近世代数学习系列二 群(续)
近世代数第二章 群
:明证,元逆可是都 S � na , � , 2a , 1a ,群半的元位单有个一是 S 设.4
1�
ba � i) a b( �
1�
a � ai � a ) b b( � b) a b( � ab b � ) ba ( b � ab � ba
1� 1� 1� 1�
1�
ba � ) bb () a b( �
.a � b � 2 � a � b � 2 � b � a � b � a
, 2 � 2 � ) a � 4( � a � b � a ,a�2�2�a�2�a
2 � ) 2 � c � b( � a � 2 � c � ) 2 � b � a ( � c � )2 � b � a ( � c � ) b � a (
.群加个一成作法加的数于关 G ,说们我此因,记标
,律换交和律合结合适法加的数于由.闭封法加的数于关 G 且并, � � G 然显 明证 , } Z � k | km{ � G
于由.群半换交个一成作法加的数于关 G 此因 .群加个一成作法加的数于关 G :明证 令, N � m 设.1
义定的群 2.2§
1�
. 1� b1� acb1� a � x 是就解个这,解个一有仅且有中 G 在 程方以所. 1� b1� acb1� a � ' x 得, 1� b1� a 乘右, 1� a 乘左边两式上将 得可,律去消用利,此由. cb ' x � ab ' xa ' x 则,解的中 G 在
cbx � abxax cbx � abxax cbx � abxax
� .� � 1 0 � �1 � �, � � � �0 1� � � 0 � �1 � 0� � �, � 1� � 0 � �1 0 � � �, � 1� � �0 � 0� � 1�
近世代数课件群的概念
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数(2)-2
子群(续 子群 续) 生成元集
•
•
是一个群,S⊆ 记 的全体包含 的全体包含S的 定义 设G是一个群 ⊆G.记G的全体包含 的 是一个群 子群的交为(S),称为 生成的子群.特别地 称为S生成的子群 特别地,若 子群的交为 称为 生成的子群 特别地 若 (S)=G,则称 是G的生成元集 循环群是由一个 则称S是 的生成元集 的生成元集.循环群是由一个 则称 元素生成的群. 元素生成的群 例 S4=((123),(1234)) 证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14), (1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324), (1324)-1(14)(1324)=(13), 故((123),(1234))=((12),(13),(14))= S4.
•
循环群 循环群是由一个元素生成的最简单的群. 要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群 • 定义 群G如果仅含某一个元 的方幂 则G称为 如果仅含某一个元a的方幂 如果仅含某一个元 的方幂,则 称为 生成的循环群,记为 的阶也称为a的 由a生成的循环群 记为 生成的循环群 记为G=(a),G的阶也称为 的 的阶也称为 阶. • 例1. 整数加群 是一个无限循环群 生成元为 整数加群Z是一个无限循环群 生成元为1. 是一个无限循环群,生成元为 • 2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元 .整数模 剩余类加群Z 也是循环群,生成元 整数模n剩余类加群 阶为n. 是[1],阶为 阶为 • 定理 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于 整数模n剩余类加群 剩余类加群. 整数模 剩余类加群 • 证 设G=(a).作影射ϕ:Z→G使i → ai .若 |a|无限 作影射ϕ → 使 若 无限, 作影射 无限 是群同构Z≅ 若 则ϕ是群同构 ≅G.若|a|=n,则ϕ(kn)=1, ϕ是群同 则 构Zn ≅G.
近世代数课件(全)--2-11 图形的对称变换群、群的应用
nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
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定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
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容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
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二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
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B
A
7：
C D
D
A
C
B
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B
A
8：
C D
B
C
A
D
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近世代数--群的概念
所以+与
都是Z
上旳代数运算.
m
定义1.2.2 设G是一种非空集合，“ ”G是 上旳 一种代数运算，即对全部旳a,b G,有 a b G. 如 果G旳运算还满足
(G1) 结合律，即对全部旳a,b,c G, 有； (a b) c a (b c);
(G2) G中有元素e，使对每个a G ，有 e a a e a;
(5) 在群中消去律成立，即设 a,b, c G ，
假如 ab ac ，或 ba ca ，则 b c ．
证 (1) 假如 e1,e2都是 G旳单位元，则 e1 e2 e2（因为e1是G旳单位元）， e1 e2 e（1 因为e2是G旳单位元），
所以
e2 e1 e2 e1,
所以单位元是惟一旳．
对任意旳正整数 n ，定义 an a a a
n个a
再约定
a0 e， an (a1)n，（n为正整数） 则 a n对任意整数都有意义，而且不难证明：
对任意旳 a G，m,n Z， 有下列旳指数法则 (1) an am anm ； (2) (an )m anm； (3) 假如 G是互换群，则 (ab)n anbn
所以结合律成立.
