阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)

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高考数学一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆(20200615195315)

1 x2 x1
2
2 2，即
为三角形高的最大值，即 △ABC 高的最大值是 2 2 .故△ ABC 6 年高考数学四川卷）已知两个定点
A 2，0 , B 1，0 .如果动点 P 满足
PA 2 PB ，则点的轨迹所包围的面积等于（）A.
B. 4 C. 8 D. 9
NA MA
NB MA
C
①
；
②
2；
NB MB
NA MB
N
NB ③
NA
MA 2 2 ．其中正确结论的序号是
MB
M .（写
A OT
x
出所有正确结论的序号）
解：（ 1 ）易知半径 r
2
x1 y
2
2 2；
2 ，所以圆的方程为
（ 2）易知 A 0, 2 1 , B 0, 2 1 ，设 P x, y 为圆 C 上任意一点，则
于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆” ．因此，题 2 又有如下的轴上简洁解法 :
∵动点 C 到定点 A ( - 1 ， 0 ) 和 B （1 ， 0）距离之比为 2 , 则有
| x 1| 2 | x 1| x2 2x 1 2 x2 2x 1 x2 6x 1 0 x 3 2 2 ,
∴ 得 x1 3 2 2 为内分点， x2 3 2 2 为外分点．圆半径 r
2
PA
x2 y 2 1
4 2 2 2 2 1y 2 2 1 2 y
PB
2
x2 y 2 1
4 2 2 2 2 1y
2 21 2 y
21
，故①正确；
NB MA NA MB
21
2 1 2， ②正确；

中考专题阿氏圆专题(解析版)

阿氏圆专题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。

故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。

【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ，求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④= EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，△C 的半径为10,点B 在△C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5. 变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，△AB＝BD＝4，BD是切线，△△ABD＝90°，△BAD＝△D＝45°，△AB是直径，△△APB＝90°，△△P AB＝△PBA＝45°，△P A＝PB，PO△AB，△AC＝PO＝2，AC△PO，△四边形AOPC是平行四边形，△OA＝OP，△AOP＝90°，△四边形AOPC是正方形，△PM＝PC，△PC+PD＝PM+PD＝DM，△DM△CO，△此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，△B的半径为2，P是△B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：△如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．△PB2＝4，BE•BC＝4，△PB2＝BE•BC，△＝，△△PBE＝△CBE，△△PBE△△CBE，△＝＝，△PD+PC＝PD+PE，△PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，△PD+PC的最小值为5．△连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF △BC 于F ．△PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，△BP 2＝BE •BD ，△＝，△△PBE ＝△PBD ，△△PBE △△DBP ， △＝＝，△PE ＝PD ，△PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），△PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，△EC ＝，△PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，△B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．△＝＝，＝＝，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF△BC于F．△＝＝2，＝＝2，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，△DCF＝60°，CD＝4，△DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM△AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y ＝0，则ax 2+（a +3）x +3＝0， △（x +1）（ax +3）＝0，△x ＝﹣1或﹣，△抛物线y ＝ax 2+（a +3）x +3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0）， △﹣＝4，△a ＝﹣．△A （4，0），B （0，3），设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，△直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，△PM △AB ，PE △OA ，△△PMN ＝△AEN ，△△PNM ＝△ANE ，△△PNM △△ANE ，△＝，△NE △OB ，△＝，△AN ＝（4﹣m ），△抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，△PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，△＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． △OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， △OE ′2＝OM ′•OB ， △＝，△△BOE ′＝△M ′OE ′，△△M ′OE ′△△E ′OB ， △＝＝，△M ′E ′＝BE ′，△AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小（两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时），最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：3. 如图，等边⊙ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：2.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A，()0,2B，()4,0C，()3,2D，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]6. 如图，Rt△ABC，△ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC△△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，△四边形CDEF是正方形，△CF＝CD，△DCF＝△ACB＝90°，△△ACF＝△DCB，△AC＝CB，△△FCA△△DCB（SAS）．（2）解：△如图2中，当点D，E在AB边上时，△AC＝BC＝2，△ACB＝90°，△AB＝2，△CD△AB，△AD＝BD＝，△BD+AD＝+1．△如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，△BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．△CD＝，CM＝1，CA＝2，△CD2＝CM•CA，△＝，△△DCM＝△ACD，△△DCM△△ACD，△＝＝，△DM＝AD，△BD+AD＝BD+DM，△当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．。

