章§5中的(5.2)式知道随机变量y=g(X)的概率密度为[]⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,)()()('其他，βαx y h y h f y f x Y于是E(Y)=dy y f y Y )(-⎰∞∞=[].)(')(dy y h y h f y x ⎰βα．当)('y h 恒>0时E(Y)= []dy y h y h f y x )(')(⎰βα=dx x f x g )()(⎰∞∞-.当)('y h 恒<0时E(Y)= －[]dy y h y h f y x)(')(⎰βα= －dx x f x g )()(-⎰∞∞=dx x f x g )()(⎰∞∞-.综合上两式，(1.4)式得证．上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况． 例如，设Z 是随机变量X,Y 的函数Z=g(X ，Y)（g 是连续函数），那么，Z 是一个一维随机变量．若二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ，则有E(Y)=E []),(Y X g =dxdy y x f y x g ),(),(⎰⎰∞∞-∞∞-, (1.5)这里设上式右边的积分绝对收敛．又若(X ，Y)为离散型随机变量，其分布律为P{X=i x ,Y=i y )=j i p ,i,j=l,2，．．．，则有E(Z)=E []),(Y X g =),(11j i i j y x g ∑∑∞=∞=j i p ， (1.6)这里设上式右边的级数绝对收敛．例8 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=.,0,0,1)(其他a a f υυ又设飞机机翼受到的正压力w 是V 的函数：W=2kV (k>0，常数)，求w 的数学期望．解 由(1.4)式有E(W)=υυυd f k )(2⎰∞∞-=υυd a k a102⎰=.312ka例9 设随机变量(X ，Y)的概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=.,0,1,1,23),(23其他x x y xy x y x f ．求数学期望E(Y)，E （XY1）． 解 由(1.5)式得 E(Y)=dydx y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-=dydx yx xx31123⎰⎰∞=[]dx y In x xx131123⎰∞=dx x x In 313⎰∞ =∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1223x Inx +dx x ⎰∞13123=43． E （XY1）=dydx y x f xy ),(1⎰⎰∞∞-∞∞-=53233411=⎰⎰∞dy y x dx x x ． 例10 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量．他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失．再者，他们预测销售量Y(件)服从指数分布，其概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤>=,0.0,00,1)(-θθθy y e y f y Y ，问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m ，n ，θ均为已知）?解 设生产x 件，则获利Q 是x 的函数Q=)(x Q =⎩⎨⎧≥<--.,,),(x Y mx x Y Y x n mYQ 是随机变量，它是Y 的函数，其数学期望为E(Q)=dy y Qf Y )(0⎰∞=[]dy e y x n my y xθθ-⎰--1)(0+dy e mx y xθθ-∞⎰1=nx en m n m x -+-+-θθθ)()(．令dxd E(Q)=n en m x -+-θ)(=0 ， 得 nm nIn x +-=θ ．而 22dxd E(Q)= 0)(<+--θθx e n m ， 故知当nm nInx +-=θ时E(Q)取极大值，且可知这也是最大值． 例如，若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>=,0,00,000101)(00010-y y e y f y Y ，且有m=500元，n=2000元，则x =0002500000200010+-In=2 231.4．取x=2231件．例11 某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜．若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人．可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7～11千美元之间均匀分布．问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大（若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下）．解 设321,,X X X 是其他三人的报价，按题意321,,X X X 相互独立，且在区间(7，11)上服从均匀分布，其分布函数为.11,1,117,47,7,0)(≥<≤-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F 以Y 记三人最大出价，即Y=max{321,,X X X }．y 的分布函数为.11,1,117,47,7,0)(3≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F Y 若甲的报价为x ，按题意7≤x ≤10，知甲能赢得这一项目的概率为{}()347⎪⎭⎫⎝⎛-==≤=x x F x Y P p Y (7≤x ≤10)．