图论着色的计数与色多项式
正六面体的着色问题
ｇ／ 的色多项式． 引理 １ ． ２ 【 ３ 【 广义 的 Ｐ ６ ｌ ｙ ａ 定理】 设 Ｐ是 的一个子群 ，Ｇ是 ｇ的 Ｐ～图 ，则
收稿 日期：２ ０ １ ４ — ０ ６ — ２ ６
作者简介：安永红 （ １ ９ ７ ９ 一 ） ，男，蒙古族，呼伦贝尔学院数学科学学院讲师．研究方向：应用数学研究。
第２ ２ 卷第４ 期
２ ０ １ ４年 ８月
呼伦贝尔学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｌ ｕ ｎ ｂ ｅ ｉ ｅ ｒ Ｃｏ ｌ ｌ
Ｎｏ ． ４
、 ， ０ １ ． ２ ２
Ｐ ｕ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｉ ｒ ｌ Ａｕ ｍ ａ ｓ ｔ ． ２ ０ １ ４
（ ２ ） 一个 Ｌ 图被简单地看作是一个标号 图；
（ ３ ）当 尸＝Ａ （ ｈ ） ，ｇ∈Ｇ时 ， 其中ｈ∈ ， 称标号图 ｈ和 ｇ分别是 Ｐ一图 Ｇ 的结构 图和约束图 ，由
标号图 ｈ和 ｇ所确定的 Ｐ一图 Ｇ称为是 Ｃ一图 ；
（ ４ ）当Ｐ Ａ （ ｇ ） 时 ，Ｊ Ｆ ＇ 一图就被称为图 ｇ的一个 自同构 Ｐ一图，或简称为 一图． 定义 １ ． ２ 【 ２ 设ｇ∈ ， 称映射（ ） ． ： Ｖ （ ｇ ） （ １ ， ２ ． ． ． ． ， ） 为图ｇ的一个正常ｋ 着色是指对任意相邻点 Ｖ ｉ 和ｙ ， 均满足 ， （ ） ≠ａ（ ｖ ｊ ） ． 图ｇ的一个正常ｋ着色的最小 ｋ值称为ｇ的色数 ，记为 ｚ （ ｇ ） ． 对于任 意 的正整数 ｋ，令 ｚ （ ｇ ， ） 表示图 ｇ的正常 ｋ 着色数． 已知 ｚ （ ｇ ， 是一个整系数 ， ｚ 次多项式．
chap12 图的着色
若没有优于的k边着色，则称是最优k边着色。 注意这里没有要求是图G的正常k边着色 显然C(v) ≤ dG(v)。对任意v∈V(G)，都有C(v) = dG(v)成立，当且仅当是正常k边着色。
2016/12/5 离散数学 21
定义12.2.3的例：
如下图G的两个2边着色：
2016/12/5 离散数学Fra bibliotek4独立集都是同色顶点
定理12.1.1 对任何p阶图G , 有 p /(G) (G) p – (G)+1， 其中，(G)是G的最大独立集元素个数。 证明：设S是G的一个最大独立集，|S|=(G)=， V(G)–S={v1,v2,…,vp-}。定义点着色为：u∈S， (u)=1；vi∈V(G)–S， (vi)=i+1。则是G的一个 正常(p–+1)着色，于是，(G) p–(G)+1。 设(G) =k，则存在划分V(G)=V1∪∪ Vk使 得Vi中的点均着第 i 种色，于是Vi是G的独立集， 从而|Vi| (G), i=1, , k。故p=| V1 |+ +| Vk | k (G) = (G) (G)，即 p /(G) (G)。
2016/12/5 离散数学 8
临界点的度不小于色数减一
性质2：若顶点v是图G的临界点，则有 d(v)＜(G)–1 d(v)≥(G)–1。 v 证明；由性质1，G–v有正常((G)–1)着 色。 … 若d(v)＜(G)–1，则在的(G)–1种 颜色中至少有一种颜色i，使得任何与v … 邻接的顶点u，(u) ≠i 。于是，可以在G 中将v着颜色i，其余顶点的着色与相同， (G)–1 这样就得到了G的一个正常((G)–1)着色， 此与 (G)的定义相矛盾。故d(v)≥(G)–1。 性质2之逆不真。
色本原多项式的应用
１ ｓ是 集合 Ｎ 上的对称置换群 ， Ｓ是 Ｎ 上 的所有 置换 的集 ） 令 即 合 ， ｓ 的单位元 ， Ｉ ｅ是 ｓ 的单位子群 ； ｅ是 且 （｝ ２若 Ｐ是 ｓ 的一个子群 ， Ｐ以一种 自然的形式作用在 Ｇ 上 ： ） 则 对任 意的 订∈Ｐ和 ｇ ．１ ∈Ｇ 且其边集是 （）｛ ） ０ ） （｝ ＥＧ ， Ｔ 曲＝ ０， ∈Ｅ曲 ； ３当 叮 ｇ ｇ 一 （（）Ｅ ， ） ｒ ） ０ Ｅｇ ＝ ＠）称 是 ｇ 自同构群 ， 的所有的 自同 （＝ ） 的 ｇ 构构成的集合记 为 Ａ（ 曲。若 Ｋ Ｎ ， ｓ Ｋ ｆ 令 Ｔ ＝ ∈ｓｌ ｕ＝ ， 于任意 的 ／ ）ｕ对 （ Ｕ ∈Ｋ｝称 Ｓ Ｋ是 Ｓ 的 Ｋ稳定子群 ； ， Ｊ ４ 于任一置换 叮∈ ｃ 表示 置换 订循环分解的圈数。一个 ） 对 ｒ Ｓ用 ㈤ 置换被称为是正则的 ， 若它 的每个圈的长度相等 。 定义 ２２ Ｄ令 Ｐ是 Ｓ 的一个子群 ， ． Ｉ ｎ阶 Ｐ置换 一图 Ｇ或 简单 地说 Ｐ 一图 Ｇ是指 Ｐ作 用在 Ｇ 上产 生的一个轨道 ， ｇ ｏ Ｇ是 ｇ的一 当 ∈Ｇ ， 称 个Ｐ 一图且 ｇ Ｇ的一个标 号图。特别地 ， Ｐ Ａ㈤，∈Ｇ时 ， 中 ｈ 是 当 ＝ ｇ 其 ∈ Ｇ， 称标号图 ｈ和 ｇ 分别是 Ｐ 一图 Ｇ的结构图和约束 图。 由标号 图 ｈ和 ｇ 所确定 的 Ｐ 一图 Ｇ称为是 Ｓ 一图。 Ｃ