(3) 因为(1, m) 1，从而 1 Zm ，且对任意旳 a U (m),
a 1 a1 a,
且
1a 1a a, 所以1是U (m)旳单位元．
(4) 对任意旳 a U (m),，有(a, m) 1 ， 由整数旳性质可知，存在 u,v Z ，使au mv 1, 显然(u, m) 1, 所以 u U (m) ，且
易知， Z*p 1, 2, , p 1
(2) 由初等数论可知（参见[1]），U (m)旳阶等于
(m) 这里 (m) 是欧拉函数．假如
近世代数学习系列-b3-2 群笔记
近世代数群（续一）作用设有集合G作用于集合A上。
如果G是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群G作用于A上。
如果G是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。
对于G的两个元σ、τ，先把σ作用于A再把τ作用于A，这个合成是由στ来对应还是由τσ来对应呢？我们把前者称为G从右边作用于A，后者则称为G 从左边作用于A。
左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于A的元a，把先作用σ再作用τ写成τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是στ了。
如果把群G本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群G在集合G 上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘” σ。
即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。
这显然是从左边的作用。
这作用有时被称为“左移动”。
同样的我们也可以定义“右移动”。
一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。
于是群G就可以看成是集合G上的置换群的一个子群。
于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。
G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ-1。
这作用的特点是它保持G的群结构不变。
也就是说，把G的任意元g映到σgσ-1是G的一个自同构。
这是因为对于G 的任意两元f、g，我们显然有 ( σfσ-1 )( σgσ-1 ) = σ ( fg ) σ-1。
这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ-1gσ。
对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ-1的元和形如σUσ-1的子群分别称为g和U的共轭。
于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。
一般的如果X是具有某种结构的集合，则X的所有自同构关于映射的合成做成一个群。
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
近世代数第二章
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
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近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
有一种结构就有保持这种结构的映射。
从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。
这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。
容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。
如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。
映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。
这样的群称为置换群。
一般来说，一个“对称”就对应了一个群。
所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。
这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。
可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。
群也出现在各种基本的代数对象中。
所有整数关于加法做成可换群。
所有非 0 有理数关于通常的乘法做成可换群。
所有n阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当n≥ 2 时这群是不可交换的。
置换群的元如前所述是映集合A到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合A上的一个置换。
一般来说，如果一个集合Γ的每个元都对应了映集合A到其自身的一个映射，我们就说Γ作用在A上。
而Γ的某个元γ所对应的这个映射，就被称为γ在A上的作用。
在很多时候，Γ是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时A具有某种结构，Γ的每个元在A上的作用都保持这结构不变。
由于群的每个元都有逆元，这时Γ的每个元都是同构。
这样的Γ有时被称为A的自同构群。
同样对于某个群G来说，如果有一个集合Γ的每个元都对应了映G到其自身的一个同态映射，我们就说Γ作用于G上，或说G是“Γ上的群”，简称为“Γ-群”。
这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。
如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。
显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。
Γ-群G到Γ-群H的Γ-同态映射定义为与Γ的作用可换的同态映射f，即f是从G到H的同态映射，并且满足：对于Γ中任意一元γ和G中任意一元σ，总有f ( γσ ) = γf ( σ )。
一个群是可换的还是非可换的，这中间是有巨大差别的。
非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。