(完整版)阿氏圆问题归纳(2),推荐文档

阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy 中，在x 轴、y 轴分别有点C(m ，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且OP=r ，求PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP 、OD ；第三步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度；第四步：计算这两条线段长度的比k ；第五步：在OD 上取点M ，使得OM:OP=OP:OD=k ；第六步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是___________.1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+1PC 的最小值为_________.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为______；2PD+4PC 的最小值为______.8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是_______.9.在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为_______.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为______，PD-32PC 的最大值为______． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为______，PD-21PC 的最大值为________.2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621=C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．探索理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；尝试体验：(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．解决应用：(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=2 AB，试探究BC，BD的数量关系．(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。

(完整版)阿波罗尼斯圆问题

APB阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修2》P.112第12题：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ．又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ，两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．三、【范例】例1 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，平方化简整理得88316222≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 22221≤⋅⨯=∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22．变式在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ，由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +，所以点C 的轨迹方程为 8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是．解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动．另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ，2MA MO = ()22220000344x y x y ∴+-=+，即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2121∴-≤≤+，解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5．例4 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M . （1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k ±=，∴切线l 方程为24)y x -=-．（2）圆心到直线12-=x y r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PRPQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2；点R 的坐标为)51,52(时，比值为310．四、【练习】1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于．解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值．解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点P 所满足的几何条件．DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠，同理8tan BC BPC BP BP∠==， APD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，这样就转化为题3的题型．在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P 0)y =≠ 化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤， PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤，当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．AP BDCβα3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，,2(2O ，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ，即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO．则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ，又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．。

专题06 阿氏圆问题-中考数学二次函数压轴题核心考点突破

中物理
阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有
（2）如图 1，过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H ∵A （1，0），B（5，0），C（0，5） ∴AB ＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝ AB•OC＝ ×4×5＝10
∵点 M 为 x 轴下方抛物线上的点 ∴设 M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴MH ＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
【练习 1】如图，在ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是．
C
D
A
B
【分析】首先对问题作变式
2AD+3BD=
3
2 3
AD
BD
，故求
2 3
AD
BD
最小值即可．
考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 2 AD ，条件已经足够明显． 3
B 使得 PA：PB=3：1，求 B 点坐标．
y
P
A
M O Nx
【分析】
像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与 A 点，求另外一点 B．
思路 1：构造相似三角形．
考虑 OP2 OAOB ，将 OP 3 、 OA 9 代入可得：OB 1 ，故 B 点坐标为3,0 ．

