(完整版)高考数学专题复习函数与导数(理科)练习题

高考数学专题复习 《函数与导数》 练习题

1．已知函数x

b a x f ?=)(的图像过点)4

1,4(A 和)1,5(B ．

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）记)(log 2n f a n =，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前项和，求满足0≤?n n S a

的n 值.

2．已知函数)(x f y =是定义在R 上的周期函数，5是)(x f 的一个周期，函数)(x f y = 在[]1,1-上是奇函数，又知)(x f y =在区间[]1,0上是一次函数，在区间[]4,1上是二次函数，且2=x 在时函数)(x f y =取得最小值－5 （1）证明：0)4()1(=+f f ；

（2）试求函数)(x f y =在[]4,1上的解析式； （3）试求函数)(x f y =在[]9,4上的解析式.

3．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每

张球台每小时5元，乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时），每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.

（1）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为)(x f 元)4015(≤≤x ，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为)4015)((≤≤x x g ，试求)(x f 和)(x g . （2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？

4．已知a x x x a x f ),2,2((,2

1)(3

2

-∈-

=为正常数. （1）可以证明：定理“若+

∈R b a ,，则ab b a ≥+2

（当且仅当b a =时取等号）”

推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若0)(>x f 在)2,0(上恒成立，且函数)(x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，

并由此猜测)(x f y =的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设1x x =时，)(x f 取得最大值.试构造一个定义

在},24,2|{N k k x x x D ∈-≠->=且上的函数)(x g ，使当)2,2(-∈x 时，

)()(x f x g =，当D x ∈时，)(x g 取得最大值的自变量的值构成以1x 首项的等差数

列.

5．设函数b a bx ax x f ,(1)(2

++=为实数），??

?<->=时）（当

时）

当0)(0)(()(x x f x x f x F

（1）若0)1(=-f 且对任意实数x 均有0)(≥x f 成立，求)(x F 表达式；

（2）在（1）的条件下，当][2,2-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的

取值范围；

（3）设0>m ,0,>+为偶函数，求证：0)()(>+n F m F .

6．已知定义域为[]1,0的函数同时满足以下三条：①对任意的∈x []1,0，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若,1,0,02121≤+≥≥x x x x 则有)()()(2121x f x f x x f +≥+成

立.解答下列各题： （1）求)0(f 的值；

（2）函数12)(-=x

x g 在区间[]1,0上是否同时适合①②③？并予以证明； （3）假定存在∈0x []1,0，使得∈)(0x f []1,0且()[]00x x f f =，求证00)(x x f =.

7．对于函数)(x f ，若存在,0R x ∈，使)0)(x x f =成立，则称0x 为)(0x f 的“滞点”？

已知函数2

2)(2

-=x x x f .

（1）试问)(x f 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；

（2）已知数列{}n a 的各项均为负数，且满足1)1

(4=?n

n a f S ，求数列{}n a 的通项

公式.

8．设函数d cx bx x a x f +++=

23

3

)(的图像关于原点对称，)(x f 的图像在点),1(m P 处的切线的斜率为－6，且当2=x 时)(x f 有极值. （1）求d c b a ,,,的值；

（2）若[]1,1,21-∈x x ，求证：3

44

)()(21≤-x f x f .

9．已知函数x

x x x f 1ln )(--

=.

（1）判定函数)(x f 的单调性； （2）设1>a ，证明：

a

a a 1

1ln <-.

10．设函数)(x f 定义域为R ，对于任意实数,,y x 总有)()()(y f x f y x f ?=+，且当

0>x 时，1)(0<

（2）证明：当0x f ；

（3）证明：)(x f 在R 上单调递减，并举两个满足上述条件的函数)(x f ；

（4）若{}{}

,,1)1(|,)1()1()(|2

R x y x ax f y N f a f y f y M ∈=-++=≥-=且φ=N M I 试求a 的取值范围.

参考答案

1．解：（1）由题意得：45

141

a b a b ???=???=? 解得：5

4a -=，4b =； （2）5

()4n f n -=，2log ()210n a f n n ==-

∵{}n a 为等差数列

∴1()(9)2

n n n

S a a n n =

+=- 由0≤?n n S a 得 0)9)(5(≤--n n n ∴95≤≤n ∵+

∈Z n ∴9,8,7,6,5=n ．

2．解：（1）依题意有：?

??+-=---=)51()1()

1()1(f f f f

∴0)1()1()2()1(=-+--=+f f f f ．

（2）设kx x f =)( )11(≤≤-x 和5)2()(2

--=x a x f )41(≤≤x 由（1）知：054=-+a k ①

又5)1(-==a k f ②

由 ①②解得：2=a ，3-=k ．

（3） 5)2(2)(2

--=x x f )41(≤≤x

x x f 3)(-= )11(≤≤-x ∵)5()(-=x f x f

∴当94≤≤x 时，451≤-≤-x ，

得： ???≤<--≤≤+-=)

96(5

)7(2)64(15

3)(2

x x x x x f

3．解：（1）x x f 5)(= )4015(≤≤x

??

