初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
2．式子
有意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x≥ 且 x≠1 B．x≠1C．
D．
3．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．估计
的运算结果应在（ ）
A．6 到 7 之间 B．7 到 8 之间 C．8 到 9 之间 D．9 到 10 之间
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5．如果
=12a，则（ ）
解得 x≥ 且 x≠1．
故选 A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方
数是非负数．
3．（2007•荆州）下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【解答】解：A、
=
=7 ，正确；
B、
=
=2 ，正确；
C、 + =3 +5 =8 ，正确；
的运算结果应在（ ）
A．6 到 7 之间 B．7 到 8 之间 C．8 到 9 之间 D．9 到 10 之间 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵
=4+ ，而 4＜ ＜5，
∴原式运算的结果在 8 到 9 之间； 故选 C． 【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法” 是估算的一般方法，也是常用方法．
32．先化简，再求值：
，其中
．
33．已知 a=
，求
的值．
34．对于题目“化简并求值： +
同．
甲的解答： +
=+
，其中 a= ”，甲、乙两人的解答不 = + a= a= ；
乙的解答： +
=+
= +a =a= ．
请你判断谁的答案是错误的，为什么？
35．一个三角形的三边长分别为 、
、
（1）求它的周长（要求结果化简）； （2）请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的 值．
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性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（2012 秋•麻城市校级期末） 是整数，则正整数 n 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】本题可将 24 拆成 4×6，先把 62 即可得出整数，由此可得出 n 的值．
化简为 2 ，所以只要乘以 6 得出
分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数
或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式
（1） ( a )2 a(a 0)
（2） a 2 a
（3）乘法公式 ab a b(a 0,b 0)
（4）除法公式
． 化为
，这里 m=7，n=12，由于 4+3=7，4×3=12
=7， × =
∴
=
=
=2+ ．
由上述例题的方法化简：
．
40．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如 3+ =（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设 a+b =（m+n ）2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有
初二二次根式所有知识点总结和常考题
知识点：
1、二次根式： 形如 a (a 0) 的式子。①二次根式必须满足：含有
二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。②非负性
2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含
能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成
a+b =m2+2n2+2mn ．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式
的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b =
，用含 m、n 的式子
分别表示 a、b，得：a= ，b= ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：
a b
a (a 0,b f 0) b
4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被
开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的
先算括号里的。
常考题：
一．选择题（共 14 小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D．
amn+bn2=1，则 2a+b= ．
三．解答题（共 13 小题） 28．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ，
一样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
=
= （二）
=
=
= 1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
10．（2011•菏泽）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则
化
简后为（ ）
A．7 B．7 C．2a15 D．无法确定 【分析】先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a4）和 （a11）的取值范围，再开方化简．
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【解答】解：从实数 a 在数轴上的位置可得， 5＜a＜10， 所以 a4＞0， a11＜0，
=（ + ）2；
+
（3）若 a+4 =
，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？
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初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题
练习(题（共 14 小题） 1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D．
【解答】解：∵ =
=2 ，
∴当 n=6 时， =6，
∴原式=2 =12，
∴n 的最小值为 6．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能
开得尽方，若能则为答案．
8．（2013•佛山）化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分子、分母同时乘以（ +1）即可．
【解答】解：原式=
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
6．若
=（x+y）2，则 xy 的值为（ ）
A．1 B．1 C．2 D．3
7． 是整数，则正整数 n 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．k、m、n 为三整数，若 =k ， =15 ，
于 k、m、n 的大小关系，何者正确？（ ）
A．1 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可求出 x、y 的值，
再代入代数式即可．
【解答】解：∵
=（x+y）2 有意义，
∴x1≥0 且 1x≥0，
∴x=1，y=1，
∴xy=1（1）=2．
故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子 （a≥0）叫二次根式；
原式=
= ．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
二次根式成立的条件：被开方数大于等于 0，含分母的分母不为 0．
D、
，故错误．故选 D．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相
同的二次根式．
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二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进 行合并． 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不 变．
4．（2008•芜湖）估计
22．三角形的三边长分别为
，
，
，则这个三角形的周长为
cm．
23．如果最简二次根式 与
能合并，那么 a= ．
24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的
面积是 ．（结果保留根号）
25．实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简
=
．
26．计算：
= ．
27．已知 a、b 为有理数，m、n 分别表示 的整数部分和小数部分，且
的结果是 ．
17．化简： （ ） | 3|= ．
18．如果最简二次根式
与
是同类二次根式，则 a=
19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=
，则（2@6）@8=
20．化简 × 4× ×（1 ）0 的结果是 ．
． ．
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21．计算： = ．
13．若式子
有意义，则点 P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知 m=1+ ，n=1 ，则代数式
的值为（ ）
A．9 B．±3 C．3 D．5 二．填空题（共 13 小题）
15．实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a1|+
= ．
16．计算：
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37．已知： 38．计算或化简： （1）
， ；
，求代数式 x2xy+y2 值．
（2）
（a＞0，b＞0）．
39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如
的化简，只要我们找到两个数 a、b，使 a+b=m，ab=n，使得
