鲁教版七年级下册数学第10章三角形的有关证明单元检测(含答案)
第10章三角形的有关证明
一、选择题
1.下列判断不正确的是（）
A. 形状相同的图形是全等图形
B. 能够完全重合的两个三角形全等
C. 全等图形的形状和大小都相同
D. 全等三角形的对应角相等
2.已知某等腰三角形两边长长分别为1，2，则周长为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 4或5
3.如图所示，八年级某同学书上的图形（三角形）不小心被墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识，画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形全等的依据是（）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
4.如图，∠C=∠D，DE=EC，则以下说法错误的是（）
A.AD=BC
B.OA=AC
C.∠OAD=∠OBC
D.△OAD≌△OBC
5.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E 不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C 到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（）
A. ①④
B. ②③
C. ①②④
D. ①②③④
6.如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为（）
A. 75°
B. 65°
C. 63°
D. 61°
7.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
8.下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长，面积分别相等；⑤所有的等边三角形都是全等三角形．其中正确的说法有（）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 1个
9.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
10.如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11.已知△ABC与△DEF全等，BC=EF=4cm，△ABC的面积是12cm2，则EF边上的高是（）
A.3cm
B.4cm
C.6cm
D.无法确定
12.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个直接到达A和B的点C，连接AC 并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．我们可以证明出△ABC≌△DEC，进而得出AB=DE，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
二、填空题（共10题；共20分）
13.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=________时，△AOP为等边三角形．
14.如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．
15.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________.
16.如图5，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为
________cm。
17.如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC=PA，PD=PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为________ m，依据是________
18.把两根钢条AA、BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽工具（卡钳），如图，若得AB=6厘米，则槽宽为________ 厘米．
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=18，BC=7，AB=PQ，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．
20.如图，已知AD=BC，则再添加一个条件________ （只填一种），可证出△ABC≌△BAD．
21.如图，已知∠3=∠4，要说明△ABC≌△DCB，
（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是________
（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是________
（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是________
22.如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．若AC+BC=10cm，则△DBC的周长为________
三、解答题
23.如图所示，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF，求证：BF=DE．
24.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD：DC=9：7，求D到AB的距离。
25.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=18米，请根据上述信息求标语CD 的长度．
26.如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
27.线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P.
（1）找出图中的所有全等三角形.
（2）找出一组相等的线段，并说明理由.
（3）取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由.
参考答案
一、选择题
A C C
B D B
C B A C C B
二、填空题
13.a 14.3；ASA 15.+2 16.24 17.25；SAS 18.6 19.7或18 20.AC=BD
21 .AC=DB；∠5=∠6；∠1=∠2 22.10cm
三、解答题
23.证明：
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴BF=DE．
24.解：∵BD：DC=9：7，BC=64，∴CD= ×64=28，
∵AD为角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=28.
答：D到AB的距离为28
25.解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，
即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=18（m）
26.（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．
即：∠BPC=120°．
27.（1）解：△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC （2）解：BD=AE．理由如下：
等边三角形ABC、DCE中，
∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE
（3）解：等边三角形，理由如下：
由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，
M是AE的中点、N是BD的中点，
∴DN=EM，
又DC=CE，
在△DCN和△ECM中，
，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，∴∠NCD+∠DCM=60°，
即∠NCM=60°，
∴△CMN为等边三角形.。
最新精品解析鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明综合测试试卷(无超纲带解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（）A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4，线段AD，AE，AF分别是ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，2、在ABC中，AB ACF的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定3、如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE 交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6A ．若0a <，则11a a +<-B ．若0a =，0b =，则0ab =C ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点D ．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合5、如图，已知BC ＝BD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ABD 的是（ ）A ．AC ＝ADB ．∠ABC ＝∠ABD C ．∠C ＝∠D ＝90° D ．∠CAB ＝∠DAB6、如图，在△ABC 中，∠BAC ＞90°，D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连接AD 、CF ，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）A ．25B ．38C ．70D ．135A ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等9、△ABC 中，AB =AC ，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A ．50°B ．80°C ．100°D ．50°或80°10、如图，等腰直角OAB 中，OA OB =，过点A 作AD OA ⊥，若线段OA 上一点C 满足CDB OBD ∠=∠，则CBD ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．45︒D ．60︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AD ⊥AB ，如果AC =5，AD =2，那么AB 的长是________．2、已知△ABC 中，AB =5， BC =8， BC 边上的中线AD =3，则AC =__________________．3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF ，将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC =_________°．4、等边三角形的边长为a ，则该等边三角形的面积为________．（用含a 的代数式表示）5、如图，在△OAB 和△OCD 中，AOB COD ∠=∠，OA OB =，OC OD =，连接AC ，BD 交于点E ，BD 交OA 于点M ，AC 交OD 于点N ，连接OE ．下列四个结论一定成立的是_________（填序号）．①BD AC =②AEB AOB ∠=∠③OM ON =④EO 平分∠BEC三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，40A ∠=︒，D 为AC 的中点，E 为边AB 上一动点，连接DE ，将ADE 沿DE 翻折，点A 落在AC 上方点F 处，连接EF ，CF ．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出ADE∠的度数：(3)翻折后，当DEF和ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出ADE∠的度数．2、如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=35°．AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC．(1)求证：AD＝CD；(2)求∠EAD的度数．P的数学活动中有这样一段描述：3、在人教版八年级上册数学教材53(1)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形ABCD是一个筝形，其中=，试猜想筝形的对角线有什么性质？然后用全等三角形的知识证明你的猜想．AD CD=，AB CB(2)知识拓展：如图2，如果D 为ABC ∆内一点，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，试证明：BAD BCD ∠=∠．4、如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx ＋1（k ≠0）交y 轴于点A ，交x 轴于点B （3，0），点P 是直线AB 上方第一象限内的动点．(1)求直线AB 的表达式和点A 的坐标；(2)点P 是直线x ＝2上一动点，当△ABP 的面积与△ABO 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)当△ABP 为等腰直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．5、△ABC 是等边三角形，点D 是AC 边上动点，∠CBD ＝α（0°＜α＜30°），把△ABD 沿BD 对折，得到△A ′BD ．(1)如图1，若α＝15°，则∠CBA ′＝ ．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且∠DAP ＝∠DBC ＝α．①试探究AP ，BP ，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②若BP ＝10，CP ＝m ，求CA ′的长．（用含m 的式子表示）-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】利用图象法分三种情形：当90POB ∠≠︒且60POB ∠≠︒时；当60POB ∠=︒时；当90POB ∠=︒时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可．【详解】解：如图1中，当90POB ∠≠︒且60POB ∠≠︒时，满足条件的点M 有4个；如图2中，当60POB ∠=︒时，满足条件的点M 有2个，此时点2M ，3M ，4M 三个点重合；如图3中，当90POB ∠=︒时，满足条件的点M 有2个．故选：B ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键．2、C【解析】【分析】延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，证明AEB HEC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AB CH =，BAE H ∠=∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD >∠CAF >∠CAH ，即可完成解答．【详解】假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，在AEB ∆和HEC ∆中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEB HEC SAS ∴∆≅∆，AB CH ∴=，BAE H ∠=∠，AB AC <，CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠，CAH BAE ∴∠<∠，∵∠CAH +∠BAE =∠BAC∴∠BAC >2∠CAH∵AF 平分∠BAC ∴12BAE CAF BAC ∠=∠=∠ ∴12CAH BAC CAF ∠<∠=∠ ∵AB <AC∴∠B >∠ACB∵∠B +∠ACB +∠BAC =180°∴∠B +∠ACB +∠BAC =180°>2∠ACB +∠BAC ∴1<90902ACB BAC CAF ∠︒-∠=︒-∠ ∴∠CAF <90°−∠ACB∵AD ⊥BC∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF即∠CAD>∠CAF>∠CAH∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质即可得到．