科技信息
高校 理 科研 究
色 本原 多 Ｉ 式 响 应用 页
呼 和浩特职 业 学院 梁俊 兰
［ 要 ］ 计数和 图的着 色是组合数 学与 图论的重要 内容， Ｐ １ 计数定理和计算 图色数的 色多项式是研究它们的主要 工具， 摘 组合 而 ６ａ ｙ 在文献［ ］ 杜清晏教授将两者结合 ， ３ 中， 定义了色轨道 多项式和 色本原多项式 ， 并提 出了ｐ 一图和 ｓ 一图的概念。本文讨－ ７具体图 ｃ ？ ｅ Ｃ 以及由图 Ｃ 组合的图的色轨道 多项式和色本原 多项式， 还给出色轨道 多项式和 色本原 多项式在化学上的应 用。 ［ 关键词 ］ 色轨道 多项式 色本原多项式 ｃ
图论讲义第6章-染色应用
§6.5 染色应用举例—求图的边色数及色数的算法一、排课表问题—求二部图的正常)(G χ′边染色1. 问题： 有m 位教师m x x x ,,,21 ，n 个班级n y y y ,,,21 。
教师x i 每周需要给班级y j 上p ij 次（节）课。
要求制订一张周课时尽可能少的课程表。
2. 图论模型：构造二部图),(Y X G =，其中X ＝{m x x x ,,,21 }，Y ＝{n y y y ,,,21 }，顶点i x 与j y 之间连ij p 条边。
一个课时的安排方案对应于二部图G 的一个匹配。
排课表问题等价于：将E (G )划分成一些匹配，使得匹配的数目尽可能地少。
按)(G χ′的定义，这个最小的数目便是)(G χ′。
由定理6.2.1，()()G G χ′=Δ。
因此，排课表问题等价于：求二部图G 的边正常)(G Δ染色。
如§6.1中所述，虽然求简单图的正常（1+Δ）边染色存在多项式时间算法，但求简单图G 的边色数)(G χ′及其相应的正常边染色是一个NPC 问题[28]。
尽管如此，求二部图的边正常Δ染色却有多项式时间算法。
求图的边色数的近似算法可参考文献[29]~[51]。
[28] I. Holyer, The NP-completeness of edge-coloring, SIAM J. Computing , 10: 4(1981), 718-720.[29] E. Petrank, The hardness of approximation: gap location, Computational Complexity , 4 (1994), 133-157.[30] D. Leven and Z. Galil, NP completeness of finding the chromatic index of regular graphs, J. Algorithms , 4(1983) 35-44.[31] P. Crescenzi, V . Kann, R. Silvestri, and L. Trevisan, Structure in approximation classes, SIAM J. Comp., 28 (1999), 1759-1782.[32] J. Misra and D. Gries, A constructive proof of Vizing's theorem. Inform. Process. Lett. 41 (1992), 131-133.[33] O. Terada, and T. Nishizeki, Approximate algorithms for the edge-coloring of graphs, Trans. Inst. Eletron. Commun. Engr. Japan J65-D , 11(1982), 1382-1389.[34] M. Chrobak, and T. Nishizeki, Improved edge-coloring algorithms for planar graphs, J. Algorithms , 11(1990), 102-116.[35] I. Caragiannis, A. Ferreira, C. Kaklamanis, S. Perennes, P. Persiano and H. Rivano, Approximate constrained bipartite edge coloring, Discrete Applied Mathematics , 143(2004), 54-61[36] M. R. Salavatipour, A polynomial time algorithm for strong edge coloring of partial k -trees, Discrete Applied Mathematics , 143(2004), 285-291.[37] D.A. Grable, A. Panconesi, Nearly optimal distributed edge coloring in O (log log n ) rounds, Proceedings of the Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, January, (1997), 278–285.