高中数学专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点6 阿波罗尼斯圆综合训练

专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点6 阿波罗尼斯圆综合训练专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点6 阿波罗尼斯圆综合训练一、单选题（2022宁夏·石嘴山三中高二月考）1．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12=PAPB ．则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π （2022广东·广州一中高二期中）2．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，动点M 满足MA =，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l ：()1y k x b =-+与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．-⎡⎣ （2022·河北保定·高二期末）3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（0λ>，且1λ≠）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()4,0-A ，()2,0B ，点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹的圆心坐标为（） A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,-0 D ．()2,0 4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经(0,0)O ,(3,0)A ,动点(,)P x y 满足2PA PO=,则动点P 轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切5．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PAPB λ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P ，Q ，动点M 满足2MP MQ =，记M 的轨迹为C ，若与C 无公共点的直线l 上存在点R ，使得MR 的最小值为6，且最大值为10，则C 的长度为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π（2022·广东茂名·高二期末）6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PA PO=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中）7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足2PAPB =，当P 、A 、B 不共线时，PAB 面积的最大值是（）A ．4B ．2C ．23 D ．438．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C 到()()1,0,1,0A B -C 到直线280x y -+=的距离的最小值为（）A ．B C ．D （2022四川遂宁·高二期末）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足12PAPB =．当,,P A B 三点不共线时，PAB △面积的最大值为（）A ．24B ．12C ．D（2022湖北黄州中学高二开学考试）10．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数()0,1k k k >≠的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 满足2AC BC =，则动点C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P ，已知点D 在圆P 上（点D 在第一象限），AD 交圆P 于点E ，连接EB 并延长交圆P 于点F ，连接DF ，当DFE 30∠=时，直线AD 的斜率为（）A B C D 二、多选题（2022江苏·高二专题练习）11．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是（）A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内（2022·浙江·玉环玉城中学高二期中）12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠ 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤ C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为)413 13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点Р满足12PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得1AD =C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=（2022河北保定·高二期中）15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､B 的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xoy 中，()2,0A ､()4,0B ，点P 满足12PAPB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．曲线C 的方程为()22416x y ++=B ．在曲线C 上存在点D ，使得1AD =C ．在曲线C 上存在点M ，使M 在直线上20x y +-=D ．在曲线C 上存在点N ，使得224NO NA +=（2022福建龙岩·高二期中）16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(2,0)B ，动点C 满足||1||2CA CB =，直线:10l mx y m -++=，则（）A ．动点C 的轨迹方程为22(2)4x y ++=B ．直线l 与动点C 的轨迹一定相交C ．动点C 到直线l 1D ．若直线l 与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，且||PQ =1m =-三、填空题（2022天津河北·高二期中）17．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足||1||2PA PB =，则点P 所构成的曲线C 的方程为 _______________． 18．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点()0,0O ，()3,0A ，动点P 满足12POPA =，则点P 的轨迹方程是___________．（2022四川省武胜烈面中学校高二期中）19．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ(0λ>且1λ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O A 、是定点，它们的坐标分别为00O (，)､(30)A ，；另一个顶点M 是动点，且满足∠=∠sin 2sin AOM OAM ，则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________.（2022四川巴中·高二期末）20．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O 、A 是定点，它们的坐标分别为(00)O ，、(30)A ，；另一个顶点M 是动点，且满足||1||2MO MA =．则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________． 