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，在△BAE和△ACD中，AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝4．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．4、C【解析】【分析】根据不等式的性质可判定A选项，根据有理数乘法运算可判定B选项，根据重心的定义可判定C选项，根据等腰三角形三线合一的性质可判定D选项．【详解】解：A.由a＜0，则-a＞0，即a＜-a，再根据不等式的性质即可判定A选项是真命题；B.根据两个有理数相乘，若一个为0，则积为零，可判定B选项是真命题；C. 三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，可判定C选项是假命题；D.根据等腰三角形“三线合一”的性质可判定D选项是真命题．故答案为C．【点睛】本题主要考查了不等式的性质、有理数的除法运算、重心的定义、等腰三角形的性质以及命题真假的判定，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．5、D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：在ABC 与ABD 中，BC BD =，AB AB =，A 、根据边边边可得两个三角形全等；B 、根据边角边可得两个三角形全等；C 、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；D 、不能判定两个三角形全等；故选：D ．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握各个判定定理是解题关键．6、D【解析】【分析】由折叠的性质可得CD =DF ，EF =EC ，结合D 为BC 的中点可得BD =CD =DF ，可得△BDF ，△CDF ，△EFC 是等腰三角形，再由等腰三角形的性质和余角的性质可得∠FAE =∠AFE ，可得EF =EA 可说明△AEF 是等腰三角形．【详解】解：如图：∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵将△CDE 沿DE 折叠，∴CD=DF，EF=EC，∴BD=CD=DF，∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∴∠FAE=∠AFE，∴EF=AE，∴△AEF是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形的个数为4．故选D．【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练运用折叠的性质是解答本题的关键．7、B【解析】【分析】仔细观察图形，发现第n个图形有1n-+个三角形，根据规律求解即可．2n【详解】解：观察发现：第一个图形有112+=个全等三角形；第二个图形有224+=个全等三角形；第三个图形有2+=个全等三角形；327第四个图形有3+=个全等三角形；4212⋯第n 个图形有12n n -+个全等三角形；当6n =时，1526238n n -+=+=（个)．故选：B ．【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的．8、C【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A ，由三角形的角平分线的性质可判定B ，由SAS 判定两个三角形全等可判断C ，由HL 判定两个直角三角形全等可判断D ，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A 不符合题意； 三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B 不符合题意； 两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C 符合题意； 如图，90,,,,,C N AD MF AB MN BD DC NF FG,Rt ADB Rt MFN ≌,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.9、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080︒-⨯︒=︒综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．10、C【解析】【分析】过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，由“AAS ”可证BED BFD ∆≅∆，可得BE BF BO ==，EBD FBD ∠=∠，由“HL ”可证Rt BCF Rt BCO ≌，可得OBC CBF ∠=∠，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，AD AO ⊥，BD AO ⊥，//AD BO ∴，EDB DBO ∴∠=∠，又CDB OBD ∠=∠，EDB BDC ∴∠=∠，45BAD ∠=︒，DA AO ⊥，45DAB BAO ∴∠=∠=︒，又BE AD ⊥，BO AO ⊥，BE BO ∴=，在BED ∆和BFD ∆中，90E BFD BDE BDF BD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED BFD AAS ∴∆∆≌，BE BF BO ∴==，EBD FBD ∠=∠，在Rt BCF 和Rt BCO △中，BF BO BC BC =⎧⎨=⎩，∴Rt BCF Rt BCO≌，∴∠=∠，OBC CBF∠+∠+∠+∠=︒，E EAO AOB OBE360∴∠=︒，OBE90EBD DBF FBC CBO∴∠+∠+∠+∠=︒，90∴∠=︒，DBC45故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、填空题1、3【解析】【分析】过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，CE===即可．3【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD 和△ECD 中ADB EDC ABD ECD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴AB =EC ，AD =ED =2，∴AE =2AD =4，在Rt△AEC中，3CE ===，∴AB =CE =3．故答案为：3．【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．2、5【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明90,ADB ∠=︒ 再利用线段的垂直平分线的定义与性质可得答案.【详解】解：如图，BC =8， BC 边上的中线AD =3， 14,2BD CD BC5,AB =222223425,BD AD AB 90,,ADB AD BC5.AC AB 故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理分逆定理的应用，三角形的中线的定义，线段的垂直平分线的定义与性质，证明90ADB ∠=︒是解题的关键.3、100【解析】【分析】如图：连接BO ，CO ，根据角平分线性质和中垂线性质可得∠OAB =∠OBA ；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC 的度数；再证△ABO ≌△ACO ，进而求得∠OCB 的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO =EC ，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC 的度数．【详解】解：连接BO，CO，∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠OAC=25°，∵OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∵OA=OB，∠OAB=25°，∴∠OAB=∠ABO=25°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠EOC=∠OCE=40°，∴∠OEC =180°-∠EOC -∠OCE =180°-2×40°=100°．故答案是100．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质以及翻折变换的性质，正确作出辅助线、构造出等腰三角形是解答本题的关键．42 【解析】【分析】求出等边三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】如图所示，ABC 是等边三角形，过点A 作AD BC ⊥交于点D ，∵ABC 的边长为a ，∴AB BC a ==，122a BD BC ==，∴AD ===，∴212ABCS a =⨯=，2． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形“三线合一”求长度是解题的关键．5、①②④．【解析】【分析】证明△AOC ≌△BOD ，即可判断①；利用△AOC ≌△BOD ，推出∠CAO =∠DBO ，得到∠OAB +∠OBA =∠OAB +∠ABE +∠CAO ，由三角形内角和定理即可判断②；无法证明△AON ≌△BOM ，即无法判断OM ON =，由此判断③；过O 作OG ⊥BD 于G ，OH ⊥AC 于H ，根据全等三角形的性质得到OG=OH ，由此判断④【详解】解：在△OAB 和△OCD 中，AOB COD ∠=∠，∴∠AOC =∠BOD ，∵OA OB =，OC OD =，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC=BD ，故①正确；∵△AOC ≌△BOD ，∴∠CAO =∠DBO ，∴∠OAB +∠OBA =∠OAB +∠ABE +∠CAO ，∵∠OAB +∠OBA +∠AOB =180°，∠OAB +∠ABE +∠CAO +∠AEB =180°，∴AEB AOB ∠=∠，故②正确；∵OA=OB ，∠NAO =∠MBO ，无法证明∠BOM =∠AON ，∴无法证明△AON ≌△BOM ，即无法判断OM ON =，故③错误；过O 作OG ⊥BD 于G ，OH ⊥AC 于H ，∵△AOC ≌△BOD ，AC=BD ， ∴1122BD OG AC OH ⋅=⋅， ∴OG=OH ，∴EO 平分∠BEC ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题1、 (1)12∠=∠，理由见解析(2)70° (3)1003︒或1403︒或70° 【解析】【分析】（1）由ADE 沿DE 翻折可知=1AD DF CD FDE ADE =∠=∠=∠，， 可知CDF 为等腰三角形，2DFC DCF ∠=∠=∠，180CDF FDE EDA ∠+∠+∠=︒，计算求解即可；（2）DEF 与CDF 全等，分两种情况讨论；①DF DE AD ==，A DEA ∠=∠，180ADE A DEA ∠=︒-∠-∠，求ADE ∠的值然后判断此时DEF 与CDF 是否全等，若全等，则ADE ∠的值即为所求；②=DF FE AD =，A DFE EDF ADE ∠=∠∠=∠，，1802DFE ADE FDE ︒-∠∠=∠=，求ADE ∠的值然后判断此时DEF 与CDF 是否全等，若全等，则ADE ∠的值即为所求；（3）分情况讨论①由题意知（2）中70ADE ∠=︒时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，DE DG =，DEG DGE ∠=∠，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即=1FDE ADE DEG ADE A ∠=∠∠∠=∠+∠，，1++=180DEG DGE ∠∠∠︒计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形=1DE EG EDG DGE =∠=∠∠，，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即DEG ADE A ∠=∠+∠，1++=180DEG DGE ∠∠∠︒计算求解即可.(1)解：12∠=∠由ADE 沿DE 翻折可知1AD DF FDE ADE =∠=∠=∠，∵D 为AC 的中点∴AD CD DF ==∴CDF 为等腰三角形∴2DFC DCF ∠=∠=∠∵180CDF FDE EDA ∠+∠+∠=︒∴1802211180︒-∠+∠+∠=︒∴12∠=∠．(2)解：∵CD DF =，CDF 是等腰三角形，DEF 与CDF 全等∴①如图1，当DF DE AD ==时，ADE 为等腰三角形，DEF 为等腰三角形∴40A DEA ∠=∠=︒，180100ADE A DEA ∠=︒-∠-∠=︒∵100ADE EDF ∠=∠=︒∴200180ADE EDF ∠+∠=︒>︒∴当DF DE =时，点F 在AC 的下方，不符合题意；又∵20018020CDF ∠=︒-︒=︒，CDF FDE ∠≠∠∴DEF 与CDF 不全等，=100ADE ∠︒舍去；②如图2当DF FE AD ==时，ADE 为等腰三角形，DEF 为等腰三角形∴A DFE EDF ADE ∠=∠∠=∠，180180407022DFE FDE FED ︒-∠︒-︒∠=∠===︒ ∴EF AD EF AD CD ==∥，∴四边形AEFD 、CDEF 均是平行四边形∴EFD △与CDF 全等∴70ADE FDE ∠=∠=︒∴当DF FE =时，EFD △与CDF 全等，70ADE ∠=︒；综上所述，若 DEF 与以点C D F ，，为顶点的三角形全等，ADE ∠的值为70︒．(3)解：①由（2）中图2可知当70ADE ∠=︒时，DEF 在ABC 内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；②如图3，DEG △为DEF 与ABC 重合的等腰三角形∴DE DG =，DEG DGE ∠=∠∵=1FDE ADE DEG ADE A ∠=∠∠∠=∠+∠，，1++=180DEG DGE ∠∠∠︒ ∴1801=11402DEG A ︒-∠∠=∠+∠=∠+︒ ∴10013︒∠= ∴1003ADE ︒∠=； ③如图4，DEG △为DEF 与ABC 重合的等腰三角形∴=1DE EG EDG DGE=∠=∠∠，∵=1FDE ADE DEG ADE A∠=∠∠∠=∠+∠，，1++=180DEG DGE∠∠∠︒∴=180211140DEG A∠︒-∠=∠+∠=∠+︒∴140 13︒∠=∴1403 ADE︒∠=；综上所述，当DEF和ABC的重叠部分为等腰三角形时，ADE∠的值为1003︒或1403︒或70︒．【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．2、 (1)见解析(2)∠EAD=20°．【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠BAC=70°，证出∠C=∠DAC，则可得出结论；（2）由三角形外角的性质求出∠ADE，则可求出答案．(1)证明：∵∠B =75°，∠C =35°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =70°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =12∠BAC =35°， ∴∠C =∠DAC ，∴AD =CD ；(2)解：∵∠DAC =∠C =35°，∴∠ADE =∠DAC +∠C =70°，∵AE ⊥BC ，∴∠AED =90°，∴∠EAD =90°-∠AED =20°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．