2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I试卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I试卷本试卷 5 页, 23 题 (含选考题). 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.注意事项:1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1、若 z = 1 +i，则|z2−2z| =【】A.0B.1C.√2D.2【参考答案】D【试题解析】由 z = 1 +i 得, z2 = 2i,2z = 2 + 2i, 所以 z2−2z = 2i−(2 + 2i) = 2. 2、设集合 A ={x | x2−4 ⩽ 0},B ={x | 2x + a ⩽ 0}, 且A∩B ={x |−2 ⩽ x ⩽ 1}, 则 a =【】A.-4B.-2C.2D.4【参考答案】B【试题解析】由已知得 A ={x|−2 ⩽ x ⩽ 2},B ={x|x ⩽−a/2}.又因为A∩B ={x|−2 ⩽ x ⩽ 1}, 所以有−a/2 = 1 , 从而 a = −2.3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为【】。
A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+12【试题解析】如图, 设正四棱锥的高为 h, 底面边长为 a, 侧面三角形底边上的高为h′, 则依题意有:{ℎ2=12aℎ′ℎ2=ℎ′2−(a )2因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′，化简得4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)-1=0，解得ℎ′a=√5+14，故选C.4、已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到y 轴的距离为 9, 则 p=【】。
A.2B.3C.6D.9【参考答案】C【试题解析】由点 A 到 y 轴的距离为 9 可得 x = 9, 由点 A 到 C 的焦点的距离为 12. 可得 x + p/2= 12, 解得 p = 6.5、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: °C) 的关系, 在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据 (x i, y i) (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图:由此散点图, 在10°C 至40°C 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是【】。
A.y = a + bxB.y = a + bx2C.y = a + be2D.y = a + b ln x【参考答案】D【试题解析】由散点图可得, x, y 为非线性相关关系;又由散点图可知, x, y 为呈现正相关关系并且随着x增大的过程中, y 的增量逐渐趋于平缓。
选项中，满足上述特征的只有：y = a + b ln x.6、函数 f(x) = x4− 2x3的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。
A.y = −2x − 1B.y = −2x + 1C.y = 2x − 3D.y = 2x + 1 【参考答案】B【试题解析】已知函数 f(x) = x 4 − 2x 3, 则 f ′(x) = 4x 3 − 6x 2.由导数的几何意义知在点 (1, f(1)) 处的切线的斜率为 k = f ′(1) = −2. 又因为 f(1) = −1, 由直线方程的点斜式得切线方程为: y − (−1) = −2(x − 1), 化简得 y = −2x + 1. 7. 设函数 f (x )=cos(ωx +π6)在 [−π, π] 的图像大致如下图, 则 f(x) 的最小正周期为【 】。
A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【试题解析】 由图知f (−4π9)=cos(−4π9ω+π6) = 0, 所以 −4π9ω+π6= π2+ k π (k ∈ Z), 化简得ω = -3+9k 4(k ∈ Z).又因为 T < 2π < 2T, 即 2π|ω|< 2π <4π|ω|, 所以 1 < |ω| < 2, 当且仅当 k = −1 时,1 < |ω| < 2.所以 ω = 32, 最小正周期 T = 2π|ω| = 4π3 .8. (x +y 2x)(x +y)5的展开式中 x 3y 3 的系数为【 】。
A. 5B. 10C. 15D. 20【试题解析】 (x+y)5的通项公式为 C r 5x 5−r y r (r=0,1,2,3,4,5). 所以 r=1 时，y 2x C 15x 4y =5x 3y 3，r=5时，xC 35x 2y 3=10x 3y 3，所以 x 3y 3 的系数为15. 9. 已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8 cos α = 5, 则 sin α =【 】。
A.√53B. 23C. 13D.√59【试题解析】原式化简得 3cos2α − 4cosα − 4 = 0, 解得 cosα = −23或 2(舍). 又 α ∈ (0, π), 所以 sinα =√53.10、已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O 1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O 1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO 1，则球 O 的表面积为 【 】 A.64π B.48π C.36π D.32π【参考答案】A【试题解析】因为 ⊙O 1 的面积为 4π, 所以 △ABC 的外接圆的半径为 2, 所以 O 1B = 2,由正弦定理 BCsinA= 2r = 4 可得, 等边 △ABC 的边长为 2√3. 又因为 OB 2 = O 1O 2 +O 1B 2 = R 2, 球 O 的半径为 R = 4, 所以球 O 的表面积为 S = 4πR 2= 64π.11、已知 ⊙M : x 2 + y 2− 2x − 2y − 2 = 0，直线 l : 2x + y + 2 = 0, P 为 l 上的动点. 过点 P 作 ⊙M 的切线PA, PB, 切点为 A, B, 当 |PM| · |AB| 最小时, 直线 AB 的方程为【 】 A.2x − y − 1 = 0 B.2x + y − 1 = 0 C.2x − y + 1 = 0 D.2x + y + 1 = 0 【参考答案】D 【试题解析】⊙M : (x − 1)2+ (y − 1)2= 4. 因为S PAMB = 12|PM||AB| = 2S △PAM = |PA||AM| = 2|PA| = 2−4所以 |PM|·|AB| 最小, 即 |PM| 最小, 此时 PM 与直线 l 垂直, PM : y = 12x +12. 直线 PM 与直线 l 的交点P (−1, 0), 过直线外一点 P 作 ⊙M 的切线所得切点弦所在直线方程为: 2x + y + 1 = 0.12、若 2a + log 2a = 4b+ 2log 4b, 则【 】 A.a > 2b B.a < 2bC.a > b 2D.a < b 2【参考答案】B【试题解析】由指数与对数运算可得 2a + log 2a = 4b + 2log 4b = 22b+ log 2b.又因为 22b + log2b < 22b + log22b = 22b + 1 + log2b, 即 2a + log2a < 22b + log22b.