21．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.22．平面向量a ，b 满足3a b -=，2a b =，则a 与a b -夹角最大值为______． 23．已知平面向量满足1a b c ===，a b ⊥r r ，则232c a a b c +++-的最小值为______．24．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =,则BD 的最小值为______.四、双空题（2022重庆·高二期末）25．设动点P 与两不同定点A B 、在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0),(,)A B P x y -，动点P 满足||2,||PA P PB =点的轨迹Γ的方程为_______．点Q 是直线:34100l x y -+=上任意一点，过Q 作Γ的切线，相切于,M N ，当||MN 取得最小值时，求cos MQN ∠的值______________（2022广东·深圳七中高三月考）26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,3A ，若动点M 满足2=MA MO ，则动点M 的轨迹Γ方程是___________；若直线:10l x my +-=与轨迹Γ交于,P Q ，当PQ 取最小值时，则m =___________.27．被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P 到两个不同定点,A B 的距离之比为常数()01k k k >≠且，则P 点的轨迹是一个圆心在AB 直线上的圆，简称“阿氏圆”.据此请回答如下问题：已知ABC 中，A 为一动点，,B C 为两定点，且2AB AC =，BC a =，ABC 面积记为S ，若3a =时，则max S =______;若1S =时，则a 取值范围为______．28．阿波罗尼奥斯（Apollonius ）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2：1，则动点P 的轨迹方程为________.五、解答题（2022辽宁抚顺·高二期末）29．设A ，B 是平面上两点，则满足PAk PB =(其中k 为常数，0k ≠且1k ≠)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知)A ，B ⎫⎪⎪⎝⎭，且k =（1）求点P 所在圆M 的方程.（2）已知圆()()22:225x y Ω++-=与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：ECD FCD ∠=∠.（2022福建省福州八中高二期中）30．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点E ，F ，则满足PF =的动点P 的轨迹记为圆E .(1)求圆E 的方程；(2)过点(3,3)Q 向圆E 作切线QS ，QT ，切点分别是S ，T ，求直线ST 的方程. 31．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯()Apollonius 在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A ，B 距离之比为(0λλ>且1)λ≠的点P 的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．(1)已知两定点()2,0A -，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB =，求点P 的轨迹方程； (2)已知()6,0A -，P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，在平面上是否存在点B ，使得12PAPB =恒成立？若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由； (3)已知P 是圆22:4D x y +=上任意一点，在平面内求出两个定点A ，B ，使得12PAPB =恒成立．只需写出两个定点A ，B 的坐标，无需证明．32．平面上两点A 、B ，则所有满足PAk PB =且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆1C 上的动点P 满足：2(PO PA =其中O 为坐标原点，A 点的坐标为()0,3. (1)直线Ly x =︰上任取一点Q ，作圆1C 的切线，切点分别为M ，N ，求四边形1QMC N 面积的最小值；(2)在（1）的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点6 阿波罗尼斯圆综合训练专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点6 阿波罗尼斯圆综合训练一、单选题（2022宁夏·石嘴山三中高二月考）1．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12=PA PB ．则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π （2022广东·广州一中高二期中）2．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，动点M 满足MA =，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l ：()1y k x b =-+与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．-⎡⎣ （2022·河北保定·高二期末）3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（0λ>，且1λ≠）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()4,0-A ，()2,0B ，点P 满足2PAPB =，则点P 的轨迹的圆心坐标为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()4,-0D ．()2,0 4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数动点(,)P x y 满足2PA PO =,则动点P 轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切 5．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PAPB λ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P ，Q ，动点M 满足2MP MQ =，记M 的轨迹为C ，若与C 无公共点的直线l 上存在点R ，使得MR 的最小值为6，且最大值为10，则C 的长度为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π （2022·广东茂名·高二期末）6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PA PO =，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中）7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足2PAPB =，当P 、A 、B 不共线时，PAB 面积的最大值是（）A ．4B ．2C ．23 D ．438．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C 到()()1,0,1,0A B -的距离之C 到直线280x y -+=的距离的最小值为（）A ．B C ．D （2022四川遂宁·高二期末）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足12PA PB=．当,,P A B 三点不共线时，PAB △面积的最大值为（）A ．24B ．12C ．D （2022湖北黄州中学高二开学考试）10．