八年级初二数学二次根式知识点及练习题及解析
一、选择题1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．0≤x≤5C ．x≥5D ．x≤52．下列运算错误的是（ ） A= B．=C．)216=D．)223=3．a b =--则（ ） A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b +=4．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．535．当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．36．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．27．下列计算正确的是（ ）A 6=± B．=C．6= D=（a≥0，b≥0）8．下列计算正确的是（ ）A=B=C4=D3=-9．下列运算正确的是（） A=B ．(28-=C12=D1=10．与根式1x x--的值相等的是（ ） A ．x -B ．2x x --C ．x --D ．x -二、填空题11．若m ＝20161-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．12．把31a a-根号外的因式移入根号内，得________ 13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.14．已知函数1x f xx，那么21f _____．15．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行722310 11 233第行 131541732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．17．14+⋅⋅⋅=的解是______．18．已知实数m 、n 、p 满足等式，则p =__________．19．=_______．20．a ，小数部分是b b -=______.三、解答题21．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．22．解：设x222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-，即235354x =++-+，x 2=10 ∴x =10．∵3535++-＞0，∴3535++-=10． 请利用上述方法，求4747++-的值． 【答案】14 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x =47++47-，两边平方得：x 2=（47+）2+（47-）2+247?47+-， 即x 2=4+7+4﹣7+6， x 2=14 ∴x =±14．∵47++47-＞0，∴x =14． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮（2（a ＜0）（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y xx y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xyxy+-，然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,=2132-⨯ =72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy-⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可． 【详解】|5|5x x ==-=-， ∴5-x≥0， 解得：x≤5，故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．C解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．3．C解析：C 【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可． 【详解】解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．5．A解析：A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式114234232211131331133331131=.故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．6．C解析：C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02x m->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．7．D解析：D6=，故A 不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；= （a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D8．B解析：B 【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A A 错误；B =，故B 正确；C ==C 错误；D 3=，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．9．B解析：B【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A A 错误；选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；选项C 124==，选项C 错误；选项D 1，选项D 错误．综上，符合题意的只有选项B ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.【详解】由题意可得x 是负数，所以-x x-⋅=- 故选：D .【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】mm ）， ∴m 3-m 2-2017m +2015=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．13．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a ＞0+3.a =a+3. 【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键. 14．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 15．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++．2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 18．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.19．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，则244t =+8=+8=+81)=+6=+21)=1t ∴=．．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．20．【详解】若的整数部分为a ，小数部分为b ，∴a=1，b=，∴a -b==1．故答案为1．解析：【详解】a ，小数部分为b ，∴a =1，b 1，∴-b 1)=1．故答案为1．三、解答题21．无22．无23．无25．无26．无27．无28．无。
初二数学-二次根式-知识点+练习题--详细
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
初二数学 二次根式 知识点+练习题
初二数学二次根式知识点+练习题详细知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧ 0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a ﹤ 0 时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0 （）。
注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方根是 0 ，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注： 1 、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0 ，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数 -a, 即；2 、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3 、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点 1 、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0 ，负实数。
初二数学二次根式提高题与常考题与培优题(含解析)