3、 (1)BD AC ⊥，AO OC =，理由见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）证()ADB CDB SSS ≅，得ADO ODC ∠=∠，再证()ΔΔAOD COD SAS ≅，得AOD COD ∠=∠，OA OC =，得90DOC ∠=︒，即可得出BD AC ⊥；（2）过点D 分别作DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，证Rt ADE △≌Rt CDF ，即可得出BAD BCD ∠=∠．(1)猜想BD AC ⊥，AO OC =，理由如下：在ADB ∆和BCD ∆中，AB BC AD DC BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ΔΔADB CDB SSS ∴≅，ADO ODC ∴∠=∠，在AOD ∆和ODC ∆中，AD DC ADO ODC OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ΔΔAOD COD SAS ∴≅，AOD COD ∠=∠∴，OA OC =，90DOC ∴∠=︒，BD AC ∴⊥；(2)证明：过点D 分别作DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，如图2所示： BD 平分ABC ∠，DE DF ∴=，在Rt ADE △和Rt CDF 中，DE DF AD CD=⎧⎨=⎩，∴Rt ADE △≌Rt CDFBAD BCD ∴∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4、 (1)y ＝13-x ＋1，点A （0，1） (2)点P 的坐标是（2，43） (3)点P 的坐标是（4，3）或（1，4）或（2，2）【解析】【分析】（1）把B 的坐标代入直线AB 的解析式，即可求得k 的值，然后在解析式中，令0x =，求得y 的值，即可求得A 的坐标；（2）过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，求得AM 的长，即可求得BPD ∆和PAD ∆的面积，二者的和即可表示PAB S ∆，在根据ABP ∆的面积与ABO ∆的面积相等列方程即可得答案；（3）分三种情况：当P 为直角顶点时，过P 作PN y ⊥轴于N ，过B 作BM PN ⊥于M ，由()APN PBM AAS ∆≅∆，可得1AN PN +=①，3PN AN +=②，即得(2,2)P ；当A 为直角顶点时，过P 作PK y ⊥轴于K ，由APK BAO ∆≅∆，可得(1,4)P ，当B 为直角顶点时，过P 作PR x ⊥轴于R ，同理可得(4,3)P ． (1)解：直线:1(0)AB y kx k =+≠交y 轴于点A ，交x 轴于点(3,0)B ，031k ∴=+，13k ∴=-， ∴直线AB 的解析式是113y x =-+． 当0x =时，1y =，∴点(0,1)A ；(2)解：如图1，过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，则有2AM =，设(2,)P n ，2x =时，11133y x =-+=，1(2,)3D ∴， P 在点D 的上方，13PD n ∴=-， 11112()2233APD S AM PD n n ∆∴=⋅=⨯⨯-=-， 由点(3,0)B ，可知点B 到直线2x =的距离为1，即BDP ∆的边PD 上的高长为1，11111()()2323BPD S n n ∆∴=⨯⨯-=-， 3122PAB APD BPD S S S n ∆∆∆∴=+=-； ABP ∆的面积与ABO ∆的面积相等， ∴31113222n -=⨯⨯， 解得43n =， 4(2,)3P ∴； (3)解：当P 为直角顶点时，过P 作PN y ⊥轴于N ，过B 作BM PN ⊥于M ，如图2:ABP ∆为等腰直角三角形，AP BP ∴=，90NPA BPM PBM ∠=︒-∠=∠，90ANP BMP ∠=∠=︒，()APN PBM AAS ∴∆≅∆，BM PN ∴=，PM AN =，90NOB ONM OBM ∠=∠=∠=︒，∴四边形OBMN 是矩形，3MN OB ∴==，1BM ON AN PN ==+=①，3PN PM PN AN ∴+=+=②，由①②解得2PN =，1AN =，2ON OA AN ∴===，(2,2)P ∴；当A 为直角顶点时，过P 作PK y ⊥轴于K ，如图3:ABP ∆为等腰直角三角形，AP AB ∴=，90KAP OAB ABO ∠=︒-∠=∠，而90PKA AOB ∠=∠=︒，()APK BAO AAS ∴∆≅∆，3AK OB ∴==，1PK OA ==，4OK OA AK ∴=+=，(1,4)P ∴，当B 为直角顶点时，过P 作PR x ⊥轴于R ，如图4:同理可证()AOB BRP AAS ∆≅∆，1BR OA ∴==，3PR OB ==，(4,3)P ∴，综上所述，P 坐标为：(2,2)或(1,4)或(4,3)．【点睛】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题．5、 (1)30°(2)①BP AP CP =+；②102m -【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得60ABC ∠=︒，根据角度计算可得ABD ∠=45︒，由折叠的性质可得ABD A BD '∠=∠，根据A BC A BD CBD ''∠=∠-∠即可求解；（2）①连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，证明BP C APC '≌，PP C '是等边三角形，即可得到BP AP CP =+；②先证明,,A C P '三点共线，结合①的结论求解即可．(1) ABC 是等边三角形∴60ABC ∠=︒60ABD ABC CBD α∴∠=∠-∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，ABD A BD '∴∠=∠=60α︒-15α=︒6060230A BC A BD CBD ααα''∴∠=∠-∠=︒--=︒-=︒故答案为：30(2)①BP AP CP =+，理由如下：连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，如图，ABC 是等边三角形60,ACB BC AC ∴∠=︒=DAP DBC α∠=∠=BP C APC '∴≌CP CP '∴=，BCP ACP '∠=∠60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒PP C '∴是等边三角形60CPB ∴∠=︒，P P PC '=BP BP PP AP CP ''∴=+=+即BP AP CP =+②如图，由①可得60BPC ∠=︒180120BCP BPC PBC α∴∠=︒-∠-∠=︒-由（1）可知602CBA α'∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，BA BA '∴=BA BC =BC BA '∴=()()111801806026022BCA CBA αα''∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+ 12060180BCP BCA αα'∴∠+∠=︒-+︒+=︒,,A C P '∴三点共线折叠BA BA '∴=,ADB A DB '∠=∠ADP A DP '∴∠=∠DP DP =ADP A DP '∴≌AP AP '∴=由①可得BP AP CP =+10,BP CP m ==10AP BP CP m ∴=-=-10A P AP m '∴==-10102CA A P CP m m m ''∴=-=--=-【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．。
2018-2019学年鲁教版数学七年级下册第十章【三角形的有关证明】单元测试卷附答案
数学七年级下册第十章【三角形的有关证明】单元测试卷时间满分120分班级姓名得分一、精心选一选（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中，∠B=90º，若∠C 比∠A 大20º，则∠A 的度数是（）A.35ºB.40ºC.45ºD.50º2.如图1，在△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，若BD=4cm ，∠B=30º，则CD 的长为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm图1图2AD CB图3图43.如图2，在△ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，∠C=40º，则∠BAD 的度数为（）A.34ºB.35ºC.36ºD.38º4.如图3，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的周长为6，OB 在x 轴的正半轴上，则点A 的坐标为（）A.（2，1）B.（1，2）C.（1，3）D.（3，1）5.已知△ABC 的三边长分别是2cm ，4cm ，32cm ，则这个三角形是（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.直角三角形6.如图4，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N ，则下列结论不一定正确的是（）A.AN=BNB.∠A=∠ABNC.△BCN的周长=AC+BCD.AN=BC7.图5所示是由5个大小相同的正方形组成的图形，则AB∶AC的值为（）A.2∶2B.3∶2C.3∶4D.1∶1图8图5图6图78.如图6，P是等边三角形ABC内的点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则下列结论：①BP=PQ；②△PCQ是直角三角形；③∠APB=150º.其中正确的结论有（）A.仅①②B.仅①③C.仅②③D.①②③二、细心填一填（每小题4分，共28分）9.命题“方程2x+1=5的解是x=2”的逆命题是_______.10.如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=42º，D是BC的中点，连接AD，则∠BAD的度数是______.11.若等边三角形的边长为10cm，则它一边上的中线长为________cm.12.如图8，在Rt△ABC中，∠C=90º，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若BD=5，BC=8，则AC的长为_________.13.若边长为a的正方形的面积等于长为b+c，宽为b-c的长方形的面积，那么以a，b，c为三边长的三角形是________三角形.14.如图9，在△ABC中，∠C=90º，AD平分∠BAC，交BC于点D.若BD=6，BC=10，AB=22，则△ABD的面积为图9_________.图1015.如图10，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD=CE ，∠A=60º，则△ABC 是________三角形.三、耐心解一解（共48分）16.（10分）如图12，AC 为∠BAD 的平分线，AB=AD ，E ，F 两点分别在AB ，AD 上，且AE=DF ，试说明△BCE 的面积与△ACF 的面积相等.图12ADCBFE图13图1417.（10分）如图13，在△ABC 中，AB=AC=12cm ，∠BAC=120º，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F.（1）求证：△ADF 是等腰三角形；（2）求DF 的长.18.（14分）如图14，D 是∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线DE 的交点，DG ⊥AB 于点G ，DH ⊥AC 交AC 的延长线于点H.（1）求证：BG=CH ；（2）若AB=12，AC=6，求BG 的长.ABCEF图1519.（14分）如图15，已知在△ABC和△EFC中，AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90º，E为AB上一点.（1）试判断线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）试猜想AE2，BE2，EF2之间的数量关系，并证明你的猜想.参考答案一、1.A2.B3.B4.C5.D6.D7.A8.D 二、9.x=2是方程2x+1=5的解10.21º11.5312.413.直角14.4415.等边三、16.证明：如图1所示，分别作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AD 于点H.因为AC 是∠BAD 的平分线，所以CG=CH.因为AB=AD ，AE=DF ，所以BE=AF.由S △BCE =21BE·CG ，S △ACF =21AF·CH ，所以S △BCE =S △ACF .17.（1）证明：因为AE 是∠BAD 的平分线，所以∠BAE=∠DAE.因为DF ∥AB ，所以∠BAE=∠F.所以∠DAF=∠F.所以AD=DF.所以△ADF 是等腰三角形.（2）解：因为AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，所以AD ⊥BC.因为∠BAC=120º，所以∠B=∠C=30º.所以AD=21AC=21×12=6（cm ）.所以DF=6cm.18.解：（1）如图2所示，连接BD 和DC.因为AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DH ⊥AH ，所以DG=DH.因为DE 垂直平分BC ，所以BD=CD.在Rt △BDG 和Rt △CDH 中，BD=CD ，DG=DH ，所以Rt △BDG ≌Rt △CDH （HL ）.所以BG=CH.（2）因为AD=AD ，∠AGD=∠AHD=90º，DG=DH ，所以Rt △ADG ≌Rt △ADH.所以AG=AH.所以AB-AC=AG+BG-（AH-CH ）=AG+BG-AH+CH=2BG.因为AB=12，AC=6，所以12-6=2BG ，即BG =3.19.解：（1）AE=BF.证明：因为∠ACB=∠ECF=90º，所以∠ACE=∠BCF.因为AC=BC ，CE=CF ，所以△ACE ≌△BCF.图1图2所以AE=BF.（2）AE2+BF2=EF2.证明：因为AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90º，所以∠CAE=∠ABC=45º.因为△ACE≌△BCF，所以∠CBF=∠CAE=45º.所以∠EBF=∠ABC+∠CBF=45º+45º=90º.所以△EBF为直角三角形.根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2.又AE=BF，所以BE2+AE2=EF2.。
七下第10章三角形的有关证明10-4线段的垂直平分线习题鲁教版五四制
以点 B，C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两 弧交于点 E，作射线 AE，在射线 AE 上任取一点 D，
连接 DC．若 CD＝5，则 AD 的长为( )
A．10
B．11
C．12
D．6 5
【点拨】 连接 BE，CE，设 AD 交 BC 于点 O . 由作图步骤可知 BE＝CE， ∴点 E 在线段 BC 的垂直平分线上． ∵AB＝AC＝3 5， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上． ∴AE 垂直平分线段 BC.
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
【点拨】 若PA＝PB，只能说明点P是线段AB的垂直平分线上
的点，但过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线．
【答案】 D
4 已知C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD， 点P在直线CD上．若AP＝5，则BP的长为( ) A．2.5 B．5 C．10 D．25
【点拨】
∵AC＝BC，AD＝BD，∴点C，D都在线段AB的垂 直平分线上，即直线CD是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线CD上，∴BP＝AP＝5.
【答案】 B
5 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则 点D在线段( )的垂直平分线上.