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数()0,1k k k >≠的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 满足2AC BC =，则动点C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P ，已知点D 在圆P 上（点D 在第一象限），AD 交圆P 于点E ，连接EB 并延长交圆P 于点F ，连接DF ，当DFE 30∠=时，直线AD 的斜率为（）A B C D 二、多选题（2022江苏·高二专题练习）11．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是（） A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内（2022·浙江·玉环玉城中学高二期中）12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠ 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（） 5⎛⎫B ．443PB ≤≤ C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为)41313．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点Р满足12PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得1AD =C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += （2022河北保定·高二期中）15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､B 的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xoy 中，()2,0A ､()4,0B ，点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．曲线C 的方程为()22416x y ++=B ．在曲线C 上存在点D ，使得1AD =C ．在曲线C 上存在点M ，使M 在直线上20x y +-=D ．在曲线C 上存在点N ，使得224NO NA += （2022福建龙岩·高二期中）16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(2,0)B ，动点C 满足||1||2CA CB =，直线:10l mx y m -++=，则（） A ．动点C 的轨迹方程为22(2)4x y ++= B ．直线l 与动点C 的轨迹一定相交C ．动点C 到直线l 1D ．若直线l 与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，且||PQ =1m =- 三、填空题（2022天津河北·高二期中）17．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足||1||2PA PB =，则点P 所构成的曲线C 的方程为 _______________． 18．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点()0,0O ，()3,0A ，动点P 满足12PO PA=，则点P 的轨迹方程是___________．（2022四川省武胜烈面中学校高二期中）19．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ(0λ>且1λ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O A 、是定点，它们的坐标分别为00O (，)､(30)A ，；另一个顶点M 是动点，且满足∠=∠sin 2sin AOM OAM ，则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________.（2022四川巴中·高二期末）世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O 、A 是定点，它们的坐标分别为(00)O ，、(30)A ，；另一个顶点M 是动点，且满足||1||2MO MA =．则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________． 21．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.22．平面向量a ，b 满足3a b -=，2a b =，则a 与a b -夹角最大值为______．23．已知平面向量满足1a b c ===，a b ⊥r r，则232c a a b c +++-的最小值为______．24．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =,则BD 的最小值为______. 四、双空题（2022重庆·高二期末）25．设动点P 与两不同定点AB 、在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0),(,)A B P x y -，动点P 满足||2,||PA P PB =点的轨迹Γ的方程为_______．点Q 是直线:34100l x y -+=上任意一点，过Q 作Γ的切线，相切于,M N ，当||MN 取得最小值时，求cos MQN ∠的值______________ （2022广东·深圳七中高三月考）26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,3A ，若动点M 满足2=MA MO ，则动点M 的轨迹Γ方程是___________；若直线:10l x my +-=与轨迹Γ交于,P Q ，当PQ 取最小值时，则m =___________.27．被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P 到两个不同定点,A B 的距离之比为常数()01k k k >≠且，则P 点的轨迹是一个圆心在AB 直线上的圆，简称“阿氏圆”.据此请回答如下问题：为S ，若3a =时，则max S =______;若1S =时，则a 取值范围为______．28．阿波罗尼奥斯（Apollonius ）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2：1，则动点P 的轨迹方程为________.五、解答题（2022辽宁抚顺·高二期末） 29．设A ，B 是平面上两点，则满足PA k PB=(其中k 为常数，0k ≠且1k ≠)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知)A，B ⎫⎪⎪⎝⎭，且k =（1）求点P 所在圆M 的方程.（2）已知圆()()22:225x y Ω++-=与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M E ，F 两点，证明：ECD FCD ∠=∠. （2022福建省福州八中高二期中）30．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点E ，F ，则满足PF =的动点P 的轨迹记为圆E .(1)求圆E 的方程；(2)过点(3,3)Q 向圆E 作切线QS ，QT ，切点分别是S ，T ，求直线ST 的方程. 31．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯()Apollonius 在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A ，B 距离之比为(0λλ>且1)λ≠的点P 的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．(1)已知两定点()2,0A -，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB=，求点P 的轨迹方程； (2)已知()6,0A -，P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，在平面上是否存在点B ，使。