[38] Yijie Han, Weifa Liang and Xiaojun Shen, Very fast parallel algorithms for approximate edge coloring, Discrete Applied Mathematics, 108(2001), 227-238.[39] M. Fürer and B. Raghavachari, Parallel edge coloring approximation, Parallel Process. Lett. , 6 (1996), 321–329.[40] H.J. Karloff and D.B. Shmoys, Efficient parallel algorithms for edge coloring problems. J. Algorithms 8 (1987), 39–52.[41] W. Liang, Fast parallel algorithms for the approximate edge-coloring problem. Inform. Process. Lett. 56 (1995), 333–338.[42] W. Liang, X. Shen and Q. Hu, Parallel algorithms for the edge-coloring and edge-coloring update problems. J. Parallel Distrib. Comput. 32 (1996), 66-73.[43] R. Motwani, J. Naor and M. Naor, The probabilistic method yields deterministic parallel algorithms. J. Comput. System Sci. 49 (1994), 478-516.[44] D. Bertsimas, C-P. Teo, and R. V ohra, On dependent randomized rounding algorithms, Proc. 5th Int. Conf. on Integer Prog. and Combinatorial Optimization , Lecture Notes in Comput. Sci. 1084, Springer-Verlag, (1996), 330-344.[45] M.K. Goldberg, Edge-colorings of multigraphs: recoloring technique, J. Graph Theory , 8(1984), 123-127.[46] D.S. Hochbaum, T. Nishizeki and D.B. Shmoys, Better than “Best Possible” algorithm to edge color multi graphs, Journal of Algorithms , 7(1986), 79-104[47] T. Nishizeki and K. Kashiwagi, On the 1.1 edge-coloring of multigraphs, SIAM J. Disc. Math. , 3(1990), 391-410.[48] J. Kahn, Asymptotics of the chromatic index for multigraphs, Journal of Combinatorial Theory (Ser. B ), 68(1996), 233-254.[49] X. Zhou H. Susuki, and T. Nishizeki, A linear algorithm for edge-coloring series-parallel multigraphs, J. Algorithms , 20(1996), 174-201.[50] X. Zhou H. Susuki, and T. Nishizeki, An NC parallel algorithm for edge-coloring series-parallel multigraphs, J. Algorithms , 23(1997), 359-374.[51] B. Berger and J. Rompel, Simulating (log c n )-wise independence in NC. J. ACM 38 (1991), 1026–1046.3. 求二部图),(Y X G =的边正常)(G Δ染色的算法z 算法思想：给G 添加必要的顶点使得||||Y X =，再添加必要的边使得G 成为)(G Δ正则二部图，所得图记为*G ，然后反复运用匈牙利算法求*G 的完美匹配。
离散数学(72).
