“阿波罗尼斯圆”的应用举例
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用阿波罗尼斯圆是古希腊几何学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊几何曲线。
它被广泛运用于数学和工程领域，具有重要的应用价值。
本文将介绍阿波罗尼斯圆在几何学中的几个重要应用。
一、光学系统的导向元件阿波罗尼斯圆被广泛应用于光学系统中的导向元件设计。
光学系统中的导向元件对光进行控制和调整，使其能够沿特定路径传播或聚焦在特定位置。
阿波罗尼斯圆的特殊形状和性质使得它能够实现精确的光线导向和聚焦。
通过对光线的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将入射光线汇聚到焦点上，实现精确的光束控制。
二、天文学中的椭圆轨道描述天文学中的行星和卫星运动轨道通常被描述为椭圆形状。
阿波罗尼斯圆在这方面发挥了关键作用。
根据开普勒定律，行星和卫星在引力作用下绕着中心天体运动，其轨道呈现出椭圆形状。
阿波罗尼斯圆的研究成果为天文学家提供了理论基础和数学工具，使得他们能够精确地描述和预测行星和卫星的运动轨迹，为天文学研究和空间探索提供了重要参考。
三、声学中的反射和聚焦阿波罗尼斯圆的特殊性质在声学中也有广泛应用。
声学中的反射和聚焦是将声波传播和聚焦在特定区域的重要问题。
阿波罗尼斯圆的形状使得它能够实现声波的精确反射和聚焦。
通过对声波的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将声波聚焦在特定位置，实现声学上的精确控制。
四、水波和震波的传播研究阿波罗尼斯圆不仅在光学和声学中有应用，还在水波和震波的传播研究中发挥重要作用。
水波和震波的传播过程与光波和声波有许多相似之处。
阿波罗尼斯圆的研究成果为水波和震波的传播提供了重要的参考和理论基础，推动了这一领域的发展。
综上所述，阿波罗尼斯圆在光学、天文学、声学和水波、震波传播等领域中都有重要应用。
其特殊形状和性质使得它成为精确控制和调整光、声、波等物理量的有效工具。
随着科学技术的发展和应用需求的增加，阿波罗尼斯圆将继续在多个领域发挥重要作用，为人类认识和探索自然世界提供宝贵的支持。
阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆的逆用 (解析版)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用【微点综述】当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O 与直线OA 相交于M ，N 两点设点E 为OA 上一点，且满足PA PE =λ，由阿氏圆定理AN NE =λ，AMME=λ，则AN =λNE ⇒OA -R =λR -OE ，∴λOE =1+λ R -OA ①同理AM =λME ⇒R +OA =λOE +R ，∴λOE =1-λ R +OA ②由①②消OA 得：2λOE =2R ，即ROE=λ，即R =λOE ，由①②消R 得：OA =λ2OE ，因此，满足条件的点E 在阿氏圆的圆心和定点A 的连线上，且ROE=λ或OAOE=λ2．【典例刨析】1.(2022·湖南·临澧一中高二开学考试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2+y 2=1上的动点M 和定点A -12,0 ，B (1，1)，则2|MA |+|MB |的最小值为( )A.6B.7C.10D.112.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O :x 2+y 2=1、点A -12,0 和点B 0,12 ，M 为圆O 上的动点，则2|MA |-|MB |的最大值为( )A.52B.172C.32D.223.古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262-前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O 0,0 ，A 3,0 ，圆C :x -2 2+y 2=r 2r >0 上有且仅有一个点P 满足PA =2PO ，则r 的取值为( )A.1B.5C.1或5D.不存在4.已知点P 是圆x -4 2+y -4 2=8上的动点，A 6,-1 ，O 为坐标原点，则PO +2PA 的最小值为______．5.已知圆C ：x -1 2+y -1 2=1，定点P 是圆C 上的动点，B 2,0 ，O 是坐标原点，则2PO +PB 的最小值为______．6.(2022江西·南昌八中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O (0,0)，A (3,0)，圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足|PA |=2|PO |，则r 的取值为_______.【针对训练】7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQMP =λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为-13,0 ,λ=3，若点B 1,1 ，则3MP +MB 的最小值为( )A.10B.11C.15D.178.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ､B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：x 2+y 2=1和点A -12,0 ，点B (4，2)，M 为圆O 上的动点，则2|MA |+|MB |的最小值为___________9.(2022安徽·合肥六中高二期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆O :x 2+y 2=1和A -12,0 ，点B (1,1)，M 为圆O 上动点，则MA +12MB 的最小值为_______.10.(2022上海金山中学高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足PA |=λPB (其中λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M (-1,0)、N (2,1)，P 是圆O :x 2+y 2=3上的动点，则3PM +PN 的最小值为____________11.