但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。
这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。
这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。
子群，正规子群，商群定义。
对于一个Γ-群G，其子群定义为满足下列条件的G的子集H：1.H中任意两元的积仍然属于H2.H中的元的逆元属于H3.对于Γ中任意一元γ和H中任意一元h，γh属于H注意由条件 1、 2 立即得到单位元属于H。
设一个Γ-群G有子群H，则对于G的任意两元σ、τ，G的子集σH和τH（σH定义为形如σh ( h∈H ) 的元所组成的集。
τH也是一样）要么不交，要么相等。
这是因为如果σH和τH相交，即存在h1、h2∈H满足σh1 = τh2，则对于H中任意一元h，都有σh = τh2h1-1h，而根据子群的定义h2h1-1h是H的元。
这说明σH⊆τH，而显然根据对称性反方向σH⊇τH也是成立的，于是σH = τH。
形如σH的G的子集称为H的（左）旁系。
由上可知左旁系将G分成几个互不相交的部分。
对于右旁系也是一样。
左旁系和右旁系一般说来是不同的，当它们相同的时候子群H称为G的正规子群。
更具体的说，正规子群是指G中满足这样条件的子群H：对于G中任意一元σ都有σH = Hσ。
如果G是可换的，当然G的任意子群都是正规的。
设一个Γ-群G有正规子群H，则H的所有旁系做成的集合自然地具有Γ-群的结构。
换句话说，在G上规定这样一个等价关系 ~：σ ~ τ当且仅当σH = τH。
关于这个等价关系的等价类（即旁系）所做成的集合（即商集合）自然地具有Γ-群的结构。
如我在前文《关系》中所说的，一个集合的商集合可以理解为“还是那个集合，只不过把其中的一些元看成是一样的”，或者说同样的元有不同的表示。
现在在G中已经定义了乘法和Γ的作用，我们所要确认的只是这定义在商集合中仍然是well-defined的——即不管我们采用什么样的表示，结果都是一样的。
为了看出这一点，把形如ab ( a∈σH, b∈τH ) 的所有元组成的集合记为 ( σH )( τH )，则 ( σH )( τH ) = ( σH )( Hτ ) = σ ( HH ) τ⊆σHτ = στH，即不管我们从σ和τ的等价类中选择了哪两个元，它们的积最后都是属于στ的等价类的，于是我们看到积是well-defined的。
同样，对于Γ中任意一元γ，因为γ是群的同态映射，所以γ ( σH ) = ( γσ )( γH )，而由子群的条件 3 我们有γH⊆H，所以γ ( σH ) ⊆ ( γσ ) H，于是γ的作用也是well-defined的。
这样在G的商集合上乘法和Γ的作用都定义好了，由于这是由原来的群G上的乘法和作用诱导出来的，显然它们确实满足乘法和作用所应该满足的条件（结合律什么的），因此这确实做成了一个Γ-群。
这群称为G的商群，记为G / H。
同构定理定义。
设有Γ-群G、H以及Γ-同态映射f: G→ H，我们把f ( G ) 称为f的像，记为 Im f。
把f-1 ( e )（e是H的单位元）称为f的核，记为 Ker f。
定理。
Im f是H的子群， Ker f是G的正规子群。
证明。
由Γ-同态映射的定义，这基本上是显然的。
Ker f是正规的，因为对于G的任意一元σ，有σ ( Ker f ) = f-1 ( f ( σ ) ) = ( Ker f ) σ。
（证毕）设一个Γ-群G有正规子群H，则从G到G / H的标准映射（把G的元σ映到σ的旁系）显然是一个全射并且是Γ-同态，而它的核显然是H。
这件事的反之也是成立的，这就是第一同构定理。
（总共有三个同构定理，它们是如此的显然以至于我几乎都不知道该如何写证明。
请你也把它们如同常识一样融入自己的血液里）定理。
（第一同构定理）设有Γ-群G、H以及全射Γ-同态映射f: G → H。
把 Ker f记为U，则f自然诱导出从G / U到H的同构。
更一般的，“G中包含U的子群” M与“H的子群” N之间存在一一对应，这对应由M|→ f ( M ) 和N|→ f-1 ( N ) 给出。
如果G中某个包含U的子群P 像这样对应于H的一个子群Q，则f自然诱导出从P / U到Q的同构。
证明。
对于G的任意一元σ，其关于U的旁系正是G中其像与σ相同的所有那些元的的集合。
因此f自然诱导出从G / U到H的全单射。
接下来只要确认在G / U中定义的乘法和Γ的作用是与H中的一致的，这由f 是Γ-同态立得。
后半部分子群的一一对应，只要注意对于G中任意一个包含U的子群M，如果x∈M，就一定有xU⊆M。
因此M一定是由若干个U的旁系拼成的。
（证毕）定理。
（第二同构定理）设有Γ-群G和G的正规子群U。
则对于G的任意子群M，MU = UM（MU定义为形如ab ( a∈M, b∈U ) 的所有元组成的集合，UM也是一样）是G的子群，M∩ U是M的正规子群，并且MU / U 与M / ( M∩ U ) 同构。
进一步，如果M也是正规的，则MU和M∩ U都是G的正规子群。
证明。
因为U是正规的，MU = UM是显然的。
不难确认MU关于乘法、取逆元、Γ的作用都是封闭的，于是MU是子群。
对于M的元m，显然m ( M ∩ U ) = ( mM) ∩ ( mU ) = M∩ ( Um ) = ( M∩ U ) m，所以M∩ U 是M的正规子群。
如果M是正规的，则对于G的任意元σ都有σ ( MU ) = ( σM ) U = MσU = ( MU ) σ和σ ( M∩ U ) = ( σM) ∩ ( σU ) = ( Mσ) ∩ ( Uσ ) = ( M∩ U ) σ，于是MU和M∩ U都是G的正规子群。
剩下我们要证明MU / U与M / ( M∩ U ) 同构，为了看到这一点我们考虑标准映射f: G→ G / U，容易知道f-1 ( f ( M ) ) = MU，于是由第一同构定理我们知道MU / U与f ( M ) 同构。
另一方面如果把f限制在M 上，考虑全射f |M: M→ f ( M )，显然f |M的核是M∩ U，于是再次根据第一同构定理，我们有M / ( M∩ U ) 与f ( M ) 同构。
（证毕）定理。
（第三同构定理）设有Γ-群G和G的正规子群U，并设M是G 的包含U的子群。
则M / U是G / U的正规子群当且仅当M是G的正规子群，进一步当这条件成立时我们有G / M与 ( G / U ) / ( M / U ) 同构。
证明。
考虑商群的定义，这基本上是显然的。
（证毕）Jordan-Hölder定理和极大极小条件同构定理的一个几乎是立即的应用体现在Jordan-Hölder定理中。