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
【点拨】 ∵BC＝BD＋AD＝BD＋CD， ∴AD＝CD.∴点D在线段AC的垂直平分线上．
【答案】 B
6 【2023·威海荣成市期中】如图，点E，F，G，Q，H 在一条直线上，且EF＝GH，直线l为线段FG的垂直 平分线，下列结论正确的是( )
A．AE＝AQ
B．AE＝AH
鲁教版七年级下《第十章三角形的有关证明》单元测试有答案(数学)
第十章 三角形的有关证明 单元测试一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 24 cm2.如图1，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA +PC ＝BC ，则下列选项正确的是（ ）3.如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°4.如图3，在△ABC 中，AC ＝4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，则BC 的长为（ ）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m 6.下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）A. 若a ＝b ，则a 2＝b 2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等7.如图5，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为（ ）D. 28.如图6，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积为（ ）A. 10B. 7C. 5D. 49.如图7，△ABC 和△DCE 都是边长为2的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）10.如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长是（ ）A. 4.8B. 4.8或3.8图4 D CB A E 图2 A BCD 图1 C B A C B A P C B A P C B A P P C B A N C B A M图3 E C B A D 图5 DC B A E 图6 图7D CB A E PC. 3.8D. 5二、填空题（每小题4分，共32分）11.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12.若一个三角形的三边长分别为3 m ，4 m ，5 m ，那么这个三角形的面积为＿＿＿.13.如图9，点D ，C ，A 在同一条直线上，在△ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝3∶5∶10，若△EDC ≌△ABC ，则∠BCE 的度数为＿＿＿.14.如图10，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，若CD ＝1，则BD＝＿＿＿.15.如图11，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿＿＿＿个真命题．16.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为＿＿＿米.（结果精确到0.1米，参1.41 1.73）17.如图13，在△ABC 中，AB ＝4，AC＝3，AD是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是＿＿＿.18.如图14，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……依次画下去，直到得到第n 条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n ＝＿＿.三、解答题（共58分）19.（6分）如图15，A D 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，那么△ACE 是等腰三角形吗？请证明你的结论.20.（8分）如图16，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，试求CD 的长.21.（8分）如图17，在△ABC 中，AB=AC=10 cm，∠B=15°，CD 是AB 边上的高，求CD 的长．22.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .图18所示四边形ABCD 是一个筝形，其中AB ＝CB ，AD ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F .求证：OE ＝OF .E B C D A图9 D C B A 图10 图12 图11 O A 1 AA 3 A 2 A 4BC 图14D C BA O E F 图18 108 AD A图13 DC B A 图17 图15 ECB A D图1623.（12分）如图19，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BD 是△ABC 的角平分线，点O 在BD 上，分别过点O 作OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足为E ，F ，且OE=OF.（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上； （2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长.24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图20，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，延长BC ，使CE ＝CD ，连接DE ，求证：BC +DC ＝AC .思路点拨：（1）由已知条件AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 是＿＿＿三角形.同理由已知条件∠BCD ＝120°得到∠DCE ＝＿＿＿，且CE ＝CD ，可知＿＿＿；（2）要证BC +DC ＝AC ，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿； （3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿. 请写出完整的证明过程.附加题（15分，不计入总分）25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形； （2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.参考答案一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A二、11. 面积相等的三角形全等 12. 6 m 213. 20° 14. 2 15. 2 16. 2.9 17. 4∶3 18. 9 三、19. 解：△ACE 是等腰三角形．证明：因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠BAD =∠CAD ． 因为CE∥AD，所以∠BAD =∠E，∠CAD =∠ACE.所以∠E=∠ACE. 所以AE=AC ，即△ACE 是等腰三角形．20. 解：因为DE 是AC 的垂直平分线，所以CD ＝AD .所以AB ＝BD +AD ＝BD +CD.设CD ＝x ，则BD ＝5－x.在Rt△BCD 中，由勾股定理，得 CD 2＝BC 2+BD 2，即x 2＝32+(5－x )2，解得x ＝3.4.故CD 的长为3.4.21. 解：在△ABC 中，因为AB=AC=10 cm ，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°. 所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD 是AB 边上的高，所以∠D=90°.所以CD=12AC=12×10=5（cm ），即CD 的长是5 cm ．22. 证明：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CBD . 所以∠ABD ＝∠CBD .所以BD 平分∠ABC . 又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，所以OE ＝OF . 23. 证明：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M .因为BD 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E ，所以OM ＝OE . 又OE=OF ，所以OM=OF.所以点O 在∠BAC 的平分线上.（2）连接OC.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，根据勾股定理，得AB ＝13. 因为S △ABO +S △BCO +S △ACO =S △ABC ，所以12×13·OM+12×12·OE+12×5·OF=12×5×12. 由（1）知OM=OE=OF ，所以15OE=30，解得OE ＝2.24. 解：（1）等边 60° △DCE 是等边三角形（2）AC BE（3）△BED ≌△ACD证明过程如下：连接AC ，BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 是等边三角形.所以AD ＝BD ，∠ADB ＝60°. 因为∠BCD ＝120°，所以∠DCE ＝180°－∠BCD ＝180°－120°＝60°. 因为CE ＝CD ，所以△DCE 是等边三角形.所以CD ＝DE ，∠CDE ＝60°. 所以∠ADB +∠BDC ＝∠CDE +∠BDC ，即∠ADC ＝∠BDE .在△ADC 和△BDE 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，DC ＝DE ，所以△ADC ≌△BDE .所以AC ＝BE ＝BC +CE=BC+DC .25. 解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为1-②：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x 2＝(x +6)2，解得x ＝73，所以拼成的等腰三角形的周长为2×763⎛⎫+⎪⎝⎭+10＝803；如图1-④：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8＝36.① 4 10 8 6 ② 10 6 10 8 6 ③ x +6 x 10 8 6 8图1。
难点详解鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明定向攻克试卷(含答案详解)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明定向攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角互补B ．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C ．两边及一角对应相等的两个三角形全等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等2、已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对3、已知ABC 的周长是16，且AB AC =，又AD BC ⊥，D 为垂足，若ABD △的周长是12，则AD 的长为（ ）A．7 B．6 C．5 D．4⊥，交AB于点E．关于下面4、如图，在△ABC中，60ABC=∠，BD平分∠ABC，CE BD∠=，40A两个结论，说法正确的是（）=．结论①20ADE∠=︒；结论②BC BEA．结论①②都正确B．结论①②都错误C．只有结论①正确D．只有结论②正确5、一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．11或12或136、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A ．50°B ．70°C ．80°D ．20°或70°8、如图，已知ABD CBD ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABD ≌CBD 的是（ ）A ．AB CB = B ．AC ∠=∠ C ．AD CD = D ．ADB CDB ∠=∠9、如图，等腰直角OAB 中，OA OB =，过点A 作AD OA ⊥，若线段OA 上一点C 满足CDB OBD ∠=∠，则CBD ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．45︒D ．60︒10、下列命题中，假命题是（ ）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 长是___．2、如图，在ABC ∆中，AB AC =，//AB CD ，过点B 作BF AC ⊥于E ，交CD 于点F ，BD CD ⊥于D ，8CD =，3BD =，4BF =，ABE ∆的周长为 __．3、如图，在ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AE 平分BAC ∠，60D DBC ∠=∠=︒，若BD=6cm ，DE=4cm ，则BC 的长是______cm ．4、如图，已知在ABC 中，∠C ＝90°，MN 是AB 的中垂线，∠A ＝30°，AM ＝10cm ，则CM ＝___cm ．5、如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AC ，垂足为点E ，交BC 于点D ，连结AD ．若∠C ＝α，则∠ADB ＝_____．（用含α的代数式表示）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠CAD的大小；(2)若BC＝3，求DE的长．2、在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，120∠=︒，EDFEDF∠的两边分别交直线AB，AC于点E，F．⊥时，请直接写出线(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DE AB⊥，DF AC段DE与DF的数量关系：______；(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：CF=，请求出(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若2AE=，4AB．3、如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．4、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、点B （0，2），以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°．(1)求直线y ＝kx ＋b 的解析式；(2)求出△ABC 的面积；(3)若P （1，m ）为坐标系中的一个动点，连接PA ，PB ．当△ABC 与△ABP 面积相等时，求m 的值．5、如图，在ABC 中，AB BC =，BE 平分ABC ∠，AD 为BC 边上的高，且AD BD =．(1)求证：ABE CAD ∠=∠(2)试判断线段AB 与BD ，DH 之间有何数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，作出判断即可．【详解】两直线平行，同旁内角互补，缺少两直线平行，选项说法错误，与题意不符；举反例，等腰直角三角形就不是钝角三角形，选项说法错误，与题意不符；两条边及其夹角对应相等的两三角形全等，选项说法错误，与题意不符；角平分线的性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查命题的判断，平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，对概念性的知识点记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键．2、A【解析】【分析】三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°；∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（AAS）．∴AD＝AE，∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB＝AC，∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（SAS）．∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，AB＝AC，∴DB＝EC；∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS）．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据三线合一推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长．【详解】解：∵AB=AC，且AD⊥BC，∴BD =DC =12BC ，∵AB +BC +AC =2AB +2BD =16，∴AB +BD =8，∴AB +BD +AD =8+AD =12，解得AD =4．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求．4、A【解析】【分析】由三角形内角和定理得80ACB ∠=︒，根据ASA 可证明BCO BEO ∆≅∆得出BC BE =，CO EO =，从而得到BD 是CE 的垂直平分线，得DC =DE ，又可得70BCE ∠=︒，从而10DEC DCE ∠=∠=︒再由三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，∵在△ABC 中，60A ∠=，40ABC =∠，∴180180604080ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴ABD CBD ∠=∠又CE BD ⊥∴90BOE BOC ∠=∠=︒在BEO ∆和BCO ∆中，ABO CBO BO BOBOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEO BCO ∆≅∆∴BC =BE ，CO =EO ∴18040702BCE BEC ︒-︒∠=∠==︒ ∴807010ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∵CO =EO ，CE BD ⊥∴BD 是CE 的垂直平分线，∴DC =DE ，∴10DEC DCE ∠=∠=︒∴101020ADE DEC DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒故①②都正确，故选A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．5、B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当以2为腰时，当以5为腰时，即可求解．【详解】解：当以2为腰时，该等腰三角形的三边长为2，2，5，∵2245+=< ，∴不合题意，舍去；当以5为腰时，该等腰三角形的三边长为2，5，5，∴这个等腰三角形的周长为25512++= ，∴这个等腰三角形的周长为12．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．6、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE +∠DAC =360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．8、C【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．