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PAPB=2，求PA 2+PB2的最小值．12.(2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,1 ，B -2,4 ，点P 是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E :y 2=4x 上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则12PB +PQ +QH 的最小值为______.参考答案1.【答案】C【分析】讨论点M 在x 轴上与不在x 轴上两种情况，若点M 不在x 轴上，构造点K (-2，0)，可以根据三角形的相似性得到|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，进而得到2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |，最后根据三点共线求出答案.【详解】①当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(-1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(-1，0)，则2|MA |+|MB |=2×12+1+1 2+12=1+5；若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |+|MB |=2×32+1-1 2+12=4．②当点M 不在x 轴上时，取点K (-2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |=1，|OA |=12，|OK |=2，所以|OM ||OA |=|OK ||OM |=2．因为∠MOK =∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，所以|MK |=2|MA |，则2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |．易知|MB |+|MK |≥|BK |，所以|MB |+|MK |的最小值为|BK |．因为B (1，1)，K (-2，0)，所以(2|MA |+|MB |)min =|BK |=-2-12+0-1 2=10．又10<1+5<4，所以2|MA |+|MB |的最小值为10．故选：C 2.【答案】B【分析】令2MA =MC ，则MA MC=12，由阿氏圆的定义可知：C (-2,0)，由数形结合可知2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的最大值.【详解】设M x ,y ，令2MA =MC ，则MA MC=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，点C -2,0 ，当点M 位于图中M 1的位置时，2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的值最大，最大为BC =172.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.3.【答案】C【分析】直接设点P x ,y ，根据PA =2PO 可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得CC 1 =r +r 1或CC 1 =r -r 1 ．【详解】设点P x ,y ∵PA =2PO 即x -32+y 2=2x 2+y 2整理得：x +1 2+y 2=4∴点P 的轨迹为以C 1-1,0 为圆心，半径r 1=2的圆，∵圆C :x -2 2+y 2=r 2的C 2,0 为圆心，半径r 的圆由题意可得：3=CC 1 =r +r 1或3=CC 1 =r -r 1 ∴r =1或r =5故选：C ．4.【答案】10【分析】解法1：借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到PO +2PA =2PA +PA ，进而根据三点共线即可求出最值；解法2：将PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2转化为=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2 ，进而结合进而根据三点共线即可求出最值．【详解】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用假设A m ,n ，使得PO =2PA ，则x 2+y 2=2x -m 2+y -n 2，从而可得3x 2-8mx +4m 2+3y 2-8ny +4n 2=0，从而可知圆心坐标为4m 3,4n3，所以4m 3=4，4n 3=4，解得m =n =4，即A 3,3 ．所以PO +2PA =2PA +PA ≥2A A =26-3 2+-1-3 2=10．即PO +2PA 的最小值为10．解法2：代数转逆法由x -4 2+y -4 2=8，得x 2+y 2=8x +8y -24．PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2=2x 2+y 24+x -62+y +1 2=2x2+y 2 -34x 2+y 2 +x -62+y +1 2=2x 2+y 2-6x +6y -18 +x -62+y +1 2=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2x -32+y -3 2+x -6 2+y +1 2表示的是动点x ,y 与3,3 和6,-1 之间的距离之和，当且仅当三点共线时，和最小，故PO +2PA ≥26-3 2+3+1 2=2×5=10．5.【答案】5【分析】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用，设B m ,n ，使得PB =2PB ，利用两点间的距离公式化简可求得B 32,12 ，得直线BB 与圆C 相交，则2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，从而可求得其最小值，解法2：代数转逆法，2PO +PB =2x 2+y 2+x -2 2+y 2=2x 2+y 2+x -32 2+y -12 2 ，可得当点O ,P ,B 32,12 共线，且P 在OB 之间时取得最小值.