如何有效利用主成分分析进行综合评价

如何有效利用主成分分析进行综合评价摘要：由于主成分分析在多元统计分析中的降维作用，使之在社会、经济、医疗、生化等各领域运用越来越广泛，但由于传统主成分分析方法的局限性导致了一些问题的产生。

这些问题吸引了许多领域专家的关注，并具有针对性的提出了一些不同的改进方法。

本文介绍了主成分分析的基本和性质，并整理了近年来主成分分析在综合评价应用中遇到的普遍问题并整理验证了认同率较强的一些改进方法，以供大家研究学习。

关键词：主成分分析；综合评价；均值化1引言1.1研究的背景和意义随着生产力的不断进步，生产方式由外延式扩张转化为追求经济效益的内涵式发展，以致在生产过程中必须考虑经济效益的各个方面，如生产力水平、技术进步、资源占用等情况，并需要就综合各方面的因素进行综合评价。

评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。

主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理【9】，使问题变得比较简单、直观，而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。

而且，伴随主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观性，如实地反映实际问题。

主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评价理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。

所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析法常被应用于综合评价与监控【6】。

综上所述，对综合评价指标体系理论进行研究，既有理论上的必要性，更有实践中的迫切性。

1.2研究的发展史基于主成分分析的综合评价以主成分分析为理论基础，以综合评价为主线，着眼于作出合理公正的综合评价。

以下从综合评价和主成分分析两个方面来讨论主成分综合评价的发展史。

1.2.1综合评价的发展史综合评价是伴随着人类文明的产生、发展而产生、发展的。

其基本思想是将反映研究对象数量特征的多个指标转化为一个综合指标，并据以对各个具体评价对象进行排序比较，从而做出好坏优劣的评价结论。

1888年，艾奇沃斯(Edgeworth)发表了论文《考试中的统计学》，提出了对考生中的不同部分应如何加权。

1913年，斯皮而曼(sPe~an)发表了《和与差的相关性》一文，讨论了不同加权的作用。

在20世纪30年代，瑟斯通(Thurstone)和利克特(Likert)又对定性记分方法的工作给予了新的推动。

20世纪60年代，美国学者查德(L·A·zadaen)模糊集合理论，为模糊综合评价法奠定了基础。

20世纪70一80年代，是现代科学评价蓬勃兴起的年代。

在此期间，产生了多种应用广泛的评价方法，诸如ELECTRE法(1971一1977，1983)、多维偏好分析的线性规划法(LINMAP，1973)、层次分析法(AHP，1977)、数据包络分析法(DEA，1978)、逼近于理想解的排序法(TOPSIS，1981)等【7】。

1.2.2主成分分析的发展史主成分分析，首先是由英国的皮尔生(Kar卜Pearson)对非随机变量引入的，而后美国的数理统计学家赫特林(Harold.Hotelling)在1933年将此方法推广到随机向量的情形团【8】。

主成分分析的降维思想从一开始就很好地为综合评价提供了有力的理论和技术支持。

20世纪80~90年代，是现代科学评价在我国向纵深发展的年代，人们对包括主成分综合评价在内的评价理论、方法和应用开展了多方面的、卓有成效的研究，主要表现为:常规评价方法在国民经济、生产控制和社会生活中的广泛应用;多种评价方法的组合研究，综合应用及比较;新评价方法的研究和应用;评价方法的深入研究，如:评价属性集的设计、标准化变换、评价模型选择等等。

1.3主成分做综合评价的研究现状目前国内外关于综合评价的方法很多，在根据各指标间相关关系或各指标值的变异程度来确定权重系数的方法中，主成分分析法是应用尤为广泛。

在使用该方法的早期，大多都是按照传统的主成分分析法做综合评价的步骤来计算综合得分来对样品排序，即利用主成分F1，F2，…，F m做线性组合，并以每个主成分F i的方差贡献率αi作为权重系数来构造一个综合评价函数：Y =α1F 1 +α2F 2 +…+αm F m然而，随着传统主成分分析方法在综合评价中的进一步应用，人们发现此方法时经不起实践检验的。

在实际应用中，经常发现运用此方法所得结果的解释往往与实际情况不符。

举了一个简单的例子，假定高考中考试科目有四门：数学(x 1)、语文(x 2)、外语(x 3)和物理(x 4)，满分都是相同的150分。

考生的四门考试成绩必须综合成一个综合评价函数，一般取为总分i x i ∑=41。

但从统计学的角度来看，可能取为*41i x i ∑=更为合理，这里x i*是x i的标准化数值（x 1* 、x 2* 、x 3* 、x 4*有相同的均值和标准差）。

如果我们使用传统的主成分分析法，根据上述综合评价函数F 的得分来对学生进行排名，那就酿成大错了。

就此，一些学者提出了一些改进的方法，其中具有代表性的方法有：Y an(1998)提出，当第一主成分的方差比较大时，即贡献率较大时，用它做综合评价指标。

如果觉得用一个主成分解释的方差不够大时，综合反映X 1 ，X 2 ，…，X p 信息的能力不够，而用多个主成分构造综合评价函数又不合适时，可以像因子分析那样对主成分进行旋转。