以G(x)记甲的赚钱数，G(x)足一个随机变量，它的分布律为E[G(x)]= 347⎪⎭⎫⎝⎛-x (10-x)．令[])(x G E dx d =()()[]x x 43774123--=0， 得 x=37/4，x=7（舍去）．又知 []4/3722)(=x x G E dx d <0． 故知当甲的报价为x=37/4千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值．现在来证明数学期望的几个重要性质 ①（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）．1 设C 是常数，则有E(C) =C ．2 设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX) =CE(X)．3 设X ，Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)十E(Y)． 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况．4 设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)．这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况，证1、2由读者自己证明．我们来证3和4．———————————————————① 这里我们只对连续型随机变量的情况加以证明，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情况的证明．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ．其边缘概率密度为)(x f X ，)(y f Y ．由(1.5)式E(X+Y)= dxdy y x f y x ),()(⎰⎰∞∞-∞∞-+=dxdy y x f x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- +dxdy y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-= E(X)十E(Y)．3得证．又若X 和Y 相互独立， E(XY) =dxdy y x yf x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- =dxdy y f x f y x Y X )()(⎰⎰∞∞-∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dy y f y dxx f x Y x )()(= E(X)E(Y)． 4得证．例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）．解 引入随机变量 .10,,2,1,1,0 =⎩⎨⎧=i i i X i 站有人下车，在第站没有人下车，在第易知 .1021X X X X +++= 现在来求E(X)．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为109，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为1-20109⎪⎭⎫⎝⎛，也就是{}==0i X P 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛， {}==1i X P 1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=l ，2， (10)由此E(i X )=1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=1.2， (10)进而 E(X)= ).(1021X X X E +++ =).()()(1021X E X E X E +++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-20109110=8. 784(次) ．本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义．例13 设一电路中电流I(A)与电阻R(Q)是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=.0,30,9h(r),0,10,2)(2其他，其他，r r i i i g 试求电压V-=IR 的均值．解 E(V)=E(IR)= E(I) E(R)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dr r rh di i g i )()(=)(2392303102V dr r di i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰．。
函数期望例题
法一：g x 0, x 0, Y g X
1, x 0.
E
g
X
g
x
f
x dx
2
1
g
x
1 3
dx
0 1 1 dx
2
1
1 dx
1
1
3
03
3
Chap4.1 数学期望
1, X 0,
例3 X U 1, 2, Y g X 0, X 0,
EY
解：
f
X
x
1
3
,
1 x 2, 1,
x2 f
x dx
x2
1
x
e dx
0
0
x2d
e
x
0
x2
x
e
2
1
x
xe dx
2 2
0
0
Chap4.1 数学期望
1, X 0,
例3 X U 1, 2, Y g X 0, X 0,
EY
解：f
X
x
1
3
,
1 x 2,
0, 其他
1, X 0.
E
g
X
g
x
f
x
dx
1, x 0,
例1
Y X
1
②
2
0 0.2 0.3
1 0.4 0.1