令 f(x) = 2x + log2x, 由指对函数单调性可得 f(x) 在(0, +∞) 内单调递增.由 f(a) < f(2b) 可得: a < 2b.二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.1. 若 x, y 满足约束条件{2x+y−2⩽0,x−y−1⩾0,y+1⩾0,则 z = x + 7y 的最大值为 __________.【参考答案】1【试题解析】如图, 当直线 z = x + 7y 经过 A(1, 0) 时 z 取到最大值 1.2、设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =__________.【参考答案】√3【试题解析】由已知可得 |a + b|2= (a + b) · (a + b) = |a|2 + |b|2 + 2ab = 1 + 1+ 2ab = 1, 故 ab = −, 所以|a − b|2 = (a − b) · (a − b) = |a|2 + |b|2− 2ab = 3 ⇒ |a − b| = √33. 已知 F 为双曲线 C : x 2a2−y2b2= 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 __________.【参考答案】2【试题解析】由条件, 得 A(a, 0), F (c, 0) , 由于 BF 是通径长的一半, 所以 B(c,b 2a). 所以k AB =b2ac−a= b2a(c−a)= c2−a2a(c−a)= c+aa= e + 1 = 3.所以，离心率 e = 2.4、如图, 在三棱锥 P − ABC 的平面展开图中, AC = 1, AB = AD = , AB ⊥ AC, AB ⊥ AD,cos ∠CAE = 30◦, 则cos ∠FCB = __________.【参考答案】-1/4【试题解析】由已知, 得BD = √2AB = √. 因为D, E, F 重合于一点, 所以AE =AD =√, BF = BD = √6. 在△ACE 中, 由余弦定理, 得CE2 = AC2 + AE2−2AC ·AE ·cos ∠CAE= 12 + (√2−2 ×1 ×√cos 30◦= 1,所以, CE = CF = 1. 所以, 在△BCF 中, 由余弦定理, 得cos ∠FCB = BC 2+CF2−BF22BC∙CF= 12+22−(√6)22×1×2=−14三、解答题：共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.1、设 {a n} 是公比不为 1 的等比数列, a1为 a2, a3的等差中项.(1) 求 {a n} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {na n} 的前 n 项和.【参考答案】(1) 设{a n} 的公比为q, 由题设得2a1 = a2 + a3, 即2a1 = a1q + a1q2.所以q2 + q −2 = 0, 解得q = 1 (舍去), q = −2.故{a n} 的公比为−2.(2) 记S n为{na n} 的前n 项和. 由(1) 及题设可得, an = (−2)n−1. 所以S n= 1 + 2 × (−2) + ···+ n ×(−2)n−1,−2S n = −2 + 2 ×(−2)2 + ···+ (n −1) ×(−2)n−1 + n ×(−2)n.可得3S n = 1 + (−2) + (−2)2+ · · · + (−2)n −1− n × (−2)n=1−(−2)n3- n × (−2)n.所以，S n =19 -(3n+1)(−2)n9.2. 如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = √66 DO. (1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.【参考答案】(1) 设 DO = a, 由题设可得 PO =√66a ，AO =√33a ，AB = a, PA = PB = PC =√22a. 因此PA 2+ PB 2= AB 2, 从而 PA ⊥ PB. 又 PA 2+ PC 2= AC 2, 故 PA ⊥ PC. 所以 PA ⊥ 平面 PBC. (2) 以 O 为坐标原点，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 y 轴正方向, |OE ⃗⃗⃗⃗⃗ | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题设可得 E(0, 1, 0), A(0, −1, 0), C(−√32,12,1), P(0, 0, √22) . 所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,0), EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, -1, √22). 设 m = (x, y, z) 是平面 PCE 的法向量，则{m ∙EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ∙EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{−y +√22z =0,−√32x −12y =0,可取 m = (−√33,1,√2). 由 (1) 知 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 1, √22) 是平面 PCB 的一个法向量, 记 n = AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 cos ⟨n, m ⟨ = n∙m|n|∙|m|=2√55. 所以二面角 B −PC −E 的余弦值为2√55.3、甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下:累计负两场者被淘汰; 比赛前抽签决定首先比赛的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束.经抽签, 甲、乙首先比赛, 丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 1/2. (1) 求甲连胜四场的概率;(2) 求需要进行第五场比赛的概率; (3) 求丙最终获胜的概率.【参考答案】(1) 甲连胜四场的概率为 1/16.(2) 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况: 甲连胜四场的概率为 1/16; 乙连胜四场的概率为 1/16;丙上场后连胜三场的概率为 1/8.所以需要进行第五场比赛的概率为 1 − 1/16−1/16−1/8=3/4. (3) 丙最终获胜, 有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 1/8; 比赛五场结束且丙最终获胜, 则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况: 胜胜负胜, 胜负空胜, 负空胜胜, 概率分别为 1/16,1/8,1/8.因此, 丙最终获胜的概率为 1/8+1/16+1/8+1/8=7/16.4. 已知 A, B 分别为椭圆 E : x 2a 2 +y 2= 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点. 【参考答案】(1) 由题设得 A(−a, 0), B(a, 0), G(0, 1), 则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ = (a, 1), GB ⃗⃗⃗⃗⃗ = (a, −1) . 由 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB⃗⃗⃗⃗⃗ = 8 得 a 2 − 1 = 8, 即 a = 3. 