阿氏圆(2018中考数学压轴热点)

--阿氏圆模型专题训练阿氏圆( 阿波罗尼斯圆) ：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1) 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜屁型相似( 也叫母子型相似或美人鱼相似)+ 两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。

解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。

ABD D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△∽△ACB如图，在△ABC的边AC上找一点母子型相似（共角共边）BA CD: 我们来看一道基本题目的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?那么如何应用阿氏圆为圆上一动点 . CB=4,CA=6已知∠ACB=90°，，⊙C半径为2，PA1(1) AP 求BP 的最小值为 21AP 求(2) 的最小值为BP3PBC 实战练习：D 1 AB上一动点，，，为切线，AC、BD AC=1BD=2P 为弧，半径为、已知⊙O 1 2的最小值试求PC PDC 2PB AO1 AP），，（、已知点2 A4 0B 上运动，试求的⊙2 在半径为），点，（44 P O BP 的最小值 2yBPxO A-- --1 -- --轴相切，与y 为⊙C 上一动点，且⊙C P，B（0,3 ），C（1,0 ），若点3、已知点A(-3,0)1AP（1）y ; BP 的最小值 4B（2）S 的最小值 .PAB PO CxA4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O交x 轴与点A、B(2,0) 两点，AD、BC均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O上的动点，Q为OD的中点 . 连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使PD 2PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，1 1求PD PC 的最小值和PD PC 的最大值 .2 2(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么2 2；PD PDPC 的最小值为PC 的最大值为3 3B 上的一个2. 点P 是圆4，已知菱形ABCD的边长为，∠B=60°，圆B 的半径为3（3）如图11PC 的最大值为PC 的最小值为PD PD动点. 那么；22巩固练习：----2----11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP，BP，AP BP2 最小值为（）A、37B、6C、2 17D、4APC B2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点 B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，2．PC 则PA 的最小值是2CPAB3E，在⊙相切于点60，锐角大小为的边长为 2 °，⊙A 与BC3、如图，菱形ABCDPD，则PB A 上任取一点P2的最小值为．PADB E C4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C （4，0），D（3 ，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一．动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是yx----3----12，点4，圆B 的半径为5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为PC求PDP 是圆B 上的一个动点，21的最小值和PC 的最大值．PD 2上的一个动点，求，点P 是圆B 9，圆B 的半径为6，已知正方2（2）如图2PCPD 的边长为ABCD形3 2的最大值．PC PD 的最小值和3上的一个动是圆B ,2，点P，∠B﹦90°，圆B 的半径为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为41 PC PD点，求21PD 的最小值和PC 的最大值． 2DA D AADPPPBBC C3图1 图2 图套路总结阿氏圆基本解法：构造相似kPD PC 阿氏圆一般解题步骤：OD 、的线段的两个端点分别与圆心相连接）O （将系数不为1 ，则连接OP；第一步：连接动点至圆心OD 长度；、第二步：计算出所连接的这两条线段OP OPm ；第三步：计算这两条线段长度的OD比OM m ；，使OD 第四步：在上取点M OP 得交点即为点，与圆第五步：连接CM O P．----4----1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，P BD=2 AC=1 上一动点，求为，，的最小值．PC+PD5--。

完整版阿波罗尼斯圆问题

一【问题背景】苏教版《数学必修 2》P.112第12题：1已知点M (x,y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为—，那么点M 的坐标应满足2什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线.二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯( Apollonius )在《平面轨迹》究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点A, B 为两定点，动点 P 满足PA PB , 则 1时，动点P 的轨迹为直线；当 1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设AB 2m ( m 0),PA PB •以AB 中点为原点，直线 AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则 A (m,0), B (m,0) •又设 C (x , y ),则由 PA PB 得..(x m)2 y 2长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则 A ( 1,0),、、2BC 得.(x 1)2 y 22 .(x 1)2阿波罗尼斯圆问题两边平方并化简整理得 (21)x 2 2m ( 2 1) x21) y 2m 2(12),1时,0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线; 1时,(x21m)2y 214 2m 26 ,轨迹为以点(丁」m,0)为圆心,1(X m)2例1满足条件AB 2, AC .2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是解：以AB 中点为原点，直线B (1,0)，设C (x , y ),由 AC书中，曾研平方化简整理得寸 x 2 6x 1 (x 3)2 8 8 ,••• y 2 2，则1 一一 —2y 2y/2 , • S ABC 的最大值是 2J2 . 2变式在 ABC 中，边BC 的中点为D ，若AB 2,BC 2 AD ,贝U ABC 的面积的最大值是 _______ .解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC .、2AD 知，AD 2BD , D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为 (x 3)2 y 2 8，设C(x,y) , BC 的中点为D 得D (号，舟)，所以点C 的轨迹方程为 (宁 32(y)2 8，即(x 5)2y 2 32 ,1 ____________ — —•S ABC22y y v ；32 ^'2，故S ABC的最大值是".例2在平面直角坐标系 xOy 中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a 2)，若存在点P ，使得PA 2PB, PC PD ，则实数a 的取值范围是 __________________ .解：设 P(x,y)，则,(x 1)2 y 22 , (x 3)2 y 2 ,整理得(x 5)2 y 2 8，即动点P 在以(5,0)为圆心，2,2为半径的圆上运动. 另一方面，由PC PD 知动点P 在线段CD 的垂直平分线y a 1上运动，因而问题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y 28有交点，所以a 1 2^2，故实数a 的取值范围是[2^2 1,242 1].例3在平面直角坐标系 xOy 中，点A 0,3，直线I : y 2x 4.设圆的半径为1 , 圆心在丨上. 若圆C 上存在点M ，使MA 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围•2 2x 0 y 。

