【轨迹方程】--apollonius圆(阿波罗尼斯圆,简称“阿氏圆”)
【轨迹方程】--Apollonius圆 (阿波罗尼斯 圆,简称 “阿氏圆”)
1 Apollonius 圆 （阿波罗尼斯 圆，简称 “阿氏圆”）
例. 已知，两点坐标()()3,0,3,0A B -,若平面上一点P 满足
2PA PB
=,求P 点轨迹. 解：设P (),x y ，由题意
2= 化简得 ()22516x y ++=
一般地：若平面上P 和定点A 、B 满足PA PB
λ=，当0λ>且1λ≠时，P 的轨迹是一个圆
“阿氏圆”性质：
（1）等比：2PA MA A PB MB NB
N ===；（正弦定理推论） （2）平分：PM 平分APB ∠，
PN 平分APB ∠的外角
（3）性质逆用
（2011苏州市 一模）
18.已知椭圆E ：22221x y a
b +=()0a b >>
的离心率为2，且过点(P ，设椭圆E 的右准线l 与x
轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长（1）求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
（2）若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意
一点N ，有
MN NQ 为定值；且当
M 在直线l 运动时，点Q 在一个定圆上.
（第18题图）。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个具有独特魅力和重要应用价值的概念。
它不仅在理论上丰富了我们对几何图形的理解，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹。
简单来说，如果有两个固定的点 A 和 B，一个动点 P 到 A 和 B 的距离之比始终是一个定值 k（k 不等于 1），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
那么，如何来确定这个圆呢？假设两个定点 A 和 B 的坐标分别为（x1, y1) 和（x2, y2)，距离之比为 k，我们可以通过一系列的代数运算来找到这个圆的方程。
这其中涉及到距离公式以及一些代数变形，虽然过程可能稍显复杂，但最终得出的结果却能清晰地描述这个圆的特征。
阿波罗尼斯圆有着许多有趣的性质。
比如说，圆心一定在线段 AB的中垂线上。
而且，当两个定点之间的距离固定，比值 k 变化时，圆的大小和位置也会相应地改变。
接下来，让我们看看阿波罗尼斯圆在实际中的应用。
在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。
当电场强度的分布满足一定条件时，粒子的运动轨迹可能就会是一个阿波罗尼斯圆。
这为我们分析粒子的运动规律提供了有力的工具。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能大显身手。
例如在道路规划中，如果要设计一条曲线道路，使得车辆从一个固定点出发，到另一个固定点的行驶时间与距离之比保持恒定，就可以利用阿波罗尼斯圆的原理来进行规划。
在数学竞赛和高考中，阿波罗尼斯圆也常常作为考点出现。
它可能会隐藏在一些看似复杂的几何问题中，需要我们敏锐地发现并运用其相关知识来求解。
例如，给出一些点的位置关系和距离条件，让我们判断某个点是否在特定的阿波罗尼斯圆上，或者求与阿波罗尼斯圆相关的最值问题。
再举一个具体的例子，假设在一个平面直角坐标系中，有两点 A(－3, 0) 和 B(3, 0)，动点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，我们可以通过计算得出点P 的轨迹方程，进而分析其性质和相关应用。
阿氏圆动点轨迹
阿氏圆动点轨迹
阿氏圆（Apollonian Circle）是由希腊数学家阿波罗尼乌斯（Apollonius）提出的一个几何概念，指的是通过三个给定的
圆的相切、交、外切和内切操作，生成的一系列互相相切的圆。
阿氏圆动点轨迹即指的是通过在阿氏圆中固定一个点，并不断改变其他两个固定点的位置，从而得到该点在运动过程中所生成的轨迹。
具体来说，设阿氏圆的三个给定圆分别为圆A、圆B、圆C，
其中圆A和圆B相切于点D，圆A和圆C相切于点E，圆B
和圆C相切于点F。
假设我们固定点D和点E，并改变点F的位置，那么圆B和
圆C的位置也会随之改变，从而生成一个阿氏圆。
同时，点F 的位置和阿氏圆的半径也会决定着点D和点E之间的距离。
因此，通过改变点F的位置，我们可以得到点D和点E之间
的各种距离，从而得到点F的轨迹。
通过类似的方式，我们也可以固定点D和点F，改变点E的
位置，得到点E的轨迹；或固定点E和点F，改变点D的位置，得到点D的轨迹。
总结起来，阿氏圆动点轨迹就是通过固定两个点，改变另外一个点的位置，并不断做阿氏圆运算，从而得到该点在运动过程中所生成的轨迹。
需要注意的是，阿氏圆动点轨迹的性质和形状会受到三个给定圆的位置和相对大小的影响，不同的参数组合会得到不同的结果。
这也是阿氏圆的研究领域之一。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了几何图形与数学原理之间的精妙联系。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义入手。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹。
也就是说，如果有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA|／｜PB| ＝ k（k 为非 1 的常数），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
为了更直观地感受阿波罗尼斯圆，我们不妨通过一个简单的例子来看看它是如何形成的。
假设定点 A 的坐标为(－1, 0)，定点 B 的坐标为(1, 0)，且比值 k ＝ 2。
我们可以通过距离公式和等式｜PA|／｜PB| ＝2 来列出方程，经过一番计算和化简，就能得到点 P 的轨迹方程，从而描绘出这个阿波罗尼斯圆的图形。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？一个常见的应用是在物理学中的带电粒子在电场和磁场中的运动问题。
比如，当带电粒子在特定的电场和磁场中运动时，其轨迹可能会符合阿波罗尼斯圆的特征。
通过对阿波罗尼斯圆性质的深入理解，我们可以更好地分析带电粒子的运动路径、速度变化等关键信息，从而为相关的物理研究和实际应用提供有力的理论支持。