【详解】解：解法1：阿波罗尼斯圆的逆用设B m ,n ，使得PB =2PB ，则x -2 2+y 2=2x -m 2+y -n 2 ，整理，得x 2-4m -1 x +y 2-4ny +2m 2+n 2-2 =0，即[x -2(m -1)]2+(y -2n )2=2m 2+2n 2-8m +8=2(m -2)2+2n 2所以2m -1 =1，2n =1，从而B 32,12．经验证，知直线BB 与圆C 相交．从而2PO +PB =2PO +PB ≥2OB =2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．解法2：代数转逆法2PO +PB =2x 2+y 2+x -22+y 2=2x 2+y 2+12x 2+y 2-2x +2=2x 2+y 2+x2+y 2 -12x 2+y 2 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-122x +2y -1 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-3x -y +52=2x 2+y 2+x -322+y -122≥2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．故答案为：5【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼斯圆，设B m ,n ，使得PB =2PB ，化简后将问题转化为2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，考查数学转化思想，属于较难题.6.【答案】5【分析】设动点P x ,y ，根据题意求出点P 的轨迹方程可知轨迹为圆，由题意可知两圆相外切，再讨论内切和外切列方程即可得求解.【详解】设动点P x ,y ，由PA =2PO ，得x -3 2+y 2=4x 2+4y 2，整理得x +1 2+y 2=4，即点P 的轨迹方程为：x +1 2+y 2=4，又因为圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足x +1 2+y 2=4，所以两圆相切，圆x +1 2+y 2=4的圆心坐标为-1,0 ，半径为2，圆C ：x -2 2+y 2=r 2r >0 的圆心坐标为2,0 ，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r +2=3，得r =1，因为r >1，故r =1舍去，当两圆内切时，r -2 =3，r >1，得r =5．故答案为：5.7.【答案】D【分析】设Q a ,0 ，M x ,y ，根据|MQ ||MP |=λ和x 2+y 2=1求出a 的值，由3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |，两点之间直线最短，可得3|MP |+|MB |的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即可.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a 2+y 2，由P -13,0 ，所以PM =x +13 2+y 2，因为|MQ ||MP |=λ且λ=3，所以x -a 2+y 2x +13 2+y2=3，整理可得x 2+y 2+3+a 4x =a 2-18，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以3+a 4=0a 2-18=1，解得a =-3，所以Q -3,0 ，又MQ =3|MP |，所以3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |≥BQ ，因为B (1,1)，所以3|MP |+|MB |的最小值BQ =1+32+1-0 2=17，当M 在位置M 1或M 2时等号成立.故选：8.【答案】210【分析】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，根据圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，求得点C 坐标，再连接BC ，由直线段最短求解.整理得：【详解】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，则|MA ||MC |=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C (m ，n )，则|MA ||MC |=x +12 2+y 2(x -m )2+(y -n )2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，所以点C (-2，0)，如图所示：当点M 位于图中M 1､M 2的位置时，2|MA |+|MB |=|MC |+|MB |的值最小，最小为210.故答案为：2109.【答案】102【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】令2MA =MC ，则MA MC=12.由题意可得圆x 2+y 2=1是关于点A ，C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12设点C 坐标为C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12整理得x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13由题意得该圆的方程为x 2+y 2=1，所以2m +4=02n =0m 2+n 2-13=1 ，解得m =-2n =0 所以点C 的坐标为(-2,0)，所以2MA +MB =MC +MB ，因此当点M 、C 、B 在同一条直线上时，2MA +MB =MC +MB 的值最小，且为(1+2)2+(1-0)2=10，故MA +12MB 最小为102.故答案为：10210.【答案】26【分析】在x 轴上取S -3,0 ，由△MOP ∼△POS 可得PS =3PM ，可得3PM +PN ≥SN ，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在x 轴上取点S -3,0 ，∵OM OP =OP OS =33，∠MOP =∠POS ，∴△MOP ∼△POS ，∴PS =3PM ，∴3PM +PN =PS +PN ≥SN (当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号)，∴3PM +PN min =SN =-3-22+0-1 2=26.