【详解】解：∵∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴当添加AB ＝CB 时，可根据“SAS ”判断△ABD ≌△CBD ,故A 选项不符合题意；当添加∠A ＝∠C 时，可根据“AAS ”判断△ABD ≌△CBD ,故B 选项不符合题意；当添加AD ＝CD 时，不能判断△ABD ≌△CBD ，故C 选项符合题意；当添加∠BDA ＝∠BDC 时，可根据“ASA ”判断△ABD ≌△CBD ，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用SAS 、SSS 、AAS 、ASA 判定三角形全等是解答本题的关键，SSA 不能判定三角形全等是解答本题的易错点．9、C【解析】【分析】过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，由“AAS ”可证BED BFD ∆≅∆，可得BE BF BO ==，EBD FBD ∠=∠，由“HL ”可证Rt BCF Rt BCO ≌，可得OBC CBF ∠=∠，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，AD AO ⊥，BD AO ⊥，//AD BO ∴，EDB DBO ∴∠=∠，又CDB OBD ∠=∠，EDB BDC ∴∠=∠，45BAD ∠=︒，DA AO ⊥，45DAB BAO ∴∠=∠=︒，又BE AD ⊥，BO AO ⊥，BE BO ∴=，在BED ∆和BFD ∆中，90E BFD BDE BDF BD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED BFD AAS ∴∆∆≌，BE BF BO ∴==，EBD FBD ∠=∠，在Rt BCF 和Rt BCO △中，BF BO BC BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BCF Rt BCO ≌，OBC CBF∴∠=∠，∠+∠+∠+∠=︒，360E EAO AOB OBEOBE∴∠=︒，90∴∠+∠+∠+∠=︒，EBD DBF FBC CBO90∴∠=︒，45DBC故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10、C【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C，由HL判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；C N AD MF AB MN BD DC NF FG如图，90,,,,,≌,Rt ADB Rt MFN,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.二、填空题1、4【解析】【分析】作DF AC ⊥于F ，先利用角平分线的性质得到3DF DE ==，再根据ABD ACD ABC S S S +=△△△即可得．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于F ，AD 平分BAC ∠，,,3DE AB DF AC DE ⊥⊥=，3DF DE ∴==，15,6ABD ACD ABCS S S AB +===， 116331522AC ∴⨯⨯+⨯=， 解得4AC =，故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2、11【解析】【分析】由等边对等角解得∠=∠ACB ABC ，再根据两直线平行内错角相等得到ABC BCD ∠=∠，继而得到ACB BCD ∠=∠，接着证明()Rt ΔRt ΔBCE BCD HL ≅，由全等三角形对应边相等解得8CE CD ==，最后根据线段的和差解题．【详解】解：AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，//AB CD ，ABC BCD ∴∠=∠，ACB BCD ∴∠=∠，BE CE ⊥，BD CD ⊥，3BE BD ∴==，在Rt ΔBCE 与Rt BCD ∆中，CB CB BE BD=⎧⎨=⎩ ()Rt ΔRt ΔBCE BCD HL ∴≅，8CE CD ∴==，8AC AE AB AE ∴+=+=，ABE ∴∆的周长8311AE AB BE =++=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证得Rt ΔRt ΔBCE BCD ≅是解题的关键．3、10【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形，△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，∵AB =AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN =CN ，∵∠DBC =∠D =60°，∴△BDM 为等边三角形，∴BD =DM =BM =6，∵DE =4，∴EM =6-4=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=12ME=1，∴BN=6-1=5，∴BC=2BN=10（cm），故答案为10．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．4、5【解析】【分析】连接BM，根据垂直平分线的性质可得MB MA，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得MC的长．【详解】如图，连接BMMN 是AB 的中垂线，∠A ＝30°，AM ＝10cm ，MB MA ∴=10=30MBA A ∴∠=∠=︒60CMB MBA A ∴∠=∠+∠=︒∠C ＝90°30CBM ∴∠=︒152CM BM ∴== 故答案为：5【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．5、2α【解析】【分析】根据线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等可知AD ＝CD ，根据等边对等角可知∠CAD＝∠C＝α，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴∠CAD ＝∠C ＝α，∴∠ADB ＝∠CAD +∠C ＝2α．故答案为：2α．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，以及外角的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．三、解答题1、(1)30°(2)1【解析】【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠EAD，又∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠EAD，设∠CAD=x，则3x=90°，∴x=30°，∴∠CAD=30°；(2)∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又∵∠B=30°，∴y =32y -， 解得y =1，∴DE =1．【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．2、 (1)DE DF =(2)结论成立，理由见解析(3)4AB =【解析】【分析】（1）如图所示：连接AD ，根据等边三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得；（2）过点D 分别作DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H 点，根据等边三角形的性质及中点的性质，利用全等三角形的判定及性质得出BDG CDH ≅，DG DH =，再由各角之间的数量关系得出EDG FDH ∠=∠，利用全等三角形的判定和性质即可证明；（3）过D 作DM AC ∥交AB 于M 点，根据平行线及等边三角形的性质可得60BAC BCA BMD BDM B ∠=∠=∠=∠=∠=︒，结合图形，利用各角之间的数量关系可得MDE CDF ∠=∠，根据全等三角形的判定和性质得出MDE CDF ≅，ME CF =，设AM x =，则2AB x =，结合图形，利用线段间的数量关系即可得出结果．(1)（1）DE DF =；如图所示：连接AD ，∵ABC 为等边三角形，且点D 是BC 的中点，∴AD 平分BAC ∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，故答案为：DE DF =；(2)结论成立．DE DF =．理由：如图所示，过点D 分别作DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H 点，∵ABC 是等边三角形，∴60ACB ABC ∠=∠=︒，∵DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H ，∴90BGD DHC ∠=∠=︒，30BDG CDH ∠=∠=︒，∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =，在BDG 与CDH △中，B DCH BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDG CDH ≅∴DG DH =，∴180120GDH BDG CDH ∠=︒-∠-∠=︒，120EDF ∠=︒，∴GDH EDH EDF EDH ∠-∠=∠-∠，∴EDG FDH ∠=∠，在EDG △与FDH △中，EDG FDH DG DHEGD FHD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴EDG FDH ≅，∴DE DF =；(3)如图，过D 作DM AC ∥交AB 于M 点，∵DM AC ∥，ABC 是等边三角形，∴60BAC BCA BMD BDM B ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴BD DM CD BM ===，120DME DCF MDC ∠=∠=∠=︒，∵120EDF ∠=︒，∴MDE CDF ∠=∠，在MDE 与CDF 中，DME DCF DM DCMDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴MDE CDF ≅，∴ME CF =， ∵12BD BC =，AB BC =， ∴12BM AB =， 设AM x =，则2AB x =，∵CF ME AE AM ==+，2AE =，4CF =，∴24x ，∴2x =，∴24==．AB x【点睛】题目主要考查等边三角形三线合一的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．3、见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，根据角平分线的定义得到∠EAD=∠DAC，于是得到结论．【详解】证明：∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，∴∠BED=∠BDE，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠DAC，∴∠EAD=∠ADE，∴∠BED=∠EAD+∠ADE=2∠ADE，∴∠BDE=∠BED=2∠ADE，∴∠ADB=3∠EDA．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．4、 (1)y＝－23x＋2(2)13 2(3)173或－3【解析】【分析】（1）根据,A B的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝13，根据△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12AB2，即可求出△ABC的面积；（3）过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），根据△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）=132，解绝对值方程求解即可．(1)解：直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），则032k bb=+⎧⎨=⎩，解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线l的表达式为：y＝－23x＋2；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝32＋22＝13，∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝12AB2＝132；(3)过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），P（1，m）PH∴=|m－43|∵△ABC与△ABP面积相等，∴△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）＝12×|m－43|×3＝132；解得m＝－3或17 3故当△ABC与△ABP面积相等时，m的值为173或－3【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．．5、 (1)见解析(2)AB=BD+CD，理由见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证△ADC ≌△BDH ，可得DH =DC ，即可得结论．【小题1】解：证明：∵AB =BC ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，∴∠BEC =∠ADC =90°，∴∠C +∠DAC =∠C +∠EBC =90°，∴∠EBC =∠DAC ，∴∠ABE =∠DAC ；【小题2】AB =BD +CD ，理由如下：在△ADC 和△BDH 中，DAC DBE ADC BDH AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△BDH （AAS ），∴DH =DC ，∴BD +DH =DB +DC =BC =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．。
鲁教版2019七年级数学第十章三角形的有关证明单元测试题2(培优附答案)
鲁教版2019七年级数学第十章三角形的有关证明单元测试题2（培优附答案）1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点逆时针旋转得到.若点的坐标为，则点的坐标为（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点．将△ACM沿CM翻折，得到△DCM(如图2)，P为CD上一点，再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合(如图3)，给出下列四个命题：①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③PC⊥BM；④∠BPC＝∠BMC．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是()A．500sin55°米B．500cos35°米C．500cos55°米D．500tan55°米4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中直角三角形有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，MP=3，△AMP的面积是6，下列结论：①AM＜PQ+QN，②QP∥AM，③△BMP≌△PQC，④∠QPC+∠MPB=90°，⑤△PQN 的周长是7，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，已知∠AOB求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么做法的合理顺序是( ).①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．6 B．5 C．4 D．38．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（）A．B．C．D．9．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=（）A．10°B．40°C．30°D．20°10．到三角形三条边的距离相等的点是三角形的（）交点．A．三条中线B．三个内角平分线C．三条高线D．三边垂直平分线11．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE=_________°.12．如图，△ABC≌△BAD，A与B，C与D是对应点，若AB=4cm，BD=4.5cm，AD=1.5cm，则BC=_______cm.13．到一个角的两边距离相等的点都在_________。
初中数学鲁教版(五四制)七年级下册第十章 三角形的有关证明本章综合与测试-章节测试习题
章节测试题1.【答题】下列说法正确的是（）A. 两个等边三角形一定全等B. 形状相同的两个三角形全等C. 面积相等的两个三角形全等D. 全等三角形的面积一定相等【答案】D【分析】【解答】2.【答题】如图，若△ABN≌△ACM，且BN＝7，MN＝3，则NC的长为（）A. 3B. 4C. 4.5D. 5【答案】B【分析】【解答】3.【答题】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，则∠BAD为（）A. 50°B. 60°C. 80°D. 120°【答案】B【分析】【解答】4.【答题】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A. ∠B＝∠CB. BE＝CDC. BD＝CED. AD＝AE【答案】B【分析】【解答】5.【答题】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A. 30°B. 15°C. 25°D. 20°【答案】D【分析】【解答】6.【答题】若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A. 16B. 23C. 16或23D. 13【答案】B【分析】【解答】7.【答题】如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（）A. 7个B. 6个C. 4个D. 3个【答案】A【分析】【解答】8.【答题】如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】D【分析】【解答】9.【答题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【分析】【解答】10.【答题】如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F 两点，则△AEF的周长为（）A. 2B. 4C. 8D. 不能确定【答案】C【分析】【解答】11.【答题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，AC＝4cm，DC＝3cm，则点D到斜边AB的距离为______cm．【答案】3【分析】【解答】12.【答题】如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件：______，使得△ABC≌△AED．【答案】答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD【分析】【解答】13.【答题】如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于______度．【答案】20【分析】【解答】14.【答题】在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是______．【答案】①②③④【分析】【解答】15.【答题】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交A于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为______．