在工程领域，阿波罗尼斯圆也有着不可小觑的作用。
比如在建筑设计中，当需要规划一些具有特定比例关系的布局时，阿波罗尼斯圆的概念可以帮助设计师巧妙地安排空间，实现美观与实用的完美结合。
又比如在道路规划中，为了使车辆行驶更加流畅和安全，有时需要根据不同地点之间的距离比例关系来设计路线，阿波罗尼斯圆的原理就能在其中发挥指导作用。
在数学解题中，阿波罗尼斯圆更是常常成为巧妙解题的关键。
例如，在一些涉及到距离比值的几何问题中，如果能够敏锐地发现其隐藏的阿波罗尼斯圆结构，往往能够化繁为简，迅速找到解题的突破口。
我们来看一个具体的数学问题。
已知三角形 ABC 中，AB ＝ 4，AC ＝ 2，且点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，求点 P 的轨迹。
阿氏圆
到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆．到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？没错就是阿氏圆．阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．【分析】令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k（为实数，且不为±1）得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0，当k不为±1时,它的图形是圆．当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线．【典型例题】问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CD/CP＝CP/CB＝1/2，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PD/BP＝1/2，∴PD＝1/2BP，∴AP＋1/2BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋1/2BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1/3AP ＋BP 的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是弧CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值．10．（3分）（2015•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 318.如图，在ABC ∆中， 90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则12BD AD +的最小值是 .。
2022年中考数学专题复习：几何最值模型 第6讲阿氏圆问题
6、阿氏圆-例题精讲
例题1，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点，
1
13.
点P是圆C上的一个动点，则2 + 的最小值为________.
1
【分析】本题最大难点在于转化2 .此时P点
的轨迹是圆，注意圆C的半径为2，CA=4,连接
∵AB=BD=4,BD是切线，∴∠ABD=90d°，∠BAD=∠D=45°，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∴PA=PB，PO⊥AB,
∵AC=PO=2，AC//PO，∴四边形AOPC是平行四边形，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴OA=OP，∠AOP=90°，∴四边形AOPC是正方形，
∴PM=
6、阿氏圆-模型总结
2
【模型建立】如图1所示，圆的半径为R,点A、B都在圆外，P为圆O上一动点，已知 = 5 ，
2
连接PA、PB，则当“ + 5 PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
图1
解决办法：如图2，在线段OB上截取OC,使得OC=
2
图2
2
2
R,则可说明△BPO与PCO相似，则有
学无止境
中考数学几何最值模型
第（6）讲阿氏圆问题
苏科版九年级
模型汇总
6、阿波罗尼斯圆-人物介绍
人物介绍
阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德齐名．
阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
R150 47
R40
L
A
R100
C
B
R57.14285714
120
R60
图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
A
C
B
R57.14285714
D
120
图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比
圆圆阿氏圆方程，见图 9。
Y
kL
P(x,y)
图 8 题目 1 题解
TA
RA
O OA
RB TB C OB OQ
X RD
a Xo
图 9 圆圆阿氏圆方程
3
根据已知条件列方程：
x2 y2 R A2 k 2L2
， x a2 y2 RB2 L2
x2 2ax a2 y2 RB2 L2
k 2 x2 2ak 2 x a2k 2 k 2 y2 k 2RB2 k 2L2
k2 1
x2 y2
心圆。见图 15。
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k2
1
x2
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
x
2
1 k2 1
2ak 2
2ak 2
2 4 k2 1
a2k 2
R
2 A
k
2
R
绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。见图 6。
在绘制阿氏圆的基础上解题，题目 1 题解见图 8。 阿波罗尼斯圆定理扩展 1：已知平面上一动点 P 到两定圆 OA（半径 RA）、OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、TB）的长度之比为不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）则点 P 的运动轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图 7。