故答案为：26.11.【答案】36-242【分析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P x ,y ，根据已知条件可得出点P 的轨迹方程，利用代数法可得出PA 2+PB 2=2OP 2+2，数形结合可求出OP 的最小值，即可得解.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A -1,0 、B 1,0 ，设点P x ,y ，因为PA PB=2，即x +1 2+y 2x -12+y2=2，整理可得x 2+y 2-6x +1=0，即x -3 2+y 2=8，所以点P 的轨迹是以C 3,0 为圆心，22为半径的圆，则PA2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2 +2=2OP 2+2，当点P 为线段OC 与圆C 的交点时，OP 取得最小值，所以，PA 2+PB 2 min =2×3-22 2+2=36-24 2.12.【答案】x +2 2+y 2=4； 10-1##-1+10.【分析】设点P 坐标，根据题意写出关于x 与y 的关系式化简即可；由PA =12PB ，QH =QF -1，代入12PB +PQ +QH 中，即可取出最小值.【详解】设点P (x ,y )，∵λ=12，∴PA PB =12⇒(x +2)2+(y -1)2(x +2)2+(y -4)2=12⇒x +2 2+y 2=4.抛物线的焦点为点F ，由题意知F 1,0 ，QH =QF -1，∵PA =12PB ，∴12PB +PQ +QH min =PA +PQ +QF -1 min =AF -1=-2-1 2+12-1=10-1.故答案为：x +2 2+y 2=4；10-1.。
例谈阿波罗尼斯圆的应用
例谈阿波罗尼斯圆的应用吉㊀磊(兰州天庆实验中学ꎬ甘肃兰州７３００３０)摘㊀要:文章从阿波罗尼斯圆的定义入手ꎬ给出近年来中考相关试题的解法ꎬ为学生学习高中解析几何打下良好的基础.关键词:阿波罗尼斯圆ꎻ中考数学ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２３－００２０－０４收稿日期:２０２３－０５－１５作者简介:吉磊(１９８１.１－)ꎬ男ꎬ陕西省西安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀近年来ꎬ在各地中考中ꎬ对于重难点题型的考查多少都涉及到数形结合解决 极限值 的待定系数问题ꎬ在这里就不得不提到非常著名的 阿波罗尼斯圆 (简称 阿氏圆 )理论ꎬ这种方法可以帮助学生理解考查题型的设计初衷ꎬ从而整合所学相关知识的应用与拓展.１阿波罗尼斯圆的定义及定理定义㊀已知平面上两个定点Ａ㊁Ｂꎬ若一个动点Ｐ满足ＰＡＰＢ＝ｋ(ｋ>０且ｋʂ１)ꎬ其中ｋ为定值ꎬ则这个动点Ｐ的运动轨迹是一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现ꎬ这个点Ｐ所形成的圆就称为阿氏圆.也称之为圆的第二定义.当且仅当ｋ＝１时ꎬ点Ｐ的运动轨迹是线段ＡＢ的中垂线[１].定理㊀如图１ꎬＰ是平面上一动点ꎬＡ㊁Ｂ是两定点ꎬＰＡʒＰＢ＝ｋꎬＭ是ＡＢ的内分点ꎬＮ是ＡＢ的外分点且ＡＭʒＭＢ＝ＡＮʒＮＢ＝ｋꎬ则Ｐ点的轨迹是以ＭＮ为直径的圆.图１㊀点Ｐ轨迹图２ 阿氏圆 在初中阶段的应用２.１阅读材料型(显露阿氏圆)例１㊀(２０１９秋 山西期末)如图２ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ在ｘ轴ꎬｙ轴上分别有点Ｃ(ｍꎬ０)ꎬＤ(０ꎬｎ)ꎬ点Ｐ是平面内一动点ꎬ且ＯＰ＝ｒꎬ设ＯＰＯＤ＝ｋꎬ求ＰＣ＋ｋＰＤ的最小值.图２㊀例１题图阿氏圆的关键解题步骤:第一步:如图２ꎬ在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎻ第二步:证明ｋＰＤ＝ＰＭꎻ第三步:连接ＣＭꎬ此时ＣＭ即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分):解㊀在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.任务:(１)将以上解答过程补充完整.(２)如图２ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＢＣ＝３ꎬＤ为әＡＢＣ内一动点ꎬ满足ＣＤ＝２ꎬ利用(１)中的结论ꎬ请直接写出ＡＤ＋２３ＢＤ的最小值.考点:相似形综合题.专题:几何综合题ꎻ应用意识.分析㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可.(２)利用(１)中结论计算即可.解㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭʒＯＰ＝ＯＰʒＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.ʑＭＰʒＰＤ＝ｋꎬʑＭＰ＝ｋＰＤꎬʑＰＣ＋ｋＰＤ＝ＰＣ＋ＭＰꎬ当ＰＣ＋ｋＰＤ取最小值时ꎬＰＣ＋ＭＰ有最小值ꎬ即ＣꎬＰꎬＭ三点共线时有最小值ꎬ利用勾股定理得ＣＭ＝ＯＣ２＋ＯＭ２＝ｍ２＋(ｋｒ)２＝ｍ２＋ｋ２ｒ２.(２)ȵＡＣ＝ｍ＝４ꎬＣＤＢＣ＝２３ꎬ在ＣＢ上取一点Ｍꎬ使得ＣＭ＝２３ＣＤ＝４３ꎬʑＡＤ＋２３ＢＤ的最小值为４２＋(４３)２＝４１０３.点评㊀本题属于相似形综合题ꎬ考查了相似三角形的判定和性质ꎬ勾股定理ꎬ两点之间线段最短等知识ꎬ解题的关键是理解题意ꎬ学会用数形结合转化的思想考虑问题ꎬ属于中考常考题型.２.２非材料阅读型(隐藏阿氏圆)例２㊀(２０１７ 兰州)如图３ꎬ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ＡＢ交于Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)两点ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６交ｙ轴于点Ｃ.点Ｅ是直线ＡＢ上的动点ꎬ过点Ｅ作ＥＦʅｘ轴交ＡＣ于点Ｆꎬ交抛物线于点Ｇ.图３㊀例２题图(ａ)(１)求抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的表达式ꎻ(２)连接ＧＢꎬＥＯꎬ当四边形ＧＥＯＢ是平行四边形时ꎬ求点Ｇ的坐标ꎻ(３)①在ｙ轴上存在一点Ｈꎬ连接ＥＨꎬＨＦꎬ当点Ｅ运动到什么位置时ꎬ以Ａ㊁Ｅ㊁Ｈ㊁Ｆ为顶点的四边形是矩形?