二次根式提升题与常考题型压轴题(含解读)一．选择题（共13 小题）1．二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且 x≠ 0 C．x≤3 D．x＜3 且 x≠02．计算：﹣，正确的选项是（）A．4B．C．2D．3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣ 12+8C． 8﹣ 4D． 4﹣ 24．若 1＜x＜ 2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 25．以下计算正确的选项是（）A．=2B．=C．=x D．=x6．以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2?x3=x6 B．=| x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣ x+1=（x﹣）2+7．以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．8．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2C．﹣ 2D．29．已知， ab＞0，化简二次根式 a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣10． a的小数部分，b的小数部分．的（）A．+ 1 B．+1 C．1D．++111．把中根号外面的因式移到根号内的果是（）A．B．C．D．12．假如=2a 1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥13．已知： a=，b=，a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0 C．a b=0 D．a2=b2二．填空（共17 小）14．假如代数式存心，那么x的取范．15．在数上表示数 a 的点如所示，化+| a 2| 的果．16．算：=．17．察以下等式：第 1个等式： a1=，=1第 2个等式： a2=，=第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，按上述律，回答以下：（1）写出第 n 个等式： a n=；（2） a1+a2+a3+⋯+a n=．18．算 2的果是．19．算（+）（）的果等于．20．化简：（0＜a＜1）=．21．假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的x 的取值范围是．22．已知 a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a，b）共有对．23．对正实数 a，b 作定义 a*b=﹣a，若 2*x=6，则 x=．．已知x+y=， x﹣y=4﹣y4．24，则 x=25．已知=﹣（x，y 为有理数），则 x﹣ y=．26．已知是正整数，则实数 n 的最大值为．27．三角形的三边长分别为3、m、 5，化简﹣=．28．若实数 m 知足=m+1，且 0＜m＜，则m的值为．29．计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=．30．察看以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3× 3+1，猜想：=．三．解答题（共10 小题）31．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．32．若 1＜ a＜2，求+的值．33．已知 x， y 都是有理数，而且知足，求的值．34．先化简，再求值：，此中x=﹣3﹣（π﹣3）0．35．（ 1）已知 | 2012﹣x|+=x，求 x﹣ 20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（+）=3（+5）．求的值．36．察看以下各式及其考证过程：（ 1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．37．先化简，再求值：（+）÷，此中a=+1．38．求不等式组的整数解．39．阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、 b、c，设p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S=．（1）若一个三角形的三边长分别是 5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．40．已知： y=++ ，求﹣的值．二次根式提升题与常考题型压轴题(含解读 )参照答案与试卷解读一．选择题（共13 小题）1．（2017 春?启东市月考）二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且 x≠ 0 C．x≤3 D．x＜3 且 x≠0【剖析】依据二次根式存心义的条件和分式存心义的条件得出3﹣x≥0 且 x≠ 0，求出即可．【解答】解：要使存心义，一定3﹣x≥0且x≠ 0，解得： x≤3 且 x≠ 0，应选 B．【评论】本题考察了二次根式存心义的条件和分式存心义的条件等知识点，能根据题意得出 3﹣x≥0 且 x≠ 0 是解本题的重点．2．（2017 春?萧山区校级月考）计算：﹣，正确的选项是（）A．4B．C．2D．【剖析】直接化简二次根式从而归并求出答案．【解答】解：﹣=2﹣=．应选： D．【评论】本题主要考察了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题重点．3．（ 2017 春?嵊州市月考）如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣ 12+8C． 8﹣ 4D． 4﹣ 2【剖析】依据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再依据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和 12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2 cm，∴AB=4cm，BC=（ 2 +4） cm，∴空白部分的面积 =（ 2 +4）× 4﹣12﹣ 16，=8 +16﹣ 12﹣16，2=（﹣ 12+8）cm．【评论】本题考察了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的重点在于依据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．（2016?呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 2【剖析】已知 1＜x＜2，可判断 x﹣3＜0，x﹣1＞0，依据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式 =| x﹣3|+=| x﹣3|+| x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．【评论】解答本题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0 时，表示 a 的算术平方根；当 a=0 时， =0；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=| a| ．5．（2016?南充）以下计算正确的选项是（）A．=2B．=C．=x D．=x【剖析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=| x| ，故此选项错误；应选： A．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题重点．6．（2016?杭州）以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2?x3=x6 B．=| x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣ x+1=（x﹣）2+【剖析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法例和分式的混淆运算法例分别化简求出答案．【解答】解： A、x2?x3=x5，故此选项错误；B、=| x| ，正确；C、（x2﹣）÷ x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣ x+1=（ x﹣）2+，故此选项错误；【评论】本题主要考察了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混淆运算等知识，正确掌握有关运算法例是解题重点．7．（2016?巴中）以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【剖析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解： A、 =3 ，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、 = ，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；应选： B．【评论】本题主要考察了同类二次根式，正确化简二次根式是解题重点．8．（2016?营口）化简+﹣的结果为（）A．0B．2C．﹣ 2D．2【剖析】依据根式的开方，可化简二次根式，依据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，应选： D．【评论】本题考察了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9．（2016?安徽校级自主招生）已知， ab＞ 0，化简二次根式a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【剖析】直接利用二次根式的性质从而化简得出答案．【解答】解：∵ ab＞0，∴ a=a×=﹣．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题重点．10．（2016?邯郸校级自主招生）设 a 为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1B．﹣+1 C．﹣﹣1D．++1【剖析】第一分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b 对应的小数部分，而后辈、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣=== ，∴ a 的小数部分 =﹣1；∵﹣===，∴ b 的小数部分 =﹣ 2，∴﹣====．应选 B．【评论】该题主要考察了二次根式的化简与求值问题；解题的重点是灵巧运用二次根式的运算法例来剖析、判断、解答．11．（ 2016?柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．【剖析】先依据被开方数大于等于 0 判断出 a 是负数，而后平方后移到根号内约分即可得解．【解答】解：依据被开方数非负数得，﹣＞0，解得 a＜0，﹣ a==．应选 A．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，先依据被开方数大于等于0 求出 a 的取值范围是解题的重点，也是本题最简单犯错的地方．12．（ 2016?杨浦区三模）假如=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【剖析】由二次根式的化简公式获得1﹣ 2a 为非正数，即可求出 a 的范围．【解答】解：∵=| 1﹣ 2a| =2a﹣ 1，∴1﹣ 2a≤0，解得： a≥ ．应选 D【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，娴熟掌握二次根式的化简公式是解本题的重点．13．（2016?临朐县一模）已知： a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0 D．