所以 E 的方程为 x 29+y 2 = 1. (2) 设 C(x 1, y 1), D(x 2, y 2), P (6, t).若 t ≠ 0, 设直线 CD 的方程为 x = my + n, 由题意可知 −3 < n < 3. 由于直线 PA 的方程为 y = t9(x + 3), 所以 y 1 = t9(x 1 + 3). 直线 PB 的方程为 y = t3(x - 3), 所以 y2= t3(x 2 - 3). 可得 3y 1(x 2 − 3) = y 2(x 1 + 3). 由于 x 229+y 22 = 1, 故 y 22= −(x 2+3)(x 2−3)9, 可得 27y 1y 2 = −(x 1 + 3)(x 2 + 3), 即(27 + m 2)y 1y 2 + m(n + 3)(y 1 + y 2) + (n + 3)2= 0. ①将 x = my + n 代入 x 29 +y 2 = 1 得 (m 2 + 9)y 2 + 2mny + n 2− 9 = 0. 所以y 1 + y 2 = −2mnm 2+9, y 1y 2 =n 2−9m 2+9代入 ① 式得 (27 + m 2)( n 2– 9) − 2m(n + 3)mn + (n + 3)2(m 2+ 9) = 0, 解得 n = −3 (舍去), n = 32.故直线 CD 的方程为 x = my +32, 即直线 CD 过定点 (32, 0). 若 t = 0, 则直线 CD 的方程为 y = 0, 过点(32, 0).综上, 直线 CD 过定点(32, 0).5. 已知函数 f(x) = e x + ax 2− x. (1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ 12x 3+ 1, 求 a 的取值范围. 【参考答案】(1) 当 a = 1 时, f(x) = e x+ x 2− x, f ′(x) = e x+ 2x − 1. 故当 x ∈ (−∞, 0) 时, f ′(x) < 0; 当 x ∈ (0, +∞)时, f ′(x) > 0. 所以 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 在 (0, +∞) 单调递增.(2) f(x) ⩾ 12x 3+ 1 等价于 (12x 3– ax 2+ x + 1)e −x⩽ 1. 设函数 g(x) =(12x 3– ax 2+x + 1)e −x(x ⩾ 0), 则g′(x) = −(12x 3– ax 2+ x + 1 -32x 2+ 2ax - 1)e −x= −12x[x 2-(2a+3)x+4a+2] e −x= −12x(x -2a-1)(x-2)e −x(i) 若 2a + 1 ⩽ 0, 即 a ⩽ 12, 则当 x ∈ (0, 2) 时, g′(x) > 0. 所以 g(x) 在 (0,2) 单调递增，而 g(0) = 1, 故当x ∈ (0, 2) 时, g(x) > 1, 不合题意.(ii) 若 0 < 2a + 1 < 2, 即 -12< a <12, 则当 x ∈ (0, 2a + 1) ∪ (2, +∞) 时, g′(x) < 0; 当 x ∈ (2a + 1, 2) 时,g′(x) > 0. 所以 g(x) 在 (0, 2a + 1), (2, +∞) 单调递减, 在 (2a + 1, 2) 单调递增. 由于 g(0) = 1, 所以 g(x) ⩽ 1 当且仅当 g(2) = (7 − 4a)e −2⩽ 1, 即 a ⩾7−e 24. 所以当7−e 24⩽ a <12时, g(x) ⩽ 1.(iii) 若 2a + 1 ⩾ 2, 即 a ⩾ 12, 则 g(x) ⩽(12x 3+ x + 1) e −x. 由于 0 ∈[7−e 24, 12), 故由 (ii) 可得(12x 3+ x + 1) e −x⩽ 1. 故当 a ⩾ 12 时, g(x) ⩽1.综上, a 的取值范围是[7−e 24, +∞).6. 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 1 的参数方程为{x =cos k ty =sin k t (t 为参数). 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsin θ + 3 = 0.(1) 当 k = 1 时, C 1 是什么曲线?(2) 当 k = 4 时, 求 C 1 与 C 2 的公共点的直角坐标. 【参考答案】(1) 当 k = 1 时, C 1 :{x =cost y =sint , 消去参数 t 得 x 2 + y 2= 1. 故曲线 C 1 是圆心为坐标原点, 半径为 1 的圆.(2) 当 k = 4 时, C 1 :{x =cos 4ty =sin 4t , 消去参数 t 得 C 1 的直角坐标方程为 √x + √y = 1.C 2 的直角坐标方程为 4x − 16y + 3 = 0. 由{√x +√y =14x−16y+3=0 解得 {x =14y =14 . 故 C1 与 C2 的公共点的直角坐标为(14,14). 7、已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.【参考答案】(1) 由题设知 f(x) ={−x −3,x ≤−135x −1,−13<x ≤1x +3,x >1,y = f(x) 的图像如图 1 所示.(2) 函数 y = f(x) 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 y = f(x + 1) 的图像 (图2).y = f(x) 的图像与 y = f(x + 1) 的图像的交点坐标为(- 76,- 116).由图像可知当且仅当 x < −76时, y = f(x) 的图像在 y = f(x + 1) 的图像上方. 故不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集为(−∞, −76).。
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020 数学 理科
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020数学理科2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：1.若 $z=1+i$，则 $|z^2-2z|=$A。
$1$。
B。
$2$。
C。
$2\sqrt{2}$。
D。
$4$2.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|2x+a\leq 0\}$，且$A\cap B=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$。
B。
$-2$。
C。
$2$。
D。
$4$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$。
B。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$。
C。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$。
D。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
$2$。
B。
$3$。
C。
$6$。
D。
$9$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：$^\circ$C）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10^\circ\text{C}$ 至 $40^\circ\text{C}$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程由此散点图，在 $10^\circ\text{C}$ 时发芽率最高的类型的是A。
$y=a+bx$。
B。
$y=a+bx^2$。
C。
