“阿波罗尼斯圆”的应用举例

“阿波罗尼斯圆”的应用举例

【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为

λ（0λ>， 1λ≠）

，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11答案 C

解析 令2=MA MC ，则12

MA

MC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2

λ。 设点C 坐标为(),C m n ， 则()()2

2221212

x y MA

MC x m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-。 整理得2222

2421333m n m n x y x y ++-+++=。

由题意得该圆的方程为221x y +=， ∴2224020113m n m n +==+-⎧⎪⎪⎪⎨

=⎪⎪⎪⎩

，解得2{ 0m n =-=。 ∴点C 的坐标为（-2,0）。

∴2MA MB MC MB +=+,

因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C.

【练习】

1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )

A ．双曲线

B ．一个圆

C ．两个圆

D ．两条抛物线

答案 C

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，

得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．

2.到两定点的距离之比等于常数K （K ≠0）的点的轨迹是（ ）

A. 椭圆

B.抛物线

C.圆

D.直线和圆

答案 D

解析 当K=1时，轨迹是一条直线，即两定点连线的垂直平分线；当K ≠1时，轨迹是圆。

3.在ABC V 中，||4AB = ，且||3|CA CB = ，则ABC V 面积的最大值是 A.3 B.3 C.3 D.83

答案 B

4.已知平面直角坐标系中有两定点12(0,2),(0,2)F F - ，平面中有一动点M ，该点使得12MF F V

满足条件1221sin sin MF F MF F ∠=∠ ，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是

答案 (243,243)-+