a2=b2【剖析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、 a﹣ b、 a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解： a===2+，b===2﹣，A、ab=（ 2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；D、∵ a2=（ 2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本选项错误；应选 A．【评论】本题考察了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解本题的重点．二．填空题（共17 小题）14．（2017?静安区一模）假如代数式存心义，那么x的取值范围为x＞﹣2．【剖析】依据二次根式存心义的条件、分式存心义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得， x+2＞0，解得， x＞﹣ 2，故答案为： x＞﹣ 2．【评论】本题考察的是二次根式存心义的条件，掌握二次根式中的被开方数一定是非负数是解题的重点．15．（ 2016?乐山）在数轴上表示实数 a 的点如下图，化简+| a﹣2| 的结果为3．【剖析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a﹣5＜0，a﹣2＞ 0，则+| a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案： 3．【点】此主要考了二次根式的性以及的性，正确掌握掌握有关性是解关．16．（ 2016?聊城）算：=12．【剖析】直接利用二次根式乘除运算法化求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案： 12．【点】此主要考了二次根式的乘除运算，正确化二次根式是解关．17．（ 2016?黄石）察以下等式：第 1个等式： a1=，=1第 2个等式： a2==，第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；；=（ 2） a1+a2+a3+⋯+a n1．=【剖析】（1）依据意可知， a12=3==1，a =， a ==2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n==；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a1==1，第 2个等式： a2==，第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，∴第 n 个等式： a n==；（ 2） a1+a2+a3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2）+⋯+（）=1．故答案=；1．【点】此考数字的化律以及分母有理化，要修业生第一剖析意，找到律，并行推得出答案．18．（ 2016?哈）算 2的果是2．【剖析】先将各个二次根式化成最二次根式，再把同二次根式行归并求解即可．【解答】解：原式 =2×3= 3= 2 ，故答案： 2 ．【点】本考了二次根式的加减法，解答本的关在于掌握二次根式的化与同二次根式归并．19．（ 2016?天津）算（+）（）的果等于 2 ．【剖析】先套用平方差公式，再依据二次根式的性算可得．【解答】解：原式 =（）2（）2=5 3=2，故答案为： 2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算的应用，娴熟掌握平方差公式与二次根式的性质是重点．20．（ 2016?博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=﹣a．【剖析】联合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==| a﹣| ．∵0＜ a＜1，∴ a2﹣1＜0，∴ a﹣ =＜0，∴原式 =| a﹣| =﹣（ a﹣）=﹣a．故答案为：﹣a．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，解答本题的重点在于娴熟掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．（2016?绵阳校级自主招生）假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的 x 的取值范围是x≤ 10．【剖析】依据二次根式可归并，可得同类二次根式，依据同类二次根式，可得 a 的值，依据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与能够归并，得3a﹣8=17﹣2a．解得 a=5．由存心义，得20﹣2x≥0，解得 x≤10，故答案为： x≤ 10．【评论】本题考察了同类二次根式，利用同类二次根式得出对于 a 的方程是解题重点．22．（ 2016?温州校级自主招生）已知a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a， b）共有7对．【剖析】 A， B 只好是 15n2，而后分别议论及的取值，最后可确立有序数对的个数．【解答】解： 15 只好约分红3， 5那么 A，B 只好是 15n2先考虑 A 这边：①，那么 B 能够这边能够是 1 或许，此时有：（15，60），（ 15，15），（60，15），②，只好 B 这边也是，此时有：（60，60），③，那么 B 这边也只好是，∴2×（ + ）=1，此时有：（240， 240）④的话，那么 B 这边只好是，那么 2（ + ） =1，此时有：（135， 540），（540，135）．综上可得共有 7 对．故答案为： 7．【评论】本题考察二次根式的化简求值，难度较大，重点是依据题意分别议论及的取值．23．（ 2016?福州自主招生）对正实数a，b 作定义 a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32．【剖析】依据定义把 2*x=6 化为一般方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程 2*x=6 可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为： 32【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用新定义把方程化为一般方程是解题的重点．24（．2016?黄冈校级自主招生）已知 x+y=，x﹣y=，则 x4﹣y4=．【剖析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得 x2﹣y2，可求得答案．【解答】解：∵ x+y=，x﹣y=，∴（ x+y）22+2xy+y2（）2+，（﹣y）2 2﹣2xy+y2=x==x=x=（）2=﹣，∴ x2+y2=，又 x2﹣ y2= （ x+y ）（ x ﹣ y ） = （）（） ==1，∴ x4﹣y4（2+y2）（ x2﹣y2）=，=x故答案为：．【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和 x2﹣ y2的值是解题的重点．25．（ 2016?黄冈校级自主招生）已知=﹣（x，y为有理数），x y= 1 ．【剖析】把已知条件两平方，整理可获得 x+y 2，合x、y均有理数，可求得 x、y 的，可求得答案．【解答】解：∵=，∴（）2=（）2，即23= x+ y 2，∴ x+y 2=2= +2，∵ x，y 有理数，∴x+y= + ，xy= ×，由条件可知 x＞y，∴x= ，y= ，∴x y=1，故答案： 1．【点】本主要考二次根式的化，由条件求得 x、 y 的是解的关．26．（ 2016 春?固始期末）已知是正整数，数n 的最大11．【剖析】依据二次根式的意可知 12 n≥0，解得 n≤12，且 12 n 开方后是正整数，切合条件的 12 n 的有 1、4、9⋯，此中 1 最小，此 n 的最大．【解答】解：由意可知 12 n是一个完整平方数，且不 0，最小 1，所以 n 的最大 12 1=11．【点】主要考了二次根式存心的条件，二次根式的被开方数是非数．27．（2016?山西模）三角形的三分3、m、5，化=2m 10 ．【剖析】先利用三角形的三关系求出m 的取范，再化求解即可．【解答】解：∵三角形的三分3、m、5，∴2＜ m＜8，∴﹣=m﹣2﹣（ 8﹣m） =2m﹣10．故答案为： 2m﹣10．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的重点是熟记三角形的三边关系．28．（ 2016?武侯区模拟）若实数m知足=m+1，且 0＜m＜，则m的值为．【剖析】直接利用二次根式的性质化简从而得出对于m 的等式即可得出答案．【解答】解：∵=m+1，且 0＜ m＜，∴ 2﹣ m=m+1，解得： m=．故答案为：．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题重点．29．（ 2016?龙岩模拟）计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=102016．【剖析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律从而得出答案．【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102016．故答案为： 102016．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题重点．30．（2016?丹东模拟）察看以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜想：= 20112+3×2011+1．【剖析】依据题意得出数字变换规律从而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20112+3× 2011+1．故答案为： 20112+3× 2011+1．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题重点．三．解答题（共10 小题）31．（ 2017 春?临沭县校级月考）计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．【剖析】（1）先进行二次根式的除法运算，而后化简后归并即可；（2）利用完整平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 =3 ﹣ 2 +=3 ﹣2 +2=3；（ 2）原式 =1﹣5+1+2+5=2+2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，而后进行二次根式的乘除运算，再归并即可．32．（ 2017 春?沂源县校级月考）若 1＜ a＜ 2，求+的值．【剖析】依据 a 的范围即可确立a﹣ 2 和 a﹣1 的符号，而后依据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵ 1＜a＜2，∴a﹣ 2＜0， a﹣1＞0．则原式=+=+=﹣1+1=0．