?≤<-+≤≤=)

4030()

30(290)3015(90

)(x x x x g

（2）当3015≤≤x 时，由)()(x g x f ≤，得905≤x ，∴1815≤≤x ， 当4030≤-=-303)()(恒成立， ∴当1815≤≤x 时，)()(x g x f ≤，

当4018≤，

故当小张活动时间]18,15[∈x 时选择甲家俱乐部合算；当]40,18(∈x 时，选择乙家俱乐部合算．

4．解：（1）若+

∈R c b a ,,，则3

3

abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）

（2）0)2

1(21)(22

32>-=-=x a x x ax x f 在（0，2）上恒成立，即

)2,0(,2

1

22∈≥x x a ，∴22≥a 即2≥a

又∵

32322

2222222

2

2

)3

2()]}21()21([31{)21)(21()(a x a x a x x a x a x x f =-+-+≤--=

∴2

2

23

1x a x -

= 即a x 36=时，261962))((3max >?>=a a x f

∵a x 3

6

=

)2,0(∈，∴)6,0(∈a ，

综上可知：)6,2(∈a ，

∵)(x f 为奇函数，∴a x 3

6

=

时，)(x f 有最小值． 故猜测]36,2(a x --∈和)2,36[a 时，)(x f 递减；)3

6,36(a a x -∈时，)(x f 递增． （3）依题意，)(x g 只须以4为周期即可，设)(),24,24(N k k k x ∈+-∈，

)2,2(24-∈-k ，此时)4()4()(k x f k x g x g -=-=

即22

)4(2

1

)4()(k x k x a x g ---=，)24,24(+-∈k k x N k ∈

5．解：（1）∵0)1(=-f ，∴1+=a b ，由0)(≥x f 恒成立，知0)1(2

≤-=?a ，

∴1=a ，从而12)(2

++=x x x f ，

∴?????<+->+=)

0()

1()0()

1()(2

2

x x x x x F

（2）1)2()(2

+-+=x k x x g ，∴222-≤--k 或22

2≥--k

∴2-≤k 或6≥k

（3）∵)(x f 为偶函数，∴1)(2

+=ax x f ，故必有：)(x f 在),0(+∞上递

增．)0(>a

∵0>->n m ∴)()(n f m f ->，即)()(n F m F ->，∴

0)()(>+n F m F

6．解：（1）令021==x x ，由①得0)0(≥f ，由③得)0()0()0(f f f +≥，∴0)0(≤f

∴0)0(=f ．

（2）①②易证，若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，

0)12)(12()()()(122121≥--==--+x x x g x g x x g Λ，故)(x g 适合①②③．

（3）由③知：任给]1,0[,∈n m ，n m <时，]1,0[∈-m n ， )()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=，

若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥矛盾；

故)(00x f x =．

7．解：（1）由x x f =)( 得2,0==x x ，∴有两个滞点0和2．

（2）0)11(21)1(

42

=-??n

n

n a a S ，∴2

2n n n a a S -= ①

2

1112+++-=n n n a a S ②

②-①有：2

21112n n n n n a a a a a +--=+++，

∴0)1)((11=+-+++n n n n a a a a ，

∵0≤n a ，∴11-=-+n n a a ，即}{n a 是等差数列，且1-=d ，

当1=n 时，有2

1112a a S -=，∴11-=a ，∴n a n -=．

8．解：（1）依题意)(x f 为奇函数，∴0,0==d b ，∴c ax x f +=2

)('

∵6)1('-=f ，0)2('=f ，

∴?

??=+-=+046

c a c a ， ∴0,8,2==-==

d b c a ．

（2）x x x f 83

2)(3

-=

，由082)('2<-=x x f ，)11(≤≤-x ，

即)(x f 递减，]1,1[-∈x

∴当]1,1[-∈x 时，)1())((max -=f x f ，)1())((min f x f =，

∴3

44

)1()1(|)()(|21=

--≤-f f x f x f ，)1,1(21≤≤-x x ． 9

．

解

：

（

1

）

>x ，

0)1(2121211)'1()'(1)('2≤--=--=+-=

x x

x x x x x x x x x f

∴)(x f 在0>x 时单调递减．

（2）由（1）知：)1()(f a f >，即：1

111ln 1ln --

>--

a

a a ，

即：01ln >--

a

a a ，∴a

a a 1ln ->

，

而1>a ，∴

a

a a 1

1ln >-．

10．解：（1）令1=x ， 0=y ，有1)0(=f ．

（2）令0>-=x y ，则)()()(1x f x f x x f ?=-=，∴)

(1

)(x f x f -=

，

∵1)(0<-x f ．

（3）设21x x <，则012>-x x ，于是1)(012<-

0]1)()[(121<--=x x f x f

∴)()(12x f x f <，即)(x f 单调递减，

例：x

x f )2

1()(=，x

x f )3

2()(=等．

（4）∵}|{a y y M ≤=，},1|{2

R x x ax y y N ∈++== 显然当0≤a 时，φ≠N M I ，

当0>a 时，}411)21(|{2a

a x a y y N -++

==， 要使φ≠N M I ，必须a a

≤-411 即01442≥+-a a ，

∴0)12(2

≥-a ， ∴0>a 即可．