三角函数中“1”的代换
高中数学中“1”的代换
高中数学中“1”的代换高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效。
1．“1”在指数函数、对数函数中的应用例1：计算5lg 2lg 35lg 2lg 33++解法一：原式()()5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 22++-+= 5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 22++-=5lg 5lg 2lg 22lg 22++=()25lg 2lg +=1= 解法二：2lg 15lg 5lg 2lg 1-=⇒+=代入原式得()()2lg 12lg 32lg 12lg 33-+-+2lg 32lg 32lg 2lg 32lg 312lg 2323-+-+-+=1= 点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。
注：5lg 2lg 1+=例2：已知01>>>b a 且11log >-）（x b a ，求x 的取值范围。
解：首先01>-x ，即1>x又 a a x b =>-11log ）（，而1>a1log 01log b b x =>-⇒）（，而10<<b211<⇒<-⇒x x综合知21<<x点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性解之。
注：()()101log 001≠>=≠=b b a a b 且2．“1”在三角函数中的应用例3：已知2tan =α，求αα2cos 2sin +的值。
分析：由2tan =α可求出552sin ±=α，55cos ±=α代入计算，有点麻烦，不妨借助1的代换来解题。
解：原式1cos cos sin 22ααα+=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=（分子分母同除以α2cos ） 11t a n 1t a n 22=++=αα 点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。
三角函数转换公式大全总结
三角函数转换公式大全总结三角函数是数学中常见的一类函数，由于其定义在一个单位圆上，可以用来描述很多自然现象和物理现象。
在数学中，经常会使用一些三角函数的转换公式来简化计算和推导。
下面是常见的一些三角函数转换公式总结。
1.正、余函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)cos(x) = sin(x + π/2)这两个公式很容易理解，就是将正弦函数和余弦函数互换角度就可以得到。
2.平方和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)这两个公式可以用来计算两个三角函数之间的和差关系。
通过平方和差公式，可以将两个三角函数之和或之差转化为两个三角函数之积。
3.和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)这四个公式可以用来将两个三角函数的和或差表示为两个三角函数的积。
4.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan^2(x))这些公式可以用来计算两倍角度的三角函数值，可以用于简化计算和推导。
5.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x))/2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x))/(1 + cos(x)))这些公式可以用来计算半角的三角函数值，同样可以用于简化计算和推导。
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
2020学年高中数学第1章三角函数章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第１章三角函数任意角的三角函数概念(1）已知角α的终边过点P(-4m，3m）(m≠0），则2sｉｎα+ｃoｓα的值是＿_____＿＿．(２）函数y=错误!+错误!未定义书签。
的定义域是___＿＿＿＿_.思路点拨：(1）根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负.(２)利用三角函数线求解.（1）错误!未定义书签。
或－错误!(2)错误![(１)r=|OP|＝错误!未定义书签。
=5｜ｍ|。
当ｍ＞0时,sin α＝错误!未定义书签。
＝＼ｆ（３m,5m）＝＼ｆ(3，5）,cｏs α=错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
=-错误!未定义书签。
,∴2sin α＋cｏｓα＝错误!.当m<０时，sin α=错误!=错误!=-错误!未定义书签。
，cos α＝错误!＝错误!未定义书签。
＝错误!，∴2sin α+cos α＝-错误!.故2sin α＋cｏｓα的值是＼f(２,５）或－错误!未定义书签。
.（2)由错误!得错误!未定义书签。
如图，结合三角函数线知:错误!解得2k π≤ｘ≤２k π+错误!未定义书签。
(k ∈Z ),∴函数的定义域为错误!未定义书签。
]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(１)任意角和弧度制。
理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
(2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域．1．(1)已知角α的顶点在原点,始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边经过点P (－＼r(３）,y ），且ｓin α=错误!y (ｙ≠0）,判断角α所在的象限，并求cos α和ta ｎ α的值；（2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上,求１０ｓi ｎ α＋错误!的值．[解］ （１)依题意，点P 到原点Ｏ的距离为|PO ｜=错误!，∴sin α＝错误!未定义书签。
＝错误!＝错误!y .∵ｙ≠0，∴9＋3y 2＝１6,∴ｙ２＝错误!未定义书签。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
“1”在数学问题中的妙用
空集是一个极其特殊又非常重要的集合ꎬ它不含任 何元素ꎬ正 因 为 空 集 的 特 殊 性ꎬ 常 常 成 为 各 类 考 试 的 热 点. 而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解ꎬ 所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.
例 ４ 房间里有 ４ 个人ꎬ假定每个人的生日在 １２ 个
收稿日期:２０１８ － ０４ － １５ 作者简介: 王嫣然(２００１. ３ － ) ꎬ女ꎬ河北省衡水市人ꎬ在校学生.
— ２３ —
月中的某一个月是等可能的ꎬ求至少有两个人的生日在
同一个月的概率.