求出此时点ＥꎬＨ的坐标ꎻ②在①的前提下ꎬ以点Ｅ为圆心ꎬＥＨ长为半径作圆ꎬ点Ｍ为☉Ｅ上一动点ꎬ求１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值.考点:二次函数综合题.专题:综合题.分析㊀(１)利用待定系数法求出抛物线方程ꎻ(２)先利用待定系数法求出直线ＡＢ的方程ꎬ进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可ꎻ(３)①先判断出要以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬ只有ＥＦ为对角线ꎬ利用中点坐标公式建立方程即可ꎻ②先取ＥＧ的中点Ｐ进而判断出әＰＥＭʐәＭＥＡ即可得出ＰＭ＝１２ＡＭꎬ连接ＣＰ交圆Ｅ于Ｍꎬ再求出点Ｐ的坐标即可得出结论.解㊀(１)ȵ点Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)在抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上ꎬʑ－１６－４ｂ＋ｃ＝－４ꎬｃ＝４{ꎬʑｂ＝－２ꎬｃ＝４{ꎬʑ抛物线的方程为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋４ꎻ(２)设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｎ过点ＡꎬＢꎬʑｎ＝４ꎬ－４ｋ＋ｎ＝－４{ꎬʑｋ＝２ｎ＝４{ꎬʑ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ｍꎬ２ｍ＋４)ꎬʑＧ(ｍꎬ－ｍ２－２ｍ＋４)ꎬȵ四边形ＧＥＯＢ是平行四边形ꎬʑＥＧ＝ＯＢ＝４ꎬʑ－ｍ２－２ｍ＋４－２ｍ－４＝４ꎬʑｍ＝－２ꎬʑＧ(－２ꎬ４).(３)①如图４ꎬ由(２)知ꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ａꎬ２ａ＋４)ꎬȵ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＦ(ａꎬ－１２ａ－６)ꎬ设Ｈ(０ꎬｐ)ꎬȵ以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬȵ直线ＡＢ:ｙ＝２ｘ＋４ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＡＢʅＡＣꎬʑＥＦ为对角线ꎬʑＥＦ与ＡＨ互相平分ꎬʑ１２(－４＋０)＝１２(ａ＋ａ)ꎬ１２(－４＋ｐ)＝１２(２ａ＋４－１２ａ－６)ꎬʑａ＝－２ꎬｐ＝－１ꎬʑＥ(－２ꎬ０).Ｈ(０ꎬ－１)ꎻ㊀图４㊀例２题图(ｂ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５㊀例２题图(ｃ)②如图５ꎬ由①知ꎬＥ(－２ꎬ０)ꎬＨ(０ꎬ－１)ꎬＡ(－４ꎬ－４)ꎬʑＥＨ＝５ꎬＡＥ＝２５ꎬ设ＡＥ交☉Ｅ于Ｇꎬ取ＥＧ的中点ＰꎬʑＰＥ＝５２ꎬ连接ＰＣ交☉Ｅ于Ｍꎬ连接ＥＭꎬʑＥＭ＝ＥＨ＝５ꎬʑＰＥＭＥ＝５２５＝１２ꎬȵＭＥＡＥ＝５２５＝１２ꎬʑＰＥＭＥ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬȵøＰＥＭ＝øＭＥＡꎬʑәＰＥＭʐәＭＥＡꎬʑＰＭＡＭ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬʑＰＭ＝１２ＡＭꎬʑ１２ＡＭ＋ＣＭ最小值为ＰＣꎬ设点Ｐ(ｐꎬ２ｐ＋４)ꎬȵＥ(－２ꎬ０)ꎬʑＰＥ２＝(ｐ＋２)２＋(２ｐ＋４)２＝５(ｐ＋２)２ꎬȵＰＥ＝５２ꎬʑ５(ｐ＋２)２＝５４ꎬʑｐ＝－５２或ｐ＝－３２(由于Ｅ(－２ꎬ０)ꎬ所以舍去)ꎬʑＰ(－５２ꎬ－１)ꎬȵＣ(０ꎬ－６)ꎬʑＰＣ＝(－５２)２＋(－１＋６)２＝５５２ꎬ即:１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值为５５２.例３㊀(２０２１ 沙坪坝区校级模拟)在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＣ交ＢＤ于点ＥꎬәＡＤＥ为等边三角形.(１)若点Ｅ为ＢＤ的中点ꎬＡＤ＝４ꎬＣＤ＝５ꎬ求әＢＣＥ的面积ꎻ(２)若ＢＣ＝ＣＤꎬ点Ｆ为ＣＤ的中点ꎬ求证:ＡＢ＝２ＡＦꎻ(３)如图６ꎬ若ＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬ点Ｐ为四边形ＡＢＣＤ内一点ꎬ且øＡＰＤ＝９０ʎꎬ连接ＢＰꎬ取ＢＰ的中点Ｑꎬ连接ＣＱ.当ＡＢ＝６２ꎬＡＤ＝４２ꎬｔａｎøＡＢＣ＝２时ꎬ求ＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值.㊀图６㊀例３题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３题图(ｂ)考点㊀相似形综合题.专题:图形的相似ꎻ推理能力.分析㊀(１)如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.利用勾股定理构建方程求出ｘꎬ即可解决问题.(２)如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＡＦ＝ＦＧꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.想办法证明әＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬ可得结论.(３)如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５ꎬ连接ＱＴꎬＴＣ.想办法证明әＱＪＴʐәＢＪＱꎬ推出ＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５/５２＝１０１０ꎬ推出ＱＴ＝１０１０ＢＱꎬ推出ＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴꎬ求出ＣＴꎬ可得结论.(１)解㊀如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.ȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＤ＝ＤＥ＝４ꎬøＡＥＤ＝øＣＥＨ＝６０ʎꎬȵøＣＨＥ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝ＥＨ ｔａｎ６０ʎ＝３ｘꎬȵＣＤ２＝ＣＨ２＋ＤＨ２ꎬʑ２５＝３ｘ２＋(ｘ＋４)２ꎬʑ４ｘ２＋８ｘ－９＝０ꎬʑｘ＝－２＋１３２或－２－１３２(舍弃)ꎬʑＣＨ＝３９－２３２ꎬʑＳәＢＥＣ＝１２ˑ４ˑ３９－２３２＝３９－２３.图８㊀例３题图(ｃ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例３题图(ｄ)(２)证明:如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＦＧ＝ＡＦꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.ȵＡＦ＝ＦＧꎬＣＦ＝ＦＤꎬʑ四边形ＡＣＧＤ是平行四边形ꎬʑＡＣʊＤＧꎬＧＣʊＡＤꎬʑøＣＡＤ＋øＡＤＧ＝１８０ʎꎬȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＥ＝ＡＤꎬøＡＥＤ＝øＡＤＥ＝øＥＡＤ＝６０ʎꎬʑøＡＥＢ＝øＡＤＧ＝１２０ʎꎬʑøＣＧＤ＝øＥＡＤ＝６０ʎ＝øＧＤＴꎬʑәＤＧＴ是等边三角形ꎬʑＤＧ＝ＤＴꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬʑәＣＥＴ是等边三角形ꎬʑＣＴ＝ＣＥꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬȵＣＢ＝ＣＤꎬＣＨʅＢＤꎬʑＢＨ＝ＤＨꎬＴＨ＝ＥＨꎬʑＢＴ＝ＤＥꎬʑＢＥ＝ＤＴ＝ＤＧꎬʑәＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬʑＡＢ＝ＡＧ＝２ＡＦ.(３)解:如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５.连接ＱＴꎬＴＣ.ȵＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬʑøＡＤＣ＝９０ʎꎬȵＣＦʅＡＢꎬʑøＣＦＡ＝９０ʎꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是矩形ꎬʑＡＤ＝ＣＦ＝４２ꎬȵｔａｎøＣＢＡ＝ＣＦＢＦ＝２ꎬʑＢＦ＝２２ꎬȵＡＢ＝６２ꎬʑＡＦ＝４２ꎬʑＡＤ＝ＡＦꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是正方形ꎬȵＢＣ＝ＢＦ２＋ＣＦ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＣＯ＝ＯＤ２＋ＣＤ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＯＢ＝ＯＡ２＋ＡＢ２＝４５ꎬʑＣＢ＝ＣＯꎬȵＣＦ＝ＣＤꎬøＣＦＢ＝øＣＤＯ＝９０ʎꎬʑＲｔәＣＦＢɸＲｔәＣＤＯ(ＨＬ)ꎬʑøＢＣＦ＝øＤＣＯꎬʑøＢＣＯ＝øＤＣＦ＝９０ʎꎬȵＢＪ＝ＪＯꎬʑＣＪ＝１２ＯＢ＝２５ꎬʑＣＴ＝ＴＪ２＋ＣＪ２＝(５５)２＋(２５)２＝５０５５ꎬȵＢＱ＝ＱＰꎬＢＪ＝ＪＯꎬʑＱＪ＝１２ＯＰ＝２ꎬȵＱＪ２＝２ꎬＴＪ ＪＢ＝５５ˑ２５＝２.ʑＱＪ２＝ＪＴ ＪＢꎬʑＱＪＪＴ＝ＪＢＱＪꎬȵøＱＪＴ＝øＱＪＢꎬʑәＱＪＴʐәＢＪＱꎬʑＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５５２＝１０１０ꎬʑＱＴ＝１０１０ＢＱ.ʑＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴ＝５０５５ꎬʑＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值为５０５５.参考文献:[１]方立洋ꎬ经凯强.阿波罗尼斯圆的性质及应用[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０２３(０１):１５－１８.[责任编辑:李㊀璟]。
阿波罗尼斯圆的离心率与轴比的关系
阿波罗尼斯圆的离心率与轴比的关系阿波罗尼斯圆，又被称为椭圆，是数学中的一种几何形状。
它在数学、物理学以及工程领域中具有广泛的应用。
在研究阿波罗尼斯圆的特性时，我们常常会关注其离心率与轴比之间的关系，本文将对这一关系进行探讨。
一、阿波罗尼斯圆的定义及特性阿波罗尼斯圆是平面上满足到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个点称为焦点，常数称为焦点距离。
阿波罗尼斯圆具有以下特性：1. 定义特性：阿波罗尼斯圆的每一个点到两个焦点的距离之和等于焦点距离。
2. 对称性：阿波罗尼斯圆具有关于两个坐标轴的对称性和关于原点的中心对称性。
3. 参数方程：阿波罗尼斯圆的参数方程为x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
二、离心率与轴比的定义1. 离心率：离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，通常用字母e表示。
离心率的定义为e = c / a，其中c表示焦点距离，a表示椭圆的长半轴。
2. 轴比：轴比是指椭圆的长半轴与短半轴之间的比值，通常用字母b / a表示。
其中b表示椭圆的短半轴，a表示椭圆的长半轴。
三、离心率与轴比的关系离心率和轴比之间存在着一定的数学关系。
通过推导我们可以得到离心率与轴比的关系式为e² = 1 - (b² / a²)。
根据这一关系式，我们可以得出以下结论：1. 当离心率e等于零时，椭圆退化为一个圆。
此时长半轴和短半轴相等，即a = b。
2. 当离心率e大于零且小于1时，椭圆的离心率小于1，形状变得更加扁平。
此时长半轴大于短半轴，即a＞b。
3. 当离心率e等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
此时长半轴趋向于无穷大，短半轴趋向于焦点距离的一半，即a→∞，b→c/2。
4. 当离心率e大于1时，椭圆的离心率大于1，形状变得更加细长。
此时长半轴小于短半轴，即a＜b。
综上所述，离心率与轴比之间存在着明确的关系。
离心率的大小直接影响着椭圆形状的扁平程度，而轴比则衡量着椭圆的长短轴比例。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯及其应用
一、以教材为背景，引出阿波罗尼斯圆
1、定义：
已知点M与两个定点叫,“2距离的比是一个正数机，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑机=1和〃 2 ≠ 1两种情形).