【评论】本题考察了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=| a| 是重点．33（．2017 春?启东市月考）已知 x，y 都是有理数，而且知足，求的值．【分析】观察式子，需求出x ， y的值，所以，将已知等式变形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式存心义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y 都是有理数，∴ x2+2y﹣ 17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵存心义的条件是x≥y，∴取 x=5，y=﹣4，∴．【评论】此类问题求解，或是变换式子，求出各个未知数的值，而后辈入求解．或是将所求式子转变为已知值的式子，而后整体代入求解．34．（ 2016?锦州）先化简，再求值：，此中x=﹣3﹣（π﹣ 3）0．【剖析】先依据分式混淆运算的法例把原式进行化简，再把化简后 x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4 ﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入获得：==．即=．【评论】本题考察的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵巧应用．35．（ 2016?湖北校级自主招生）（ 1）已知 | 2012﹣x|+=x，求 x﹣ 20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（ + ）=3 （ +5）．求的值．【剖析】（ 1）由二次根式存心义的条件可知 x≥2013，而后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013=20122，最后联合平方差公式可求得答案．（ 2）依据单项式乘多项式的法例把（ +）=3（+5）进行整理，得出 a﹣2﹣ 15b=0，再进行因式分解得出（﹣5）（+3）=0，而后依据 a＞0，b＞0，得出﹣5 =0，求出 a=25b，最后辈入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：（1）∵ x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴ x﹣2012+=x．∴=2012．∴x﹣2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣20132=20122﹣20132+2013 =﹣（2012+2013）+2013 =﹣2012．（ 2）∵（+ ）=3（+5 ），∴ a+=3+15b，∴a﹣ 2﹣15b=0，∴（﹣5）（+3）=0，∵a＞ 0，b＞ 0，∴ ﹣5 =0，∴ a=25b，∴原式 ===2．【评论】本题主要考察的是二次根式的混淆运算，用到的知识点是二次根式存心义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得 x﹣2013=20122，第（ 2）求出 a=25b 是解题的重点．36．（ 2016?山西模拟）察看以下各式及其考证过程：（ 1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．【剖析】依据察看，可得规律，依据规律，可得答案．【解答】解：（1）5=考证： 5====；（ 2） n=，证明： n====．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题重点．37．（ 2016?仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+）÷，此中a=+1．【剖析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入 a 的值即可得出结论．【解答】解：原式 =（+）÷，=?，=?，=．当 a= +1 时，原式 ==．【评论】本题考察了分式的化简求值，解题的重点是将原式化简成．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是重点．38．（ 2016?高邮市一模）求不等式组的整数解．【剖析】第一解不等式组，注意系数化“1时”，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣ 1，0．【评论】本题考察了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“1时”，系数是正仍是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，依据题意解题．39．（ 2016?太原一模）阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、 b、c，设p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S=．（ 2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【剖析】（1）把 a、 b、 c 的长代入求出 S2，再开方计算即可得解；2（ 2）把 a、b、c 的长代入求出 S ，再开方计算即可得解．【解答】解：（1）p===9，S===6．答：这个三角形的面积等于6．（2） S=====．答：这个三角形的面积是．故答案为： 6．【评论】本题考察了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．（ 2016 春?饶平县期末）已知： y=++，求﹣的值．【剖析】第一依据二次根式中的被开方数一定是非负数，求出x 的值是多少，进而求出 y 的值是多少；而后把求出的x、y 的值代入化简后的算式即可．【解答】解：∵+存心义，∴，解得 x=8，∴ y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=【评论】本题主要考察了二次根式存心义的条件，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：二次根式中的被开方数一定是非负数，不然二次根式无心义．。
八年级上册数学-二次根式及经典习题及答案
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.二次根式21.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
初二数学八下二次根式所有知识点总结和常考题型练习题
二次根式知识点 一、二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
二、最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
三、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
四、二次根式性质：五、二次根式运算：二次根式练习一、选择题1.=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2xD. 2x ≥ 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）B. 3．已知1018222=++x x x x ，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±44．下列说法正确的是( )．(A)被开方数相同的二次根式可以合并 (B)8与80可以合并(C)只有根指数为2的根式才能合并 (D)2与50不能合并5. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ）A 、x 25和x 3B 、2375b a 和a 12C 、y x 2和2xyD 、a 和21a6. 已知a>b>0，的值为（ ）A ．2B ．2CD ．127. 下列根式中，不能与合并的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列运算正确的是（ ）A ． 5a 2+3a 2=8a 4B ． a 3?a 4=a 12C ．（a +2b ）2=a 2+4b 2D ．﹣=﹣4二、填空题1． 在27,8,31,12，是同类二次根式的有 个。
2. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2, 则此边的高线长 。
3. 若()2240a c -+-=，则=+-c b a 。
4. 若=3﹣x ，则x 的取值范围是 ．5. 若11m +有意义，则m 的取值范围是6．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______。
7．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 。
二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)
二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
八年级初二数学二次根式知识点及练习题含答案
八年级初二数学二次根式知识点及练习题含答案一、选择题1．下列运算错误的是（ ） A ．1832= B ．322366⨯=C ．()2516+=D ．()()72723+-=2．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-13．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5B ．13C ．10D ．274．下列各式计算正确的是（ ） A ．1222= B ．362÷=C ．2(3)3=D ．222()-=-5．下列计算正确的是（ ） A ．93=±B ．8220-=C ．532-=D ．2(5)5-=-6．下列各式中，正确的是（ ） A ．32 >23 B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 27．关于代数式12a a ++，有以下几种说法， ①当3a =-时，则12a a ++的值为-4. ②若12a a ++值为2，则3a =. ③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①②C ．①③D ．①②③8．当119942x +=时，多项式()20193419971994x x --的值为( ).A ．1B ．1-C ．20022D ．20012-9．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定10．3 ）A ．18B ．13C 24D 0.311．751m +m 的值为（ ） A ．7B ．11C ．2D ．112．32的结果是（ ） A ．