$y=a+be^x$。
D。
$y=a+blnx$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
2020年高考考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷理科数学一、选择题1.若1i z =+，则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )B.23 C.1310.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( ) A.2a b > B.2a b < C.2a b > D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为'h，则依题意有：222212'()2'h ahah h⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'ah ah-=，化简得2'4()2()1'h ha a--=，解得5'1ha+=.4.答案：C解析：设点A的坐标为()x y，，由点A到y轴的距离为9可得9x=，由点A到C的焦点的距离为12，可得122px+=，解得6p=.5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为lny a b x=+.6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x=-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 13.答案：114.15.答案：2 16.答案：14-17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3n n n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；(2)25. 解析：(1)设DO a =，由题设可得63,,PO a AO a AB a ===， 2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,22E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,210.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤.综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=， 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学+答案+全解全析纯word版(2020.6.15)
2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,3]D ．[1,2)-2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3-4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是 A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称 C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k <<D ．11133k ≤≤9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于 A 32 B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x = 12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是 A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于 A ．5003πB ．2563πC ．50πD ．96π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷Ⅰ理科数学含答案2020 数学 理科
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C．2D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 51-B51-C51+D51+4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国高考(新课标I、II、III卷)真题 理科数学试卷(+答案+全解全析,共3套)
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
∵
【详解】
f
(x)
=
x4
−
2x3
，∴
f
′(x)
=
4x3
−
6x2
，∴
f
(1)
=
−1 ，
f
′(1)
=
−2
，
因此，所求切线的方程为 y +1 = −2( x −1) ，即 y = −2x +1.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
（）
A. 5 −1 4
【答案】D
B. 5 −1 2
C. 5 +1 4
D. 5 +1 2
【分析】
设 CD = a, PE = b ，利用 PO2 = 1 CD ⋅ PE 得到关于 a,b 的方程，解方程即可得到答案. 2
6
（1）证明： PA ⊥ 平面 PBC ； （2）求二面角 B − PC − E 的余弦值．
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛 的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学试题及答案-全国卷12020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）如果事件A B ，互斥，那么球的表⾯积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 次的概率其中R 表⽰球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，⼀、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速⾏驶、匀速⾏驶、减速⾏驶之后停车，若把这⼀过程中汽车的⾏驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满⾜2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满⾜244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．（）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ??=+的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()() 0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底⾯边长都相等，1A 在底⾯ABC 内的射影为ABC △的中⼼，则1AB 与底⾯ABC 所成⾓的正弦值等于（）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，⼀环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块⾥种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满⾜约束条件03003x y x y x ?+?