分析：当初=1时，表示线段2的垂直平分线.
下面我们只考虑机w 1时的情形
2、引例:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点用距离是它与点磔勺距离的(,用《几何画
板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
(1)用几何画板进行动画演示
结论1：
(2)回顾求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简
(3)改变些的值进行动画演示.
MQ
结论2：
二、探究新知
1、阿波罗尼斯圆
(1)定义
(2)人物简介
(3)注意事项
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
已知点M与两个定点M∣,M?距离的比是一个正数〃?，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(m≠l).
四、阿波罗尼斯圆的应用
例1(2008江苏卷13)若AB = 2,AC =√2BC,则SMBC最大值是. X
例2、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系Xeyt l ,点A （0,3）,圆球半径为1,圆心C 在直
线 /： y=2x-4±,若圆C 上存在点使得MA=2MO,求圆心C 的横坐标疝勺取值范围.
例3、已知A(-2,0),P 为圆U(x + 4y +
练习:若48 = 2,8。
= 1,8 = 3,用为以瓦）为直径的圆上一点,则怨= MC
五、课堂小结
1、一个概念
2、两种思想：方程思想、转化思想
坐标为
V=16上任意一点,若点B 满足2∣ PAl = IPM ,则
5的
3、三类问题：轨迹、定点、定值。
2020重庆中考复习阿氏圆及其应用举例(Word版)
阿氏圆及其应用举例一、什么是阿氏圆？阿氏圆是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DPMPDCBA分析：注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 二、应用举例例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7B ．5C ．D ．B PO解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴＝，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝P A，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A．B．6C．2 D．4解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．解：∵2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵求23AD BD +最小值即可,在CA 上截取CM ，使得CM ＝4，连接DM ，BM ． ∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，∴CD 2＝CM •CA ，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△ACD ，∴＝＝，∴DM ＝AD ，∴AD +BD ＝DM +BD ，∵DM +BD ≥BM ，在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，∴BM ＝＝4，∴AD +BD ≥4，∴AD +BD 的最小值为4．例4、如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝8，P 为矩形内部一点，且PB ＝4，则AP +PC 的最小值为 ．A BCDP解：如图2，在AB 上截取BF ＝2，连接PF ，PC ， ∵AB ＝8，PB ＝4，BF ＝2，∴＝＝，且∠ABP ＝∠ABP ，∴△ABP ∽△PBF ，∴＝＝，∴PF ＝AP ，∴AP +PC ＝PF +PC ，∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP +PC 的值最小，∴CF ＝＝＝2，∴AP +PC 的值最小值为2，例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 ．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连结EF，OE，∵，∠EOB为公共角，∴△OBE∽△OEF，∴，∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF，即A、E、F三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF＝＝. 例6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC 的最大值为．解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．三、练习巩固1、（2019•郫都区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF ＝2，连接FD ，AF ． ∴CD ＝4，CF ＝2，CB ＝8，∴CD 2＝CF •CB ，∴＝，∵∠FCD ＝∠DCB ，∴△FCD ∽△DCB ，∴＝＝，∴DF ＝BD ， ∴BD +AD ＝DF +AF ，∵DF +AD ≥AF ，AF ＝＝2，∴BD +AD 的最小值是2，2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为 .解：在BM 上截取BQ=23， 2,3BQ BM QBM M BA BM BA '''==∠=∠'Q，.BQM BM A ''∴∆∆∠: 1,3QM BQ M A BM '∴==''1,3QM M A ''∴= 2122()2()33CM AM CM AM CM QM ''''''∴+=+=+当Q M C '、、三点共线时，=CM QM QC ''+有最小值为：22222237=()4.33QC BQ BC +=+=223CM AM ''∴+的最小值为4373.3、已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，则2P A +PB 的最小值为 ．解：延长OA 到点E ，使CE ＝6，∴OE ＝OC +CE ＝12，连接PE 、OP ， ∵OA ＝3，∴，∵∠AOP ＝∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴，∴EP ＝2P A ，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13.4、如图，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，则2P A+PB 的最小值为．解：如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．5、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．。