Hou(2006)也提出，当用第一主成分进行综合评价达不到理想结果时，可用分组主成分评价法。

即先用因子分析法将p 个变量分成k 组，然后分别对各组变量进行主成分分析，只取每组的一主成分，求出各组第一主成分的得分C j (j=1,2,…,k)以因子旋转后各因子的放差贡献率为权重∑==kj jjWj 1λλ建立综合评价函数：∑==kj WjCj z 1。

最后根据各评价样本综合得分y 来对样品进行排序。

但其可行性也受到了一些学者的质疑【4】。

由此可见，主成分综合评价法是一片有待进一步深耕细作的热土。

2关于主成分分析基本知识 2.1主成分分析设要进行主成分分析的原指标有p 个，记作x 1 ，x 2 ，…，x p 。

现有n 个样品，相应的观测值为x ik ， i =1,2,…,n,而k =1,2,…，p 。

作标准化变换后，将X k 变换为X k *，即SkXk-Xk Xk*=，k =1,2,…，m.式中，Xk 及Sk 分别是x k 的均值及标准差，x k *的均值为0、标准差为1. 主成分分析的原理是：根据各样品原指标的观测值x ik 或标准化变换后的观测值x ik *求出系数 a ik (k=1,2,…,p,j=1,2,…,m ，m <p)，建立用标准化变换后的指标x k *表示综合指标Fj 的方程*xk akj Fj k∑=，也可建立用原指标X k 表示综合指标Fj 的方程*xk akj Fj k∑=。

对系数a ik 由下列原则决定:(1)各个综合指标Fj 彼此独立或不相关;(2)各个综合指标Fj 所反映的各个样品的总信息等于原来p 个指标X k *所反映的各个样品的总信息,即p 个Fj 的方差λj 之和等于p 个X k *的方差之和,也就是P j j=∑λ且λ1≥λ 2 … ≥λP 。

称上述彼此独立或不相关又不损失或损失很少原有信息的各个综合指标。

y j 为原指标 的主成分.其中,第一综合指标F 1的方差最大，吸收原来p 个指标的总信息最多，称第一主成分；第二综合指标F 2的方差次之，吸收原来p 个指标的总信息次之，称为第二主成分；同理，F 3 F 4…F p 分别称为第三主成分、第四主成分……第p 主成分。

【9】2.2 主成分分析能否旋转2.2.1 主成分分析与因子分析的联系与区别相当数量的应用文章对主成分分析与因子分析不加严格区分，因而对分析结果的解释非常模糊。

文献【1】认为主成分分析与因子分析两者之间有联系，但也存在着明显的区别。

从联系上看，主成分分析和因子分析都是将多个相关变量（指标）转化为少数几个不相关变量的一种多元统计分析方法。

其目的是使在高维空间中研究样本分布规律的问题，通过降维得到简化，并尽量保留原变量的信息量。

两者都有消除相关、降维的功能。

主成分分析是通过变量变换把注意力集中到具有最大变差的那些主成分上，而视变量不大的主成分为常数予以舍弃；因子分析是通过因子模型把注意力集中到少数不可观测的公共因子上，而舍弃特殊因子。

主成分个数与公共因子个数的选择准则通常是相同的。

主成分分析中主成分向量Y 与原指标向量X 的表达式为X L Y T=,式中()pp ijl L .=；而因子分析中的因子模型为ε+=AF X ,其中ε为特殊因子，().m p ija A =,当()0=εD 时，可采用主成分分析法估计A 阵，则ij j ij l a λ=。

对主成分分析中的主成分与因子分析中的公共因子的含义均需进行明确解释，否则，会遇到应用上的困难。

虽然主成分分析法与因子分析法有着密切的联系，但从应用上更需关注的是它们之间的区别。

1、 主成分分析的实质是P 维空间的坐标旋转，并不改变样本数据结构，不能作为模型来描述；因子分析的实质是P 维空间到M 维空间的一种映射，需构造模型。

2、 主成分的个数与原变量个数相等，而公因子的个数小于原变量的个数。

3、 主成分分析是把主成分表示为原变量的线性组合，因子分析是把原变量表示为公共因子和特殊因子的线性组合。

4、 主成分分析由可观测的变量X 直接求的主成分Y ，并可逆；因子分析只能通过可观测的原变量去估计不可观测的公共因子F ，不能用X 表示F 。

5、 主成分分析中的L 阵是唯一的正交阵；因子分析中的A 阵不唯一，也不一定是正交阵。

6、 主成分分析主要应用在综合评价和指标筛选上；因子分析除这两个作用以外，还可以应用于对样本或变量的分类。

2.2.2 能否对主成分实施旋转对于主成分能否进行旋转这一问题，很多研究学者认为，当主成分不能很好解释综合评价结果时，可以像因子分析那样进行正交旋转，从而使主成分得到更好的解释。

关于主成分能否旋转的问题，文献【1】【4】【5】【7】【8】均做了论证，发现这种方法是不可行的。

论证具体如下：主成分分析的实质是对原始指标变量进行线性变换，即F =XA ，其中()pp ij a A .=显然A 为正交矩阵，如果对主成分进行旋转，则有：T T T T A FA FLL FA X ˆˆ=== 其中L 是正交矩阵。