线性规划习题精讲
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
课件8：3.3.2 简单的线性规划问题
解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
x＋y≤10， 由题意知x0≥.30x，＋0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即
可行域．
作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y ＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大，这里 M 点是直线 x＋y＝ 10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点． 解方程组x0＋.3xy＋＝01.01，y＝1.8， 得xy＝＝46，，
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg，利润 z 万元，
9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， 则依题意可得约束条件：3x＋10y≤300， x≥0， y≥0.
利润目标函数为 z＝7x＋12y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．
作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直 线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．
【答案】6
9 5
题型三 线性规划的实际应用 例3：某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损 率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要 求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两 个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解方程组x7＋x＋2y1＝0y3＝，17， 得 M(1,1)． 故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
2x＋y≥4， 变式训练 1：设 x，y 满足x－y≥－1， 则 z＝x＋y( )
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
线性规划经典例题
线性规划经典例题【题目描述】某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A和B的生产时间分别为2小时和3小时。
产品A和B的利润分别为每一个单位的利润为5元和4元。
公司希翼最大化每天的利润。
已知产品A和B的生产过程中，每一个单位所需的原材料分别为2个和3个。
公司每天可用的原材料数量为12个。
请问公司应该如何安排每天的生产计划，以获得最大利润？【解题思路】这是一个典型的线性规划问题，我们可以通过建立数学模型来求解。
首先，我们定义决策变量：x表示每天生产的产品A的数量，y表示每天生产的产品B的数量。
然后，我们需要确定目标函数和约束条件。
【目标函数】公司的目标是最大化每天的利润，即最大化目标函数Z：Z = 5x + 4y【约束条件】1. 生产时间约束：产品A和B的生产时间不能超过每天的生产时间，即：2x + 3y ≤ 82. 原材料约束：产品A和B的生产过程中所需的原材料数量不能超过每天可用的原材料数量，即：2x + 3y ≤ 123. 非负约束：产品A和B的数量不能为负数，即：x ≥ 0y ≥ 0【求解过程】我们可以使用线性规划的求解方法来求解该问题。
首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准的线性规划形式。
将目标函数Z = 5x + 4y转化为标准形式：Z = 5x + 4y + 0将约束条件2x + 3y ≤ 8转化为标准形式：2x + 3y + s1 = 8，其中s1 ≥ 0将约束条件2x + 3y ≤ 12转化为标准形式：2x + 3y + s2 = 12，其中s2 ≥ 0将约束条件x ≥ 0转化为标准形式：-x + 0y + s3 = 0，其中s3 ≥ 0将约束条件y ≥ 0转化为标准形式：0x - y + s4 = 0，其中s4 ≥ 0得到线性规划的标准形式为：Max Z = 5x + 4y + 02x + 3y + s1 = 82x + 3y + s2 = 12-x + 0y + s3 = 00x - y + s4 = 0x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 0s2 ≥ 0s3 ≥ 0s4 ≥ 0【求解结果】通过线性规划求解器，我们可以得到最优解：x = 2，y = 2，Z = 5(2) + 4(2) = 18因此，公司应该每天生产2个产品A和2个产品B，以获得最大利润18元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
简单的线性规划问题 课件
[解析] 画出满足条件的可行域如图所示，
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值 都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时， u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0.
A．－4
B．6
C．10
D．17
[解析] 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．
当直线2x＋5y－z＝0过点A(3,0)时，zmin＝2×3＋5×0＝6，故选B. [答案] B
x －y＋1≥0， (2)(高考全国Ⅲ卷)若 x，y 满足约束条件 x－2y≤0，
x ＋2y－2≤0，
y 的最大值为________．
简单的线性规划问题
线性规划中的基本概念
名称
意义
线性约束条件 由x，y的 二元一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求 最大值 或 最小值所涉及的变量x，y的解析式
线性目标函数
目标函数是关于x，y的_二__元__一__次__解__析__式____
可行解
满足 线性约束条件 的解(x，y)
名称
探究三 已知目标函数的最值求参数
[典例3] 若实数x，y满足不等式组 xy－－12≤≤00，， x＋2y－a≥0，
目标函数t＝x
－2y的最大值为2，则实数a的值是________．
[解析] 如图， x＝2，
由x＋2y－a＝0.
x＝2， 得y＝a－2 2， 代入x－2y＝2中，解得a＝2.
[答案] 2
则 z＝x＋
[解析] 由题意画出可行域(如图所示)， 其中A(－2，－1)，B 1，12 ，C(0,1)，由z＝x ＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点 B1，12时，z取最大值32.
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，通过这些例题的详细阐述，匡助读者更好地理解线性规划的原理和应用。
一、背包问题1.1 背包问题的定义和目标1.2 线性规划模型的建立1.3 求解背包问题的方法二、产销平衡问题2.1 产销平衡问题的背景和目标2.2 线性规划模型的建立2.3 求解产销平衡问题的方法三、投资组合问题3.1 投资组合问题的定义和目标3.2 线性规划模型的建立3.3 求解投资组合问题的方法四、生产计划问题4.1 生产计划问题的背景和目标4.2 线性规划模型的建立4.3 求解生产计划问题的方法五、运输问题5.1 运输问题的定义和目标5.2 线性规划模型的建立5.3 求解运输问题的方法正文内容：一、背包问题1.1 背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包的总分量不超过限定值，同时使得背包中物品的总价值最大化。
1.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述背包问题。
决策变量表示选择放入背包的物品，约束条件包括背包总分量不超过限定值以及每一个物品的数量限制。
1.3 求解背包问题可以使用线性规划的求解算法，如单纯形法或者内点法。
通过对目标函数和约束条件进行线性化处理，可以将背包问题转化为标准的线性规划问题进行求解。
二、产销平衡问题2.1 产销平衡问题是指在给定的一组产品和市场需求的情况下，确定各个产品的生产量和销售量，使得总利润最大化。
2.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述产销平衡问题。
决策变量表示各个产品的生产量和销售量，约束条件包括生产能力限制和市场需求限制。
条件进行线性化处理，可以将产销平衡问题转化为标准的线性规划问题进行求解。
三、投资组合问题3.1 投资组合问题是指在给定的一组投资标的中，确定各个标的的投资金额，使得投资组合的风险最小或者收益最大。
3.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述投资组合问题。
高考线性规划必考题型非常全)
线性规划专题一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。
例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。
它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。
三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。
它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。
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线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△A B C的面积即为所求，由梯形OM B C的面积减去梯形OM A C的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z =x 2+y 2的最大值和最小值分别是 （ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|A O |2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩ 由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。
利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+05000005135000y x xy y x ,而z =0.28x +0.9y 如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 51=的交点)317500,387500(A ,即387500=x ,317500=y 时,饲料费用最低. 所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一. (例3图) (例4图)例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 的含量及成本:营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩⎨⎧≥-≥422y x y 作出可行域如上图中阴影部分目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩⎨⎧≥-≥422y x y 得z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,当且仅当y =2,x =3时取等号 总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++nm nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或“=”号)其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l ，直线l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位m 3)第 一 种第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值。
解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x +0.09y =72和0.08x +0.28y =56的交点M 。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？ 解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，总数为z 根。
根据题意，得 ，目标函数为，作出如图所示的可行域内的整点，作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。