《集合论与图论》第25讲
14
边着色
边色数: χ’(G) 定理12.17(Vizing): G是简单图,则
Δ(G) ≤ χ’(G) ≤ Δ(G)+1. # G=<V1,V2,E>是二部图, 则χ’(G)=Δ(G) n>1时, χ’(Kn)= n, n为奇数
n-1, n为偶数
《集合论与图论》第25讲
定理12.14: 连通无环平面图G可k-面着色 ⇔ 对偶图G*可k-着色. #
研究平面图面着色⇔研究平面图点着色
《集合论与图论》第25讲
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平面图着色
定理12.15: 任何平面图都可6-着色 证明: (归纳法) (1) n≤7: 结论为真.
(2) 设n=k(≥7)时结论为真. n=k+1时, ∃v∈V(G), d(v)≤5. 令G1=G-v, 对G1用归 纳假设, G1可6-着色. 模仿G1对G着色, 与 v相邻的点不超过5个, 至少剩1种颜色给v 着色,所以G可6-着色. #
(着色导出的划分是同构的)
《集合论与图论》第25讲
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地图
地图: 连通无桥平面图的平面嵌入及其所 有的面称为(平面)地图
国家: 平面地图的面 相邻: 两个国家的公共边界至少有一条公
共边 k-面着色, k-色地图, 面色数χ*(G)
《集合论与图论》第25讲
9
面着色与对偶图点着色
定理12.13: 地图G可k-面着色 ⇔ 对偶图 G*可k-着色. #
《集合论与图论》第25讲
4
点色数性质
χ(G)=1 ⇔ G是零图
χ(Kn)=n χ(G)=2 ⇔ G是非零图二部图
G可2-着色 ⇔ G是二部图 ⇔ G无奇圈
图论 图的着色
X(G(V1,V2))=
X(G)=2 G为二部图
Th5.1：如果图G的顶点次数≤ρ，则G是ρ+1可着色的。
Th5.2：如果G是一个简单连通的非完全图，如果它的最大顶点次 数为ρ(ρ≥3)，则称G为ρ可着色的。
下面的讨论的图为平面图：
Th5.3：每个平面图都是6可着色的。 Th5.4：每个平面图都是5可着色的。 Th5.5：每个平面图都是4可着色的。
ρ ≤ X’(G)≤ ρ+1
对任意图判断X’(G)= ρ 或X’(G)= ρ+1没有解决，但对于一些特殊图， 答案是清楚的。
对于n个点圈图： 2 or 3
.13：对于n(n>1)的完全图，
X’(kn)=n (n为奇数）X’(kn)=n-1(n为偶数) Th5.15：如G为具有最大顶点次数ρ的二部图，则X’(G)= ρ。
Corollary 5.9：地图4色定理 平面图的4色定理。 Th5.10：设G为一张每个顶点都是3次的地图，则 G为3可面着色G的每个面皆被偶数条边所围 Th5.11：如果每个3正规的地图是4可面着色的，则4色定理成立。
5.3 边的着色
G是k可边着色的：如果图G的所有的边皆可用k种颜色着色，使得 任何两条相邻的边均具有不同的颜色，则称G是k边着色的。 k为G的边色数：如果G为k可边着色的，但不是k-1可边着色的，则 称k为G的边色数，记为：X’(G)。 Th5.12：如果G为简单图且它的最大顶点次数为ρ
第五章 图的着色
5.1 色数 5.2 地图的着色 5.3 边的着色
5.1 色数
G为k可着色的：设G是一个无自环图，如果对它的每个顶点可以用 k种颜色之一着色，使得没有两个相邻的顶点有相同的颜色，则称G 是k可着色的。
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
离散数学中的图着色与图分割
离散数学中的图着色与图分割离散数学是数学的一个分支，它研究的是离散的结构和对象。
在离散数学中，图论是一个非常重要的领域。
而图着色与图分割是图论中的两个基本概念。
一、图着色图着色是指给定一个图的每个顶点分配一种颜色，并且要求相邻的顶点不能有相同的颜色。
这个问题可以看作是一种涂色问题，我们希望用最少的颜色来对图的顶点进行着色。
1.1 色数与染色多项式图的色数是指给定一个图所需的最少颜色数。
一个图的色数通常用符号χ(G)表示。
图的染色多项式是对于给定的图G，它与对应的染色问题有关。
1.2 四色问题四色问题是图论中一个经典的问题，它说的是任何平面地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的地图区域颜色互不相同。
这个问题虽然在1976年得到了解决，但它的证明过程非常复杂，需要运用大量的数学定理和方法。
二、图分割图分割是指将一个图分割成多个不相交的子图。
图分割在图论和组合优化中具有广泛的应用。
2.1 最小割最小割是指可以将图分割成两个不相交的子图，并且两个子图之间的边的权重之和最小。
最小割问题可以通过最大流最小割定理来解决。