±3B ．﹣3C ．3D ．9二、填空题13．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+≤，则()f x n =z ．如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，试解决下列问题：①(3)f =z __________；②2(33)f +=z __________； 222222(11)(22)(22)(33)(33)(44)f f f f f f ++⋅++⋅++⋅+z z z z z z22(20172017)(20182018)f f =+⋅+z z __________．14．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为043252a cb=___________ 15．x y 53xy 153，则x+y=_______． 16．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．17．已知1＜x ＜2，171x x +=-11x x --_____．18．36，3，2315，，则第100个数是_______．19．如果332y x x --，那么y x =_______________________． 20．25523y x x =--，则2xy 的值为__________．三、解答题21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：2222221122a b c S a b ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：2()()()S p p a p b p c =---2a b cp ++=（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积． （2）请证明：12S S【答案】（1）4；（2） 证明见解析 【分析】（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．【详解】解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：4S == （2）222222211[()]24a b a S c b +-=-=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(21)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---∵2a b cp ++=， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b cb c +++++++-+=-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅=1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =∵10S >，20S >， ∴12S S ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．22．先阅读材料，再回答问题：因为)111=1=；因为1=，所以=1== （1= ，= ； （2⋅⋅⋅+的值．【答案】（12）9 【分析】（1）仿照例子，由1+=的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．23．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2∴a﹣2=∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.24．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．计算：（1）-（2）【答案】（1）21 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．28．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．29．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．30．计算：（1）13⎛+-⨯ ⎝⎭（2）)()2221+．【答案】（1）6-；（2）12-【分析】（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式＝1(233⨯⨯-⨯＝3-⨯＝⨯⎭＝6-；（2）原式＝3﹣4+12﹣＝12﹣． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．2．A解析：A【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．【详解】解：由题意得：x-1≥0解之：x≥1.1>．故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．3．C解析：C【分析】化简得到结果，即可做出判断．【详解】解：A2，不是最简二次根式；B，不是最简二次根式；C是最简二次根式；D故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．4．C解析：C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】2，故选项A错误；=B错误；C. 23=，故选项C正确；2=，故选项D 错误；故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】3=，故此选项错误；0=，正确；D. 5=，故此选项错误；故选：B【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．C解析：C【分析】①将3a =-代入12a a ++计算验证即可；②根据题意12a a ++=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对12a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：①当3a =-时，1134232a a +=-+=-+-+． 故①正确； ②若12a a ++值为2， 则122a a +=+， ∴a 2+2a+1=2a+4，∴a 2=3，∴a =．故②错误；③若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12a a ++=1222a a ++-+=222+-=2≥0． ∴若a ＞-2，则12a a ++存在最小值且最小值为0． 故③正确．综上，正确的有①③．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】由原式得()2211994x -=，得244+11994x x -=，原式变形后再将244+11994x x -=代和可得出答案.∵11994x +=， ()2211994x ∴-=，即24419930x x --=，()()32241997199444199344199311x x x x x x x ∴--=--+---=-．∴原式()201911=-=-．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化. 9．B解析：B【解析】因=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B. 点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．10．B解析：B【详解】A 18323不是同类二次根式，故此选项错误；B 13333C 24=63不是同类二次根式，故此选项错误；D 0.3310=30103不是同类二次根式，故此选项错误； 故选B ． 11．C解析：C【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.【详解】解7553=m=7时1822m +==，故A 错误；当m=11时11223m +==1m +B 错误；当m=1时12m +=故D 错误；当m=2时13m +=故C 正确； 故选择C.本题考查了同类二次根式的定义.12．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C ．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二、填空题13．3【解析】1、；2、根据题意，先推导出等于什么，（1）∵，∴，（2）再比较与的大小关系，①当n=0时，；②当为正整数时，∵，∴，∴，综合（1）、（2）可得：，解析：320172018【解析】1、(1.732)2z z f f ==；2、根据题意，先推导出f 等于什么，（1）∵2221142n n n n n ⎛⎫+<++=+ ⎪⎝⎭，12n <+， （2）12n -的大小关系，①当n=012n >-； ②当n 为正整数时，∵2212n n n ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1204n =->， ∴2212n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，12n >-，综合（1）、（2）可得：1122n n -<+，∴f n =z ，∴3f =z ．3、∵f n =z ，∴(2017z f +111112233420172018=++++⨯⨯-⨯ 111111112233420172018=-+-+-++- 112018=- 20172018=． 故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018. 点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n 为非负整数时，1122n n -<+，从而得到f n =z ；（2）解题③的要点是：当n 为正整数时，111(1)1n n n n =-++. 14．【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0时，=；当b ＜0时，=.故答案为：.解析：220202a b b a b b 当时当时⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0= 当b ＜0=故答案为：220202a b b a b b ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩当时当时. 15．8+2【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为：8+2.解析：【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y=2222+=+-）2整体代入可得原式=2-2）故答案为：16．