【答案】2【分析】【解答】16.【答题】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，若CD是高，则BD＝______．【答案】1【分析】【解答】17.【题文】已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（2）作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．【答案】（每题4分，本题共8分）【分析】【解答】18.【题文】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．【答案】（本题共8分）证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，……………2分在Rt△ABF和Rt△DCE中，，……………5分∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；……………6分（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，……………7分∴OE＝OF．……………8分【分析】【解答】19.【题文】如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．（1）试说明△OBC是等腰三角形；（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的位置关系，并说明理由．【答案】（本题共10分）解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCA；……………1分∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，∴∠OBC＝∠BCO；……………3分∴OB＝OC，……………4分∴△OBC为等腰三角形．……………5分（2）AO⊥BC……………6分证明如下：在△AOB与△AOC中．∵，∴△AOB≌△AOC（SSS）；……………8分∴∠BAO＝∠CAO；……………9分∴AO⊥BC．……………10分【分析】【解答】20.【题文】如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；【答案】（本题共10分）（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，……………2分在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，……………5分∴AE＝CD．……………6分（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，……………7分∵∠NMC＝180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC＝180°-∠BAE-∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，……………8分∴∠NMC＝90°，……………9分∴AE⊥CD．……………10分【分析】【解答】。
鲁教版2019七年级数学第十章三角形的有关证明单元测试题1(附答案)
鲁教版2019七年级数学第十章三角形的有关证明单元测试题1（附答案）1．如图，矩形ABCD中，M为CD中点，分别以B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P，若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为（）A．55°B．40°C．35°D．20°2．如图，已知△ABD≌△ACE，AB=9，AD=7，BD=8，则BE的长是（）A．1 B．2 C．4 D．63．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13B．3，4，7C．8，15，16D．5，12，134．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为A．4B．6C．10D．145．如图，在△ABC中AB=AC，点D是AB的中点，BE⊥AC于点E．若DE=5cm，S△BEA=4S △BEC，则AE的长度是（）A．10B．8C．7.5D．66．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是()A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B，C点外的任意一点，则代数式AP2＋PB•PC等于()A．25 B．15 C．20 D．308．如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．75°B．60°C．55°D．45°9．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是A．BC=BD；B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB；D．∠CAB=∠DAB 10．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．B．或C．D．511．如图，在△ABC中，若PM,QN分别垂直平分AB,AC,如果BC=10cm，则△APQ的周长为_________12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点E，BC=4，AC=3，则△ACE的周长为_____________．13．如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为________14．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH 的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________．15．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．16．在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，已知AB∥CD，B E、C F分别平分∠ABC和∠DCB，求证：B E∥C F．证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠_______＝∠_______．(_________________________)∵__________________________________________，（已知）∴∠E BC＝_______，（角平分线定义）同理，∠F CB＝______________．∴∠E BC＝∠F CB．（等式性质）∴B E//C F．( ____________________________)17．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP=_________o .18．已知三角形的三边长分别是m2+1, 2 m, m2-1（n为正整数），则最大角等于___度. 19．如图，，，OC平分，那么等于________.20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为__cm．21．已知：点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)判断△CFH的形状并说明理由.(3)写出FH与BD的位置关系，并说明理由.22．锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC 重合．（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．23．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．24．如图，AE∥FD，AE=FD，B、C在直线EF上，且BE=CF，（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．25．如图，利用直尺和圆规，读句画图.作∠AOB的平分线OP;在OP上取一点C,过点C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为E、F.求证：△OCE≌△OCF.26．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．27．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－3，0)、B(0，3)，AD⊥BC交BC 于D点，交y轴正半轴于点E(0，t)（1）当t＝1时，求C点的坐标；（2）如图2，求∠ADO的度数；（3）如图3，已知点P(0，2)，若PQ⊥PC，PQ＝PC，求Q的坐标(用含t的式子表示)．图1 图2 图3 28．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？答案1．C解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=12（180°-∠PBC）=12（180°-70°）=55°，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选C．2．B解：∵△ABD≌△ACE，∴AE=AD=7，∵AB=9，∴BE=AB﹣AE=9﹣7=2，故选B．3．D解：A选项：62+122≠132，故此选项错误；B选项：32+42≠72，故此选项错误；C选项：因为82+152≠162，故此选项错误；D选项：52+122=132，故此选项正确．故选D．4．D解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，∵点D在直线MN上，∴DC=DB，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=10，AC=4，∴△ACD的周长为14．故选D.5．B解：∵BE⊥AC，∴∠BEA=90°，∵DE=5，D为AB中点，∴AB=2DE=10，∴AC=AB=10．∵S△BEA=4S△BEC，∴AE•BE=4×CE•BE，∴AE=4CE，∴AE=AC=8．故选B．6．C解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．故选C．7．A解：如图，过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°．由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD＝CD．由勾股定理可得AP2＝PD2＋AD2，AD2＋BD2＝AB2．则AP2＋PB·PC＝AP2＋（BD＋PD）（BD－PD）＝AP2＋BD2－PD2＝AP2－PD2＋BD2＝AD2＋BD2＝AB2＝25．故选A．8．B解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，{AB BC ABD C BD CE=∠=∠=，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°.故选：B.9．B解：根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．故选B．10．A解：作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=CF=4，然后根据勾股定理求得AF=3，连接AP，根据△ABC的面积=△ABP的面积+△ACP的面积解出答案即可.11．10cm解：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，QA=QC，再根据三角形的周长公式，求出△APQ的周长=PA+PQ+QA=BP+PQ+QC=BC=10cm．故答案为：10cm.12．7解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴C△ACE=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=3+4=7.13．4解：如图，过点P作PF⊥AB交AB的延长线于点F，PM⊥BC交BC于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，∵△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PM=PN，PF=PM，∴PF=PN=4.即点P到AB的距离为4.14．12解：设八个全等的直角三角形每个的面积为S，由图形可得知S1=8S+S3，S2=4S+S3，S1+S2+S3=8S+S3+4S+S3+S3=3（4S+S3）=3S2，∵正方形EFGH的边长为2，∴S2=2×2=4，∴S1+S2+S3=3S2=3×4=12．15．7cm解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF=AE，又∵DE∥AC，∴∠C=∠EDB，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠EDB，∴DE=BE，∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．16．证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠_ABC__＝∠__DCB__．(__两直线平行，内错角相等__) ∵____ B E、C F分别平分∠ABC和∠DCB ___，（已知）∴∠E BC＝_∠ABC_，（角平分线定义）同理，∠F CB＝__∠DCB_，_．∴∠E BC＝∠F CB．（等式性质）∴B E//C F．( _内错角相等，两直线平行__)17．32解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP.∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°.故答案为32.18．90解：∵（2m）2+（m2-1）2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1，（m2+1）2=m4+2m2+1，∴（2m）2+（m2-1）2=（m2+1）2，∴三边长分别是m2+1，2m，m2-1的三角形是直角三角形，则最大角为90°19．49°40′13″解：, OC平分，所以所以=20．2解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2，∴DE=CD=2．故答案为：2．21．（1）证明；（2）△CFH 是等边三角形，理由；（3） ，理由.解：（1）△ABC 和△CDE 是等边三角形， AC BC EC CD ∴==， 60ACB ECD ∠=∠=︒，BCE ACD ∴∠=∠（等式的性质）， 在△BEC 和△ADC 中{= AC BCBCE ACD CE CD=∠∠=，∴△BEC ≌△ADC （SAS ）；（2））△CFH 是等边三角形，理由：∵△BEC ≌△ADC （已证），CAH CBF ∴∠=∠，在△BCF 和△ACH 中={60 BC ACBCF ACH CAH CBF∠=∠=︒∠=∠，∴△BCF ≌△ACH （ASA ），，CF CH ∴=，又60FCH ∠=︒，∴△CFH 是等边三角形；（3）//D FH B ，理由：△CFH 是等边三角形，60HFC FCB ∴∠=∠=︒，//FH BD ∴.22．解：（1）BQ=AP ，BQ ⊥AP ．证明：延长BQ 交AP 于点M ，∵△ABC 和△EFP 都是等腰直角三角板，∴BC=AC ，AC ⊥BC ，∠EPF=45°，∴∠BCQ=∠ACP=90°，∠CQP=∠EPF=45°，∴CQ=CP ，在△BCQ 和△ACP 中，{BC ACBCQ ACPCQ CP=∠=∠=，∴△BCQ≌△ACP（SAS），∴BQ=AP，∠CBQ=∠CAP，∵∠BCQ=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°，∵∠BQC=∠AQM（对顶角相等），∴∠CAP+∠AQM=90°，∴∠AMB=90°，∴BQ⊥AP；（2）关系仍然成立：BQ=AP，BQ⊥AP．证明：延长QB交AP于点M，∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，∴∠BCQ=∠ACP=90°，∵∠CQP=∠EPF=45°，∴∠CPQ=∠CQP=45°，∴CQ=CP，在△BCQ和△ACP中，{BC ACBCQ ACPCQ CP=∠=∠=，∴△BCQ≌△ACP（SAS），∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，∵∠BCQ=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°，∵∠PBM=∠QBC（对顶角相等），∴∠PBM+∠APC=90°．23．证明：(1)∵AF=CD，∴AF−FC=CD−FC，即AC=DF.∵AB∥DE，∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(SAS)；(2)∵△ABC≌△DEF(已证)，∴∠ACB=∠DFE，∴∠BCF=∠EFC，∴BC∥EF.24．证明：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵BF=CE∴BE=CF∵在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．25．解：（1）用直尺和圆规作∠AOB的角平分线OP，在OP上取点C，过点C作CE⊥OA 于点E，作CF⊥OB于点F，如下图：（2）如图，在OP上取点C，作CE⊥OA于点E，作CF⊥OB于点F，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵OP平分∠AOB，∴CE=CF，∴在Rt△OCE和Rt△OCF中：{CE CFOC OC==，∴Rt△OCE≌Rt△OCF（HL）. 26．（1）证明；（2）62°.（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△FBD与△DCE中{BF CD B C BD CE ∠∠＝＝＝∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）∵AB=AC，∠A=56°，∴∠B=∠C=12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．27．（1）C(1，0)；（2）∠ADO ＝45°；（3）Q(－2，2－t)解： ()1 AD BC ⊥,90.EAO BCO ∴∠+∠=90,CBO BCO ∠+∠=EAO CBO ∴∠=∠，在AOE 和BOC 中，{ 90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠=∠=∠=，AOE BOC ∴≌，1OE OC ∴==，∴点C 坐标()1,0.()2如图，过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S =.AE BC =，OM AE ON BC ⊥⊥，，OM ON ∴=，OD ∴平分ADC ∠.145.2ADO ADC ∴∠=∠= ()3过点Q 作QR 垂直于x 轴于R ,作PM QR ⊥于M ，由()1知点C 的坐标为: (),0t .四边形PMRO 为矩形，.QMP QPO QPO CPO ∠+∠=∠+∠.QMP CPO ∴∠=∠在QPM 和CPO 中{ M POCQPM CPO PQ PC ∠=∠∠=∠=，.QPM CPO ≌2,.PM PO QM CO t ∴====∴点Q 坐标是()2,2.t --28．（1）;（2）3;（3）6s 或13s 或12s 或 10.8s .解：(1)∵∠C=90∘，AB=10cm ，BC=6cm ，∴有勾股定理得AC=8cm ，动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP=2cm ，那么AP=6cm.∵∠C=90°，∴由勾股定理得cm∴△ABP 的周长为：)cm ；(2)如图2所示，过点P 作PD⊥AB 于点D ，∵BP平分∠ABC,∴PD=PC.在Rt△BPD与Rt△BPC中,{PD PC BP BP==，∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)，∴BD=BC=6 cm，∴AD=10−6=4 cm.设PC=x cm,则PA=(8−x)cm在Rt△APD中,PD²+AD²=PA²，即x²+4²=(8−x)²，解得：x=3，∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；(3)若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P运动的路程为18−7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC ∴PA=PB=5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形。