2.2 图分割算法图分割算法是指用于将图分割成多个子图的算法。
常用的图分割算法包括谱图分割算法、k-means算法等。
这些算法可以根据图的特点和需求来选择合适的方法。
三、图着色与图分割的应用3.1 地图着色图着色在地图着色中有着广泛的应用。
通过给地图的每个区域进行着色，可以实现不同区域之间的边界清晰，便于观察和分析。
3.2 电路布线在电路布线中，图着色可以用于解决信号线的冲突问题，保证信号线之间不会相互干扰。
3.3 图像分割图分割在图像处理中有着重要的应用。
通过将图像分割成多个子图，可以实现目标检测、边缘提取等算法的实现。
四、总结离散数学中的图着色与图分割是图论中的两个重要概念。
图着色是将图的顶点着色的过程，目标是用尽量少的颜色进行着色。
图分割是将图分割成多个子图的过程，通过选择合适的算法可以得到满足要求的子图。
《图论》第6章-图的着色2
（着色c5的顶点）。设G13和G24分别是V13
和V24在G 的导出子图。
v1 v0
v2 v3
(a) 若 v1 和 v3 在 G13中不连通，将 G13中 v1 所在连通分支所有顶 点颜色对换，得到 G 的另外一种5-着色方案。此时 v1 和 v3 都 着色 c3，即 v1~ v5 的着色数= 4。由①得到 G 的一种5-着色方案。
法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
21
第二十一页，编辑于星期六：八点 一分。
6.2 色数多项式
[定理6-2-1] 设简单图 G， Gij+ 和Gijo 分别如前所述，并分 别记 P1(k) 和 P2(k)为 Gij+ 和 Gijo 的 k 染色方案数，则 有 PG(k) = P1(k)+P2(k)。
cb
c
PK3(3)=6
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第二十页，编辑于星期六：八点 一分。
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k)
1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn
2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取与其父 亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1
3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图 G 由不连通的 G1和 G2构成，则由乘
6.1 色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色对 G 的 各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶点的颜 色都不同，则称该着色正常，或称 G 存在一个正常 的 k 顶点着色（或称一个 k 着色）。此时称 G 为 k-可 着色的。
[色数] 使 G=(V, E) k-可着色的最小 k 值称为 G 的色数，记为 (G)。若 (G)=k，称 G 为 k 色图。
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(1) 若 k (G) ，则Pk(G)=0 ; (G) mink Pk (G) 1
(2) 若G为空图，则Pk(G)=kn。 (3) Pk(Kn)=k(k-1)…(k-n+1)。
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图论及其应用
应用数学学院
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本次课主要内容
着色的计数与色多项式 (一)、色多项式概念 (二)、色多项式的两种求法 (三)、色多项式的性质
G
N5(G)=5
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定理2 设qr(G)表示将单图G的顶点集合V划分为r个不 同色组的色划分个数，则：
qr (G) Nr (G).....(1 r V )
证明：一方面，设G的任一r色划分为：｛V1,V2,…,Vr｝。 于是，对于1≦i≦r, GVi 是 G 的完全子图。
(二)、色多项式的两种求法
1、递推计数法
定理1 设G为简单图，则对任意 e E(G) 有： Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
