超级名圆—阿波罗尼斯圆及应用

超级名圆——阿波罗尼斯圆

一、问题背景

1.（苏教版选修2-1，P63例2）求平面内到两个定点A,B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹. 【解】以B A ,所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 令a AB 2=,则B A ,两点的坐标分别为()()0,,0,a a -. 设M 点坐标为()y x ,，依题意，点M 满足

2=MB

MA

, 由2

2

22)(,)(y a x MB y a x MA +-=++=得2)()(2

2

22=+-++y

a x y a x ，

化简整理，得0310332

2

2

=+-+a ax y x ，

所以动点M 的轨迹方程为0310332

22=+-+a ax y x .

2.(苏教版必修2，P112第12题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为1:2，

那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线.

【解】由两点间距离公式得22y x MO +=

，22)3(y x MA +-=，

则2:1)3(:2

222=+-+y x y x ，化简得4)1(2

2

=++y x ，

即点M 是以（-1，0）为圆心,2=r 的圆.（图略）

二、阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back ）,古希腊人（262BC~190BC ），与阿基米德、欧几里德一起被誉为古希腊三大数学家，他写了八册《圆锥曲线论》（Conics ），其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，圆锥曲线的性质几乎囊括殆尽，阿波罗尼斯曾研究了众多的平面轨迹问题，阿氏圆是他的论著中的一个著名问题：

已知平面上两定点A 、B ，则所有满足

()1≠=λλPB

PA

的点P 的轨迹是一个以定比n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.

这是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以内外分点为直径的圆被后人称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

三、证明方法

1、解析方法

证：设()02>=m m AB ，

λ=PB

PA

， 以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,m A -,()0,m B ． 又设()y x P ,，则由

λ=PB

PA

得()()2222y m x y m x +-=++λ，

化简整理得(

)(

)(

)

(

)

2

2

22

2

2

2

11121λλλλ-=-++--m y x m x ． 当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；

当1≠λ时，()

22222

2

221411-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+0,1122m λλ为圆心，122-λλm 为半径的圆． 2、几何方法

证：（以1>λ为例）

设λ===NB AN MB AM m AB ,

2,则1

2,12,12,12-=

-=+=+=λλλλλλm

BN m AN m MB m AM ， 由相交弦定理及勾股定理知1

422

2

-=⋅=λm BN MB BP ，

1

422

22

2

2

-=+=λλm BP AB AP ，

于是λλλλ=-=

-=

BP AP

m

AP m

BP ,

1

2,1

222,

而P N M ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点距离之比恒为λ.

四、阿波罗尼斯圆的性质

1．点N M ,是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点，线段MN 是阿氏圆的直径，设m AB 2=,

则1

412122-=-++=

+=λλλλm m m BN MB MN ．

2．P 为圆上任一点，则PM 平分APB ∠，PN 平分APB ∠的外角． 3.

λ===BN

AN

BM AM PB PA ()1,0≠>λλ. 4．PN PM ⊥.

5．当1>λ时，点B 在圆内,A 在圆外；当10<<λ时，点A 在圆内，B 在圆外． 6．若过点B 作圆O 的不与AB 垂直的弦EF ，则AB 平分EAF ∠.

五、例题欣赏

【例1】. (合肥市十一中高二期中)阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点()1,0A -与点()2,0B 的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()5,4P -作曲线C 的切线，求切线方程.

【解】：（1）设动点M 的坐标为(),x y ，则()

2

21MA x y =

++，()

2

22MB x y =

-+，

所以

()()2

2

2

2

122x y x y ++=-+，化简得()2

234x y -+=，

因此，动点M 的轨迹方程为()2

234x y -+=； （2）当过点P 的直线无斜率时，直线方程为50x -=，

圆心()3,0C 到直线50x -=的距离等于2，此时直线50x -=与曲线C 相切； 当切线有斜率时，不妨设斜率为k ，

则切线方程为()45y k x +=-，即540kx y k ---=， 由圆心到直线的距离等于半径可知，235421

k k k --=+，解得3

4

k =-.

所以，切线方程为3410x y ++=.

综上所述，切线方程为50x -=或3410x y ++=.