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=， 解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.17．-2【详解】∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即 =4，又∵1＜x ＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是 解析：-2【详解】∵x+11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11x -=4，即2 =4， 又∵1＜x ＜2,∴， 故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.18．【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，∴第100个数是．故答案为：．【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考解析：【分析】，，于是可得第n进而可得答案．【详解】，∴第100 ．故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．19．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴．故答案为：．【点睛】解析：1 9【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴2139y x -==． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
八年级初二数学二次根式知识归纳总结及解析
一、选择题1．下列运算中，正确的是 ( ) A ．3 B ．×=6 C ．3D ．2．下列运算错误的是（ ） A= B．=C．)216=D．)223=3．x 的取值范围是（ ） A ．0x < B ．0xC ．2xD ．2x4．关于代数式12a a ++，有以下几种说法， ①当3a =-时，则12a a ++的值为-4. ②若12a a ++值为2，则a = ③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③5．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．26．下列运算中错误的是（ ） A=B=C2÷=D．2 (3=7．的下列说法中错误的是（ ） A12的算术平方根 B．34<< C不能化简 D是无理数8．A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．99．给出下列化简①（）2=2=2=12=，其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D二、填空题11．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____．12．计算（π-3）0-21-2（）的结果为_____．13．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．14．把根号外的因式移入根号内，得________ 15．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．16．计算： 20082009⋅-=_________．17．已知4a|2|a -=_____．18．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=．19．如果0xy >．20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：==1；==2==-．应用计算：（1（21（n 为正整数）的值．归纳拓展：（398++【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-，=10-1，=9．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．若x，y为实数，且y12．求xyyx++2－xyyx+-2的值．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x=14，此时y=12．即可代入求解．【详解】解：要使y有意义，必须140410xx-≥⎧⎨-≤⎩，即1414xx⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴x＝14．当x＝14时，y＝12．又∵xyyx++2－xyyx+-2＝－|∵x＝14，y＝12，∴xy＜yx．∴+当x＝14，y＝12时，原式＝．【点睛】（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．23．先阅读材料，再回答问题：因为)111=1=；因为1=，所以=1== （1= ，= ； （2⋅⋅⋅+的值．【答案】（12）9 【分析】（1）仿照例子，由1+=的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．24．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+--= 42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+-=2(2)(2)xx x -+-=12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.25．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤188x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．26．计算 （1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差． 【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差． 试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3； （2）原式=﹣3﹣2+﹣3 =-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．27．已知a，b（1）求a2﹣b2的值；（2）求ba+ab的值．【答案】（1）；（2）10【分析】(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.【详解】(1)∵ab，∴a+ba﹣b＝，∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝＝；(2)∵ab，∴ab＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b aab+＝()22a b abab+-＝(2211-⨯＝10．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次根式的加减法对A 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断． 【详解】A 、A 选项错误；B 、×=12，所以B 选项错误；C 、3，所以C 选项正确；D 、，不能合并，所以D 选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．C解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得．【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．3．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案； 【详解】即：20x -≥ ， 解得：2x ， 故选：D ； 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.4．C解析：C 【分析】①将3a =-代入12a a ++计算验证即可；②根据题意12a a ++=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对12a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：①当3a =-时，1134232a a +=-+=-+-+． 故①正确； ②若12a a ++值为2， 则122a a +=+， ∴a 2+2a+1=2a+4， ∴a 2=3，∴a =．故②错误；③若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12a a ++=1222a a ++-+=222+-=2≥0． ∴若a ＞-2，则12a a ++存在最小值且最小值为0． 故③正确．综上，正确的有①③．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．5．C解析：C【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2．【详解】 解：解不等式02x m ->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2，∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．解析：A【分析】根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．【详解】==2÷，故此项正确，不符合要求；D. 2 (3=，故此项正确，不符合要求；故选A ．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．7．C解析：C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A 12的算术平方根，故该项正确；B 、34<<，故该项正确；C =D =是无理数，故该项正确；故选：C .【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.8．B解析：B【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.【详解】﹣3|=3. 故选B.9．C 解析：C根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==④原式==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.10．