-+，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最⼤值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三⾓形⾯积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离⼼率e = ．16．等边三⾓形ABC 与正⽅形ABDE 有⼀公共边AB ，⼆⾯⾓C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成⾓的余弦值等于．三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本⼩题满分10分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设ABC △的内⾓A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最⼤值． 18．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底⾯BCDE 为矩形，侧⾯ABC ⊥底⾯BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平⾯ABE 所成的⾓为45，求⼆⾯⾓C AD E --的⼤⼩．CDE AB19．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??--，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验⾎液来确定患病的动物．⾎液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下⾯是两种化验⽅法：⽅案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为⽌．⽅案⼄：先任取3只，将它们的⾎液混在⼀起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为⽌；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依⽅案甲所需化验次数不少于依⽅案⼄所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表⽰依⽅案⼄所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）双曲线的中⼼为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离⼼率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的⽅程． 22．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满⾜101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案⼀、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CB C A cos sin sin cos sin sin ?-?)c=c B A AB B A ?+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ?+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐⾓，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43，且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最⼤值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂⾜为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底⾯BCDE ，且O 为BC 中点，由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从⽽∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ，由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧⾯ABC ，⼜BE ?侧⾯ABE ，所以侧⾯ABE ⊥侧⾯ABC 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)1卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在在答题卡的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔作直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若1i z =+，则．22z z -=A ．0B ．1C 2D ．22． 设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =A ．4-B ．2-C ．2D ．4 3． 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱椎的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为A 51-B 51-C 51+D 51+4． 已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9 5． 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(),1,2,,20i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+ 6． 函数43()2f x x x =-的图像在点()()11f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7． 设函数()cos 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]-ππ,的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π 8． ()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 的展开式中33x y 的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9． 已知()0,πα∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A B ．23 C ．13 D 10．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 11．已知:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a b a b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国i卷理科数学试题及答案
2020年全国i卷理科数学试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C3. 若直线l的方程为y=2x+3，求直线l与x轴的交点坐标。
A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B4. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B5. 求函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最小值。
A. -2B. -1C. 0D. 1答案：A6. 若复数z满足|z-1|=2，求复数z的实部的取值范围。