EY, E(XY)
E g X ,Y g xi , yj pi j ij
解： Y
1
0.6
2 0.4 ,
XY
0 1 2
0.5
0.4
0.1
EY 1 0.6 2 0.4 1.4
E XY 0 0.5 1 0.4 2 0.1 0.6 或 E XY 010.2 0 20.3
条件数学期望例题共59页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
条件数学期望例题
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
条件数学期望例题
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
条件数学期望例题
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
解：
解：
以 N 记事故次数，以 X i 记在第 i 次事故中的受伤人
数 ， i 1, 2, ， 那 么 伤 者 总 数 可 以 表 示 为
N
X i ．现在
i 1
E
N i 1
Xi
E
E
N i 1
Xi
N
．
但是
N
n
E i1 Xi N n E i1 Xi N n
n
E Xi i1
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，
随机变量及其分布、数学期望、方差、概率例题
2010年优秀模拟试卷分类汇编第五部分：随机变量及其分布、数学期望、方差、概率1.（2010丹东一模）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是，通过联赛一等奖选拔考试的概率是，通过自主招生考试的概率是，高考分数达到一本分数线的概率是，高考分数达到该大学录取分数线的概率是．（I）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；（II）求这名同学被该大学录取的概率．2.（2010丹东二模）为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种．（I）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；（II）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．3.（2010抚顺模拟）学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．4.（2010沈阳一模）某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算. 5.（2010沈阳三模）一个口袋中装有大小相同的n 个红球（5n ≥且n ∈N ）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用n 表示一次取球中奖的概率p ；（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m 取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球作如下标记：记上i 号的有i 个（1,2,3,4i =），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号，求X 的分布列、期望． 6.（2010高.考.资.源.网预测）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
条件概率、条件分布与条件数学期望
练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
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Mk ENk EENk Nk 1 ．
30
现在，
ENk Nk 1 Nk 1 1 1 pENk ，
其中上式是得自若取 Nk 1 次试验得到 k 1 次相继的 成功，则或者下一次是成功，我们就会接着得到第 k 次成功，或者下一次是失败，我们必须重新开始．
42
p 1 p E 1 2 N N 2 1 1 p E 2N N 2
1 21 pEN 1 pE N 2 ．
1 由前面的例题可知， E N ，这就推导出方程 p 21 p E N 1 1 p E N 2 ． p
由于首次成功的次数 N1 是参数为 p 的几何随 机变量，我们看到
1 M 1 E N1 ． p
33
并且，递推地有
1 1 M2 2 ， p p 1 1 1 M3 2 3 ． p p p
因此，一般地有
1 1 1 M k 2 k ． p p p
34
例8
由它导出
N E Xi N N E X1 i 1
因此，
N N E X i E E X N i i 1 i 1
EN E X1 E N E X1 ．
（3.5）
12
然而
EN Y 1 1，
EN Y 0 1 EN ．
（3.6）
为了明白为什么式 （3.6） 是正确的， 我们考察 EN Y 1 ， 由于 Y 1 ， 我们知道第一次抛掷结果是正面，所以，需要抛掷的次数的期望是
1 ．另一方面，如果 Y 0 ，第一次抛掷结果是反面．然而，由于假
i 0
n
1 E Rn PYn 0 PYn i E Rn i
i 1 n
n
1 E Rn PYn 0 n i PYn i （由归纳假设）
i 1
1 ERn PYn 0 n1 PYn 0 EYn ERn PYn 0 n1 PYn 0
8
所以，在上面的例子中，在一周中受伤人 数的期望值为
E X i E N E X1 4 2 8 ． i 1
N
9
例 3（几何分布的期望） 连续抛 掷一枚出现正面的概率为 p 的硬币直 至出现正面为止．问需要抛掷的次数的 期望多少？
10
解： 以 N 记需要抛掷的次数，而令
E N Y 0 E N 1 ．
2 2
41
因此，我们看到
E N2 E E N2 Y