证明：设e=uv。则对G-e的着色方式数可以分为两部分： (1) u与v着不同颜色。此时，等于G的着色方式数； (2) u与v着同色。此时，等于G·e 的着色方式数； 所以，得：Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
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(2)
G2
Pk (G2) k(k 1)(k 2)(k 3) 2k(k 1)(k 2) k(k 1) k(k 1)(k2 3k 3)
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kPk (G u) Pk (G u) (k-1)Pk (G u)
注：对递推公式的使用分析：
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(1) 当图G的边数较少时，使用减边递推法：
Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
(2) 当图G的边数较多时，使用加边递推法： Pk (G e) Pk (G) Pk (G e)
例2 求N4(G), N5(G)。
G 10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：通过观察枚举求Nr(G)
G
1) N4(G):
G
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
N4(G)=6
2) N5(G):
例1 求出下面各图的色多项式。
G1
G2
G3
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)
G1
Pk (G1) k(k 1)(k 2) k(k 1) k3 2k 2 k
也可由推论： (k 1)Pk (K2 ) k3 2k2 k
G1
所以，我们得到：qr (G) Nr (G).....(1 r V )
(2) 色多项式求法----理想子图法
上面定理2实际上给我们提供了色多项式的求法：用k种颜 色对单图G正常着色，可以这样来计算着色方式数：色组为1 的方式数+色组为2的方式数+…+色则为n的方式数。即有如下 计数公式：
n
Pk (G) Ni (G)[k]i ,其中，[k]i k(k 1)(k 2)...(k i 1) i 1
0.6 0.4 x 0.2
(3)
G3
—
—
Pk (G3) k(k 1)(k3 5k 2 10k 7)
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：递推计数法的计算复杂度是指数型的。
2、理想子图计数法
(1) 预备知识 定义1：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为 完全图，则称H是G的一个理想子图。用Nr(G)表示G的具 有r个分支的理想子图的个数。
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义2 ：设G是单图，令N(G, x) ri xi i 1
为图G的伴随多项式。 于是，求Pk(G)就是要求出 G 的伴随多项式。 用理想子图法求Pk(G)的步骤如下： (1) 画出G的补图 G
r
因为Vi∩Vj=Φ(i≠j),所以
G[Vi ] 是
i 1
G 的理想子图。
这说明：G的任一r色划分必然对应 G 的一个理想子图。 容易知道，这种对应是唯一的；
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
另一方面，对于 G 的任一具有r个分支的理想子图， 显然它唯一对应G中一个r色组。
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、色多项式概念
所谓色计数，就是给定标定图G和颜色数k,求出正常 顶点着色的方式数。方式数用Pk(G)表示。
可以证明：Pk(G)是k的多项式，称为图G的色多项式。 知道图的色多项式，就可以求出色数为k时的着色方式数。
(2) 求出关于补图的 ri Ni (G), (1 i n)
(3)
写出关于补图的伴随多项式
h(G, x)
n
ri xi
i 1
15
1
0.5 n 0
0.5
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
推论：设G是单图，e=uv是G的一条边，且d(u)=1,则：
Pk (G) (k-1)Pk (G u)
证明：因为G是单图，e=uv, d(u)=1,所以G·e = G-u。 另一方面，Pk(G-e)=kPk(G-u) 所以， Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)