A. [-1, 3]B. [-3, 1]C. [1, 3]D. [-3, -1]答案：A7. 已知向量a=(2,-3)，b=(1,2)，求向量a与向量b的数量积。
A. -4B. -1C. 1D. 4答案：B8. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率。
A. √2B. √3C. 2D. 3答案：B9. 求函数y=ln(x+√(x^2+1))的导数。
A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/xD. 1/√(x^2+1)答案：A10. 若椭圆E的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，且椭圆E的焦点在x轴上，求椭圆E的离心率。
A. √(1-(b/a)^2)B. √(1-(a/b)^2)C. √((a^2-b^2)/a^2)D. √((b^2-a^2)/b^2)答案：C11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=35，求a6的值。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
D. y 2x 1
【答案】B 【解析】 【分析】
求得函数 y f x 的导数 f x ，计算出 f 1 和 f 1 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】 f x x4 2x3 ， f x 4x3 6x2 ， f 1 1， f 1 2 ，
因此，所求切线的方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1.
2.设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ）
A. –4
B. –2
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a 的值.
【详解】求解二次不等式 x2 4 0 可得： A x | 2 x 2，
两圆的方程相减可得： 2x y 1 0 ，即为直线 AB 的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
12.若 2a log2 a 4b 2 log4 b ，则（ ）
A. a 2b
B. a 2b
，即12
9
p 2
，解得
p
=
6.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度
条件下进行种子发芽实验，由实验数据 (xi , yi )(i 1, 2,, 20) 得到下面的散点图：
A.
2020年全国I卷理科数学高考试题及答案(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z2−2z|=A.0B.1C.√2D.22.设集合A={x|x2−4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+b ln x6.函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1)在[−π，π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为7.设函数f(x)=cos(ωx+π6A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 8.(x +y 2x )(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为A.5B.10C.15D.209.已知α∈(0,π),且3cos 2α−8cos α=5,则sin α=A.√53B.23C.13D.√5910.已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙M:x 2+y 2−2x −2y −2=0,直线l:2x +y =0,p 为l 上的动点.过点p 作⊙M 的切线PA ,PB ,切点为A,B ,当|PM ||AB |最小时,直线AB 的方程为A.2x −y −1=0B.2x +y −1=0C.2x −y +1=0D.2x +y +1=012.若2a +log 2a =4b +2log 4b 则A. a >2bB.a <2bC. a >b 2D. a <b 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0,则z =x +7y 的最大值为 114.设a,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a −b |= √315.已知F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点,且BF垂直于x 轴,若AB 的斜率为3,则C 的离心率为____2____16.如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30∘,则cos ∠FCB =___−14___三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共60分.17.(12分)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比；(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.(1)q =−2;(2)S n =19−3n+19∙(−2)n . 18.(12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD,ΔABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =√66DO . (1)证明:P A⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.(1){PA ⊥PC(勾股定理)PA ⊥PB(勾股定理)PB ∩PC =P⇒PA ⊥平面PBC(2)2√55(建立空间直角坐标系) 19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.(1)116; (2) 34; (3) 38.20.(12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点,G 为E 上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程(2)证明:直线CD 过定点(1)x 29+y 2=1;(2)(32,0)21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2−x .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.(1)增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0);(2)[7−e 24,+∞)(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ,y =sin k t(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线？(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.(1)以原点为圆心,1为半径的圆;(2)(14,14)23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|3x +1|−2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图像；(2)求不等式f (x )>f(x +1)的解集. (1)(2){x|x <−76}。