2
E N 2 Y 1 PY 1 E N 2 Y 0 PY 0
p 1 p E 1 N
ERn EERn Yn
PYn i E Rn Yn i ．
n i 0
25
现在，给定最初一轮的全部匹配数 i ，需 要的轮数将等于 1 加上余下的 n i 个人 匹配他们的帽子需要的匹配轮数．
26
所以，
E Rn PYn i 1 E Rn i
1 第 i 个人取到自己的帽子 ， i 1, 2, , N ， Xi 0 其它情形
则有 X X i ．
i 1 N
20
现在，因为第 i 个人等可能地在 N 个帽子中取一个， 这就推出
1 P X i 1 P第 i 个人取到自己的帽子 ， N
随之，
31
对上式两端取期望，得
Mk EENk Nk 1
ENk 1 1 1 pENk ENk 1 1 1 pENk M k 1 1 1 p M k 1 ．
32
或者
1 M k 1 ． Mk p p
E X i 1 P X i 1 0 P X i 0
1 ， N
i 1,
2, N E X E X i i 1
E X i
i 1 N N
1 i 1 N
1．
6
但是
N n E Xi N n E Xi N n i 1 i 1
n E X i i 1
nE X1 ，
（由 N 与 X i 相互独立） （由随机变量序列 X i 独立同分布）
7
23
解： ⑴ 由上例推出，不论留在那里的人有多少，平均每轮有一 次匹配．这就使人想到
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明． 由 于 显 然 有 E R1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有
ERk k ．
24
为了计算 ERn ， 我们先对第一轮中的匹配 数 Yn 取条件．它给出
1 如果读者选取数学书 ， Y 2 如果读者选取历史书
3
则由全期望公式，得
E X EE X Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
1 1 7 2 5 ． 2 2 2
4
例2 （随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4． 又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
定相继的抛掷是独立的， 这就推出在第一次出现反面直到正面首次 出现时的附加抛掷次数的期望是 E N ．
13
因此，
EN Y 1 1．
将式（3.6）代入方程（3.5） ，推出
EN p 1 p 1 EN ，
解方程，得
1 E N ． p
是正面 1 如果第一次抛掷的结果 ． Y 是反面 0 如果第一次抛掷的结果
11
现在
EN EEN Y PY 1 EN Y 1 PY 0 EN Y 0 p EN Y 1 1 p EN Y 0 ．
n 1 1 E X X 1 0 E X X 1 1 ． n n
37
但是，由例.14， E X 1．此外，给定第一个人有 一个匹配时，匹配数的期望等于 1 加上当 n 1 个人在 他们自己的 n 1 个帽子中选取的匹配数的期望数，显 示出
EX X1 1 2 ，
14
例4
某矿工身陷有三个门的矿井之中．经第 1
个门的通道行进 2 小时后，他将到达安全地；经第 2 个门的通道前进 3 小时后，他将回到矿井原地； 经第 3 个门的通道前进 5 小时后， 他又将回到矿井 原地．假定这个矿工每次都等可能地任意一个门， 问直到他到达安全地所需时间的期望是多少？
15
解： 令 X 记矿工到达安全地所需的时间，以 Y 记他 最初选取的门．现在
E X EE X Y
PY i E X Y i
3 i 1 3
1 E X Y i ， i 1 3
16
然而
EX Y 1 2 ， EX Y 2 3 E X ， EX Y 3 5 E X ． （3.7）
2 2
2
下面我们计算 E N 2 ，对 Y 取条件，得
E N E E N Y ．
2
然而，
E N Y 1 1，
2
E N Y 0 E N 1 ，
2 2
40
上面两个方程都是正确的，因为如果首次试验的结果是 成功，那么显然 N 1 ，从而 N 2 1 ．另一方面，如果首 次试验的结果是失败，那么得到第一次成功所需的试验 总次数等于 1 （首次试验是失败）加上进行额外试验所 需的试验次数．由于后面的量与 N 同分布，我们得到
17
因此，
1 E X 2 3 E X 5 E X ， 3
解方程，得
E X 10 ．
18
例 5 在一次聚会上，N 个人将自己戴的 帽子扔到屋子中央．将这些帽子充分混合 后， 每人随机选取一顶． 求取到自己的帽子 的人数的期望数．
19
解： 以 X 记取到自己的帽子的人数．再设
在例 6 的有 n n 1 个人的匹
配问题中，求给定第一个人没有匹配 时的匹配数的条件期望．
35
解： 以 X 记匹配数．而令 X 1 等于1 ，如果 第一个人有一个匹配，而在其他情形下 令它等于 0 ．
36
那么，
EX EX X1 0 PX1 0 EX X1 1 PX1 1
27
其中最后一个等式用了上例中建立的结果
E Yn 1 ．由前面的方程推出 ERn n ．
28
例7
连续地做每次成功的概率为 p 的
独立试验，直至有 k 次相继的成功．所需 试验的次数的均值是多少？
29
解： 以 N k 记为了得到 k 次相继的成功必须试验的次数， 并记 M k ENk ． 通过对 k 1 次相继的成功所必须试验的次数 Nk 1 取条件，我们将得到 M k 的一个递推方程．由此推出
为了理解为什么这是正确的，我们以 EX Y 2 为例，给出其如下推理．如 果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到 矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
E X ．因此，
EX Y 2 3 E X ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．