难点详解鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项测试练习题(精选含解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在△ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为24 cm 和30 cm 的两部分，则BC 的长为 ( )cmA ．14B ．16或22C ．22D ．14或222、如图，直线DE 是ABC 边AC 的垂直平分线，且与AC 相交于点E ，与AB 相交于点D ，连接CD ，已知BC ＝8cm ，AB ＝12cm ，则BCD 的周长为（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．22cm3、如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（ ）A．B．2 C．4 D．4、如图，△ABD≌△ECB，若5AD=，6DE=，则BC的长为（）A．11 B．10 C．9 D．85、等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°6、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、下列命题为假命题的是（）A．三角形的三个内角的和等于180度B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．三角形的角平分线是一条射线D ．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半8、在ABC 中，线段AP ，AQ ，AR 分别是BC 边上的高线，中线和角平分线，则（ ）A ．AP AQ ≤B ．AQ AR ≤C ．AP AR >D ．AP AQ >9、如图，点D 为ABC 的边BC 上一点，且满足AD DC =，作DE AB ⊥于点E ，若68BAC ∠=︒，36C ∠=︒，则ADE ∠的度数为（ ）A ．56°B ．58°C ．60°D ．62°10、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 是AC 上两点，且AE ＝DE ，BD 平分∠EBC ，那么下列说法中不正确的是（ ）A ．BE 是△ABD 的中线B ．BD 是△BCE 的角平分线C ．∠1＝∠2＝∠3D ．S △AEB ＝S △EDB第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 是BAC ∠的平分线，4=AD ．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是______．2、等边三角形的边长为a ，则该等边三角形的面积为________．（用含a 的代数式表示）3、如图，△ABC 是等边三角形．在AC ，BC 边上各取一点P ，Q ，使AP ＝CQ ，且∠ABP ＝20°，AQ ，BP 相交于点O ，则∠AQB ＝_____．4、已知ABC DEF ≌△△，若5AB =，6BC =，7AC =，则DEF 的周长是______． 5、如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若BD ＝8，CD ＝6，则AD 的最大值与最小值的差为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AC 上一点，且AE AD =，∠=︒，求∠CDE的度数．BAD502、在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．(1)若∠A＝40°，求∠DCB的度数；(2)若BC＝15，CD＝12，求AC的长．3、如图，△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．AC=41，DE=18，将△DCE 绕着顶点C 旋转，连接AD，BE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)在△DCE 的旋转过程中，探求：点A，D，E 在同一直线上时，AE 的长．4、已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是．(2)如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．5、如图，CD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ACD和△BCD的高．(1)求证CD⊥EF；(2)若AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，∠ACB＝60°，求CG的长．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据点D为AC中点，得出AD=DC=12AC，根据AB=AC，得出AB=2AD，分两种情况当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，可求BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm即可．【详解】解：∵点D为AC中点，∴AD=DC=12 AC，∵AB=AC，∴AB=2AD，分两种情况，当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，解得AD=8cm，∵BC+CD=30cm，∴BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，解得AD=10cm，∵BC+CD=24cm，∴BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm，∴BC的长为14cm或22cm．故选D．【点睛】本题考查等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用，掌握等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用是解题关键．2、C【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AB，再代入求出答案即可．【详解】解：∵直线DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝8cm，AB＝12cm，∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AD+BD＝BC+AB＝8+12＝20（cm），故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．3、A【解析】【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE∴∆的面积12BD EF=⋅，142=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．4、A【解析】【分析】由三角形全等的性质可知AD=BE，BD=BC，故可得BC=BD=BE+DE=11．【详解】∵△ABD≌△ECB∴AD=BE，BD=BC∴BE=5∵BD=BE+DE=5+6=11∴BC=BD=11故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等．5、C【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的底角度数为12（180°-80°）=50°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．6、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7、C【解析】【分析】分别根据三角形内角和定理、三角形三边的关系、三角形角平分线定义以及三角形面积公式对各个命题进行判断．【详解】解：A.三角形三个内角的和等于180°，所以此选项为真命题；B.三角形两边之和大于第三边，所以此选项为真命题；C.三角形的角平分线是一条线段，所以此选项为假命题；D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半，所以此选项为真命题．故选：C ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题叫定理．8、A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵线段AP 是BC 边上在的高线，∴根据垂线段最短得：PA ≤AQ ，P A ≤AR ，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的高、中线和角平分线、垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解答的关键．9、B【解析】【分析】首先根据等边对等解救出36DAC ∠=︒，再求出32DAE ∠=︒，最后根据“直角三角形两锐角互余”得58ADE ∠=︒，从而得到结论．【详解】解：∵AD DC =，且36C ∠=︒∴36DAC C ∠=∠=︒又68BAC ∠=︒∴683632BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵DE AB ⊥∴90DEA ∠=︒∴90903258ADE BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形两锐角互余等知识，利用等腰三角形的性质“等边对等角”求出36DAC ∠=︒是解答本题的关键．10、C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A 、∵AE ＝DE ，∴BE 是△ABD 的中线，故本选项不符合题意；B 、∵BD 平分∠EBC ，∴BD 是△BCE 的角平分线，故本选项不符合题意；C 、∵BD 平分∠EBC ，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D、∵S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．二、填空题1、4.8【解析】【分析】作点Q关于AD的对称点E，连接PE，过点C作CF⊥AB于点F，则当C、P、E三点共线且与CF重合时，PC+PQ取得最小值；由等腰三角形的性质及勾股定理可求得AD的长，再利用面积关系即可求得最小值CF的长．【详解】如图，作点Q关于AD的对称点E，连接PE，过点C作CF⊥AB于点F∵AB =AC ，AD 是BAC ∠的平分线∴AD ⊥BC ，△ABC 关于直线AD 对称，132BD CD BC ===∵点Q 、点E 关于AD 对称∴PQ =PE∴PC +PQ =PC +PE ≥CF当C 、P 、E 三点共线且与CF 重合时，PC +PQ 取得最小值，且最小值为线段CF 的长在Rt △ABD 中，由勾股定理得：4AD = ∵1122ABC S BC AD AB CF =⨯=⨯△ ∴64 4.85BC AD CF AB ⨯⨯=== 即PC +PQ 的最小值为4.8故答案为：4.8【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，作点Q 的对称点是本题的关键与难点所在．22 【解析】【分析】求出等边三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】如图所示，ABC 是等边三角形，过点A 作AD BC ⊥交于点D ，∵ABC 的边长为a ，∴AB BC a ==，122a BD BC ==，∴AD ===，∴212ABC S a =⨯=，2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形“三线合一”求长度是解题的关键．3、80︒##80度【解析】【分析】先证明,BAP ACQ ≌ 再利用全等三角形的性质可得20,ABP CAQ 再利用三角形的外角的性质可得结论.【详解】 解： △ABC 是等边三角形，,60,AB AC ABC C BAC,AP CQ,BAP ACQ ≌20,ABP CAQ 602080.AQB C CAQ故答案为：80︒【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明20ABP CAQ 是解本题的关键.4、18【解析】【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△， ∴5,6,7DE AB EF BC DF AC ====== ，∴DEF 的周长为56718DE EF DF ++=++= ．故答案为：18【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 5、12【解析】【分析】以CD 为边向外作等边△CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE ＝AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，∵△CDE和△ABC是等边三角形，∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，∴∠ECB＝∠DCA，在△ECB和△DCA中，CE CDECB DCACB CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD，∵DE＝CD＝6，BD＝8，∴BD﹣DE≤BE≤BD+DE，即8﹣6≤BE≤8+6，∴2≤BE≤14，∴2≤AD≤14．则当B、D、E三点共线时，如图所示：可得BE 的最大值与最小值分别为14和2．∴AD 的最大值与最小值的差为14﹣2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．三、解答题1、25°【解析】【分析】由题意知AD BC ⊥，50CAD BAD ∠=∠=︒，根据等边对等角，三角形内角和定理求出ADE ∠的值，进而可求出CDE ∠的值．【详解】解：∵AB AC =，AD 是中线，50BAD ∠=︒∴AD BC ⊥，50CAD BAD ∠=∠=︒∵AE AD = ∴18050652ADE ︒-︒∠==︒ ∴25CDE ADC ADE ∠=∠-∠=︒∴CDE ∠的值为25°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．2、 (1)∠DCB ＝20°(2)AC ＝12.5【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，求出∠B ，然后根据直角三角形中的互余关系求出∠DCB ；（2）利用勾股定理，用一个未知数表示出直角三角形的未知边长，解方程求出边长．(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠A ＝40°，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∵CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝90°．∴∠DCB ＝90°－∠B ＝20°；(2)在Rt △BCD 中，BD ＝9，设AC ＝AB ＝x ，则AD ＝x －9，∵在Rt △ACD 中，22AD CD +＝2AC ，∴22(9)12x -+＝2x ，解得x ＝22518＝12.5， ∴AC ＝12.5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去求边长．3、 (1)见解析(2)AE 的长为49或31【解析】【分析】（1）根据△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°．得出∠ACD =∠BCE ， 再证△ACD ≌△BCE （SAS ）即可；（2）过点C 作CF ⊥DE 于F ，根据△CDE 为等腰直角三角形，CF ⊥DE ，求出DE =DF =EF =1118922DE =⨯=，分两种情况，点E 在AD 延长线上，在Rt△ACF 中，根据勾股定理AF=40=，点E 在AD 上利用线段和差求出AE 即可．(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°．∴AC =BC ，DC =EC ，∠ACD +∠DCB =∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），(2)解：过点C作CF⊥DE于F，∵△CDE为等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DE=DF=EF=11189 22DE=⨯=，分两种情况点E在AD延长线上，在Rt△ACF中，根据勾股定理AF40，∴AE=AF+EF=40+9=49；点E在AD上，在Rt△ACF中，根据勾股定理AF40，∴AE=AF-EF=40-9=31；∴点A，D，E 在同一直线上时，AE 的长为49或31．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定，图形旋转性质，勾股定理，线段和差，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定，图形旋转性质，勾股定理，线段和差是解题关键．4、 (1)PC＝PD(2)成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可知PC＝PD；（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．(1)解：PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；(2)证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，PCE PDFPEC PFD PE PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的证明，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．5、 (1)见解析(2)3【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可得DE =DF ，从而得到Rt CDE Rt CDF ≅，进而得到CE =CF ，即可求证；（2）先证得△CEF 是等边三角形，可得EF =CE ，∠ACD =30°，1122EG EF CE ==，再由ABC ACD BCD S S S =+△△△，可得DE =2，再根据直角三角形的性质可得CD =2DE =4，然后由勾股定理，即可求解．(1)∵CD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴DE =DF ，△CDE 和△CDF 是直角三角形，∵CD =CD ，∴()Rt CDE Rt CDF HL ≅，∴CE =CF ，∴CD 垂直平分EF ，即CD ⊥EF ．(2)∵CE =CF ，∠ACB ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴EF =CE ，∠ACD =30°，∵CD ⊥EF ， ∴1122EG EF CE ==， ∵AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，DE =DF ，ABC ACD BCD S S S =+△△△， ∴ ()11110222DE AC DF BC DE AC BC ⨯+⨯=⨯+=，解得：DE =2，在Rt CDE △ 中，∠ACD =30°，∴CD =2DE =4，∴CE ==∴1122EG EF CE ===∴3CG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．。