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用阿波罗尼斯圆（Apollonian circles）是数学中的一个重要概念，广泛应用于天文学领域。
这一概念来源于古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）的研究成果，被称为“三个圆外切于一个圆”的问题，据此得名。
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用包括以下几个方面。
1. 星系形成模型阿波罗尼斯圆可以用来描述星系的形成模型。
天文学家观测到在星系形成的过程中，恒星和星际物质会形成环状结构。
而阿波罗尼斯圆则可以准确地描述这些环状结构的形成和演化。
通过对恒星的轨道和质量分布进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来预测星系的形成和演化历程。
2. 行星轨道模拟阿波罗尼斯圆也可以用来模拟行星的轨道。
行星的运动轨迹可以通过数学建模进行模拟，利用阿波罗尼斯圆的特性，可以更加精确地描述行星在太阳系中的运动轨迹。
这对于天文学家来说是非常重要的，因为行星轨道的研究可以揭示宇宙中的引力规律和行星的形成机制。
3. 空间天体测距阿波罗尼斯圆还可以用于空间天体的测距。
在天文观测中，我们经常需要测量天体之间的距离，比如测量恒星与地球的距离、测量星系与星系之间的距离等。
利用阿波罗尼斯圆的几何性质，可以通过测量天体之间的角度和弧长，来计算它们之间的距离。
这为天文学家提供了一种精确测距的方法。
4. 天体碰撞模拟阿波罗尼斯圆还可以应用于模拟天体碰撞的过程。
天文学家经常关注天体之间的碰撞事件，比如彗星撞击行星、星系之间的相互作用等。
通过对碰撞速度、角动量和质量分布等因素进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来模拟天体碰撞的过程，并对其产生的影响进行预测和分析。
综上所述，阿波罗尼斯圆在天文学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述星系的形成和演化，还可以模拟行星轨道、测量天体之间的距离以及模拟天体碰撞等。
随着天文观测和数学建模技术的不断发展，阿波罗尼斯圆的应用将更加深入和广泛，为我们揭示宇宙的奥秘提供更多的线索和解释。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。
它不仅具有深刻的理论内涵，还在众多实际问题中有着广泛而重要的应用。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。
简单来说，假如有两个定点 A 和 B，一个动点 P，并且满足｜PA|／｜PB| ＝定值 k（k ≠ 1），那么点 P 的轨迹就是一个圆。
这个圆有着一些有趣的性质。
比如说，圆心在线段AB 的中垂线上；而且，当两个定点之间的距离固定，以及比值 k 确定时，这个圆的大小和位置也就唯一确定了。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？让我们一起来看看。
在几何问题中，阿波罗尼斯圆常常能帮助我们巧妙地解决一些难题。
比如，在三角形中，如果已知某两条边的长度以及它们的比值，要求第三边的取值范围，这时就可以通过构建阿波罗尼斯圆来找到答案。
在物理学中，阿波罗尼斯圆也有它的身影。
例如，在研究两个点电荷之间的电场分布时，如果电荷的电荷量之比为定值，那么等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。
在工程领域，阿波罗尼斯圆同样发挥着重要作用。
在建筑设计中，当需要确定一些特定的位置关系，以保证结构的稳定性和美观性时，阿波罗尼斯圆的知识能够提供有效的解决方案。
在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是屡见不鲜。
很多看似复杂的竞赛题目，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。
接下来，通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的魅力。
假设在平面直角坐标系中，有两个定点 A(0, 0)和 B(4, 0)，动点 P 满足｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，求点 P 的轨迹方程。
首先，设点 P 的坐标为（x, y)。
则｜PA| ＝√（x²＋ y²)，｜PB| ＝√（x 4)²＋ y²。
因为｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，所以√（x²＋ y²) ／√（x 4)²＋ y²＝1/2。
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“阿波罗尼斯圆”的应用举例
【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为
λ（0λ>， 1λ≠）
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11答案 C
解析 令2=MA MC ，则12
MA
MC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2
λ。
设点C 坐标为(),C m n ， 则()()2
2221212
x y MA
MC x m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-。
整理得2222
2421333m n m n x y x y ++-+++=。
由题意得该圆的方程为221x y +=， ∴2224020113m n m n +==+-⎧⎪⎪⎪⎨
=⎪⎪⎪⎩
，解得2{ 0m n =-=。
∴点C 的坐标为（-2,0）。
∴2MA MB MC MB +=+,
因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C.
【练习】
1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )
A ．双曲线
B ．一个圆
C ．两个圆
D ．两条抛物线
答案 C
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，
得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．
2.到两定点的距离之比等于常数K （K ≠0）的点的轨迹是（ ）
A. 椭圆
B.抛物线
C.圆
D.直线和圆
答案 D
解析 当K=1时，轨迹是一条直线，即两定点连线的垂直平分线；当K ≠1时，轨迹是圆。
3.在ABC V 中，||4AB = ，且||3|CA CB = ，则ABC V 面积的最大值是 A.3 B.3 C.3 D.83
答案 B
4.已知平面直角坐标系中有两定点12(0,2),(0,2)F F - ，平面中有一动点M ，该点使得12MF F V
满足条件1221sin sin MF F MF F ∠=∠ ，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是
答案 (243,243)-+。