解 设事件 Ａ 表示至少有两个人的生日在同一个
月ꎬＰ( Ａ)
＝１
－
Ｐ( Ａ)
＝
１
－
１２
× １１ × １０ １２４
×９
＝
４１ ９６
.
五、整式的化简求值
对整式进行化简求值ꎬ有时可以利用“１” 进行恒等变
形从而解决问题.
例５
已知
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
０ꎬ 求
ｃ
æ１
ç
èａ
＋
１ ｂ
ö
÷
ø
＋
ｂ
æ１
ç
èｃ
＋
１ ａ
ö
÷
ø
＋
ａ
æ
ç
è
１ ｂ
＋
１ ｃ
ö÷的值. ø
解
原式
＝
ｃ
æ
ç
è
１ ａ
＋
１ ｂ
＋
１ ｃ
ö
数学等价代换公式
数学等价代换公式数学中的等价代换公式是一种重要的数学工具，它可以用来简化计算过程、转化复杂的表达式、证明定理等。
等价代换公式有很多种，下面我将介绍几个常见的等价代换公式，并说明它们的应用。
1. 分配律分配律是最基本的等价代换公式之一，用于展开括号。
它可以表示为：a(b+c) = ab+ac。
这个公式的应用非常广泛，可以用于化简多项式的乘法运算，展开括号后进行合并同类项等。
2. 合并同类项合并同类项是指将具有相同变量的项合并在一起，它可以用于简化代数表达式。
例如，对于表达式2x+3x，我们可以使用等价代换公式2x+3x = (2+3)x = 5x，将两个相同变量的项合并为一个。
3. 幂运算法则幂运算法则是用于计算幂运算的等价代换公式。
它包括以下几个规则：- a^m * a^n = a^(m+n)：两个相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
- (a^m)^n = a^(m*n)：一个幂的指数再次取幂，底数不变，指数相乘。
- (a*b)^n = a^n * b^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，分别对底数取幂后再相乘。
- (a^n)*(b^n) = (a*b)^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，先分别对底数取幂，再将结果相乘。
4. 对数运算法则对数运算法则是用于计算对数运算的等价代换公式。
它包括以下几个规则：- log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y)：对数的底数为两个数的乘积，底数不变，分别对两个数取对数后再相加。
- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)：对数的底数为两个数的商，底数不变，分别对两个数取对数后再相减。
- log_a(x^n) = n*log_a(x)：对数的底数为一个数的幂，底数不变，将幂移到对数的前面。
5. 三角函数的等价代换公式三角函数的等价代换公式有很多种，常见的有：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1：三角函数sin和cos的平方和等于1，这是三角函数的基本等式之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数中“1”的代换
义县高中 高一数学组 胡克让
三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。
这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。
这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。
在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。
常见的代换有：
22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan
cot 44
αα
αααα
αααα
αααααα
ππ=+=+-=-=-=⋅=⋅=⋅== 等等。
下面例析几道题，供同学们参考。
例1
已知sin cos 2
αα-=-，则tan cot αα+的值为 .
分析：本题解法有二，一种是将sin cos αα-=与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的
值即可，而将sin cos 2αα-=-
平方就能完成sin cos αα的求解，进而问题得以解决。
两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。
解析：sin cos αα-=
222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4
1sin cos 8
sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα
∴=-=+-∴=-+∴+=+==- 例2 已知1tan 3
α=-，求下列各式的值： （1）2232sin sin cos 5cos 2
αααα-+ （2）11sin cos αα
- 分析：这道题很多同学可能会去求解sin α与cos α的值，然后代入即解决了问题，这种思想简单直接，但运用起来却很繁琐，费力。
解决这道题简便的方法是将所求直接转化为tan α的关系式，这就需要将原来代数式中的“1”用22
sin cos αα+来代换。
解析：（1）原式2232sin sin cos 5cos 21
αααα-+= 222232sin sin cos 5cos 2sin cos αααααα
-+=+（分子分母同时除以2cos α） 2232tan tan 51032tan 120
ααα-+==+ （2）原式2222sin cos sin cos sin cos αααααα
+=+-（分子分母同时除以2cos α） 22tan 110tan 1tan 13
ααα+==+- 例3 化简：1tan 1tan θθ
+- 分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相关“1”用tan 4π
代换。
解析：原式tan
tan 4tan()41tan tan 4
πθ
πθπθ+==+- 例4 证明：2222tan sin tan sin αααα-=
分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。
无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。
解析：方法一（由右到左）
右边22222
tan (1cos )tan tan cos ααααα=-=- 22
2222sin tan cos tan sin cos αααααα=-=-=左边 因此 2222
tan sin tan sin αααα-=
方法二（由左到右） 左边2222222sin 1sin sin (1)sin (sec 1)cos cos ααααααα
=-=-=- 22sin
tan αα==右边 因此 2222tan
sin tan sin αααα-=
“1”的这种代换应用在这部分是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要同学们积累解题经验，参透其中的奥秘。