阿氏圆(2018中考数学压轴热点)
--阿氏圆模型专题训练阿氏圆( 阿波罗尼斯圆) ：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1) 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜屁型相似( 也叫母子型相似或美人鱼相似)+ 两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
ABD D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△∽△ACB如图，在△ABC的边AC上找一点母子型相似（共角共边）BA CD: 我们来看一道基本题目的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?那么如何应用阿氏圆为圆上一动点 . CB=4,CA=6已知∠ACB=90°，，⊙C半径为2，PA1(1) AP 求BP 的最小值为 21AP 求(2) 的最小值为BP3PBC 实战练习：D 1 AB上一动点，，，为切线，AC、BD AC=1BD=2P 为弧，半径为、已知⊙O 1 2的最小值试求PC PDC 2PB AO1 AP），，（、已知点2 A4 0B 上运动，试求的⊙2 在半径为），点，（44 P O BP 的最小值 2yBPxO A-- --1 -- --轴相切，与y 为⊙C 上一动点，且⊙C P，B（0,3 ），C（1,0 ），若点3、已知点A(-3,0)1AP（1）y ; BP 的最小值 4B（2）S 的最小值 .PAB PO CxA4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O交x 轴与点A、B(2,0) 两点，AD、BC均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O上的动点，Q为OD的中点 . 连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使PD 2PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，1 1求PD PC 的最小值和PD PC 的最大值 .2 2(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么2 2；PD PDPC 的最小值为PC 的最大值为3 3B 上的一个2. 点P 是圆4，已知菱形ABCD的边长为，∠B=60°，圆B 的半径为3（3）如图11PC 的最大值为PC 的最小值为PD PD动点. 那么；22巩固练习：----2----11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP，BP，AP BP2 最小值为（）A、37B、6C、2 17D、4APC B2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点 B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，2．PC 则PA 的最小值是2CPAB3E，在⊙相切于点60，锐角大小为的边长为 2 °，⊙A 与BC3、如图，菱形ABCDPD，则PB A 上任取一点P2的最小值为．PADB E C4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C （4，0），D（3 ，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一．动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是yx----3----12，点4，圆B 的半径为5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为PC求PDP 是圆B 上的一个动点，21的最小值和PC 的最大值．PD 2上的一个动点，求，点P 是圆B 9，圆B 的半径为6，已知正方2（2）如图2PCPD 的边长为ABCD形3 2的最大值．PC PD 的最小值和3上的一个动是圆B ,2，点P，∠B﹦90°，圆B 的半径为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为41 PC PD点，求21PD 的最小值和PC 的最大值． 2DA D AADPPPBBC C3图1 图2 图套路总结阿氏圆基本解法：构造相似kPD PC 阿氏圆一般解题步骤：OD 、的线段的两个端点分别与圆心相连接）O （将系数不为1 ，则连接OP；第一步：连接动点至圆心OD 长度；、第二步：计算出所连接的这两条线段OP OPm ；第三步：计算这两条线段长度的OD比OM m ；，使OD 第四步：在上取点M OP 得交点即为点，与圆第五步：连接CM O P．----4----1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，P BD=2 AC=1 上一动点，求为，，的最小值．PC+PD5--。
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Apollonius 圆 （阿波罗尼斯 圆，简称 “阿氏圆”）
例. 已知，两点坐标()()3,0,3,0A B -,若平面上一点P 满足2PA PB =,求P 点轨迹. 解：设P (),x y ，由题意 ()()22
22
323x y x y ++=-+ 化简得 ()22516x y ++=
一般地：若平面上P 和定点A 、B 满足PA PB
λ=，当0λ>且1λ≠时，P 的轨迹是一个圆
“阿氏圆”性质：
（1）等比：2PA MA A PB MB NB
N ===；（正弦定理推论） （2）平分：PM 平分APB ∠，
PN 平分APB ∠的外角
（3）性质逆用
（2011苏州市 一模）
18.已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，且过点()
2,2P ，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455
. （1）求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
（2）若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意一
点N ，有
MN NQ
为定值；且当M 在直线l 运动时，点Q 在一个定圆上.
（第18题图）。