综合解析鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题训练试卷(精选含详解)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．62、如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC=2，已知点A到y轴的距离是3，那么点A关于x轴对称的点的坐标为（）A．(2，3) B．(3，2) C．(-2，-3) D．(-3，-2)3、若等腰三角形边长分别为6cm 和3cm ，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm4、已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对5、如图所示，在等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为边BC 延长线上一点，BD ＝DE ，DF ⊥BE 垂足为点F ．下列结论：①AD ＝CE ；②CE +CD ＝AB ；③∠BDE ＝120°；④CF ：BF ＝1：3；⑤S △CDE ＝16S △ABE ．其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠7、下列语句中是命题的有（ ）①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A'③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个m n，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的8、若实数m，n满足等式360周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或159、某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平．在等腰直角三角尺斜边AB的中点O 处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点C，即判断房梁是水平的．这样做的理由是（）A．等腰直角三角形的底角为45︒B．等腰三角形中线和高线重合C．等腰三角形顶角平分线和底边上的中线重合D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合10、如下图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（）A ．ABC 三条角平分线的交点B ．ABC 三条边的中线的交点 C ．ABC 三条高的交点D ．ABC 三条边的垂直平分线的交点第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，AE BE ⊥于点E ，BCE 的面积为2，则ABC 的面积是______．2、在△ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．3、如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm 和6cm ，那么此三角形的周长为________cm ．4、如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 上的一点，28BAD ∠=︒，在AD 的右侧作ACE ，使得AE AD =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ，DE ，DE 交AC 于点O ，若CE AB ∥，则DOC ∠的度数为____．5、如图，BD是∠ABC的平分线，点P是射线BD上一点，PE⊥BA于点E，2PE ，点F是射线BC上一个动点，则线段PF的最小值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：OB＝OC．2、如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=35°．AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC．(1)求证：AD＝CD；(2)求∠EAD的度数．3、点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．(1)求证：ACE BDF ≌；(2)若CE ＝12，DG ＝5，求GF 的长．4、如图，在△ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AB =4，BC =12，AD =3，若点P 在BC 上运动．(1)求线段DP 的最小值；(2)当DP 最小时，求CDP 的面积．5、用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；(1)作OM 平分AOB ∠；(2)已知若ON 平分BOC ∠，80AOC ∠=︒，则=MON ∠-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得2DE EF==，进而根据S△ADB＋S△ADC＝7，利用三角形面积公式即可求得AC的长【详解】解：如图，过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝7，∴S△ADB＋S△ADC＝7，∴1122AB DE AC DF⨯⨯+⨯⨯＝7，∴1142222AC⨯⨯+⨯⨯＝7，解得：AC＝3，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据点A到y轴的距离是3，得到点A横坐标为-3，根据角的平分线的性质定理，得到点A到x轴的距离为2即点A的纵坐标为2，根据x轴对称的特点确定坐标．【详解】∵点A到y轴的距离是3，∴点A横坐标为-3，过点A作AE⊥OD，垂足为E，∵∠DAO=∠CAO，AC⊥OB，AC=2，∴AE=2，∴点A的纵坐标为2，∴点A的坐标为（-3，2），∴点A关于x轴对称的点的坐标为（-3，-2），故选D．【点睛】本题考查了角的平分线的性质，点到直线的距离，点的轴对称坐标，正确确定点的坐标，熟练掌握对称点坐标的特点是解题的关键．3、C【解析】【分析】分两种情况讨论，当腰长为6cm时，当腰长为3cm时，再结合三角形的三边关系可得答案.【详解】解：等腰三角形边长分别为6cm和3cm，当腰长为6cm时，则三边分别为：6，6，3，符合三角形的三边关系，++=（cm），所以该等腰三角形的周长为66315当腰长为3cm时，则三边分别为：6，3，3，不符合三角形的三边关系，舍去，故选C【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义与三角形的三边关系，掌握“利用等腰三角形的腰进行分类讨论”是解本题的关键.4、A【解析】【分析】三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°；∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（AAS）．∴AD＝AE，∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB＝AC，∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（SAS）．∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，AB＝AC，∴DB＝EC；∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS）．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．5、D【解析】【分析】首先证明∠CDE＝∠CED＝30°，可知①②③正确，再证明BC＝3CF，可得④正确，证明BC＝2CE，可得⑤正确．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC＝30°，∵∠ACB＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴CD＝CE＝AD，故①正确，∵AB＝AC＝2CD，CD＝CE，∴AB＝CD+CE，故②正确，∵∠BDC＝90°，∠CDE＝30°，∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝120°，故③正确，∵DF⊥CB，∴∠CDF＝30°，∴CD＝2CF，BC＝2CD，∴BC＝4CF，∴BF＝3CF，故④正确，∵BC＝2CE，∴S△BCD＝2S△DEC，∵AD＝DC，∴S△ABD＝S△CBD＝2S△CDE，S△ADC＝S△CDE，∴S△ABE＝6S△CDE，故⑤正确．故选：D【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】∠=∠，BC=CB，解：由题意知，ABC DCB当AB DC=时，可依据SAS证明△ABC≌△DCB，故选项A不符合题意；当AC DB=时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；当A D∠=∠时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；∠=∠时，可依据ASA证明△ABC≌△DCB，故选项D不符合题意；当ACB DBC故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题；②作点A关于直线l的对称点A'，不是命题；③三边对应相等的两个三角形全等吗？不是命题；④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．8、C【解析】【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n值，再根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系解答即可．【详解】m n，解：∵实数m，n满足等式360∴m－3=0，n－6=0，∴m=3，n=6，∵m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，∴当n=6为腰长时，m=3为底边长， 3+6＞6满足三角形的三边关系，故△ABC的周长是3+6+6=15；当n=6为底边长时，m=3为腰长，但3+3=6，不满足三角形三边关系，不构成三角形，舍去，综上，△ABC的周长是15，故选：C．【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，利用分类讨论思想和三角形的三边关系求解是解答的关键．9、D【解析】【分析】⊥，从而可得答案.由ABC是个等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一证明OC AB【详解】解：ABC∆是等腰三角形，∴=，AC BC点O是AB的中点，AO BO∴=，∴⊥．OC AB故选：D．【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．10、D【解析】【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．二、填空题1、4【解析】【分析】延长AE 交BC 于D ，由已知条件得到ABE DBE ∠=∠，90AEB DEB ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定和性质可得AE ED =，利用等底同高找出面积相等的三角形即可得出结论．【详解】解：延长AE 交BC 于D ，∵BE 平分ABC ∠，∴ABE DBE ∠=∠，∵AE BE ⊥，∴90AEB DEB ∠=∠=︒，在ABE 和DBE 中，ABE DBE EB EBAEB DEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE DBE ≌，∴AE ED =，∴ABE DBE S S =，ACE DCE S S =，∴24ABC CBE S S ==故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 2、3【解析】【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【详解】解：第一图：由作图可知CA =CD ，△ADC 是等腰三角形，故正确；第二图：由作图可知AD 是△ABC 的角平分线，推不出△ADC 是等腰三角形，故错误；第三图：由作图可知BA =BD ，又∠BAC =90°，∠C =30°，∴∠B =60°，AB =12BC ， ∴△ABD 是等边三角形，∴BD =CD =AD ，∴△ADC 是等腰三角形，故正确；第四图：由作图可知DA =CD ，△ADC 是等腰三角形，故正确．故答案为：3．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．3、15【解析】【分析】先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论．【详解】解：当等腰三角形的另一边为6cm时，6-3＜6＜6+3，符合三角形的三边关系，此三角形的周长=6+6+3=15（cm）；当等腰三角形的另一边为3cm时，3+3=6，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在．故答案为：15．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．4、92°##92度【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可证∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED，求出∠CDE=∠BAD=28°，根据SAS可证△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠ABD，结合等腰三角形的性质得∠ACE=∠ABD=∠ACB，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】=，解：∵AB AC∴∠ABC=∠ACB．∵AE AD=，∴∠ADE =∠AED ．∵DAE BAC ∠=∠，∴∠ABC =∠ACB =∠ADE =∠AED ．∵∠CDE =180°-∠ADE -∠ADB ， ∠BAD =180°-∠ABC -∠ADB∴∠CDE =∠BAD =28°，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAB =∠EAC ．在△ABD 和△ACE 中，AB AC DAB EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE =∠ABD ，∴∠ACE =∠ABD =∠ACB ．∵CE AB ∥，∴∠ACE +∠ABD +∠ACB =180°，∴∠ACE =∠ABD =∠ACB =60°，∴∠DOC =180°- ∠CDE -∠ACB =180°-28°-60°=92°，故答案为92°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．5、2【分析】过P作PH⊥BC，根据垂线段最短得出此时PH的长最小，根据角平分线的性质得出PE=PH，再求出答案即可．【详解】解：过P作PH⊥BC，此时PH的长最小，∵BD是∠ABC的平分线，PH⊥BC，PE⊥BA，∴PE=PH，∵PE=2，∴PH=2，即PF的最小值是2，故答案为：2.【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PF最小时点F的位置是解此题的关键．三、解答题1、见解析【解析】【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB，可得∠DBC=∠ACB，可得OB=OC．解：证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AB CD BC CB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），∴∠DBC =∠ACB ，∴OB =OC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2、 (1)见解析(2)∠EAD =20°．【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠BAC =70°，证出∠C =∠DAC ，则可得出结论；（2）由三角形外角的性质求出∠ADE ，则可求出答案．(1)证明：∵∠B =75°，∠C =35°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =70°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =12∠BAC =35°， ∴∠C =∠DAC ，∴AD =CD ；(2)解：∵∠DAC =∠C =35°，∴∠ADE =∠DAC +∠C =70°，∵AE ⊥BC ，∴∠AED =90°，∴∠EAD =90°-∠AED =20°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．3、 (1)见解析(2)7【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ACE ≌△BDF ；（2）由全等三角形的性质即可求解．(1)证明：∵AD =BC ，∴AD +DC =BC +DC ，∴AC =BD ，在△ACE 与△BDF 中，AC BD A B AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△BDF（SAS）；(2)解：由（1）得：△ACE≌△BDF，∴FD=CE=12，∵DG=5，∴GF=FD-DG=12-5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．4、 (1)DP的最小值是3；(2)当DP最小时，△CDP的面积为12．【解析】【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解．(1)解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，当DP⊥BC时，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；(2)解：∵∠A=90°，∴BD，当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，则∠DPB=∠DPC=90°，∴PB=4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面积=12CP×DP=12×8×3=12，即当DP最小时，△CDP的面积为12．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键．5、 (1)见解析(2)40°【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法，即可求解；（2）根据ON 平分BOC ∠，可得1=2BON CON BOC ∠∠=∠，再由OM 平分AOB ∠，可得12AOM BOM AOB ∠=∠=∠，再由80AOC ∠=︒，可得1402BOM BOC ∠=︒+∠，然后根据MON BOM BON ∠=∠-∠，即可求解．(1)解：如图所示OM 为所求；(2)解：∵ON 平分BOC ∠，1=2BON CON BOC ∠∠=∠∴， OM 平分AOB ∠，12AOM BOM AOB ∠=∠=∠∴ 80AOC ∠=︒80AOB BOC ∠=︒+∠∴()11804022BOM BOC BOC ∠=︒+∠=︒+∠∴ 11404022MON BOM BON BOC BOC ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒∴．【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，有关角平分线的计算，熟练掌握作已知角的平分线的作法，有关角平分线的计算是解题的关键．。