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误；D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．二、填空题11．13【解析】【分析】由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.【详解】解：∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13【解析】【分析】 由112a b +=得a+b=2ab ，然后再变形535a ab b a ab b++-+，最后代入求解即可. 【详解】 解：∵112a b+= ∴a+b=2ab ∴()5353510ab 3===132ab a b ab a ab b ab a ab b a b ab ab+++++-++-- 故答案为13.【点睛】 本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 12．﹣6【解析】根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.故答案为﹣6．解析：﹣6【解析】根据零指数幂的性质01(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质1(0)p p a a a -=≠，可知（π-3）0-21-2（）=1﹣（3﹣）﹣4×2﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．13．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m 即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg ，乙容器解析：5【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m 即可．【详解】， 甲容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁makg ，乙容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁mbkg ，，=，整理得，-6b =5ma -5mb ，∴（a -b ）=5m （a -b ），∴m故答案为：5 【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．14．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：a【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：．a【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．15．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．16．【解析】原式==17．-5【分析】根据a的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵4a ,∴a+3<0,2-a>0,|2|a -=-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.18．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．19．【分析】由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵，且，即，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．解析：-【分析】由0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥知0x <，0y <，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥，∴0x <，0y <，==-故答案为：-【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．20．【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．所以三角形的面积S ＝＝＝4．故答案为：4．【点睛】本题主解析：【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝2a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572++＝8．所以三角形的面积S ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无。
专题02 二次根式综合(压轴33题10个考点)(解析版)
专题02二次根式综合（压轴33题10个考点）一．二次根式的定义（共1小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51．故答案为：51．二．二次根式有意义的条件（共3小题）2．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案为：2005．4．已知，则x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022•y，将x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案为：．三．二次根式的性质与化简（共8小题）5．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故选：A．7．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…T n＝，其中n为正整数．设S n＝T1+T2+T3+…+T n，则S2021值是（）A．2021B．2022C．2021D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y ﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．11．若，则m的取值范围是m≤4．【答案】见试题解答内容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案为：m≤4．12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；当x＜0时，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案为：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小题）13．使式子成立的条件是（）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选：B．14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+ 4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3【答案】D【解答】解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故选：D．15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案为：4．16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为A B C的三边长．化简：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小题）17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同类二次根式（共1小题）18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16B．0C．2D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．七．二次根式的加减法（共1小题）19．若，则x﹣x2的值为﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案为：﹣6．八．二次根式的混合运算（共4小题）20．已知，，则2y﹣3x的平方根为±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案为：±4．21．计算的结果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案为：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．特别地，，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化简求值（共8小题）24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A．B．﹣10C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．25．已知，，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；B．ab＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本选项不符合题意；C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．故选：D．26．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案为：8．28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为11．【答案】11．【解答】解：当a＝2+，b＝时，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将a进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，当a＝时，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的应用（共2小题）32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是1或或2﹣．【答案】1或或2﹣．【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或或2﹣．33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为．【答案】【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，∴，∴＝＝＝，故答案为：．。