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阿波罗尼斯圆性质及其应用
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一
（人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M 的轨迹方程。

（人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点
距离的比是一个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ）。

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）
定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数（
）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆
类型一：求轨迹方程
1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程
2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA
，试分析M 点的轨迹
3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件
，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（） A ． B. C. D.9
类型二：求三角形面积的最值
4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC =
BC 的∆ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰
ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD=3，则
ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时
ABC 面积的最大，m=
类型三：定点定值问题
7. 已知圆O ：,点B(-5,0),在直线OB 上存在定点A(不同于点B )，满足
对于圆O 上任意一点P ，都有
为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求
8.（2014湖北文科卷17题）已知圆O ：
,点A(-2.0),若定点B(b,0)(b )和常数：对圆O 上任意一点M ，都有= , 类型四：阿波罗尼斯圆的性质
9. 已知圆C:
其中P 为圆C 上的动点，则PO+PB 的最小值为 10.已知函数=2
,若集合
类型五：阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）
11.已知
+,设,若恒成立，则的最大值为
12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点P 是ABC ∆所在平面内动点，满足CP CA CB λμ=+,3+42λμ=（,R λμ∈），
==PA PB PC ．若3AB =，则ABC ∆的面积最大值是．
阿波罗尼斯圆与三角形
13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a ,b 满足
，若
恒成立，则实数的取值范围为
14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在
ABC 中，恒成立，求的最大值 15.在ABC ∆中，AD 、BE 分别为中线，若b a 35=，则
BE
AD 的取值范围 .
阿波罗尼斯圆与几何体
16.（2014二模（理））在等腰梯形ABCD 中，E 、F 分别为底边CD AB ,的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在平面记为α，α∈P ，设PC PB ，与α所成的角分别为1θ，2θ（1θ，2θ均不为0），21θθ=，则点P 的轨迹为 .
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
17.在四面体ABCD 中，已知BC AD ⊥，6=AD ，2=BC ，且
2==CD
AC BD AB ，则BCD A V -的最大值为 . 18.（2018.5月浙江高三五校联考17题）棱长为36的正四面体ABCD 的内切球上有一个动点M ，则MB+
的最小值练习：
1. 已知向量3=b a b a =23≥b a 恒成立，则实数λ的取值范围为 .
2. （2015湖北理科卷14题）如图，圆C 与x 轴相切与点()0,1T ，与y 轴正半轴交于两点B A ,（B 在A 的上方），2=AB
（1）圆C 的标准方程为 .
过点A 任作一条直线与圆1:22=+y x O 相较于N M ,两
点，下列三个结论：
①MB MA NB NA =;②2=-MB MA NA NB ;③22=+MB
MA NA NB 其中正确结论的序号是。

（写出所有正确结
论的序号）
3. BC S '∆为等腰直角三角形， 90='∠CB S ，26='S B ，A 为S B '中点，将BC S '∆沿AC 翻折到SBC ∆位置，且B AC S --为直二面角，P 为空间中一个动点.
（1）若SBC P 面∈，且2=PC
PB ，求PBC ∆面积的最大值；（2）P 在三棱锥ABC S -表面上，E 为BC 中点，M 、N 为线段SE 两个三等分点，H 、G 为空间中的两个动点，
2==GN GM HN HM ，且334=HG ，求PH PG ⋅的最小值。

S。